Curvas Verticales 6e1r4r

CAPITULO 10 ALINEAMIENTO VERTICAL DEFINICIÓN El alineamiento vertical de una vía es la proyección del eje de esta sobre una superficie vertical paralela al mismo. Debido al paralelismo se muestra la longitud real de la vía a lo largo del eje. El eje en este alineamiento se llama Rasante o Sub-rasante dependiendo del nivel que se tenga en cuenta en el diseño. El diseño vertical o de rasante se realiza con base en el perfil del terreno a lo largo del eje de la vía. Dicho perfil es un gráfico de las cotas negras, donde el eje horizontal corresponde a las abscisas y el eje vertical corresponde a las cotas, dibujadas de izquierda a derecha.

ELEMENTOS El alineamiento vertical de una vía compuesto por dos elementos principales: rasante y perfil. La rasante a su vez está compuesta por una serie de tramos rectos, llamados tangentes, enlazados entre sí por curvas. La longitud de todos los elementos del alineamiento vertical se consideran sobre la proyección horizontal, es decir, en ningún momento se consideran distancias inclinadas.

FIGURA 10.1 ELEMENTOS ALINEAMIENTO VERTICAL

236

DISEÑO GEOMETRICO DE VIAS

El diseño del alineamiento vertical de una vía se presenta en escala deformada, donde las abscisas tienen una escala diez veces menor que la escala de las cotas.

PERFIL El perfil del alineamiento vertical de una vía corresponde generalmente al eje de esta y se puede determinar a partir de una topografía o por medio de una nivelación de precisión. Cuando el eje de un proyecto se localiza en el terreno este debe ser nivelado con el fin de obtener el perfil de dicho terreno y sobre este proyectar la rasante más adecuada.

FIGURA 10.2 PERFIL DEL TERRENO Este perfil debe presentar elevaciones reales, es decir con respecto al nivel medio del mar. Para obtener estas elevaciones reales se debe partir la nivelación desde un NP (nivel de precisión), que corresponde a una placa oficial del Instituto Geográfico Agustín Codazzi y de la cual se conoce su altura real. A lo largo de la nivelación del eje se debe dejar cada 500 metros un BM, con el fin de controlar las cotas durante la construcción, además de permitir verificar la contranivelación del eje. El error de cierre permitido en una nivelación para una vía es:

emax = 1.2 K Donde: K = distancia entre BMs expresada en kilómetros. e = error isible en cm.

ALINEAMIENTO VERTICAL

237

Quiere decir que entre dos BMs consecutivos, en la nivelación de una vía, el error máximo permisible es:

e max = 1.2 K = 1.2 0.5 = 0.84cm

RASANTE Compuesta por tangentes y curvas. Las Tangentes tienen su respectiva longitud, la cual es tomada sobre la proyección horizontal (∆X) y una pendiente (p) definida y calculada como se indica en la figura anterior y expresada normalmente en porcentaje. Dicha pendiente de encuentra entre un valor mínimo y máximo que depende principalmente del tipo de terreno, el tipo de vía, la velocidad de diseño y la composición vehicular que podría tener la vía (Ver Tabla 4.2). Por su parte la curva vertical que permite enlazar dos tangentes verticales consecutivas, y que corresponde a una parábola, brinda las siguientes ventajas: • Permite un cambio gradual de pendiente desde la tangente de entrada hasta la tangente de salida. • Facilita la operación vehicular de una manera cómoda y segura • Brinda una apariencia agradable. • Permite un adecuado drenaje. A su vez esta curva parabólica presenta las siguientes propiedades • La variación de pendiente es una constante a lo largo de toda la curva • Los elementos verticales de la curva (cotas) varían proporcionalmente con el cuadrado de los elementos horizontales (abscisas) • La pendiente de una cuerda de la parábola es el promedio de las pendientes de las líneas tangentes a la curva en los extremos de la cuerda.

ELEMENTOS DE LA CURVA VERTICAL En la siguiente figura se indican los diferentes elementos que conforman una curva vertical PCV PIV PTV E Lv p(%) q(%) y A

= = = = = = = = =

Principio de curva vertical. Punto de intersección vertical Principio de tangente vertical. Final de la curva vertical Externa. Distancia vertical entre el PIV y la curva. Longitud de curva vertical Pendiente inicial o de llegada expresada en porcentaje. Pendiente final o de salida expresada en porcentaje. Corrección vertical Diferencia algebraica de pendientes = q - p

238


FIGURA 10.3 ELEMENTOS CURVA VERTICAL

CURVA VERTICAL SIMÉTRICA Se denomina curva vertical simétrica aquella donde la proyección horizontal de la distancia PCV – PIV es igual a la proyección horizontal de la distancia PIV – PTV.

FIGURA 10.4 – CURVA VERTICAL SIMÉTRICA


239

En la Figura 10.4 se tiene una parábola cuyo eje vertical y eje horizontal se cruzan en el punto A, definiéndolo como el origen de coordenadas cartesianas (0,0). La ecuación general de la parábola es:

Y = aX 2

(1)

La ecuación de la recta de entrada cuya pendiente es “p” y un de sus puntos el PCV, es:

Y − y1 = p ( X −

Lv ) 2

(2)

Ahora, la derivada de la ecuación de la parábola en el PCV equivale a la pendiente en este punto:

p=

Lv dX (aX 2 ) = 2aX = 2a = a.Lv dY 2

(3)

La parábola en el PCV presenta la siguiente ecuación:

y1 = a (

Lv 2 a.Lv 2 ) = 2 4

(4)

Reemplazando (3) y (4) en la ecuación de la tangente de entrada (2) y evaluando para el PIV, cuyas coordenadas son (0, h2), se tiene que

y2 −

a.Lv 2 Lv = a.Lv (0 − ) 4 2

(5)

Por lo tanto,

y2 = −

a.Lv 2 4

(6)

Quiere decir entonces que, en valores absolutos:

y1 = y 2

(7)

La distancia y1 se denomina flecha mientras y2 se conoce como externa, por lo tanto en una parábola la externa es igual a la flecha. Se determina ahora la ecuación de la tangente por el punto p1:

240


Y − y 4 = p( X − x1)

Y − y 4 = aLv( X − x1)

(8)

Evaluando esta ecuación en el PCV se tiene:

y1 − y 4 = aLv(

Lv − x1) 2

(9)

Ahora, si se reemplaza (4) y se despeja y4, se tiene:

a.Lv 2 y 4 = aLv.x1 − 4

(10)

La ecuación de la parábola en el punto p2 es:

y3 = a.x12

(11)

Realizando la diferencia entre y3 y y4, denominada y, se obtiene:

y = a.x12 − aLv.x1 +

y = a(

.Lv 2 a.Lv 2 = a( − Lv.x1 + x1) 4 4

Lv − x1) 2 2

(12)

Despejando a de (6) y reemplazando y2 por la externa E, se tiene que:

a=

4 y 2 4E = Lv 2 Lv 2

(13)

En la figura se observa que:

x=

Lv − x1 2

(14)

Reemplazando (13) y (14) en (12) se tiene:

y=

4E ( x) 2 2 Lv

Finalmente,

(15)


 x   y = E   Lv   2

241

2

(10 – 1)

Ecuación con la cual se calcula la corrección vertical para la curva en función de la externa E y donde x corresponde a la distancia tomada desde el PCV. Se considera ahora la Figura 10.5 donde se tiene otra curva vertical y donde:

H = p.

Lv Lv + q. 2 2

(16)

Por lo tanto:

GB =

H 1 Lv Lv = ( p. + q. ) 2 2 2 2

(17)

FIGURA 10.5 – CALCULO DE LA EXTERNA Se tiene también que:

GD = p.

Lv 2

DB = GB – GD Reemplazando (17) y (18) en (19) se obtiene:

(18) (19)

242


DB =

1 Lv Lv Lv ( p. + q. ) − p. 2 2 2 2

Resolviendo:

DB =

Lv (q − p.) 4

(20)

Pero como la externa DC es igual a la flecha CB:

DB 2

(21)

Lv(q − p ) 8

(22)

E = DC = Entonces:

E=

Si se consideran p y q en porcentaje, se tiene que:

E=

(q − p).Lv 800

(10 – 2)

Donde: E = Externa (m) q = pendiente final o de salida (%) p = pendiente inicial o de entrada (%) Lv = Longitud curva vertical (m) Si se denomina A = q – p y se reemplaza la ecuación (22) en la ecuación (10 – 1)

y=(

A )x2 200 Lv

(10 – 3)

Donde: A = Diferencia Algebraica de pendientes (%) x = Distancia del punto al PCV (m) Lv = Longitud curva vertical (m) Ecuación con la cual también se calculan las correcciones verticales pero en función de la diferencia algebraica de pendientes A. Si se hiciera un mismo análisis para el punto p3 ubicado a una distancia x’ del PTV, la ecuación (10 – 1) se convierte en:


 x'   y = E   Lv   2

243

2

Y la (10 – 3) quedaría:

y=(

A ) x' 2 2 Lv

Quiere decir lo anterior que las ecuaciones son similares para ambos lados de la curva, solo que para puntos ubicados entre el PCV y el PIV las distancias (X) se consideran desde el PCV, mientras que para los puntos ubicados entre el PIV y el PTV las distancias (X’)se miden a partir del PTV.

CURVA VERTICAL ASIMÉTRICA

FIGURA 10.6 – CURVA VERTICAL ASIMÉTRICA La curva vertical asimétrica es aquella donde las proyecciones de las dos tangentes de la curva son de diferente longitud. En otras palabras, es la curva vertical donde la proyección horizontal de la distancia PCV a PIV es diferente a la proyección horizontal de la distancia PIV a PTV. Este tipo de curva es utilizado cuando alguna de las tangentes de la curva esta restringida por algún motivo o requiere que la curva se ajuste a una superficie existente, que solo la curva asimétrica podría satisfacer esta necesidad. A partir de la Figura 10.6 se tiene que:

244

E=


BG − DG 2

(1)

pero:

E = Tanα =

BG Lv1

De donde:

BG = Lv1.Tanα

(2)

Además:

Tanα =

H p.Lv1 + q.Lv2 = Lv1 + Lv2 Lv

(3)

Reemplazando (3) en (2):

BG = Lv1.

p.Lv1 + q.Lv 2 Lv

(4)

Ahora,

DG = p.Lv1

(5)

Por último, se reemplaza (4) y (5) en (1):

E=

1 p.Lv1 + q.Lv 2 ( Lv1. − p.Lv1) 2 Lv

Resolviendo se tiene que:

E=

Lv1.Lv 2(q − p) 2 Lv

Con p y q expresada en porcentaje quedaría finalmente:

E=

Lv1.Lv 2(q − p) 200 Lv

(10 – 4)

El cálculo de las correcciones verticales se realiza con las mismas expresiones que se emplean en la curva simétrica, pero teniendo en cuenta que Lv/2 se


245

reemplaza por Lv1 o Lv2 según el caso donde se encuentre el punto al que se le calcula dicha corrección. Se tiene entonces que:

 x1  y1 = E    Lv1 

2

(10 – 5)

Ecuación con la cual se calcula las correcciones verticales de las abscisas ubicadas entre el PCV y el PIV, donde: y1 E x1 Lv1

= Corrección vertical (m) = Externa de la curva vertical (m) = Distancia de la abscisa en cuestión desde el PCV = Longitud de la curva inicial = Distancia PCV – PIV

 x2  y2 = E   Lv 2 

2

(10 – 6)

Ecuación con la cual se calcula las correcciones verticales de las abscisas ubicadas entre el PIV y el PTV, donde: y2 E x2 Lv2

= Corrección vertical (m) = Externa de la curva vertical (m) = Distancia de la abscisa en cuestión desde el PTV = Longitud de la curva final = Distancia PIV – PTV

TIPOS DE CURVA VERTICAL Las curvas verticales además de dividirse en simétricas y asimétricas, teniendo en cuenta las longitudes, también se clasifican de acuerdo a las pendientes en cóncavas y convexas.

CURVA VERTICAL CONVEXA. Presenta 3 casos: • Caso 1. p > 0, q < 0 • Caso 2. p < 0, q < 0, p > q • Caso 3. p > 0, q > 0, p > q La curva del Caso 1, cuando las pendientes tienen diferente signo, presenta a lo largo de su trayectoria un punto de cota máxima, mientras que para los otros dos casos, 2 y 3, el punto de cota máxima de la curva estaría ubicado al principio y al final de esta, respectivamente.

CURVA VERTICAL CÓNCAVA Al igual que la curva convexa también presenta tres casos diferentes: • Caso 4. p < 0, q > 0 • Caso 5. p > 0, q > 0, p < q

246

•

Caso 6.


p < 0, q < 0, p < q

FIGURA 10.7 – CURVA VERTICAL CONVEXA Para este tipo de curva, existe en el Caso 4, un punto en la curva donde se presenta la cota mínima. Los otros dos casos, 5 y 6, presentan su cota mínima sobre la curva al principio y al final de esta, respectivamente.

FIGURA 10.8 – CURVA VERTICAL CÓNCAVA


247

LONGITUD DE LA CURVA VERTICAL La longitud de la curva vertical debe tener un valor tal que: • Brinde una apropiada comodidad • Permita la adecuada visibilidad de parada • Suministre una buena apariencia a la vía. En el capítulo anterior se definió el valor de K de modo que al multiplicarlo por la diferencia algebraica de pendientes se obtenía la longitud de curva vertical que garantizará la suficiente visibilidad de parada. Este valor de K, que depende del tipo de curva, cóncava o convexa, y de la velocidad de diseño, se puede definir como la variación de longitud por unidad de pendiente. Se tiene entonces que la longitud mínima de curva es: Lv = K.A. Donde: Lv = Longitud curva vertical (m) K = coeficiente angular de curva vertical A = Diferencia algebraica de pendientes (%) Por lo tanto:

K=

Lv A

Significa la longitud requerida de curva para efectuar un cambio de pendiente del 1%. Por ejemplo si se tiene una curva vertical de 80 metros y las pendientes son p=3% y q= -5.0%, entonces:

K=

80 = 10m / % −5−3

Significa que para la curva en cuestión se requieren 10 metros de distancia horizontal para cambiar 1% de pendiente. En algunos casos la diferencia algebraica de pendientes puede ser muy pequeña, lo que arrojaría una longitud de curva muy corta. En estos casos donde por visibilidad se requiere una longitud demasiado pequeña se debe especificar por razones de estética una longitud mínima, que varía de acuerdo a la velocidad de diseño. Dada la gran importancia del coeficiente K, a continuación se presenta la tabla con los valores de éste, de acuerdo al tipo de curva y la velocidad de diseño, según el INV. También aparecen los valores mínimos recomendados de longitud de curva vertical que se deben de usar cuando K.A están por debajo de dicho valor.

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TABLA 10.1 – VALORES DE K SEGÚN EL INV VALORES DE K PARA CURVAS VERTICALES VELOCIDAD DE CURVAS CURVAS LONGITUD DISEÑO (Km/h) CONCAVAS CONVEXAS MÍNIMA 30 4 2 30 40 7 4 30 50 10 8 40 60 15 13 50 70 20 20 50 80 25 31 60 90 31 44 70 100 37 58 70 120 56 117 90

Para valores de por encima de 50 se recomienda tener cuidado con el drenaje de la vía, principalmente cuando se tienen pendientes contrarias. Esto se debe a que para valores de K superiores a 50 la curva tiende a ser plana en su parte central dificultando así el drenaje de la vía.

CÁLCULO DE CURVA VERTICAL A continuación se describe de una manera resumida el procedimiento para el cálculo de una curva vertical: a.

Luego de tener definida la rasante más apropiada para el perfil del terreno se deben calcular las pendientes de las tangentes. Se recuerda que la pendiente de una línea esta dada por:

p (%) =

Distancia − Vertical ( DV ) x100 Distancia − Horizontal ( DH )

(10 – 7)

b. A partir de la velocidad de diseño asumida para el proyecto y el tipo de curva se halla el valor de K y se calcula la longitud mínima de curva vertical. Lv = K.A.= K(q – p) c. Se calcula la externa para la curva. El valor de la externa puede ser negativo o positivo y la ecuación de cálculo arroja su respectivo signo. Cuando la rasante está por encima del punto del PIV el valor de la externa es positivo, mientras que si la rasante esta por debajo del punto del PIV el valor de la externa será negativo. Quiere decir lo anterior que la externa de curvas cóncavas es positiva y la externa de las curvas convexas es negativa.


249

d. Se calculan las cotas de las dos tangentes (CT) de la curva, para cada una de las estaciones, redondas y no redondas, consideradas en el alineamiento horizontal. El cálculo de la cota tangente se realiza a partir de otro punto de cota conocida, generalmente del PIV. Conociendo la cota de un punto, la pendiente y la distancia horizontal a otro, la cota de este último se calcula de la siguiente manera:

CT2 = CT1 +

pendiente(%) xDH 100

(10 – 8)

e. Se calculan las correcciones verticales (y) para cada una de las estaciones ubicadas dentro de la curva. Las correcciones verticales podrán ser negativas o positivas y tendrán el mismo signo de la externa. f.

Se calcula la cota rasante o cota roja (CR) de las estaciones de la curva vertical. Como las correcciones verticales (y) pueden ser negativas o positivas se tiene que: CR = CT + y

(10 – 9)

RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE RASANTE Con el fin de obtener el mejor diseño de rasante, desde el punto de vista técnico y económico, y una apropiada presentación de los planos e información, a continuación se enumeran una serie de observaciones y recomendaciones para tener en cuenta: a. Respetar pendiente máxima. La pendiente máxima se define a partir del tipo de vía, configuración topográfica y la velocidad de diseño. Aunque la Tabla 4.2 no considera la composición vehicular, esta se debe tener en cuenta ya que cuando el porcentaje de vehículos pesados es alto la pendiente longitudinal no puede ser muy elevada. Si debido a la configuración topográfica se hace difícil disminuir la pendiente es aconsejable proporcionar un carril de ascenso, en vías de dos carriles, de modo que el tráfico pesado no interfiera el flujo de los vehículos livianos que ascienden. El manual del INV considera el término “Longitud Crítica de una Pendiente” a partir de la cual se debe especificar el carril adicional. Se considera “Longitud crítica de una pendiente” aquella que ocasiona una reducción de 25 Km/h en la velocidad de operación, o de una forma más sencilla, la distancia horizontal, medida desde el comienzo de una pendiente, necesaria para alcanzar una diferencia vertical de 15 m con respecto al mismo origen. Este concepto aplica sólo a pendientes superiores la 3.0%.

250


b. Respetar pendiente mínima. Para efectos de drenaje es recomendable que la pendiente longitudinal no sea inferior al 0.5%, aunque cuando se trata de terraplenes este valor puede disminuir al 0.3%. Esta diferencia obedece a que en zona de terraplén no se requiere el uso de cunetas, las cuales requieren una pendiente mínima del orden de 0.5%. c. Se recomienda trabajar con pendientes ajustadas a un solo decimal. Por ejemplo, si al proyectar la rasante y calcular las pendientes a partir de las distancias horizontales y cotas se obtiene una pendiente con un valor de 7.37%, es aconsejable, para facilitar los cálculos y mejorar la presentación de la información, ajustarla a 7.4% y recalcular el valor de las cotas. d. Longitud mínima de curva. La longitud mínima de una curva vertical se debe calcular con la expresión L=KA con el fin de garantizar la suficiente distancia de visibilidad de parada para la velocidad de diseño considerada. e. Longitud mínima absoluta. Para cada velocidad de diseño se considera una longitud mínima, independientemente de KA. La longitud mínima absoluta para vías rurales es de 30.0 metros. En vías urbanas donde las condiciones de espacio, iluminación y visibilidad son diferentes no se consideran estas longitudes mínimas. f.

Para longitudes de curva vertical mayor a 50A se debe prestar especial cuidado al drenaje dentro de la curva.

g. Al calcular la longitud requerida de curva se recomienda redondearla al múltiplo de 10 por encima del valor calculado. Por ejemplo, se tiene un valor de K = 8 y una diferencia algebraica de pendientes A = 7.8, el valor requerido de longitud es L = 8 x 7.8 = 62.4. Se recomienda entonces utilizar una longitud de 70.0 metros. h. En muchas ocasiones la longitud ideal, de acuerdo a las condiciones topográficas, es mayor que la requerida. Puede suceder que al aumentar la longitud de la curva esta se adapte mejor al terreno disminuyendo la cantidad de corte o de lleno. i.

Para cambios de pendiente menores a 0.5% no se requiere curva vertical. Esto debido a que la externa y las correcciones son insignificantes y el cambio de pendiente aún sin curva no representa mayor incomodidad al .

j.

Cuando se emplean curvas asimétricas se recomienda, principalmente por estética, que se cumpla la siguiente relación: (Lmayor / Lmenor) <1.5


251

k. En lo posible se deben evitar dos curvas continuas de la misma naturaleza (2 cóncavas o 2 convexas). Esto es fácil conseguirlo cuando la entretangencia es corta y se recomienda principalmente por razones de visibilidad y estética. l.

El diseño de rasante se lleva a cabo sobre un perfil deformado, normalmente con una relación de 10 a 1. El valor de las abscisas se divide por diez o el valor de las cotas se multiplica por diez, esto cuando se trabaja en archivos magnéticos. Cuando se trabaja sobre papel se deben definir las dos escalas de modo que se conserve dicha relación.

m. Las longitudes, tanto de curvas como de tangentes, siempre se consideran sobre la proyección horizontal. n. En lo posible y cuando el terreno lo permita se deben compensar llenos y cortes. Esta solución es fácil de considerar en terrenos ondulados donde la pendiente transversal permite la conformación de terraplenes. Esto no sólo disminuye la magnitud de los cortes y llenos, sino que reduce el volumen a transportar y los impactos al medio ambiente. o. En el alineamiento vertical no se requieren entretangencias. Quiere decir que una curva vertical puede comenzar donde termina la anterior. El punto donde coinciden el PTV y el PCV se denomina PCCV. p. Se recomienda que los PIV queden ubicados en abscisas múltiplo de 10. Esto se hace para facilitar los cálculos y dar una buena presentación a los planos. q. Cuando se localiza el eje de la vía y se realiza su respectiva nivelación se debe tener en cuenta, aunque no sean estaciones redondas, puntos como bordes de vías existentes, bordes y fondos de caños, bordes de quebradas y ríos. Esto se debe hacer con el fin de que al proyectar la rasante no se altere el flujo de las diferentes corrientes de agua y la superficie de las vías existentes, vehiculares o férreas. Al proyectar la rasante sobre un cauce se debe considerar el nivel de aguas máximas y el espesor de la estructura a considerar. r.

En terrenos montañosos y escarpados se recomienda diseñar con el perfil de la media banca. Esta metodología garantiza minimizar tanto la magnitud de los cortes como la de evitar la construcción de muchos muros.

s. En tramos con corte en cajón tratar de ubicar curvas convexas para distribuir el drenaje hacia ambas direcciones y disminuir la magnitud de las cunetas.

252

t.


Cuando se tienen tramos ascendentes largos y pronunciados se debe buscar la forma de ubicar descansos o pequeños tramos con pendiente baja.

u. En tramos largos en ascenso, se recomienda proyectar las pendientes más fuertes iniciando el tramo y las más suaves cerca de la parte superior del ascenso, o dividir la pendiente sostenida larga en tramos con pendiente un poco más baja que la máxima permitida. v. Cuando se tienen intersecciones con otras vías es recomendable diseñar con pendiente longitudinal máxima del 4.0% con el fin de mejorar la visibilidad y seguridad de los s. w. En glorietas no se debe de especificar pendientes mayores al 3.0%. x. Las rasantes tipo tobogán, compuestos de subidas y bajadas pronunciadas deben evitarse, especialmente en alineamientos horizontales rectos. Este tipo de perfil contribuye a crear accidentalidad, sobre todo cuando se realizan maniobras de adelantamiento, ya que el conductor que adelanta toma la decisión después de ver aparentemente libre la carretera más allá de la cresta, presentándose la posibilidad de que un vehículo que marche en sentido contrario quede oculto por la protuberancia y la hondonada. Incluso, en toboganes de hondonadas poco profundas, esta forma de perfil es desconcertante, puesto que el conductor no puede estar seguro de si viene o no un vehículo en sentido contrario.

EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO 10.1 – CALCULO DE CURVA VERTICAL SIMETRICA Se tiene la siguiente información de una rasante: PUNTO 1 2 3 4

ABSCISA K0+000 K0+180 K0+370 K0+580

COTA 1324.51 1337.83 1322.25 1335.90

Se requiere calcular la rasante de las curvas verticales ubicadas entre el Punto 1 y el Punto 4 considerando una velocidad de diseño de 50 Km/h. a. Cálculo de pendientes. Inicialmente se debe calcular el valor de las pendientes entre los puntos de quiebre de la rasante:


p1−2 =

1337.83 − 1324.51 x100 = 7.4% 180 − 0

p 2−3 =

1322.25 − 1337.83 x100 = −8.2% 370 − 180

p3− 4 =

1335.90 − 1322.25 x100 = 6.5% 580 − 370

253

De acuerdo a los cálculos anteriores se tiene que la primera curva vertical, cuyo PIV está ubicado en la abscisa 180, es convexa, mientras que la segunda curva, con PIV en la abscisa 370, corresponde a una hondonada. La Figura 10.9 presenta su esquema. b. Cálculo de longitud de curva vertical Para velocidad de diseño de 50 Km/h se tienen los siguientes valores de K. • Curva cóncava (Hondonada) K = 10 • Corva convexa (Cima) K=8 Se tiene entonces que para la primera curva vertical la diferencia de pendientes A es: A = -8.2 – 7.4 = -15.6% Como es una curva convexa la longitud mínima requerida es: Lv = 15.6 x 8 = 124.8

254


FIGURA 10.9 – ESQUEMA EJERCICIO 10.1 Se toma para esta primera curva una longitud de 130.0 metros. La segunda curva presenta una diferencia algebraica de: A = 6.5 – (– 8.2)= 14.7% Como se trata de una curva cóncava su longitud mínima es: Lv = 14.7 x 10 = 147.0 Se debe tomar entonces una longitud de 150.0 metros. En la siguiente tabla se tiene la información de pendientes y longitudes: PUNTO ABSCISA COTA POT 0 1324.51

p(%)

A(%)

K

Lv

-15.6

8

130

14.7

10

150

7.4 PIV 1

180

1337.83 -8.2

PIV 2

370

1322.25 6.5

PIV 3

580

1335.9

c. Cálculo de Curva 1. Inicialmente se calcula la externa de la curva con pendientes p=7.4% y q=-8.2%:


E=

255

(q − p ).Lv (−8.2 − 7.4) x130 = = −2.54 800 800

Ahora se calcula las abscisas de PCV y PTV: PCV = PIV – Lv/2 = 180 – 130/2 = 115 PTV = PIV + Lv/2 = 180 + 130/2 = 245 Las cotas de estos dos puntos serían:

CV = IV − p (

TV = IV + q(

130 Lv ) / 100 = 1337.83 − 7.4( ) / 100 = 1333.02 2 2

130 Lv ) / 100 = 1337.83 + (−8.2)( ) / 100 = 1332.50 2 2

Cota tangente Las cotas en la tangente para esta curva se calculan a partir del PIV1. Se requiere entonces calcular la cota tangente, de 10 en 10, entre las abscisas 120 y 240. Para calcular las cotas de las abscisas ubicadas antes del PIV1 se tiene en cuenta la distancia a este y la pendiente inicial p=7.4%:

CTi = IV − p(%) X i / 100 , donde Xi corresponde a la distancia del punto al PIV. CT120 = 1337.83 − 7.4(180 − 120) / 100 = 1333.39 CT130 = 1337.83 − 7.4(180 − 130) / 100 = 1334.13 CT140 = 1337.83 − 7.4(180 − 140) / 100 = 1334.87 CT150 = 1337.83 − 7.4(180 − 150) / 100 = 1335.61 CT160 = 1337.83 − 7.4(180 − 160) / 100 = 1336.35 CT170 = 1337.83 − 7.4(180 − 170) / 100 = 1337.09 Otra forma de calcular la cota tangente es sumándole a la anterior el valor de 0.74 equivalente al cambio de altura cada 10 metros.

∆C10 =

7.4% x10 = 0.74% 100

Por lo tanto la cota tangente de una abscisa con respecto a la abscisa anterior, de 10 en 10, está dada por:

CTi = CTi −1 + p (%) / 10

256


CT130 = CT120 + 7.4 / 10 = 1333.39 + 0.74 = 1334.13 CT140 = 1334.13 + 0.74 = 1334.87 CT150 = 1334.87 + 0.74 = 1335.61 CT160 = 1335.61 + 0.74 = 1336.35 CT170 = 1336.35 + 0.74 = 1337.09 Luego se calculan las cotas de las abscisas ubicadas después del PIV, o sea desde la 180 hasta la 240. En este caso se tiene en cuenta la distancia del punto al PIV y la pendiente final q = - 8.2%.

CTi = IV + q (%) X i / 100 CT190 = 1337.83 − (−8.2)(190 − 180) / 100 = 1337.01 CT200 = 1337.83 − (−8.2)(200 − 180) / 100 = 1336.19 CT210 = 1337.83 − (−8.2)(210 − 180) / 100 = 1335.37 CT220 = 1337.83 − (−8.2)(220 − 180) / 100 = 1334.55 CT230 = 1337.83 − (−8.2)(230 − 180) / 100 = 1333.73 CT240 = 1337.83 − (−8.2)(240 − 180) / 100 = 1332.91 De igual manera se pudieron haber calculado restando un valor de 0.82 para cada abscisa con respecto a la cota de la anterior. Corrección vertical Ahora se calculan las correcciones verticales para las abscisas ubicadas dentro de la curva. Para esto se emplea la ecuación (10 – 1):

 x   y = E   Lv   2

2

Para las abscisas ubicadas entre el PCV y el PIV la distancia x se considera a partir del PCV: 2

y120

 (120 − 115)  = −2.54  = −0.02 65  

y130

 (130 − 115)  = −2.54  = −0.14 65  

y140

 (140 − 115)  = −2.54  = −0.38 65  

2

2


257

2

y150

 (150 − 115)  = −2.54  = −0.74 65  

y160

 (160 − 115)  = −2.54  = −1.22 65  

y170

 (170 − 115)  = −2.54  = −1.82 65  

2

2

La corrección vertical en el PIV es igual a la externa y equivale a la máxima corrección vertical para la curva. Si se reemplaza el valor de la distancia, en este caso Lv/2, este se cancela con el denominador quedando y = E Se puede observar que en la Ecuación (10 – 1) existen dos valores constantes, E y Lv, mientras que la distancia x es variable. Significa que el cálculo de las correcciones verticales se puede realizar multiplicando el cuadrado de la distancia x por una constante definida por:

Ccv =

E − 2.54 = = 6.01E − 4 Lv 65 2 ( )2 2

Entonces:

y = Ccv( x )

2

Las correcciones verticales del segundo tramo de la curva, entre PIV y PTV, se calculan con las distancias x tomadas desde el PTV.

y190 = 6.01E − 4(245 − 190) 2 = −1.82 y 200 = 6.01E − 4(245 − 200) 2 = −1.22 Se puede observar que en la curva vertical simétrica las correcciones verticales del primer tramo son iguales a las del segundo tramo, esto siempre y cuando el PIV este ubicado en una abscisa múltiplo de 10. Por lo tanto:

y 210 = y150 = −0.74 y 220 = y140 = −0.38 y 230 = y130 = −0.14 y 240 = y120 = −0.02 Cota Rasante La cota rasante se halla con solo sumar, para cada abscisa, los valores correspondientes de cota tangente (CT) y la corrección vertical (y).

258


CR = CT + y El cuadro final de rasante para la Curva 1 se presenta a continuación: PUNTO PCV

ABSCISA 115.00 120.00 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 180.00 190.00 200.00 210.00 220.00 230.00 240.00 245.00

PIV

PTV

CT 1333.02 1333.39 1334.13 1334.87 1335.61 1336.35 1337.09 1337.83 1337.01 1336.19 1335.37 1334.55 1333.73 1332.91 1332.50

y 0.00 -0.02 -0.14 -0.38 -0.74 -1.22 -1.82 -2.54 -1.82 -1.22 -0.74 -0.38 -0.14 -0.02 0.00

CR 1333.02 1333.38 1334.00 1334.50 1334.88 1335.14 1335.28 1335.30 1335.20 1334.98 1334.64 1334.18 1333.60 1332.90 1332.50

d. Cálculo de Curva 2. El valor de la externa, con pendientes p=-8.2% y q=6.5% y longitud de 150 metros es:

E=

(q − p ).Lv (6.5 − (−8.2)) x150 = = 2.76 800 800

Las abscisas de PCV y PTV son: PCV = PIV – Lv/2 = 370 – 150/2 = 295 PTV = PIV + Lv/2 = 370 + 150/2 =445 Las cotas de estos dos puntos serían:

CV = IV − p (

TV = IV + q(

Lv 150 ) / 100 = 1328.40 ) / 100 = 1322.25 − (−8.2)( 2 2

Lv 150 ) / 100 = 1327.13 ) / 100 = 1322.25 + 6.5( 2 2

Cota Tangente El valor de la cota tangente se calculará para las abscisas ubicadas antes del PIV sumando 0.82 cada 10 metros a partir del PIV y para las abscisas ubicadas luego del PIV se les sumara 0.65 también a partir del PIV:


259

CT360 = 1322.25 + 0.82 = 1323.07 CT350 = 1323.07 + 0.82 = 1323.89 CT340 = 1323.89 + 0.82 = 1324.71 CT330 = 1324.71 + 0.82 = 1325.53 CT320 = 1325.53 + 0.82 = 1326.35 CT310 = 1326.35 + 0.82 = 1327.17 CT300 = 1327.17 + 0.82 = 1327.99 CT380 = 1322.25 + 0.65 = 1322.90 CT390 = 1322.90 + 0.65 = 1323.55 CT400 = 1323.55 + 0.65 = 1324.20 CT410 = 1324.20 + 0.65 = 1324.85 CT420 = 1324.85 + 0.65 = 1325.50 CT430 = 1325.50 + 0.65 = 1326.15 CT440 = 1326.15 + 0.65 = 1326.80 Corrección vertical. La constante para la corrección vertical es:

Ccv =

E 2.76 = 2 = 4.91E − 4 Lv ( ) 2 75 2

Como la curva es simétrica las correcciones a ambos son iguales para distancias iguales. Se tiene entonces que:

y300 = y 440 = 4.91E − 4(300 − 295) 2 = 0.01 y310 = y 430 = 4.91E − 4(310 − 295) 2 = 0.11 y320 = y 420 = 4.91E − 4(320 − 295) 2 = 0.31 y330 = y 410 = 4.91E − 4(330 − 295) 2 = 0.60 y340 = y 400 = 4.91E − 4(340 − 295) 2 = 0.99 y350 = y 390 = 4.91E − 4(350 − 295) 2 = 1.48 y360 = y 380 = 4.91E − 4(380 − 295) 2 = 2.07 La corrección vertical para la abscisa 370 es igual a la externa o sea 2.76 m.

260


Cota Rasante Luego de sumar los valores de cota tangente y corrección vertical para cada una de las estaciones redondas de la curva, se tiene el siguiente cuadro: PUNTO

ABSCISA

CT

Y

CR

PCV

295.00 300.00 310.00 320.00 330.00 340.00 350.00 360.00 370.00 380.00 390.00 400.00 410.00 420.00 430.00 440.00 445.00

1328.40 1327.99 1327.17 1326.35 1325.53 1324.71 1323.89 1323.07 1322.25 1322.90 1323.55 1324.20 1324.85 1325.50 1326.15 1326.80 1327.13

0.00 0.01 0.11 0.31 0.60 0.99 1.48 2.07 2.76 2.07 1.48 0.99 0.60 0.31 0.11 0.01 0.00

1328.40 1328.00 1327.28 1326.66 1326.13 1325.70 1325.37 1325.14 1325.01 1324.97 1325.03 1325.19 1325.45 1325.81 1326.26 1326.81 1327.13

PIV

PTV

Se debe tener en cuenta que si dentro de la curva vertical se encuentra una estación no redonda del alineamiento horizontal (PC, PT, TE, EC, CE, ET) esta debe ser incluido en la tabla y calcular su correspondiente cota rasante. Es bueno aclarar que aunque para el calculo de la cota tangente del PCV, PTV y las estaciones redondas dentro de la curva vertical se han dado algunas ecuaciones, estas no se han numerado dado que en la práctica es más aconsejable no calcular estas cotas fórmulas. Es más recomendable tener claro el concepto y la metodología para el cambio de altura a partir de una distancia y una pendiente. EJERCICIO 10.2 – CALCULO DE COTA MÁXIMA Y SU ABSCISA Hallar la cota máxima y su respectiva abscisa de la Curva 1. Suele suceder que para efectos del diseño de drenaje o para control del gálibo en un paso a desnivel se requiere hallar la cota máxima en una curva convexa y su correspondiente abscisa. En este tipo de cálculo se podría definir una ecuación de modo que se obtuviese directamente el valor de la cota máxima y donde está ubicada, pero a mi juicio, es más práctico realizar el cálculo con una simple relación o regla de tres, partiendo de la propiedad de que a lo largo de la curva vertical el cambio de pendiente es gradual.


261

Es claro que en el punto donde la curva presenta su máximo altura la tangente a dicho punto es cero. Además como el cambio de pendiente a lo largo de la curva es constante se puede decir que: Cambio total de pendiente desde el PCV al PTV = q - p = - 8.2 – 7.4 = -15.6% Distancia en la que se realiza dicho cambio = Lv = 130 Cambio de pendiente desde el PCV al punto de máxima altura = p = 7.4 Distancia en la que se realiza este cambio de pendiente = D1 = Desconocido Se puede entonces plantear la siguiente relación:

Lv D1 = p+q p Se tiene entonces que:

D1 =

p.Lv p+q

Donde D1 es la distancia tomada a partir del PCV. También se puede plantear la misma relación pero tomando la distancia desde el PTV:

Lv D2 = p+q q Por lo tanto:

D2 =

q.Lv p+q

Donde D2 es la distancia tomada desde el PTV. Para el ejemplo se tiene que:

D1 =

p.Lv 7.4 x130 = = 61.67m p+q 15.6

o

D2 =

q.Lv 8.2 x130 = = 68.33 p+q 15.6

262


Se tiene entonces que la abscisa de la cota máxima es: Amax = PCV + D1 = 115 + 61.67 = 176.67, o Amax = PTV – D2 = 245 – 68.33 = 176.67 El valor de la cota máxima se calcula como se calculo el valor de la rasante para cualquiera de las estaciones redondas ubicadas dentro de la curva. La cota tangente se calculará a partir de la cota del PCV: CTmax = CV + p.D1/100 = 1333.02 + 7.4 x 61.67 /100 = 1337.58 Se pudo haber calculado desde cualquier otra abscisa pero que estuviese sobre la misma tangente. Como la abscisa de cota máxima se encuentra antes del PIV, su corrección vertical se debe calcular desde el PCV: 2

ymax

 D1   = −2.54( 61.67 ) 2 = −2.28 = E  Lv  65  2

Por último la cota rasante será:

CRmax = CTmax + y max = 1337.58 − 2.28 = 1335.30 EJERCICIO 10.3 – CALCULO DE PENDIENTE EN UN PUNTO DE LA CURVA Hallar la pendiente longitudinal de la vía en la abscisa K0+200. Si se requiere hallar la pendiente en un punto cualquiera dentro de la curva vertical también se puede realizar su cálculo por una relación proporcional. Se plantea entonces lo siguiente: Cambio total de pendiente desde el PCV al PTV = p + q = 7.4 + 8.2 = 15.6% Distancia en la que se realiza dicho cambio = Lv = 130 Cambio de pendiente desde el PCV al punto en cuestión = ∆p = Desconocido Distancia en la que se realiza este cambio de pendiente = D1 = 200 – 115 = 85 Se tiene entonces que:

Lv D1 = p + q ∆p Por lo tanto:


∆p =

263

D1( p + q) 85 x15.6 = = 10.2% Lv 130

Quiere decir que desde el PCV a la abscisa K0+200 la pendiente ha cambiado en 10.2%. Como la pendiente en el PCV es de 7.4 y su variación es negativa desde este punto entonces la pendiente en la abscisa K0+200 es: P200 = 7.4 – 10.2 = -2.8% EJERCICIO 10.4 – CÁLCULO DE COTA MÍNIMA Y SU ABSCISA Se pide calcular la cota mínima y su respectiva abscisa en la Curva 2. Al igual que en el Ejercicio 10.2, este cálculo se requiere para el diseño del drenaje o para el control del gálibo en un paso a desnivel. El procedimiento es similar al realizado para el cálculo de la cota máxima, por lo tanto se puede plantear una relación a partir de los siguientes datos: Cambio total de pendiente desde el PCV al PTV = q - p= 6.5 – (- 8.2) = 14.7% Distancia en la que se realiza dicho cambio = Lv = 150 Cambio de pendiente desde el PCV al punto de mínima altura = p = 8.2 Distancia en la que se realiza este cambio de pendiente = D1 = Desconocido La relación es la siguiente:

Lv D1 = p+q p Por lo tanto:

D1 =

p.Lv 8.2 x150 = = 83.67 p+q 14.7

Donde D1 es la distancia tomada a partir del PCV. O también:

D2 =

q.Lv 6.5 x150 = = 66.33 p+q 14.7

Donde D2 es la distancia tomada desde el PTV. Se tiene entonces que la abscisa de la cota máxima es: Amax = PCV + D1 =295 +83.67 =378.67, Amax = PTV – D2 =445 – 66.33 = 378.67

o

264


Se puede observar que la abscisa está ubicada entre el PIV y el PTV por lo tanto el valor de la cota tangente se puede calcular desde el PTV con la distancia D2. CTmax = TV - q.D2/100 = 1327.13 – 6.5 x 66.33/100 = 1322.81 La corrección vertical es: 2

y max

 D2   = 2.76( 66.33 ) 2 = 2.16 = E   Lv 75   2

Por último la cota rasante será:

CRmax = CTmax + y max = 1322.81 + 2.16 = 1324.97 EJERCICIO 10.5 – CÁLCULO DE CURVA VERTICAL ASIMÉTRICA Se tienen los siguientes datos de una curva vertical cóncava: PIV = K0+890 IV = 1228.52 Abscisa PTV anterior = K0+840 Cota PTV anterior = 1231.32 Abscisa PIV siguiente = K1+100 Cota PIV siguiente = 1241.54 Si la velocidad de diseño es de 50 Km/h calcular la curva vertical ubicada en el PIV K0+890 a. Cálculo de pendientes

p=

1228.52 − 1231.32 x100 = −5.6% 890 − 840

q=

1241.54 − 1228.52 x100 = 6.2% 1100 − 890

b. Cálculo de longitud Como se trata de una vía cóncava y la velocidad de diseño es de 50 Km/h el valor de K es 10. La diferencia algebraica de pendientes es: A = 6.2 – (–5.6) =11.8 La longitud requerida sería: L = KA = 10 x 11.8 = 118.0


265

Se toma una longitud de 120.0 metros, pero se puede observar que desde el PTV de la curva anterior al PIV solo se tiene una distancia de 50 metros por lo que no es posible considerar una curva simétrica. Este inconveniente tiene dos soluciones: • Modificar la rasante de modo que haya una mayor disponibilidad de tangente para la curva o que se disminuyan las pendientes y por ende se requiera una menor longitud de curva. Esta solución, además de requerir modificar la rasante y algunas de las curvas ya diseñadas, puede que la nueva rasante no se ajuste a las condiciones topográficas. • Considerar una curva asimétrica, siempre y cuando la diferencia entre Lv1 y Lv2 no sea considerable. Está solución es la más práctica ya que además de no requerir modificar la rasante se puede cumplir con la longitud mínima requerida. Para el ejemplo considerado se optará por la segunda solución, es decir una curva vertical asimétrica con longitudes de 50 y 70 metros. Lv1 = 50 Lv2 = 70 c. Cálculo de externa. Como la curva es asimétrica se emplea la Ecuación (10 – 4):

E=

Lv1.Lv 2(q − p) 50 x70 x[6.2 − (−5.6)] = = 1.72 200 Lv 200 x120

d. Cálculo de abscisas y cotas de PCV y PTV La abscisa y cota del PCV ya se conoce por lo tanto solo es necesario hallar la abscisa y cota del PTV. El punto del PCV corresponde al punto del PTV de la curva anterior. PCV = K0+840 CV = 1231.32 PTV = PIV + Lv2 = 890 + 70 = 960

TV = IV + q(

Lv 6.2 x70 = 1232.86 ) / 100 = 1228.52 + 2 100

e. Cálculo de cota tangente Si desde el PIV hacia el PCV se suma 0.56 cada 10 metros y hacia el PTV se suma 0.62, también cada 10 metros, se obtiene la cota tangente para todas las estaciones redondas ubicadas dentro de la curva.

266


La siguiente tabla presenta los valores de la cota tangente para la curva cuyo esquema se presenta en la Figura 10.10.

PUNTO PCV

PIV

PTV

ABSCISA 840.00 850.00 860.00 870.00 880.00 890.00 900.00 910.00 920.00 930.00 940.00 950.00 960.00

CT 1231.32 1230.76 1230.20 1229.64 1229.08 1228.52 1229.14 1229.76 1230.38 1231.00 1231.62 1232.24 1232.86

FIGURA 10.10 – ESQUEMA EJERCICIO 10.5


267

f. Cálculo de corrección vertical Para la curva asimétrica se tienen correcciones verticales diferentes para los dos tramos de curva. Para la primera longitud, entre PCV y PIV la corrección vertical esta dada por: 2

 x1   x1  y1 = E   = 1.72    Lv1   50 

2

También se puede definir una constante para este primer tramo:

Ccv1 =

E 1.72 = 2 = 6.88E − 4 2 ( Lv1) 50

Se tiene entonces que:

y850 = 6.88E − 4(850 − 840) 2 = 0.07 y860 = 6.88E − 4(860 − 840) 2 = 0.28 y870 = 6.88E − 4(870 − 840) 2 = 0.62 y880 = 6.88E − 4(880 − 840) 2 = 1.10 Para el tramo de curva entre PIV y PTV la corrección vertical es: 2

 x2   x1  y 2 = E  = 1.72   Lv 2   70 

2

Y la constante:

Ccv 2 =

E 1.72 = 2 = 3.51E − 4 2 ( Lv 2) 70

Las correcciones son:

y900 = 3.51E − 4(960 − 900) 2 = 1.26 y910 = 3.51E − 4(960 − 910) 2 = 0.88 y920 = 3.51E − 4(960 − 920) 2 = 0.56 y930 = 3.51E − 4(960 − 930) 2 = 0.32 y940 = 3.51E − 4(960 − 940) 2 = 0.14 y950 = 3.51E − 4(960 − 950) 2 = 0.04 g. Cálculo de cota rasante

268


La cota rasante, obtenida con la suma de cota tangente y corrección vertical, se presenta el la siguiente tabla:

PUNTO PCV

PIV

PTV

ABSCISA 840.00 850.00 860.00 870.00 880.00 890.00 900.00 910.00 920.00 930.00 940.00 950.00 960.00

CT 1231.32 1230.76 1230.20 1229.64 1229.08 1228.52 1229.14 1229.76 1230.38 1231.00 1231.62 1232.24 1232.86

Y 0.00 0.07 0.28 0.62 1.10 1.72 1.26 0.88 0.56 0.32 0.14 0.04 0.00

CR 1231.32 1230.83 1230.48 1230.26 1230.18 1230.24 1230.40 1230.64 1230.94 1231.32 1231.76 1232.28 1232.86

EJERCICIO 10.6 – CÁLCULO DE COTA MÍNIMA EN CURVA VERTICAL ASIMÉTRICA Hallar la cota mínima y su correspondiente abscisa en la curva del ejercicio anterior. El procedimiento para calcular la cota mínima o máxima en una curva vertical asimétrica no es el mismo que se realiza cuando la curva es simétrica. Esto se debe a que una curva vertical asimétrica realmente corresponde a una curva compuesta, es decir, conformada por dos curvas simétricas que se unen en la abscisa correspondiente al PIV. Quiere decir lo anterior que el cambio de pendiente no es constante a lo largo de toda la curva, siendo necesario hallar la pendiente intermedia y así poder determinar cual es la rata de cambio para el primer tramo y cual para el segundo tramo. Para indicar cual es el procedimiento a seguir se toma la Figura 10.11 en la cual aparece la curva asimétrica del ejercicio anterior. Como cada tramo de curva, Lv1 y Lv2, corresponde a una curva vertical simétrica entonces el PIV de cada una de estas está ubicado en la mitad de cada tramo. Se tiene entonces que: PIVa = PCV + Lv1/2 = 840 + 50/2 = 865 PIVb = PTV – Lv2/2 = 960 – 70/2 = 925 Las cotas de estos dos puntos son:


IVa = IV + p (

269

Lv1 5.6 x 25 ) / 100 = 1228.52 + = 1229.92 2 100

O también se pueden hallar simplemente hallando la semi-suma de las cotas del PIV y PCV o PIV y PTV

IVb =

IV + TV 1228.52 + 1232.86 = = 1230.69 2 2

La distancia entre PIVa y PIVb es igual a:

PIVa − PIVb =

Lv1 Lv 2 + = 25 + 35 = 60 2 2

O simplemente igual a la mitad de la longitud total de la curva. Ahora se puede hallar la pendiente entre PIVa y PIVb:

Pab =

1230.39 − 1229.92 x100 = 1.28% 60

La línea que une los puntos PIVa y PIVb presenta una pendiente de 1.28% y es tangente a la curva en la abscisa del PIV.


270


De acuerdo a la figura y al valor obtenido se deduce que el punto de cota mínima se encuentra en la primera curva ya que a lo largo de su longitud pasa de una pendiente negativa, -5.6%, a una positiva, +1.28%. Para hallar ahora el punto de cota mínima se considera solo la primera curva y se procede de manera similar como en una curva vertical simétrica. Se tiene entonces el siguiente planteamiento: Cambio total de pendiente desde el PCV al PIV = pa-b - p = 1.28 – (-5.6) = 6.88% Distancia en la que se realiza dicho cambio = Lv1 =50 Cambio de pendiente desde el PCV al punto de mínima altura = p = 5.6 Distancia en la que se realiza este cambio de pendiente = D1 = Desconocido Por lo tanto:

D1 =

5.6 x50 = 40.70 6.88

Donde D1 es la distancia tomada a partir del PCV. O también:

D2 =

1.28 x50 = 9.30 6.88

Donde D2 es la distancia tomada desde el PIV. Se tiene entonces que la abscisa de la cota máxima es: Amax = PCV + D1 =840+40.70 = 880.70 La abscisa de cota mínima se encuentra entre el PIVa y el PIV a una distancia del primero igual a: D3 = 25 – 9.30 = 15.7 Por lo tanto la cota tangente de esta es: CTmax = IVa + pa-b.D3/100 = 1229.92 +1.28 x 15.7/100 =1230.12 La corrección vertical, calculada desde el PIV, se puede hallar con la Ecuación (10 – 3) con el fin de no hallar la externa:

y max = (

A 6.88 )x2 = ( )(9.3) 2 = 0.06 200 Lv 200 x50


271

Por último, la cota rasante será:

CRmax = CTmax + y max = 1230.12 + 0.06 = 1230.18 EJERCICIO 10.7 – CÁLCULO DE CURVA QUE PASA POR PUNTO OBLIGADO Se tiene una curva vertical convexa con los siguientes datos: PIV = K1+100 IV = 1125.23 p = +5.0% q = -4.0% La rasante de esta curva debe ser tal que en la abscisa K1+110, es decir 10 metros adelante del PIV, su cota sea de 1124.32 para poder cumplir con el gálibo sobre una vía inferior. Se pide, a partir de los datos suministrados y de la Figura 10.12, hallar la longitud de curva vertical simétrica de modo que se cumpla con las condiciones exigidas.

FIGURA 10.12 – ESQUEMA EJERCICIO 10.7 Inicialmente se obtiene la cota tangente en la abscisa K1+110.

CT110 = 1125.23 − 4 x10 / 100 = 1124.83 Con este valor de la cota tangente y el de la cota rasante se puede obtener el valor de la corrección vertical para la abscisa K1+110:

272


CR = CT + y y 110 = CR – CT = 1124.32 – 1124.83 = -0.51 Empleando la Ecuación (10 – 3) se tiene que:

y=(

A )x 2 200 Lv

Donde: y = -0.51 A = -4 – 5 = -9 x = Lv/2 –10 Reemplazando los valores anteriores se tiene la siguiente ecuación:

− 0.51 = (

Lv −9 )( − 10) 2 200 Lv 2

Organizando la ecuación:

3Lv 2 − 256 Lv + 1200 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática se tiene que: Lv1 = 4.98 Lv2 = 80.35 El primer valor no es posible ya que ni siquiera alcanza los 10 metros, por lo tanto el valor que cumple para las condiciones dadas es: Lv = 80.35 m EJERCICIO 10.8 – CÁLCULO DE CURVA CON PUNTO DE MÍNIMA OBLIGADO Se tiene una curva vertical cóncava con los siguientes datos: p = -4.5% q = +8.0% Se pide hallar la longitud de la curva de modo que la abscisa de cota mínima se encuentre a 14 metros horizontales antes del PIV. Se plantea lo siguiente: Cambio total de pendiente desde el PCV al PTV = q - p =8 – (– 4.5) = 12.5% Distancia en la que se realiza dicho cambio = Lv = Desconocido Cambio de pendiente desde el PCV al punto de mínima altura = p = 4.5%


Distancia en la que se realiza este cambio de pendiente = D1 = Lv/2 – 14 Se plantea entonces la siguiente relación:

Lv D1 = p+q p Por lo tanto:

D1 =

(

p.Lv p+q

Lv 4.5.Lv − 14) = 2 12.5


12.5(

Lv − 14) = 4.5 Lv 2

6.25 Lv − 175 = 4.5 Lv 1.75 Lv = 175 Finalmente:

273

274


Lv = 100.0 m EJERCICIO 10.9 – CÁLCULO DE CURVA VERTICAL SIMÉTRICA DESDE PCV Es bueno considerar que la rasante de una curva vertical puede ser calculada completamente a partir del PCV o del PTV, es decir, tanto la cota tangente y la corrección vertical puede ser obtenida con distancias tomadas solo desde una de los extremos de la curva. Con el fin de comparar los dos métodos y comprender de una mejor manera el segundo, se considerará la curva vertical convexa del Ejercicio 10.1. Los datos de esta curva son: PIV = K0+180 IV = 1337.83 p = +7.4% q = -8.2% Lv = 130.0 E = -2.54 La cota tangente y corrección vertical para las estaciones redondas ubicadas entre el PCV y el PIV se calculan de igual manera por lo que solo se calcularan en este segundo método la rasante del segundo tramo de la curva. Para esto se considera la Figura 10.14



275

El método consiste en hallar la cota tangente para las abscisas entre PIV y PTV sobre la prolongación de la primera tangente y el valor de la corrección vertical con la distancia tomada siempre desde el PCV. Al final al sumar el valor de la cota tangente sobre la prolongación y el valor de la corrección vertical para dicha prolongación se obtiene el valor de la cota rasante. La cota tangente para la abscisa 190 calculada desde el PIV y con la pendiente inicial es: CT190 = 1337.83 + 10x7.4/100 = 1338.57 Con el primer método se obtuvo un valor de 1337.01 para la misma abscisa Ahora se calcula el valor de la corrección vertical pero desde el PCV: 2

 (190 − 115)  y190 = −2.54  = −3.38 65   Con el primer método se obtuvo para la misma abscisa una corrección vertical de –1.82. El valor de la cota rasante será: CR = CT + y = 1338.57 – 3.38 = 1335.19 Que es igual al obtenido inicialmente por el mismo método. Se presentan algunas diferencias debido a las aproximaciones consideradas. El cuadro de datos para el resto de estaciones redondas, incluyendo la cota máxima y teniendo en cuenta todos los decimales, se presenta a continuación: PUNTO PCV

PIV

ABSCISA 115.00 120.00 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 176.67 180.00 190.00 200.00 210.00 220.00

CT 1333.02 1333.39 1334.13 1334.87 1335.61 1336.35 1337.09 1337.58 1337.83 1338.57 1339.31 1340.05 1340.79

y 0.00 -0.02 -0.14 -0.38 -0.74 -1.22 -1.82 -2.28 -2.54 -3.38 -4.34 -5.42 -6.62

CR 1333.02 1333.38 1334.00 1334.50 1334.88 1335.14 1335.28 1335.30 1335.30 1335.20 1334.98 1334.64 1334.18

276


PTV

230.00 240.00 245.00

1341.53 1342.27 1342.64

-7.94 -9.38 -10.14

1333.60 1332.90 1332.50

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