Trabajo Transformada De Laplace 3s3t52

TRANSFORMADA DE LAPLACE

CURSO

: Análisis Matemático II

PROFESOR

: Arambulo Ostos Carlos

TEMA

: Transformada de LAPLACE

INTEGRANTES

: Aybar Palomino Christian Yovera Ramos Jhon

2013 – II UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

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TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE ¿Qué es la transformada de Laplace? La transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la Transformada de Fourier, la Transformada de Hilbert, y la Transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. ¿Para qué sirve? La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. ¿Quién la Formuló? Pierre-Simón Laplace ¿Quién es Laplace? Pierre-Simón Laplace (marzo 23.1749 hasta marzo 5. 1827); fue un francés matemático y astrónomo cuya labor fue fundamental para el desarrollo de la matemática, astronomía y estadísticas. Resumió y amplio el trabajo de sus predecesores en sus cinco volúmenes de Mécanique Céleste (Mecánica Celeste) (1799-1825). Esta obra traducida el estudio geométrico de la mecánica clásica a una basada en el cálculo, la apertura de una gama más amplia de problemas. Laplace formuló la ecuación de Laplace, y fue pionero en la transformada de Laplace, que aparece en muchas ramas de la física matemática, un campo que él tuvo un papel relevante en la formación. El operador diferencial laplaciano, ampliamente utilizado ampliamente en las matemáticas, también se nombre después de él.

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DEFINICIÓN Para definir la transformada de Laplace, primero definiremos lo siguiente:   

f(t) = una función del tiempo talque f(t) = 0 para t<0 s = una variable compleja L = un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace, así pues la transformada de Laplace de una función f(t): L{f(t)}=F(s)=∫ 𝑒

𝑠𝑡

𝑑𝑡 𝑓(𝑡)

∫ 𝑓(𝑡)𝑒

𝑠𝑡

𝑑𝑡

Entonces, Sea F: [0,∞> R, una función definida para t ≥0, entonces a la función f definida por: Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el límite exista. Simbólicamente a la transformada de la Laplace de F se denota por: 𝐿 𝐹(𝑡)

𝑒

𝑠𝑡

𝐹(𝑡)𝑑𝑡

( ) , es decir:

𝑓(𝑠)

Ejemplo: Calcular L[F(t)], donde F(t)=t

Solución: ( )

L[F(t)]=∫

∫

∫

( =

[(

) )

(

)]

Entonces: L{t}= , para s>0.

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CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE L{F(t)} La integra impropia que define la Transformada de Laplace no necesariamente converge, por ejemplo; ni L( ) ni L( ) existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L[F(t)] son que F(t) sea continua por tramos o seccionalmente continua para t≥0 y además que sea de orden exponencial para t>T.

FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS O SECCIONALMENTE CONTINUAS Definición: La función F: [a,b] R, es continua por tramos o seccionalmente continua en [a,b]si:  

Existen puntos en [a,b] tal que: a=t0≤t1≤t2≤…≤tn=b, donde F es continua en cada subintervalo ti≤t≤ti+1 para i=0,1,2,…,n, salvo en dichos puntos. En cada punto ti∈[a,b] existen los limites ( ) ( ), ( ) ( ).

Observación: Consideramos una función F: [a,b] R seccionalmente continua.

A la diferencia (

)

(

)

, se llama magnitud del salto de la función en el punto .

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Ejemplo La función F(t)=[|1|] es continua por tramos [0,4]

Si t ∈ [0,1> F(t)=0 t ∈ [1,2> F(t)=1 t ∈ [2,3> F(t)=2 t ∈ [3,4> F(t)=3 Para t =4 F(t) = 4 Ejemplo La función F(t)=0 si o <1; t2 si 1 <2; 0 si t>2 ¿Es continua por tramos? Solución

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Además F(t) es continua para todo t ∈ <0,∞>, salvo en t = 1,2. Luego F(t) es una función continua por tramos en <0,∞> Observación: Toda función continua en [a,b] es continua por tramos en [a,b].

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FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL Definición La función F: [0,∞> R, es de orden exponencial si existen constantes c > 0 y α talque |F(t)|≤ para todo t≥0 Ejemplo: Toda función constante es de orden exponencial. En efecto: Sea F una función constante Ǝ c >0 tal que |F(t)|≤c, para todo t≥0 entonces |F(t)|≤ Es decir F es de orden exponencial haciendo α = 0. Ejemplo: Determinar si la función ( )

, es de orden exponencial.

Solución: Como donde:

para todo t ≥ 0, entonces

, para todo t ≥ 0. De ( )

Luego ( )

es de orden exponencial tomando c = 1 y α = a.

Propiedad: Si F: [0,∞> R es una función seccionalmente continua en [0,∞>, entonces:  La función F es de orden exponencial siempre que exista α ∈ R tal que ( )

.

 La función F no es de orden exponencial si

( )

.

Ejemplos: ( )

a) Determinar si la función todo t ≥ 0. Solución: ( )

es de orden exponencial para

∈

para

,

para

, aplicando le Regla L’Hospital (

)(

)

( )

todo α > 0.

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Por lo tanto ( )

es de orden exponencial para todo t ≥ 0.

b) Determinar si la función ( ) Solución:

es de orden exponencial

( )

, Luego la función F(t) no es de orden

exponencial.

TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES ( )

( )

( )

,s>0 ,s>0 ,s>a ,s>0 ,s>0 ,s> ,s> (

)

(

)

(

)

(

)

Ejercicios: Calcular 1)

( ) donde F(t) es dado:

( ) Solución: ( )

2)

( ) Solución: ( )

{

}

(

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)

(

) 7

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3)

( ) Solución: ( )

4)

{

}

(

)

( ) Solución: ( )

{ (

} )

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. 

PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes.

𝐿 𝐴𝑓(𝑡)

𝐵𝑔(𝑡)

𝐴𝐿 𝑓(𝑡)

𝐵𝐿 𝑔(𝑡)

Idea: La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican. Demostración: Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: (

( )

( ))

( )

(

( ))

( )

∫ (

( ))

( )

( ∫

( )

∫

( )

∫ ∫

) ( )

Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t): ( )

( )

( )

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( )

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Ejemplo 1: Determinar:

( )

Solución Usando la propiedad de linealidad tenemos: ( ) Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

( )

( )

Haciendo álgebra:

(

(

)

(

)

(

)

(

)

)

Por tanto: ( )

Ejemplo 2: Determine: {

}

Solución Distribuyendo el denominador: {

}

{

}

Usando la propiedad de linealidad tenemos: {

}

{

}

{

}

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos: {

}

{

( )

}

( )

Por tanto: {

}

( )

( )

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

PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACION Si F: [0,∞> R, es una función continua por tramos y de orden exponencial y si ( ), L{F(t)}=f(s) entonces para a ≠0 se tiene ( ) . Siendo: 𝐿 𝑓(𝑡)

𝐹(𝑠)

Idea La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s. Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: ( )

( )

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: ( )

( )

Agrupando las funciones exponenciales: (

( )

)

( )

Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda: (

)

( )

( )

Este segundo miembro coincide con la transformada de Laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo: ( )

( )

(

)

Donde ( )

( )

Si encadenamos esta serie de igualdades. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

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Ejercicios Determine: ( ) Solución Para usar el primer teorema de traslación reconocemos: ( )

( )

Y por tanto: ( )

( )

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos: ( )

(

)

Haciendo álgebra: (

)

(

)

Por tanto: ( )



SEGUNDA PROPIEDAD DE TRASLACION Si F: [0,∞> R, es una función continua por tramos y de orden exponencial y; si ( ) L{F(t)}=f(s) y G(t)= ( ) entonces ( ) Demostración: Mediante la definición de transformada de Laplace ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Es decir: ( )

( )

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Ahora calculamos la integral, haciendo la sustitución de: , reemplazando en la integral se tiene: (

( )

)

(

)

( )

( )

Por lo tanto: 𝐿 𝐺(𝑡)

𝑒

𝑎𝑠

𝑓(𝑠)

Ejemplo. Hallar L{F(t)} si: F(t)=(t-2)2, t>2; y F(t)=0, t<2 Solución: Sea: ( )

( )

( )

Entonces: ( ) 

PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA Si F: [0,∞> R, es una función continua por tramos y de orden exponencial. Si:

𝐿 𝐹(𝑡)

𝑓(𝑠)

𝐿 𝐹(𝑎𝑡)

𝑠 𝑓( ) 𝑎 𝑎

Demostración Aplicando la definición de Transformada de Laplace. ( )

∫

Sea

( )

, calculando la integral se tiene: , sustituyendo en la integral

( )

( )

( )

( )

Entonces: ( )

( )

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Ejemplo: Hallar: Solución: Sea: ( ) Entonces: ( )

(

)

Finalmente:

TEOREMAS Los siguientes teoremas que se van a estudiar, referentes a la Transformada de Laplace de la derivada se utilizan bastante en la resolución de las ecuaciones diferenciales 

TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA Consideremos una función continua F: [0,∞> R, y que F’(t) sea continua por tramos y de orden exponencial en [0,∞>entonces: 𝐿 𝑓 (𝑡)

𝑠𝐿 𝑓(𝑡)

𝑓( ), donde 𝑓( )

𝑡

𝑓(𝑡)

Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s. Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: ( )

( )

Integramos por partes: ( ) ( ) UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

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( )

( ) De donde:

( )

( )

( )

(

(

)

( )

)

Ejemplo: Aplíquese una Transformada de Laplace a la ecuación diferencial: ( ) Solución: Primeramente aplicamos la Transformada a ambos de la ecuación diferencial: {

}

{

( )

}

Por lo tanto ( )

(

)

De donde ( 

)(

)

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRALES Consideremos una función continua F: [0,∞> R, continua por tramos y de orden exponencial, entonces: 𝑡

𝐿 𝐹(𝑡)

𝑓(𝑠)

𝐿

𝑎

𝐹(𝑢)𝑑𝑢

𝑠

𝑎

𝐹(𝑡)𝑑𝑡

Ejemplo: Hallar:

Solución: (

)

( (

)

(

) )

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(

) ( ) 14

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( )

(

)

(

)

(

)

Entonces: (

)

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA EVALUACION DE INTEGRALES Sea F: [0,∞> R: Una función continua por tramos y de orden exponencial, entonces Si

( )

tiene

( )

( ) entonces ∫ ∫

( )

( ), tomando limite cuando s0, se

( ) de donde∫

( )

)

( ).

Siempre que la integral sea convergente. Nota: La expresión (*) es útil en la evaluación de integrales. Ejemplo: Demostrar que:

Solución: (

)

(

)

Entonces: (

)

Aplicando la definición de la transformada: (

)

Tomando límite cuando s3, se tiene: (

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)

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De donde:

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EJERCICOS DESARROLLADOS 1) Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla: ( ) Aplico Transformada de Laplace: ( )

(1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como: ( )

(2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades: ( )

( )

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto: ( )

(

)

2) Aplicando las Transformadas de Laplace Por definición Resuelva: 

( ) Solución: ( )

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( )



Solución: ( )

3) Aplicando Los teoremas de las Transformadas de Laplace Resuelva: ( )



Solución: 2 S  2 S 4 S 4 2

f T   T 2  6T  3 Solución:



T

 T 

 6T  3 

2

T 

2

1

2 6 3  2  3 S S S

4) Usando el primer teorema de traslación Determine: ( )



Solución:

e

2T

 cos 2T 

cos 2T 

S S  2



S S 2 S 2   2 2 S  4 S S 2 S  2  4 S  4S  8



3 3 3   2 2 S  9 S S 1 S  1  9 S  2S  10

2

( )



Solución:

e

T

 sen3T 

sen3T 

S  S 1

2

5) Ejercicios Aplicando Derivada de la Transformada 

 S 2  4  2S 2   S       1 2 2  dS  S 2  4   S 4 

d d L T cos 2T =  1 L T cos 2T =  1 dS





2  4  s2    S 4 2  2 2 2  S 4  S 4

 1









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

L Tsenh3T    1

d L dS

  32S   6S  3    2    1 2 2  2 dS  S  9   S 9  S 9

senh3T    1 d









2

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Halla

{

Halla

(

Halla

Rpta.

( )

}

Rpta.

( )

)

Rpta.

( )

(

(

Rpta. ( )

Halla

)

(

)

)

DEMOSTRAR QUE

( )

Halla

(

)

(

)

(

)

Halla

)

( )

Halla Halla Halla

( )

( )

Halla

( )

( )

Solo usando propiedades sin derivar calcular Calcular

{∫

Domastar que

(

(

{

)

∫

(

) }.

) }, sin derivar solo con propiedades.

{∫ ∫

}

( )

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