Transformada De Laplace 566f6a

TRANSFORMADA DE LAPLACE Se usan para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. El método de transformada de Laplace tiene las siguientes características: 1 2

La ecuación homogénea y la integral particular se resuelven en una sola operación. La transformada de Laplace convierte a la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en términos de “s”. Con lo que es posible manejar la ecuación mediante reglas algebraicas simples para obtener la solución en el dominio “s”. La solución final se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace.

Definición de la transformada de Laplace.Contando con una función

que satisfaga la condición

para un valor real finito de , la transformada de Laplace de

o bien,

Ejemplo Considérese la función exponencial

donde a es una constante. La transformada de Laplace de

se escribe como

se define como

Definición de una Matriz Una matriz es una colección de elementos ordenados en forma rectangular o cuadrada. Algunas de las formas de representación de una matriz son:

A= [a ij]5,5 Elementos de una Matriz

Aij se identifica como el elemento i-esimo renglón y la j-esima columna de la matriz. Por regla general, la primera referencia corresponde al renglón y la segunda a la columna. Orden de una Matriz. El orden de una matriz se refiere al número total de renglones y columnas que contiene. Por ejemplo, la matriz de la Ecuación es una matriz 5x5 (cinco por cinco). En general, una matriz con n renglones y m columnas es de “n x m” o de “n por m” Matriz cuadrada. Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones y de columnas. Matriz columna. Una matriz columna es aquella que tiene una columna y más de un renglón, esto es, una matriz de m x 1, m>1.

Con mucha frecuencia, cuando una matriz columna tiene m hileras, se le llama vector columna o simplemente vector. Matriz renglón. Una matriz Renglón es aquella que tiene un renglón y más de una columna, esto es, una matriz 1 x n, donde n>1. A una matriz renglón se le llama también vector renglón.

ALGEBRA MATRICIAL Cuando se llevan a cabo operaciones matriciales es necesario definir el álgebra matricial correspondiente a adición, sustracción, multiplicación, división y otras operaciones indispensables. Es importante señalar en este momento que muchas operaciones matriciales se definen independientemente de las operaciones algebraicas correspondientes a cantidades escalares. Igualdad de matrices Se dice que dos matrices A y B son iguales entre si cuando satisfacen las siguientes condiciones: 1. Son de Mismo Orden. 2. Los elementos correspondientes son iguales; esto es, Aij = Bij para cualquiera valores de i y j Por ejemplo:

Implica que a11=b11, a12=b12, a21=b21 y a22=b22 Adición de matrices Dos matrices A y B pueden sumarse para formar A+B cuando son del mismo orden. Entonces A+B= [aij]n,m+[bij]n,m= C = [cij]n,m Donde Cij = aij + bij Para todos los valores de i y j. Después de la adición se conserva el orden de las matrices.

Sustracción de matrices Las reglas de la sustracción de matrices son similares a las de la adición. C = A – B = [aij]n,m – [bij]n,m = [aij]n,m + [-bij]n,m = [cij]n,m Donde Cij = aij – bij

Ley asociativa de matrices (adición y sustracción) La ley asociativa del algebra escalar sigue siendo válida para la adición y sustracción de matrices. (A + B) + C = A + (B + C) Ley conmutativa de matrices (adición y sustracción) La ley conmutativa para la adición y sustracción de matrices enuncia la validez de la siguiente relación matricial: A + B + C = B + C +A =A+C+B

ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. Ecuaciones diferenciales ordinales lineales Estas ecuaciones incluyen derivadas e integrales de las variables dependientes con respecto a la variable independiente Una red eléctrica RLC también, llamadas sistema de integro diferencial se representa:

La ecuación de un sistema masa – resorte – amortiguador es:

Estas dos ecuaciones se definen como ecuaciones diferenciales de segundo orden. La ecuación diferencial de un sistema de n-ésimo orden es:

Ecuaciones diferenciales no lineales Muchos sistemas físicos se representan por ecuaciones diferenciales no lineales

Puesto que

aparece como función senoidal, esta ecuación no es lineal y se describe en

términos generales como sistema no lineal. Ecuaciones diferenciales de primer orden Una ecuación diferencial e orden n puede desconocerse en n ecuaciones diferenciales de primer orden, son más simples de resolver que las de alto orden, es frecuente para los estudios analíticos de las sistemas de control. Considere el caso de la ecuación diferencial de segundo orden:

En la que:

Y

La ecuación se escribe como:

Ordenando las ecuaciones anteriores tenemos:

Para la ec (2.6)

Y

Entonces la ec. Descompone en las siguientes diferenciales:

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE A la operación que consiste en obtener f(t) a partir de la trasformada de Laplace F(s) se le llama tranformada inversa de Laplace F(s) se denota como:

ƒ (t) = £-1(F(s)) Y esta dada por la integral tranformada inversa de Laplace:

ƒ (t) = ½ r j ƒc+j F( s )est ds

Donde c es una constante real mayor de todas las singularidades de F(s). La ecuación representa una integral lineal que se debe evaluar en el plano s. Sin embargo, en los problemas de ingeniería, la operación de Laplace se lleva a cabo consultando una tabla de transformadas. TEOREMAS IMPORTANTES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En muchos casos, se simplifican utilizando sus prioridades. 1. Multiplicación por una constante. La transformada de Laplace del producto de una constante k y una función del tiempo f(t) es igual a la constante k multiplicada por la transformada de f(t); esto es, £ [ kƒ( t )] = KF (s) Donde F(s) es la transformada de Laplace de f(t). 2. Suma y diferencia. La transformada de Laplace de la suma o diferencia de dos funciones del tiempo es igual a la suma de las transformadas de Laplace de dichas funciones; esto es, Donde F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t), respectivamente. £ [ƒ1(t)+ ƒ2(t) ] =F1(s)+F2(s) 3. Diferenciación.

La transformada de Laplace de la primera derivada de una función del tiempo f(t), es igual a s veces la transformada de Laplace de f(t) menos el límite de f(t) a medida que t tiende a 0; esto es, £ [ dƒ(t)]=sF(s)- lim ƒ(t) = sF(s)- ƒ(0) En general, para las derivadas de orden mas alto. £ [ dƒ(t)]=sn F(s)- lim [sn-1 ƒ(t) + s n-2 dƒ(t) 4. Integración. La transformada de Laplace de la primera integral de una función f(t) con respecto al tiempo, es ingual a la trasformada de Laplace de f(t) dividida entre s; esto es, £ [ƒt1 ƒ(r) dr ] =F(s) En general, para una integración de orden n, £ [ƒt1 ƒt2 … ƒtn ƒ(r) dr dt1…. dtn-1] =F(s) 5. Desplazamiento en el tiempo. La transformada de Laplace de f(t) retrasada en un tiempo T, es igual a la transformada de Laplace de f(t) multiplicado por e-Ts; esto es, £ [ ƒ( t-T )us ( t-T ) ] = e-Ts F(s) Donde u,(t - T) denota a la función escalón unitario, que se desplaza en el tiempo hacia la derecha de una magnitud T. 6. Teorema del valor inicial. Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces cuando existe el límite en el tiempo, este es, lim ƒ(t) = lim s F(s) 7. Teorema del valor final. Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s) y si F(s) es analítica en el eje imaginario y en el semiplano derecho del plano s, entonces, lim ƒ(t) = lim sF (s) El teorema del valor final es una relación muy útil para el análisis y diseño de sistema de control realimentados, pues proporciona el valor final de una función del tiempo, por medio

de la determinación del comportamiento de su transformadora de Laplace a medida que s tiende a cero. 8. Desplazamiento complejo. La transformada de Laplace de ƒ(t)multiplicado por e + o -, donde a es una constante, es igual a la transformada de Laplace de F(s) sustituyendo s por a £ [ eF atƒ(t)] = F(s+/-a) 9. Convolucion real (multiplicación compleja)

Si la funcion ƒ1 (t) y ƒ2 (t)tienen la traonsformada de laplace F 1(s) y F2(s), respectivamente F1(s) F2(s) = £ [ƒ1 ƒ1 (r) ƒ2 (t - r) dr ] = £[ ƒ2 (r) ƒ1 (t - r ) dr ] = £[ ƒ1 (t) * ƒ2 (t ) ] Donde el símbolo ``*``denota la convolucion en el dominio de t. La convolucion debe recordarse es que la transformado inversa de Laplace de dos funciones en es general, £ -1 [ F1(s)F2(s) ] ≠ ƒ1 (t) ƒ2(t)

existen una relación dual con el teorema de convolucion real, llamada convolucion compleja o multiplicación real.

BASES MATEMÁTICAS 2.1 INTRODUCCIÓN: El estudio del sistema de control consiste en desarrollar un conjunto de herramientas analíticas con resultados confiables sin depender del trabajo experimental.

Para el estudio de la teoría clásica de control: -Fundamentos matemáticos -Teoría de variables complejas. -Ecuaciones diferenciales. -Transformadas de Laplace. -Transformadas Z. Para el estudio de la teoría moderna de control: -Teoría de las matrices. -Transformadas lineales. -Teoría de conjuntos. -Algebra. 2.2 CONCEPTO DE VARIABLE COMPLEJA: Variable compleja: Una variable compleja siempre se define con un punto en el plano que tiene un eje

y un eje jw.

Funciones de una variable compleja: Está constituida por una parte real y una imaginaria, la función G(s) también se representa de igual manera.

G(s) = Parte real. Im G = Parte imaginaria. Re G = Eje horizontal. Función analítica: Es una región del plano s, cuando la función y todas sus derivadas existen en la región.

Singularidades y polos de una función: Singularidad: Son los puntos del plano s que no existen en la función ni en sus derivadas. Polo: Si una función G(s) es analítica y de valor único en los alrededores de si, excepto en si se dice que tiene un polo de orden r en s = si cuando el límite

Ceros de una función: Si una función G(s) es analítica en s = s i se dice que tiene un cero de orden r en s = si, cuando el límite, tiene un valor finito que no sea cero.

2.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE POR EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES La evaluación de la transformada de Laplace no requiere el uso de la integral de la inversión de la ecuación

Basada en funciones racionales puede llevarse a cabo usando una tabla de transformada de Laplace y la expansión en fracciones parciales. La solución mediante la transformada de la place de una ecuación deferencial es una función racional de s. X(s)= P(s)/Q(s) Donde P(s) y Q(s) son polinomios de s. puede q el origen de Q(s) con respecto a (s) es mayor q el P(s) el polinomio Q(s) puede escribirse como: Q(s) = sn + a, sn-1 +……….+ an-1s + an Donde a1 ,…., an son coeficientes reales. Los ceros de Q(s) son reales o complejos conjugados de orden simple o múltiple. EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO TODOS LOS POLOS DE X(S) SON SIMPLES Y REALES Si todos los polos de x(s) son reales y simples, la ecuación puede escribirse como: X(s) = P(s)/Q(s) = P(s) / (s + s1)(s + s2)……(s + sn) Donde en este caso se considera que los polos –s1, -s2,…. –sn. Son números reales y aplicando la técnica de expansión en fracciones parciales como: X(s) = k(s1)/s + s1 + k(s2)/ s + s2 +……….+ k(sn) /s + sn El coeficiente ksi (I = 1, 2,…, n) se determina multiplicando ambos de la ecuación por el factor (s + si) y es estableciendo que “s” es igual a” –s”. Por ejemplo para determinar el coeficiente “k1”, se multiplican ambos de la ec. Por (s + s1) y se establece que “s = -s1”.

EXPANCIONES EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO ALGUNOS POLOS DE X(S) SON DE ORDEN MULTIPLE Cuando el polo (s) “s = -s”, tiene una multiplicidad, x(s) se escribe como X(s) = P(s)/Q(s) = P(s) / (s + s1)(s + s2)……(s + sn) Entonces la expansión de x(s) toma la forma X(s) = k(s1)/s + s1 + k(s2)/ s + s2 +……….+ k(sn) /s + sn

1-(n-r) términos de polos simples -1 EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES DE POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS SIMPLES Supóngase que la función racional x(s) de la ec. Contiene un par de pasos complejos S= -∞ + jw y s= ∞ - jw Entonces, los coeficientes correspondientes de estos polos son: K - ∞ +jw = (s +∞ - jw)x(s)s= -∞ +jw K - ∞ -jw = (s +∞ + jw)x(s)s= -∞ -jw 2.6 APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES: Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales pueden resolverse con el método de la transformada de Laplace; para esto se deben utilizar los teoremas relativos a dicha transformada, explicados el la Sec. (2-4), y una tabla de transformadas. Las ventajas de este método son que, con la ayuda de la tabla, todas las operaciones son algebraicas y se obtienen simultáneamente, tanto la solución homogénea como la solución particular de la ecuación general. Ilustraremos este método mediante varios ejemplos. Ejemplo 2-7 Considérese la ecuación diferencial (2-80)

Donde u(t) es la función escalón unitario, que se define como: (2-81)

Sistemas automáticos de control Las condiciones iníciales son

. Para resolver la ecuación

diferencial, primero se toma la transformada de Laplace en ambos de la Ec. (2-80); con esto se tiene que:

(2-82) Sustituyendo los valores de x(0) y

(0) en la Ec. (2-82) y después X(s) se obtiene

(2-83) Se procede ahora a la expansión en fracciones parciales de la Ec. (2-83):

(2-84) Tomando la transformada inversa de Laplace de la Ec.(2-84), se obtiene la siguiente solución general:

(2-85) El primer termino de la Ec. (2-85) es la solución en estado estable, y los dos últimos términos son la solución transitoria. Adiferencia del método clásico, que requiere etapas separadas para obtener las soluciones transitoria y en estado estable, el método de la transformada de Laplace proporciona la totalidad de la solución de la ecuación diferencial en una sola operación.

Cuando solo interesa la magnitud de la solución en estado estable, puede aplicarse el teorema del valor final. De esta manera:

(2-86) Donde primero se comprueba que la función sX(s) solo tiene polos en el semiplano izquierdo del plano s.

Ejemplo: Considérese la ecuación diferencial lineal.

(2-87)

Donde

(t) es la función escalon unitario. Se supone que las condiciones iniciales de x(t) y dx(t)/dt

son cero. Tomando la transformada de Laplace en ambos de la Ec. (2-87) y aplicando condiciones iniciales cero.

(2-88) Despejando X(s) de esta ultima expresión, se obtiene: (2-89)

Los polos de X(s) están en s= 0, s=-17.25+j26.5 Por consiguiente, la Ec. (2-89) puede escribirse como:

(2-90)

Una de las formas para resolver en términos de x(t) consiste en expandir en fracciones parciales la Ec. (2-90), con lo que se obtiene (2-91) Donde:

(2-92)