Transformada De Laplace 566f6a

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Y ( s )  Ly (t ) 



e

 st

y (t )dt

Docente Integrantes

0

Asignatura

: José Raúl Miranda : Javier Rivera B. Rodolfo Prieto P. : Modelamiento de Redes No Lineales.

INTRODUCCIÓN La Transformada de Laplace es un artificio de cálculo muy útil en la Eléctricidad ya que gracias a ella el comportamiento de sistemas Electrónicos y Eléctricos complejos puede describirse usando ecuaciones ordinarias en lugar de ecuaciones diferenciales. El ámbito de aplicación de esta transformada no queda reducido a los sistemas Eléctricos. El comportamiento de cualquier sistema lineal, sea del tipo que sea, queda completamente descrito mediante las ecuaciones ordinarias obtenidas a través de la transformada de Laplace.

Pierre-Simon Laplace 1749 - 1827 • Cientifico, matemático y astrónomo s: estableció matematicamente la estabilidad del sistema solar y su origen, sin una intervención divina • Desarrollos matematicos en astronomia, fisíca y estadisticas. • Creador de la transformada y ecuación de Laplace • Su obra mas Importante “Tratado de la Mecánica Celeste”. • Uno de los primeros científicos en sugerir la existencia de agujeros negros

HISTORIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE •

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor a Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad.

•

Euler comenzó a mirar integrales como soluciones de las ecuaciones diferenciales a mediados de 1700 :

•

Lagrange tomó un paso más allá al trabajar en funciones de densidad de probabilidad y miró a las formas de la ecuación siguiente:

•

En 1785, Laplace encontró la llave siguiente, utilizando integrales en forma de transformaciones de ecuaciones diferenciales, que simplemente era la forma de la solución, y encontró que la ecuación transformada era fácil de resolver, incluso más que la original.

TRANSFORMADA DE LAPLACE •La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. •Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s.

Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

¿Por qué Transformada de Laplace? • En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. • Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. • la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. • Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

MOTIVACIÓN La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relación salida entrada. En este tipo de enfoque no es tan importante conocer internamente el sistema.

Caracterización del sistema 

Salida Entrada

Entrada

Sistema

Cuando el sistema no posee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existe dinámica pero es despreciable. La relación salida entrada es caracterizada por una expresión algebraica.

i (t ) 1  V (t ) R

v(t )

i (t )

R

Salida

Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica y consecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales.

i (t ) ? V (t )

V (t )  L

di dt

v(t )

i (t )

L

para caracterizar los comportamientos de los sistemas dinámicos frecuentemente se usa la transformada de Laplace. Cualquier sistema que pueda describirse por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo puede ser analizado en el método operacional de Laplace. El método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales lineales de “difícil” solución en ecuaciones algebraicas simples.

DEFINICIÓN Sea f una función definida para T>=0, la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge

Donde

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. LINEALIDAD

Idea La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

DIFERENCIACION

Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

La transformada deDE Laplace PROPIEDADES LA TRANSFORMACION DE LAPLACE Desplazamiento en la Frecuencia:

Multiplicación por :

Teorema de valor Inicial:

Idea La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE

de valor final: LaTeorema transformada de Laplace

Convolución:

TRANSFORMADA DE LAPLACE Calcula la Transformada de f(t) = 1:

L 1  F ( s )  f (t )  1 



 0

1e

1 F ( s)  s

Nota: Obviamente L{a}

 st

 1  st dt  e s

,

s  0.

= a/s y L{0} = 0.



0

1  s

TRANSFORMADA DE LAPLACE Calcula la Transformada de f(t) = e-t:

   F (s)  

L e

t

 1  s 1t e s 1

f (t )  e

t



0

 0

t

e e

 st

dt 



 0

e  s 1t dt 

1  s 1

1  F ( s)  s 1

 s  1

TRANSFORMADA DE LAPLACE Calcula la Transformada de f(t) = Aeat:



at

L Ae

  F (s)  

A e  s  a t ( s  a) f (t )  Ae

at



0

 0

at

Ae e

A  , sa



 st

dt 



 0

Ae s  a t dt 

sa

A F ( s)  , {s}  a sa

TRANSFORMADAS INVERSA DE LAPLACE Algunas transformadas inversas: (a)

1 1  L 1   s 

(c)

e at  L

(e)

(g)

(b)

1

1    s  a  

cos kt  L

cosh kt  L

1

s   2 2 s  k 

1

s   2 2 s  k 

(d)

(f)

tn  L

1

n!   n1  , n  1, 2, 3,  s 

sin kt  L

1

sinh kt  L

k   2 2 s  k 

1

k   2 2 s  k 

TRANSFORMADAS INVERSA DE LAPLACE Ejemplo, Hallar la transformadas inversas de: (a)

1

1 L  5 s 

(b)

1

1  L  2  s  7

Solución:

(a) (b)

L L

1

1 1  5  L  s  4!

1

1 4!   5

1 4  t  s  24

1  1 L  2  7 s  7

1

7  1 sin 7t  2  7 s  7

TRANSFORMADAS INVERSA DE LAPLACE Ejemplo, Hallar la Transformada inversas de: (a)

L

1

1  5 s 

Solución:

(a)

1

n!  t  L  n1  , n  1, 2, 3,  s  n

L

1

1 1  5  L  s  4!

1 4!   5

1 4  t  s  24

TABLA BASICA TRANSFORMADAS DE LAPLACE

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADAS DE LAPLACE La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Estas ecuaciones aparecen de forma natural en la teoría de circuitos eléctricos. Análisis del régimen transitorio en circuitos descritos por más de dos ecuaciones diferenciales. Análisis del régimen transitorio en circuitos sometidos a excitaciones distintas de simples saltos de nivel. Introducción del concepto de función de transferencia para analizar la respuesta en frecuencia de un circuito sometido a excitación sinusoidal. Relacionar el comportamiento de un circuito en el dominio del tiempo con su comportamiento en el dominio de la frecuencia.

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADAS DE LAPLACE Aplicación en el sector industrial como por ejemplo: En el control de calidad de los productos manufacturados. En las líneas de ensamble automático. En el Control de Máquinas-Herramienta, En Tecnología Espacial y Sistemas de Armas, En el Control por Computadora. En los Sistemas de Transporte. En los Sistemas de Potencia. En la Robótica, etc.

CONCLUSIÓN Consideramos que es muy importante la utilización de las ecuaciones diferenciales, en este caso mediante la utilización de las ventajas que ofrece la Transformada de Laplace para la solución de problemas en cualquier ámbito industrial y Eléctrico, así como el siempre contar con diversos sistemas de control, debido a que en años recientes, los mismos han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.

Gracias por su Atención.