Transformasi Geometri-bab 6 6v6d4b
This document was ed by and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this report form. Report l4457
Overview 6h3y3j
& View Transformasi Geometri-bab 6 as PDF for free.
More details h6z72
- Words: 8,962
- Pages: 30
B A B
Transformasi Geometri
6 A.
Translasi
B.
Refleksi
C.
Rotasi
D.
Dilatasi
E.
Komposisi Transformasi dengan Matriks
Sumber: www.geocities.com
Pantograf adalah alat untuk menggambar ulang suatu gambar dengan cara membesarkan dan mengecilkan gambar tersebut. Dengan menggunakan pantograf, Miko Sagala menggambar peta Pulau Sulawesi. Gambar peta yang dibuatnya memiliki bentuk yang sama dengan peta Pulau Sulawesi sesungguhnya dengan ukuran lebih besar. Dengan menggunakan pantograf ini, Miko Sagala telah mendilatasi peta sesungguhnya. Agar kalian lebih paham tentang dilatasi, pelajarilah bab berikut.
131 Bab 6 Transformasi Geometri
A. Translasi Minggu lalu, Niko Sentera duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Ucok. Ucok sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Martina.
Sumber: smpstece1yk.tripod.com
Gambar 6.1 Niko Sentera dan kawan-kawan sedang belajar
Perhatikan perpindahan tempat duduk Niko Sentera dan Ucok ini. Hendra
Anah
Irma
Mega
Ganjar
Nunu
Ucok
Riska
Samuel
Gusti
Albert
Rajasa
Bagas
Damai
Boy
Fadel
Katon
Agus
2
Bani
Asep 1
Feri
Ucok
Erika
Utut
Nugi
Martina
Bambang
Oci 2
Mahmud
Andre
Jerisa
Tino
Tia
Pasha
Esti 2
Niko Sentera
Lajur
Baris
Guru
Gambar 6.2 Perpindahan tempat duduk Niko Sentra dan Ucok
i Niko Sentera berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Niko Sentera telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri 2 dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai §¨ ·¸ . © 2¹ i Kemudian, Ucok berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Ucok telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 § 2 · satuan ke bawah yang ditulis sebagai ¨ ¸ . © 1 ¹ i Misalkan, tempat duduk Niko Sentera minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. 132
132
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
§ 2 · Dengan translasi ¨ ¸ , diketahui tempat duduknya minggu ini pada titik © 2¹ Nc(a 2, b 2). y b2
§ 2 · ¨ 2¸ © ¹ b
N(a, b)
2
a
O a2
x
Gambar 6.3 2 Translasi 2 titik N pada koordinat Cartesius
Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut
N(a, b)
§ 2 · ¨ 2¸ © ¹
N c (a 2, b 2)
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 maka diperoleh bayangannya P’(a h, b k).
§h· ¨ k ¸, © ¹
Secara matematis, ditulis sebagai berikut. T1 P(a, b)
§h· ¨k¸ © ¹
Pc(a h, b k)
Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan T2
§l · ¨ m ¸ . Didapat, © ¹
T2
Pc(a h, b k)
§l · ¨m¸ © ¹
P cc (a h l, b k m)
Perhatikan bahwa Pcc(a h l, b k m) Pcc(a (h l), b (k m)). Ini berarti, Pcc(a h l, b k m) diperoleh dengan mentranslasikan P(a, b) §h l · ¨ k m¸. © ¹ Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis sebagai T2 D T1.
dengan T
Oleh karena T1
§h· ¨ k ¸ dan T2 © ¹
§l · ¨ m ¸ , maka T2 D T1 © ¹
§h l · ¨ k m¸ © ¹ 133
Bab 6 Transformasi Geometri
Akibatnya, titik P(a, b) ditranslasikan dengan T 1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan P cc sebagai berikut. §h l · ¨ k m¸ © ¹ Pcc(a h l, b k m)
T2 D T1 P(a, b)
Contoh 1. Translasi T1
§ p· ¨q ¸ © ¹
memetakan titik A(1, 2) ke Ac(4, 6).
a. Tentukan translasi tersebut. b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan T2
§ 1 · ¨ 1 ¸ . © ¹
Tentukan bayangannya.
d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 D T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c? Jawab: a. A(1, 2) Diperoleh 1 p 2q
T1
§ p· ¨q ¸ © ¹
Ac(1 p, 2 q)
4. Sehingga, p 6. Didapat, q
Jadi, translasi tersebut adalah T1
Ac(4, 6)
3 4
§3· ¨4¸ © ¹
§3· ¨ 4 ¸ , artinya memindahkan suatu titik 3 satuan © ¹ ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik Ac, Bc, dan C c dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian
b. Translasi T1
memperoleh segitiga Ac BcC c sebagai berikut. T1 A(1, 2) B(3, 4) C(5, 6)
§3· ¨4¸ © ¹
Ac(1 3, 2 4) Ac(4, 6) Bc(3 3, 4 4) Bc(6, 8) Cc(5 3, 6 4) C c(2, 10)
Jadi, bayangan segitiga ABC adalah segitiga A’B’C’ dengan titik Ac 4, 6 , Bc 6, 8 , dan C c 2, 10 .
134
134
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
c.
§ 1 · ¨ ¸ © 1 ¹
T2
Ac 4,
Acc 4 1 , 6 1 Acc 3, 5
Bcc 6 1 , 8 1
Bc 6, 8
Bcc 5, 7
C cc 2 1 , 10 1
C c 2,
C cc 3,
Jadi, bayangan segitiga AcBcCc adalah segitiga Acc Bcc C cc dengan titik Acc 3, 5 , Bcc 5, 7 , dan C cc 3, 9 . d. Translasi T2 D T1
§ 3 ( 1) · ¨ ¸ © 4 ( 1) ¹
§2· ¨3¸ © ¹
Bayangan segitiga ABC dengan translasi T2 D T1 adalah sebagai berikut.
A(1, 2)
T2 D T1
§2· ¨3¸ © ¹
Acc 1 2, 2 + 3
Acc 3, 5
Bcc 3 2, 4+3 Bcc 5, 7 C cc 5 2, 6 + 3 C cc 3, 9
B(3, 4) C(5, 6)
Jadi, bayangan segitiga ABC dengan translasi T2 D T1 adalah segitiga AccBccC cc dengan titik Acc 3, 5 , Bcc 5, 7 , dan C cc 3, 9 .
Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d. 2. Tentukanlah bayangan lingkaran (x 3) 2 (y 1) 2 ditranslasikan oleh T
4 jika
§ 5 · ¨ 2¸ . © ¹
Jawab: Ambil sebarang titik P(a, b) pada (x 3)2 (y 1)2 4, sehingga (a 3)2 (b 1)2 4 . . . (*) § 5 · Translasikan titik P dengan T ¨ 2 ¸ sehingga kalian memperoleh © ¹
titik P(a, b)
§ 5 · ¨ 2¸ © ¹
P c a 5 , b 2
Pc a 5, b 2
Jadi, titik Pc a 5, b 2 . Perhatikan bahwa: ac a 5. Dari persamaan (*), didapat a
ac 5.
bc b 2. Dari persamaan (*), didapat b
bc 2.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan diperoleh
135 Bab 6 Transformasi Geometri
(( ac 5) 3)2 (( bc 2) 1)2
4
( ac 2) ( bc 1) 4 2 Jadi, bayangan lingkaran (x 3) (y 1)2 oleh 2
T
Asah Kompetensi
2
§ 5 · 2 2 ¨ 2 ¸ adalah (x 2) (y 1) © ¹
4 jika ditranslasikan
4.
1
1. Tentukanlah translasi yang sesuai untuk pemetaan berikut! a. Titik A(3, 9 ) ditranslasikan dengan T1 menghasilkan Ac 9, 3 b. Titik B(2, 6) ditranslasikan dengan T2 menghasilkan Bc 6, 3 c. Titik C(4, 7) ditranslasikan dengan T3 menghasilkan C c 4, 0 d. Titik D(3, 9) ditranslasikan dengan T4 menghasilkan Dc 3, 9 2. Perhatikan bidang koordinat berikut! y
7 6 5 4 A 3 2 1
D C
B
x
a. Tarik garis dari titik A ke B, B ke C, C ke D, dan D ke A. Bangun apakah yang kalian peroleh? b. Tentukanlah keliling dan luas bangun ABCD tersebut! § 3 · c. Tentukanlah bayangan bangun ABCD dengan translasi T ¨ 6 ¸ . Bangun apakah © ¹ yang kalian peroleh? Kongruenkah dengan bangun ABCD? d. Tentukanlah keliling dan luas bangun hasil translasi ini! 3. Diketahui titik P(2, 3). a. Gambarlah segitiga siku-siku PQR yang memiliki luas enam petak satuan! b. Tentukanlah koordinat titik Q dan R! c. Tentukanlah keliling dan luas segitiga tersebut!
136
136
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
e. Tentukanlah bayangan segitiga PQR dengan translasi T f.
kalian peroleh? Kongruenkah dengan segitiga PQR? Tentukanlah keliling dan luas bangun hasil translasi!
4. Tentukan bayangan kurva berikut a. Garis 3x 2y 3 b. Parabola y c.
0 ditranslasikan oleh T
x2 1 ditranslasikan oleh T1
Lingkaran x2 y2 4x 6
5. Bayangan garis y
§1· ¨2¸ © ¹ § 3· ¨ 2 ¸ dilanjutkan oleh T2 © ¹
0 ditranslasikan oleh T2
2 x oleh translasi T1
§ 0· ¨ 3 ¸ . Bangun apakah yang © ¹
§ 4 · ¨ 3¸ © ¹
§ 2· ¨ 3 ¸ dilanjutkan oleh T1 © ¹
§ a · dilanjutkan oleh T ¨ ¸ 2 ©b¹
§ 1 · ¨ 1 ¸ © ¹
§ 6· ¨ b ¸ adalah y © ¹
x.
Tentukan translasi T1 dan T2 tersebut. §a· 6. Bayangan lingkaran (x 2)2 (y 3)2 1 oleh translasi T ¨ ¸ adalah (x 3)2 (y 1)2 ©b¹
1.
Tentukanlah nilai a b
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 y2
36 yang ditarik dari titik
§ 5· (8, 0). Jika lingkaran tersebut ditranslasikan oleh ¨ ¸ , tentukan persamaan bayangannya. © 3¹ Tentukan pula persamaan garis singgung setelah ditranslasikan!
137 Bab 6 Transformasi Geometri
GaMeMath Suatu malam, Dimas bermimpi sangat aneh. Dalam mimpinya, ia berlibur ke Surabaya. Ia berangkat ke Surabaya naik pesawat. Ketika tiba di bandara, ia merasa heran karena bandara tersebut adalah Halim Perdana Kusumah. Dalam hati, ia pun bertanya-tanya, “Di kota mana sebenarnya aku ini?” Jika dalam mimpi Dimas terjadi perpindahan letak bandara Halim Perdana Kusumah, tentukan translasi yang memindahkan bandara tersebut ke Surabaya. Untuk membantu menjawab tekateki mimpi Dimas, kalian dapat mengamati peta berikut!
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
1 2 3
4
B. Soekarno-Hatta Jakarta 4 B. Halim Perdana Kusumah
4 5
4 B. Ahmad Yani
Semarang Bandung
4
4 B. Husein Sastranegara
6
Yogyakarta 4 B. Adi Sucipto
7
Surabaya
B. Juanda
8 Sumber: Atlas Indonesia dan Dunia Gambar 6.4 Peta pulau jawa
B. Refleksi Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan. Sekarang, perhatikan lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu-y berikut ini.
138
138
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
y Pc
P B
Qc
A
Q x
O
Gambar 6.5 Lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu–y.
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa: •
Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Qc .
•
Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap
QcA dan PB P cB . • Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku. Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.
titik bayangannya ke cermin, yaitu QA
Dengan menggunakan sifat-sifat ini, kalian dapat menentukan bayangan sebuah titik yang dicerminkan terhadap suatu garis atau terhadap suatu titik lain. Perhatikan gambar berikut! y
H(a, 2k b)
2k b k
y x
a C(a, b)
a
D(b, a) A(a, b)
b
b
O
b
b
E( b, a)
a
2h a
h
x
B(a, b)
a
y Gambar 6.6 Bayangan sebuah titik yang dicerminkan terhadap garis atau titik lainnya
Dari gambar tampak bahwa: • Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan titik B(ac, bc) dengan ac a dan bc b. B(a, b)
A(a, b) ac
a Ÿ ac
1 ˜ a 0 ˜ b, bc
b Ÿ bc
0˜a1˜b
b O b
A(a, b) x
a B(a, b)
Gambar 6.7 Pencerminan titik A terhadap sumbu-x 139
Bab 6 Transformasi Geometri
§1 0· Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ ¸ , sehingga © 0 1¹ § ac · § 1 0 · § a · B ¨ bc ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ b ¸ ¹ © ¹ © ¹ ©
•
y
b
C(a, b)
a O
Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-y menghasilkan bayangan titik Cac, bc) dengan ac a dan bc b.
A(a, b)
Sumbu-y x
a
A(a, b) ac a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b bc b Ÿ bc 0 ˜a 1 ˜b
Gambar 6.8 Pencerminan titik A terhadap sumbu-y
§ 1 Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ © 0
C •
y a
D(b, a)
y
b
a
E(b, a) a
x y
x
Gambar 6.10 Pencerminan titik A terhadap garis y x
D(b, a)
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y titik E(ac, bc) dengan ac b dan bc a.
A(a, b) a
x
§ 0 1· Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ ¸ , sehingga ©1 0¹ § ac · § 0 1 · § a · D ¨ bc ¸ ¨ 1 0 ¸ ¨ b ¸ ¹© ¹ © ¹ ©
•
b
x menghasilkan bayangan
ac b Ÿ ac 0 ˜a 1 ˜b bc a Ÿ bc 1 ˜a 0 ˜b
y
O
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y titik D(ac, bc) dengan ac b dan bc a.
A(a, b)
x
0· , sehingga 1 ¸¹
§ 1 0 · § a · ¨ ¸¨ ¸ © 0 1¹ © b ¹
Garis y x
Gambar 6.9 Pencerminan titik A terhadap garis y x
b
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
A(a, b)
b O
C(a, b)
Garis y A(a, b)
x menghasilkan bayangan
x E(b, a)
ac b Ÿ ac 0 ˜a 1 ˜b bc a Ÿ bc 1 ˜a 0 ˜b § 0 1· Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ ¸ , sehingga © 1 0 ¹ § ac · § 0 1 · § a · E ¨ b c ¸ ¨ 1 0 ¸ ¨ b ¸ ¹© ¹ © ¹©
140
140
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
•
A(a, b)
O(0, 0) Titik asal
F(a, b)
§ 1 0 · Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ 0 1 ¸ , sehingga © ¹ § a c · § 1 0 · § a · F ¨ bc ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ b ¸ ¹© ¹ © ¹ ©
A (a, b)
h
G (2h a, b)
Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut. G
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ 1 ¨ 0 ©
x
a
O
Gambar 6.11 Pencerminan titik A terhadap titik asal
y
b
ac 2h a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b) 2h bc b Ÿ bc (0 ˜a 1 ˜b) 0
•
a
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x h menghasilkan bayangan titik G(ac, bc) dengan ac 2h a dan bc b. Garis x
A(a, b)
b
b F(a, b)
ac a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b bc b Ÿ bc 0 ˜a 1 ˜b
•
y
Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(ac, bc) dengan ac a dan bc b.
x
h
A(a, b) G(2h a, b)
O
a
x
2h a
Gambar 6.12 Pencerminan titik A terhadap garis x h
0 · § a · § 2h · 1 ¸¹ ¨© b ¸¹ ¨© 0 ¸¹
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y titik H(ac, bc) dengan ac a dan bc 2k b.
k menghasilkan bayangan
y 2k b
H(a, 2k b) y
Garis y A(a, b)
b
k H(a, 2k b)
ac a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b) 0 bc 2k b Ÿ bc (0 ˜a 1 ˜b) 2k Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut. H
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
O
k
A(a, b) x
a
Gambar 6.13 Pencerminan titik A terhadap garis y k
§1 0 · § a· § 0 · ¨ 0 1¸ ¨ b ¸ ¨ 2k ¸ © ¹© ¹ © ¹
Bagaimana jika dua refleksi dikomposisikan? Misalnya, titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis x h. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x k. Untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut! 141 Bab 6 Transformasi Geometri
y Accc 2 h a , 2m b
y
m
O
Ac (2h a, b) Acc (2( k h ) a , b)
A(a, b)
b
m
a
h x
h
x
k x
k
Gambar 6.14 Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x = h dan x = k
Dari gambar, tampak bahwa: Garis x h Garis x k A(a, b) Ac (2h a, b) Acc (2(k h) a, b) Dengan cara yang sama, kalian dapat menentukan bayangan titik A(a, b) yang dicerminkan terhadap garis y m, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y n sebagai berikut. Garis y m Garis y n A(a, b) (a, 2m b) c A Acc (a, 2(n m) b) Sekarang, jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap dua garis yang saling berpotongan tegak lurus, misalnya pencerminan terhadap garis x h, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y m. Diperoleh bayangan Accc sebagai berikut.
Garis x A(a, b)
h
Ac(2h a, b)
Garis y
m
Accc (2h a, 2m b)
Contoh 1. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan titik sudut A(2, 4), B(0, 5), C(3, 2), dan D(1, 11) jika a. dicerminkan terhadap sumbu-x b. dicerminkan terhadap sumbu-y c.
dicerminkan terhadap sumbu-x. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y
d. dicerminkan terhadap sumbu-y. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x. 142
142
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jawab: a. Pencerminan terhadap sumbu-x
§ x1c x2c x3c x 4c · ¨ ¸ ¨ y1c y 2c y 3c y 4c ¸ © ¹
§1 ¨ ©0
0 · § 2 1 ¹¸ ©¨ 4
0 5
3 2
1· 11 ¹¸
0 3 1· § 2 ¨ 4 5 2 11 ¸¹ © Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-x adalah jajargenjang AcBcC cDc dengan titik sudut Ac 2, 4 , Bc 0, 5 , C c 3, 2 , dan Dc 1, 11 . b. Pencerminan terhadap sumbu-y § x1c x2c x3c x 4c · § 1 0 · § 2 ¨ ¸ ¨ 1 ¸¹ ¨© 4 ¨ y1c y 2c y 3c y 4c ¸ © 0 © ¹
0 5
3 2
1· 11 ¸¹
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-y adalah jajargenjang A’B’C’D’ dengan titik sudut Ac 2, 4 , Bc 0, 5 , C c 3, 2 , dan Dc 1, 11 . c.
Pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y. Pada jawaban a, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang ABCD yang dicerminkan terhadap sumbu-x. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-y sehingga diperoleh
§ x cc x cc x cc x cc · ¨ 1 2 3 4 ¸ ¨ cc cc cc cc ¸ © y1 y2 y3 y4 ¹
§ 1 ¨ © 0 § 2 ¨ 4 ©
0 ·§ 2 0 3 1 · ¸¨ 4 5 2 1 ¸ 1 ¹© ¹ 0 3 1 · 5 2 11 ¸¹
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y adalah jajargenjang Acc Bcc C cc Dcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, 5 , C cc 3, 2 , dan Dcc 1, 11 . Bayangan jajargenjang ABCD ini dapat pula kalian tentukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y sebagai berikut. § x cc x2cc x3cc x4cc · 0 3 1· § 1 0 · § 1 0 · § 2 ¨ 1 ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ 4 5 2 11 ¸ ¨ cc ¹© cc cc cc ¸ © ¹© ¹ © y1 y 2 y 3 y 4 ¹ 3 1· § 1 0 · § 2 0 ¨ 0 1 ¸ ¨ 4 5 2 1 ¸ © ¹© ¹
§ 2 0 3 1· ¨ ¸ © 4 5 2 11 ¹ 143 Bab 6 Transformasi Geometri
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu–y adalah jajargenjang AccBccC ccDcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, , C cc 3, , dan Dcc 1, . d. Pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x. Pada jawaban b, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang ABCD yang dicerminkan terhadap sumbu-y. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-x sehingga diperoleh
§ x cc x cc x cc x cc · 2 3 4 ¨ 1 ¸ ¨ y cc y cc y cc y cc ¸ 2 3 4 ¹ © 1
§ 1 ¨ 0 ©
0 · § 2 1 ¸¹ ¨© 4
§ 2 ¨ 4 ©
0 3 1· 5 2 11 ¸¹
0 3 1· 5 2 1 ¸¹
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x adalah jajargenjang AccBccC ccDcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, , C cc 3, , dan Dcc 1, . Bayangan jajargenjang ABCD ini dapat pula kalian tentukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x sebagai berikut.
§ x cc x2cc x3cc x 4cc · ¨ 1 ¸ ¨ y cc y cc y cc y cc ¸ 2 3 4 ¹ © 1
0 § 1 0 · § 1 0 · § 2 ¨ 0 1¸ ¨ 0 1¸ ¨ 4 5 © ¹© ¹©
3 2
1· 11 ¸¹
0 3 1 · § 1 0 · § 2 ¨ 0 1 ¸ ¨ 4 5 2 11 ¸ © ¹© ¹ 2 0 3 1 § · ¨ 4 5 2 11 ¸ © ¹ Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x adalah jajargenjang AccBccC ccDcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, , C cc 3, ,dan Dcc 1, . 2. Tentukan bayangan parabola y terhadap garis y 3.
x2 2x 1 yang dicerminkan
Jawab: Ambil sembarang titik P(a, b) pada y x2 2x 1, sehingga b a2 2a 1 (*). Refleksikan titik P terhadap garis y 3 sehingga kalian memperoleh titik Pc( ac , bc) . 144
144
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Dengan mencerminkan titik P(a, b) terhadap garis y
3, kalian
memperoleh titik Ac( a c, b c) P(a, b)
Garis y
3
Pc( a , 2 ˜ 3 b)
Pc( a , 6 b)
Jadi, titik Pc( a , 6 b ). Perhatikan bahwa: ac
a
bc 6 b. Dari persamaan ini, didapat b 6 bc. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh: 6 b c
bc
( a c )2 2 a c 1 ( ac )2 2 ac 5
Jadi, bayangan parabola y x2 2x 1 yang dicerminkan terhadap garis y 3 adalah y x2 2x 5.
Asah Kompetensi
2
1. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6). Tentukan bayangan segitiga ABC tersebut jika: a. dicerminkan terhadap sumbu-x b. dicerminkan terhadap sumbu-y c. dicerminkan terhadap garis y x d. dicerminkan terhadap garis y x e. dicerminkan terhadap titik O f. dicerminkan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x g. dicerminkan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O h. dicerminkan terhadap titik O, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 2 i. dicerminkan terhadap garis y 2, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1 j. dicerminkan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 2x. 2. Tentukanlah bayangan titik A(3, 2) oleh: a. pencerminan terhadap garis x 1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x b. pencerminan terhadap garis x 4, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x c. pencerminan terhadap garis y 1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y d. pencerminan terhadap garis y 3, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
4 1 3 y 1.
3. Tentukanlah bayangan titik A(4, 3) oleh: a. pencerminan terhadap garis y 2x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x b. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 2x c. pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x
145 Bab 6 Transformasi Geometri
d. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x e. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y f. pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x. 4. Tentukanlah bayangan kurva berikut! a. Garis x 2y 2 0 dicerminkan terhadap garis x 9. b. Parabola y x2 2 dicerminkan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1. c. Lingkaran x2 y2 2x 4y 3 0 dicerminkan terhadap garis y x, dan dilanjutkan dengan dua kali pencerminan terhadap sumbu-x.
C. Rotasi Dengan menggunakan jangka, Anakota membuat sebuah busur lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian memutar jangka dengan sudut putar D berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Anakota telah melakukan rotasi sebesar a dengan pusat titik O. Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah dirotasi sebesar D dengan pusat titik O, posisi pensil jangka ini berada pada titik A(ac, bc) seperti pada gambar berikut. y
Ac(ac, bc)
r A(a, b)
D O
r
T Bc
B
x
Gambar 6.15 Rotasi titik A(a, b) sebesar D dengan pusat titik O
Posisi awal pensil jangka ini dapat pula ditulis dalam koordinat kutub, A(r cos T , r sin T ). Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar D dengan arah berlawanan dengan arah perputaran jarum dapat ditulis sebagai Ac r cos T D . Jadi, dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut menjadi matriks berikut.
Ac
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ r cos (T D ) · ¨ ¸ © r sin (T D ) ¹
146
146
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
§ r cosT cosD r sin T sin D · ¨ r cosT sin D r sin T cosD ¸ © ¹ § a cos D b sin D · ¨ a sin D b cos D ¸ © ¹ § cosD sin D · § a · ¨ sin D cos D ¸¹ ¨© b ¸¹ © Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesar D tersebut adalah § cos D sin D · § a · ¨ sin D cos D ¸ ¨ b ¸ © ¹© ¹
Uraian ini menggambarkan rumus rotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0) sebagai berikut. Ac
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ cos D · ¨ sin D ¸ © ¹
§ a· ¨b¸ © ¹
Adapun untuk rotasi sebesar D dengan pusat titik P(m, n) dapat ditentukan sebagai berikut.
Ac
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ cos D ¨ sin D ©
sin D · § a m · § m · cosD ¸¹ ¨© b n ¸¹ ¨© n ¸¹
Nilai D bertanda positif jika arah putaran sudut berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searah dengan arah perputaran jarum jam. Bagaimana jika titik A(a, b) dirotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian, rotasi lagi sebesar E dengan pusat yang sama? Perhatikan gambar berikut! Acc(acc, bcc)
Ac(ac, bc) E O
D
A(a, b)
Gambar 6.16 Rotasi titik A(a, b) dengan pusat titik O sebesar D dan dilanjutkan rotasi sebesar E
147 Bab 6 Transformasi Geometri
Tampak bahwa posisi rotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian dilanjutkan rotasi sebesar E dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasi sebesar Dǃ dengan pusat titik O(0, 0). Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut.
Acc
§ acc · ¨ ¸ © bcc ¹
§ cos (D E ) ¨ © sin (D E )
sin(D E ) · § a · ¸ cos(D E ) ¹ ©¨ b ¹¸
Contoh 1. Tentukan bayangan titik A(1, 2) yang dirotasi berturut-turut sebesar 180q dan 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0). Jawab: Merotasi titik A(1, 2) berturut-turut sebesar 180° dan 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0) sama artinya dengan merotasi titik A sebesar 270q dengan pusat O(0, 0). Bayangan titik A adalah sebagai berikut.
Acc
§ acc · § cos 270q sin 270q · § 1 · ¨ ¸¨ cos 270q ¹¸ ©¨ 2 ¹¸ © bcc ¹ © sin 270q § 0 1 · § 1 · § 2 · ¨ 1 0 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹
Jadi, bayangan titik A(1, 2) adalah Acc (2, 1). 2. Tentukan bayangan parabola y x2 1 yang dirotasi sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2). Jawab: Ambil sembarang titik A(a, b) pada y x2 1 sehingga b a2 1 (*). Rotasikan titik A sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2). Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik Ac ( ac, bc) . § ac · ¨ ¸ ¨ c¸ ©b ¹
§ cos 90 q ¨ ¨¨ © sin 90 q § 0 ¨ ¨ 1 ©
sin 90 q · § a 1 · cos 90 q
1· § a 1 ·
¸ ¨ 0 ¸¹ ¨© b
¸ 2 ¸¹
§
¨
1·
¸ ¨ 2 ¸ © ¹
¸ ¸¸ ¹
¨ ¸ ¨¨ b 2 ¸¸ © ¹ § ¨ ¨ ©
§
¨
1·
¸ ¨ 2¸ © ¹
b 3· ¸
a 1 ¸¹
Jadi, titik Ac (b 3, a 1). Perhatikan bahwa: ac
b 3, dari persamaan ini didapat b
dan dari b c a 1 didapat a
ac 3
b c 1.
148
148
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh:
ac 3 ac 3
( b c 1)2 1 ( b c )2 2bc 2
ac
( b c )2 2bc 5
Jadi, bayangan parabola y x2 1 yang dirotasi sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2) adalah x y2 2y 5.
Asah Kompetensi
3
1. Tentukanlah bayangan titik-titik berikut! a. Titik P(1, 5) dirotasi 270q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). b. Titik Q(5, 2) dirotasi 60q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar A(2, 2). c. Titik R(3, 4) dirotasi 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 30q dengan arah dan pusat yang sama. d. Titik S(6, 7) dirotasi 45q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar B(3, 5). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 135q dengan arah dan pusat yang sama. e. Titik T(2, 9) dirotasi 240q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar C(3, 6). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 15q dengan pusat yang sama dan arah putar berlawanan. 2. Tentukanlah bayangan bangun berikut. Kemudian, tentukan pula luas bangun bayangan tersebut! a. Segitiga ABC dengan A(5, 0), B(10, 10), dan C(0, 15) dirotasi sebesar 225q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). b. Lingkaran x2 y2 6x 10y 10 0 dirotasi 30q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar P(2, 3). 3. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! S berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan a. Garis x y 3 0 dirotasi 3 pusat putar O(0, 0). S b. Garis y x 2 dirotasi searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat 6 S putar O(0, 0). Dilanjutkan dirotasi dengan arah dan pusat yang sama. 4 S berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan c. Parabola x2 6y 0 dirotasi 3 S dengan pusat yang sama dan arah pusat putar P(4, 2). Dilanjutkan dirotasi 2 berlawanan.
149 Bab 6 Transformasi Geometri
1
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit 1. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(8, 2), B(2, 1), dan C(3, 4). Z adalah titik berat segitiga ABC. Translasi T
Bobot soal: 20
§ a· ¨ b ¸ memetakan © ¹
segitiga ABC dan titik beratnya menjadi segitiga Ac Bc C c dan C c (2,3). Tentukanlah translasi tersebut dan koordinat Ac, Bc, dan Cc §3· § 1 · 2. A adalah translasi ¨ ¸ dan B adalah translasi ¨ ¸ . ©4¹ © 2 ¹ Tentukanlah (B D A D B D A D B)(1, 2).
Bobot soal: 60
3. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! a.
Garis y 3x 1 dirotasikan sebesar 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik O(0, 0). Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x.
Bobot soal: 20
b. Lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan menyinggung sumbu-x dirotasi sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik P(2, 0). Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x. c.
Lingkaran x2 y2 4x 6y 9 y
0 dicerminkan terhadap garis
3x. Kemudian, dilanjutkan dengan translasi T
Tentukanlah matriks pencerminan terhadap garis y
§ 4 · ¨ 1¸ . © ¹
x tan D sebagai komposisi transformasi!
150
150
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
D. Dilatasi Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k. •
Jika k 1 atau k ! 1, maka hasil dilatasinya diperbesar
•
Jika 1 k 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
•
Jika k
1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan
Sekarang, perhatikan lingkaran pada Gambar 6.10 yang berpusat di titik P(4, 2) dan melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat 1 O(0, 0) dengan faktor skala . Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran 2 yang berpusat di titik Pc(2, 1) dan melalui titik Qc(2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan ukuran diperkecil. y Q
4 3
Qc
2
P
1 3
2
1
O 1
Pc 1
2
3
4
x 5
6
2
Gambar 6.10 Dilatasi lingkaran P terhadap pusat O dengan faktor skala 1 2
kalian dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan matriks seperti berikut.
§ x1c x2c · ¨ ¸ ¨ y1c y 2c ¸ © ¹
§1 ¨2 ¨ ¨¨ 0 ©
· P Q 0¸ § 4 4· ¸¨ 1 ¸ © 2 4 ¹¸ ¸ 2¹
Pc Qc §2 2· ¨ ¸ ©1 2 ¹
1 , diperoleh 2 lingkaran dengan titik pusat Pc(2, 1) dan melalui titik Qc(2, 2).
Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala
151 Bab 6 Transformasi Geometri
Secara umum, dilatasi ini sebagai berikut. • Titik P(a, b) didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k menghasilkan titik Pc ka , kb . Secara matematis, ditulis:
>O , k @
P(a, b)
Pc ka , kb
Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut. Pc
•
§ ac · ¨ ¸ © bc ¹
§k ¨ ©0
0· k ¹¸
§ a· ¨ ¸ ©b¹
Titik P(a, b) didilatasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k menghasilkan titik Pc k a m m , k b n n . Secara matematis, ditulis:
P( a , b )
>F(m, n), k @
P c ( k( a m ) m , k ( b n ) n )
Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut. Pc
§ ac · ¨ ¸ © bc ¹
§ k 0 · § a m· §m· ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ©0 k¹ ©b n¹ ©n ¹
Contoh Tentukanlah bayangan titik P(5, 6) jika didilatasikan oleh: 1. [O, 3] Jawab: P(5, 6)
>O , 3@
P c(3 ˜5, 3 ˜6)
P c (15, 18)
Jadi, titik P c(15, 18). 2. [F(2, 3), 4] Jawab: P(5, 6)
>F (2, 3) , 4 @
P c(4(5 2) 2, 4(6 3) 3)
P c (14, 15)
Jadi, titik P c(14, 15).
152
152
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
A
ktivitas di
K
elas
Komposisi transformasi dengan menggunakan matriks akan diperlukan pada pembahasan selanjutnya. Kalian telah membahas matriks transformasi pada subbab sebelumnya. Sekarang rangkumlah semua matriks komposisi tersebut dengan menyalin dan melengkapi tabel berikut! No.
Jenis Transformasi
Matriks
1.
Refleksi terhadap sumbu-x
ª... ...º ¬... ...¼
2.
Refleksi terhadap sumbu-y
ª... ...º ¬... ...¼
3.
Refleksi terhadap sumbu y
4.
Refleksi terhadap sumbu y x
5.
Rotasi sejauh T terhadap titik pusat O
6.
Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k
7.
Dilatasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k
ª... ...º ¬... ...¼
x
ª... ¬... ª... ¬...
...º ...¼
ª... ¬... ª... ¬...
...º ...¼
...º ...¼
...º ...¼
Diskusikan dengan teman-temanmu dan hasilnya tuliskan di papan tulis.
E. Komposisi Transformasi dengan Matriks Transformasi T memetakan titik P(x, y) o Pc(xc, yc). Hubungan antara (xc, yc) dengan (x, y) ditentukan oleh: xc ax by xc a b x yc cx dy atau yc c d y Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan transformasi T
adalah M
ca db .
Berikut ini adalah tabel matriks-matriks transformasi geometri berordo 2 u 2. No.
Transformasi
1.
Identitas (I)
2.
Dilatasi dengan faktor skala k
3.
Refleksi (M) a. terhadap sumbu-x (Mx)
Pemetaan (x, y) o (x, y) (x, y) o (kx, ky)
(x, y) o (x, y)
Matriks transformasi
01 01 0k 0k 01
0 1
153
Bab 6 Transformasi Geometri
b. terhadap sumbu-y (My)
(x, y) o (x, y)
c.
(x, y) o (y, x)
terhadap garis y
x (My x)
d. terhadap garis y x (My 4.
x
)
(x, y) o (y, x)
Rotasi terhadap titik asal O(0,0) a. sebesar T (RT)
(x, y) o (xc, yc) xc x cos T y sin T yc x cos T y cos T
S 90q 2 c. sebesar S 90q 2
(x, y) o (y, x)
b. sebesar
(x, y) o (y, x)
d. sebesar S (setengah putaran)
(x, y) o (x, y)
01 01 01 01 01 01 T cos sin T
sin T cos T
01 01 01 01 01 01
Jika T1 dan T2 masing-masing adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks. a b e f M1 c d dan M 2 g h maka komposisi transformasi yang dinyatakan dengan: a. T2 D T1 bersesuaian dengan perkalian matriks e f a b M 2 ˜ M1 g h u c d b. T1 D T2 bersesuaian dengan perkalian matriks a b e f M1 ˜ M 2 c d u g h Hasil perkalian M1 ˜M2 belum tentu sama dengan hasil perkalian M2 ˜M1.
Contoh 1. Diketahui T 1 dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks. M1
03 02 dan M 01 11 2
Dengan menggunakan matriks-matriks yang bersesuaian, tentukanlah koordinat bayangan yang dinyatakan dengan komposisi transformasi berikut ini. a. T2 D T1 (2, 3) b. T2 D T1 (1, 4) Jawab: a. T2 D T1 (2, 3) 0 2 0 1 2 2 2 2 3 0 1 1 3 0 3 3 Jadi, T2 D T1 (2, 3) (10, 9)
109
154
154
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
b.
T2 D T1 (1, 4) 0 1 0 2 1 3 0 1 1 1 3 0 4 3 2 4 Jadi, T2 D T1 (1, 4) (3, 5)
53
2. T 1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y x. T2 adalah transformasi perputaran setengah putaran terhadap titik asal. Tentukan bayangan titik P(3, 5) yang ditransformasikan terhadap T1 dan dilanjutkan terhadap T2. Jawab:
01
1 0 Transformasi T2 D T1 : M1
M2
01
0 1
T DT
2 1 P 3, 5 o Pcc
01 01 01 01 35 01 01 35 35
Pcc
Jadi, bayangan akhir titik P(3, 5) terhadap transformasi T1 dan T2 adalah (5, 3).
2
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit 1. Tentukanlah bayangan titik-titik berikut ini! a.
P(2, 4) didilatasikan oleh ª«O , ¬
Bobot soal: 20
1º 4 »¼
b. R(9, 6) didilatasikan oleh [O, 9]
S(12, 8) didilatasikan oleh >F(3, 2), 2 @ 1º ª § 1 · d. T(10, 21) didilatasikan oleh «G ¨ , 5 ¸ , » 2¼ ¬ © 2 ¹ 2. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! a. Garis 3x 5y 15 0 yang didilatasikan oleh [O, 5] c.
b. y
Bobot soal: 40
1 2 yang didilatasikan oleh ª«O , º» 5¼ ¬ x ª
x2 4y2
3º
9 yang didilatasikan oleh «F( 5, 1), » 4¼ ¬ d. Lingkaran x2 y2 2x 6y 14 0 yang didilatasikan oleh c.
>G( 10, 10),
5@ 155
Bab 6 Transformasi Geometri
3. Tentukanlah bayangan bangun-bangun berikut. Kemudian, tentukan pula luas bangun bayangan tersebut! a. Segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(2, 1), B(4, 3), dan C(3, 6)
Bobot soal: 30
oleh dilatasi ªO , 2 º . 7 ¼» ¬« b. Persegi panjang ABCD dengan titik-titik sudut A(1, 2), B(4, 2), C(1, 7), dan D(4, 7) oleh dilatasi >O , 3@ . c.
Lingkaran yang berpusat di titik P(5, 2) dan berjari-jari 4 oleh dilatasi >F( 6, 7), 2 @ . x2 1 yang ditranslasi oleh
4. Tentukanlah bayangan dari parabola y T
§1· ¨ 2 ¸ , dilanjutkan oleh dilatasi >O , 3@ . © ¹
Bobot soal: 10
Rangkuman 1. Translasi (pergeseran) merupakan transformasi yang memindahkan titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. •
Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 (h, k), maka akan diperoleh P c sebagai berikut T1
P(a, b) •
§h· ¨k¸ © ¹
Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1
P c (a h, b k)
(h, k) dilanjutkan dengan T2
(l, m), maka
akan diperoleh P cc sebagai berikut. T2 D T1 P(a, b)
§h l · ¨ k m¸ © ¹
P cc (a h l, b k m)
2. Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan sifat bayangan cermin. • Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap sumbu-x, maka akan diperoleh Sumbu-x
A(a, b) •
B(a, b)
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap sumbu-y, maka akan diperoleh A(a, b)
Sumbu-y
C (a, b)
156
156
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
•
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap garis y Garis y
A(a, b) •
Garis y
x
E(b, a)
Titik asal
F(a, b)
Jika titik A(a, b) direfleksikan garis x terhadap garis x Garis x = h
A(a, b) •
x, maka akan diperoleh
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap titik asal O(0, 0), maka akan diperoleh A(a, b)
•
D(b, a)
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap garis y A(a, b)
•
x
x, maka akan diperoleh
G(2h a, b)
Jika titik A(a, b) direflesikan terhadap garis y Garis y
A(a, b)
k
h, maka akan diperoleh
k, maka akan diperoleh
H(a, 2k b)
3. Rotasi (perputaran) merupakan transformasi yang memutar suatu bidang. • Jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar D dengan titik dengan titik pusat O, maka akan diperoleh Ac
•
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ a cos D b sin D · ¨ a sin D b cosD ¸ © ¹
Jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar D dengan titik pusat P(m, n), maka akan diperoleh
§ ac m · Ac ¨ ¸ © bc n ¹
§ ( a m) cos D (b n) sin D · ¨ ¸ © (b m) sin D (b n) cos D ¹
4. Dilatasi (perkalian) merupakan transformasi yang memperkecil atau memperbesar suatu bidang. • Jika titik A(a, b) didilatasikan terhadap titik pusat F(m, n) dengan faktor skala k, maka akan diperoleh A(a, b) •
[O, k]
Ac(ka, kb)
Jika titik A(a, b) dilatasikan terhadap titik pusat F(m, n) dengan faktor skala k, maka akan diperoleh:
>F(m, n, k @ A( a , b )
Ac( k( a m) m , k(b n) n)
157 Bab 6 Transformasi Geometri
○
Pilihlahlah jawaban yang paling tepat!
○ ○ ○
1. Bayangan titik A(1, 4) oleh translasi T(2, 3) adalah . . . .
○
○
○
I.
○
Ulangan Bab 6
E.
○ ○
Ac(4, 4)
○
Ac(3, 5)
○
B.
D. Ac(4, 6)
○
A. Ac(3, 7)
E.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Pc (1, 2)
○
E.
○
Pc (2, 1)
D. Pc ( 2, 1)
○
B.
8. Diketahui T 1 dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks
○
§0 2· ¨ ¸ dan M 2 ©2 0¹
maka T2 D T1 ( 3, 1)
§ 1 1· ¨ ¸, ©0 1 ¹
....
A. (4, 12)
D. (4, 6)
B. (4, 12)
E. (4, 6)
C. (4, 12) 9. Diketahui 'PQR dengan titik-titik sudut P(1, 3), Q(1, 4), dan R(2, 1). Jika 'PQR
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
M1
○
○
Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang W membentuk sudut lancip dengan V. Jika W memotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi g pada W . . . . A. tegak lurus pada V B. tegak lurus pada s C. sejajar dengan V D. sejajar dengan s E. sejajar dengan W
○
○
○
C. Bc(2, 12) 5.
1 S 2 1 D. Perputaran S 2 1 E. Perputaran S 4
C. Perputaran
○ ○ ○ ○ ○
E. Bc(2, 6)
§ 0 1· oleh matriks ¨ ¸ , maka transformasi T © 1 0 ¹ adalah . . . . A. Pencerminan terhadap sumbu-x B. Pencerminan terhadap sumbu-y
○
B. Bc(1, 3)
○
D. Bc(2, 12)
7. Diketahui satu transformasi T dinyatakan
○
4. Jika titik B(2, 6) dilatasi terhadap T(0, 1), maka bayangan titik B adalah . . . .
○
○
○
○
C. Pc (2, 1)
A. Bc(4, 12)
3 3
○ ○ ○
3. Jika titik P(1, 2) diputar 90q berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal koordinat O, maka bayangan dari titik P adalah . . . .
○
○
○
○
C. M cc (5, 4)
A. Pc (2, 1)
C.
○
M cc (5, 1)
○
M cc (2, 5)
○
B.
D. M cc (2, 4)
○
A. M cc (4, 1)
○
2. Jika titik M(2, 1) direfleksikan terhadap garis x 3 dan terhadap garis y 3, maka bayangan M cc adalah . . . .
○
○
○
○
C. Ac(4, 3)
6. Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45qdengan V dan 30q dengan W. Sinus sudut antara l dan g adalah . . . . 1 3 A. D. 2 2 1 2 3 B. E. 3 2
158
158
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
○ ○ ○ ○ ○
Titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu-x dan bayangannya dicerminkan pula terhadap sumbu-y. Bayangan terakhir titik A merupakan . . . .
○ ○
Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1
○
B.
○
A. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, -1
○
direfleksikan terhadap sumbu-x kemudian dilanjutkan dengan dilatasi (0, 1), maka koordinat bayangannya adalah . . . .
○
○
○
C. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1
C. Pencerminan titik A terhadap garis y x D. Pencerminan titik A terhadap garis y x
○ ○
○
○
○
○
y
B. Perputaran titik A dengan titik pusat O sebesar 2 S radian berlawanan perputaran jarum jam.
○
10. Suatu lingkaran digambarkan sebagai berikut
○
○
○
○
○
○
D. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1 E. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1
A. Perputaran titik A dengan titik pusat O sebesar Sradian berlawanan perputaran jarum jam.
○
y x
4
E. Pencerminan titik A terhadap sumbu-y 12. Jika garis 3x 2y 6 ditranslasikan terhadap T(2, 3), maka . . . .
x
3
○
O
6
D. 3x 2y
4
B. 3x 2y
3
E. 3x 2y
11
○
○
3
C. 3x 2y
4
B. x2 y2 8x 6y 9
0
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Kuning
○
0
1. Sebuah lingkaran target dibuat warna-warni seperti gambar berikut.
Hitam
○
○
A. x2 y2 8x 6y 9
II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat!
○
Jika lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu-x dicerminkan pada y x, maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah . . . .
○
○
○
○
○
Pc(4, 3)
A. 3x 2y
○
○
○
4
○
○
○
○
○
○
○
P(3, 4)
○
Putih Merah
○
r1
D. x2 y2 8x 6y 9
0
E. x2 y2 8x 6y 9
0
○
0
r2
○
○
○
C. x2 y2 8x 6y 9
○
○
r3
○
r4
○ ○ ○ ○
○
○
○
y
○
11. Suatu pencerminan ditunjukkan seperti gambar berikut.
r3
3 r4 4
x
Ac(a, b)
○
Acc (a, b)
○
○
○
○
○
○
○
O
○
○
○
○
○
○
A(a, b)
dengan: 1 r1 r2 2 1 r2 r4 2
Tentukanlah faktor skala dari: A. Merah ke Putih B. Merah ke Hitam C. Merah ke Kuning D. Kuning ke Putih E. Hitam ke Putih 159
Bab 6 Transformasi Geometri
○ ○
A
○
A
○
E.
A
A
○
○
yang
F.
A
A
A
A
○ ○
○
○
○
○
A
A
A
A
B.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A
A
A
A
A.
○
○
○
3. Sebutkan jenis transformasi memetakan tiap gambar berikut ini!
○
○
○
A
○
○
○
○
○
D.
A
2. Sebuah bangun mula-mula ditransformasikan dengan refleksi terhadap garis y x, dilanjutkan dengan rotasi 90q searah dengan jarum jam terhadap titik asal O. Tentukanlah bayangannya!
A
○
○
A
○
A
A
A
A
5. Titik P(x, y) direfleksikan terhadap y x menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian, diputar 90° dengan titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1, 2). Tentukan: A. koordinat titik P B. koordinat titik Q
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
C.
○
○
○
4. Tentukanlah persamaan bayangan dari garis 3x y 2 0 oleh refleksi terhadap garis y x dilanjutkan dengan rotasi 90q terhadap O.
160
160
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Transformasi Geometri
6 A.
Translasi
B.
Refleksi
C.
Rotasi
D.
Dilatasi
E.
Komposisi Transformasi dengan Matriks
Sumber: www.geocities.com
Pantograf adalah alat untuk menggambar ulang suatu gambar dengan cara membesarkan dan mengecilkan gambar tersebut. Dengan menggunakan pantograf, Miko Sagala menggambar peta Pulau Sulawesi. Gambar peta yang dibuatnya memiliki bentuk yang sama dengan peta Pulau Sulawesi sesungguhnya dengan ukuran lebih besar. Dengan menggunakan pantograf ini, Miko Sagala telah mendilatasi peta sesungguhnya. Agar kalian lebih paham tentang dilatasi, pelajarilah bab berikut.
131 Bab 6 Transformasi Geometri
A. Translasi Minggu lalu, Niko Sentera duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Ucok. Ucok sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Martina.
Sumber: smpstece1yk.tripod.com
Gambar 6.1 Niko Sentera dan kawan-kawan sedang belajar
Perhatikan perpindahan tempat duduk Niko Sentera dan Ucok ini. Hendra
Anah
Irma
Mega
Ganjar
Nunu
Ucok
Riska
Samuel
Gusti
Albert
Rajasa
Bagas
Damai
Boy
Fadel
Katon
Agus
2
Bani
Asep 1
Feri
Ucok
Erika
Utut
Nugi
Martina
Bambang
Oci 2
Mahmud
Andre
Jerisa
Tino
Tia
Pasha
Esti 2
Niko Sentera
Lajur
Baris
Guru
Gambar 6.2 Perpindahan tempat duduk Niko Sentra dan Ucok
i Niko Sentera berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Niko Sentera telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri 2 dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai §¨ ·¸ . © 2¹ i Kemudian, Ucok berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Ucok telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 § 2 · satuan ke bawah yang ditulis sebagai ¨ ¸ . © 1 ¹ i Misalkan, tempat duduk Niko Sentera minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. 132
132
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
§ 2 · Dengan translasi ¨ ¸ , diketahui tempat duduknya minggu ini pada titik © 2¹ Nc(a 2, b 2). y b2
§ 2 · ¨ 2¸ © ¹ b
N(a, b)
2
a
O a2
x
Gambar 6.3 2 Translasi 2 titik N pada koordinat Cartesius
Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut
N(a, b)
§ 2 · ¨ 2¸ © ¹
N c (a 2, b 2)
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 maka diperoleh bayangannya P’(a h, b k).
§h· ¨ k ¸, © ¹
Secara matematis, ditulis sebagai berikut. T1 P(a, b)
§h· ¨k¸ © ¹
Pc(a h, b k)
Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan T2
§l · ¨ m ¸ . Didapat, © ¹
T2
Pc(a h, b k)
§l · ¨m¸ © ¹
P cc (a h l, b k m)
Perhatikan bahwa Pcc(a h l, b k m) Pcc(a (h l), b (k m)). Ini berarti, Pcc(a h l, b k m) diperoleh dengan mentranslasikan P(a, b) §h l · ¨ k m¸. © ¹ Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis sebagai T2 D T1.
dengan T
Oleh karena T1
§h· ¨ k ¸ dan T2 © ¹
§l · ¨ m ¸ , maka T2 D T1 © ¹
§h l · ¨ k m¸ © ¹ 133
Bab 6 Transformasi Geometri
Akibatnya, titik P(a, b) ditranslasikan dengan T 1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan P cc sebagai berikut. §h l · ¨ k m¸ © ¹ Pcc(a h l, b k m)
T2 D T1 P(a, b)
Contoh 1. Translasi T1
§ p· ¨q ¸ © ¹
memetakan titik A(1, 2) ke Ac(4, 6).
a. Tentukan translasi tersebut. b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan T2
§ 1 · ¨ 1 ¸ . © ¹
Tentukan bayangannya.
d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 D T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c? Jawab: a. A(1, 2) Diperoleh 1 p 2q
T1
§ p· ¨q ¸ © ¹
Ac(1 p, 2 q)
4. Sehingga, p 6. Didapat, q
Jadi, translasi tersebut adalah T1
Ac(4, 6)
3 4
§3· ¨4¸ © ¹
§3· ¨ 4 ¸ , artinya memindahkan suatu titik 3 satuan © ¹ ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik Ac, Bc, dan C c dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian
b. Translasi T1
memperoleh segitiga Ac BcC c sebagai berikut. T1 A(1, 2) B(3, 4) C(5, 6)
§3· ¨4¸ © ¹
Ac(1 3, 2 4) Ac(4, 6) Bc(3 3, 4 4) Bc(6, 8) Cc(5 3, 6 4) C c(2, 10)
Jadi, bayangan segitiga ABC adalah segitiga A’B’C’ dengan titik Ac 4, 6 , Bc 6, 8 , dan C c 2, 10 .
134
134
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
c.
§ 1 · ¨ ¸ © 1 ¹
T2
Ac 4,
Acc 4 1 , 6 1 Acc 3, 5
Bcc 6 1 , 8 1
Bc 6, 8
Bcc 5, 7
C cc 2 1 , 10 1
C c 2,
C cc 3,
Jadi, bayangan segitiga AcBcCc adalah segitiga Acc Bcc C cc dengan titik Acc 3, 5 , Bcc 5, 7 , dan C cc 3, 9 . d. Translasi T2 D T1
§ 3 ( 1) · ¨ ¸ © 4 ( 1) ¹
§2· ¨3¸ © ¹
Bayangan segitiga ABC dengan translasi T2 D T1 adalah sebagai berikut.
A(1, 2)
T2 D T1
§2· ¨3¸ © ¹
Acc 1 2, 2 + 3
Acc 3, 5
Bcc 3 2, 4+3 Bcc 5, 7 C cc 5 2, 6 + 3 C cc 3, 9
B(3, 4) C(5, 6)
Jadi, bayangan segitiga ABC dengan translasi T2 D T1 adalah segitiga AccBccC cc dengan titik Acc 3, 5 , Bcc 5, 7 , dan C cc 3, 9 .
Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d. 2. Tentukanlah bayangan lingkaran (x 3) 2 (y 1) 2 ditranslasikan oleh T
4 jika
§ 5 · ¨ 2¸ . © ¹
Jawab: Ambil sebarang titik P(a, b) pada (x 3)2 (y 1)2 4, sehingga (a 3)2 (b 1)2 4 . . . (*) § 5 · Translasikan titik P dengan T ¨ 2 ¸ sehingga kalian memperoleh © ¹
titik P(a, b)
§ 5 · ¨ 2¸ © ¹
P c a 5 , b 2
Pc a 5, b 2
Jadi, titik Pc a 5, b 2 . Perhatikan bahwa: ac a 5. Dari persamaan (*), didapat a
ac 5.
bc b 2. Dari persamaan (*), didapat b
bc 2.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan diperoleh
135 Bab 6 Transformasi Geometri
(( ac 5) 3)2 (( bc 2) 1)2
4
( ac 2) ( bc 1) 4 2 Jadi, bayangan lingkaran (x 3) (y 1)2 oleh 2
T
Asah Kompetensi
2
§ 5 · 2 2 ¨ 2 ¸ adalah (x 2) (y 1) © ¹
4 jika ditranslasikan
4.
1
1. Tentukanlah translasi yang sesuai untuk pemetaan berikut! a. Titik A(3, 9 ) ditranslasikan dengan T1 menghasilkan Ac 9, 3 b. Titik B(2, 6) ditranslasikan dengan T2 menghasilkan Bc 6, 3 c. Titik C(4, 7) ditranslasikan dengan T3 menghasilkan C c 4, 0 d. Titik D(3, 9) ditranslasikan dengan T4 menghasilkan Dc 3, 9 2. Perhatikan bidang koordinat berikut! y
7 6 5 4 A 3 2 1
D C
B
x
a. Tarik garis dari titik A ke B, B ke C, C ke D, dan D ke A. Bangun apakah yang kalian peroleh? b. Tentukanlah keliling dan luas bangun ABCD tersebut! § 3 · c. Tentukanlah bayangan bangun ABCD dengan translasi T ¨ 6 ¸ . Bangun apakah © ¹ yang kalian peroleh? Kongruenkah dengan bangun ABCD? d. Tentukanlah keliling dan luas bangun hasil translasi ini! 3. Diketahui titik P(2, 3). a. Gambarlah segitiga siku-siku PQR yang memiliki luas enam petak satuan! b. Tentukanlah koordinat titik Q dan R! c. Tentukanlah keliling dan luas segitiga tersebut!
136
136
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
e. Tentukanlah bayangan segitiga PQR dengan translasi T f.
kalian peroleh? Kongruenkah dengan segitiga PQR? Tentukanlah keliling dan luas bangun hasil translasi!
4. Tentukan bayangan kurva berikut a. Garis 3x 2y 3 b. Parabola y c.
0 ditranslasikan oleh T
x2 1 ditranslasikan oleh T1
Lingkaran x2 y2 4x 6
5. Bayangan garis y
§1· ¨2¸ © ¹ § 3· ¨ 2 ¸ dilanjutkan oleh T2 © ¹
0 ditranslasikan oleh T2
2 x oleh translasi T1
§ 0· ¨ 3 ¸ . Bangun apakah yang © ¹
§ 4 · ¨ 3¸ © ¹
§ 2· ¨ 3 ¸ dilanjutkan oleh T1 © ¹
§ a · dilanjutkan oleh T ¨ ¸ 2 ©b¹
§ 1 · ¨ 1 ¸ © ¹
§ 6· ¨ b ¸ adalah y © ¹
x.
Tentukan translasi T1 dan T2 tersebut. §a· 6. Bayangan lingkaran (x 2)2 (y 3)2 1 oleh translasi T ¨ ¸ adalah (x 3)2 (y 1)2 ©b¹
1.
Tentukanlah nilai a b
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 y2
36 yang ditarik dari titik
§ 5· (8, 0). Jika lingkaran tersebut ditranslasikan oleh ¨ ¸ , tentukan persamaan bayangannya. © 3¹ Tentukan pula persamaan garis singgung setelah ditranslasikan!
137 Bab 6 Transformasi Geometri
GaMeMath Suatu malam, Dimas bermimpi sangat aneh. Dalam mimpinya, ia berlibur ke Surabaya. Ia berangkat ke Surabaya naik pesawat. Ketika tiba di bandara, ia merasa heran karena bandara tersebut adalah Halim Perdana Kusumah. Dalam hati, ia pun bertanya-tanya, “Di kota mana sebenarnya aku ini?” Jika dalam mimpi Dimas terjadi perpindahan letak bandara Halim Perdana Kusumah, tentukan translasi yang memindahkan bandara tersebut ke Surabaya. Untuk membantu menjawab tekateki mimpi Dimas, kalian dapat mengamati peta berikut!
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
1 2 3
4
B. Soekarno-Hatta Jakarta 4 B. Halim Perdana Kusumah
4 5
4 B. Ahmad Yani
Semarang Bandung
4
4 B. Husein Sastranegara
6
Yogyakarta 4 B. Adi Sucipto
7
Surabaya
B. Juanda
8 Sumber: Atlas Indonesia dan Dunia Gambar 6.4 Peta pulau jawa
B. Refleksi Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan. Sekarang, perhatikan lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu-y berikut ini.
138
138
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
y Pc
P B
Qc
A
Q x
O
Gambar 6.5 Lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu–y.
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa: •
Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Qc .
•
Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap
QcA dan PB P cB . • Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku. Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.
titik bayangannya ke cermin, yaitu QA
Dengan menggunakan sifat-sifat ini, kalian dapat menentukan bayangan sebuah titik yang dicerminkan terhadap suatu garis atau terhadap suatu titik lain. Perhatikan gambar berikut! y
H(a, 2k b)
2k b k
y x
a C(a, b)
a
D(b, a) A(a, b)
b
b
O
b
b
E( b, a)
a
2h a
h
x
B(a, b)
a
y Gambar 6.6 Bayangan sebuah titik yang dicerminkan terhadap garis atau titik lainnya
Dari gambar tampak bahwa: • Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan titik B(ac, bc) dengan ac a dan bc b. B(a, b)
A(a, b) ac
a Ÿ ac
1 ˜ a 0 ˜ b, bc
b Ÿ bc
0˜a1˜b
b O b
A(a, b) x
a B(a, b)
Gambar 6.7 Pencerminan titik A terhadap sumbu-x 139
Bab 6 Transformasi Geometri
§1 0· Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ ¸ , sehingga © 0 1¹ § ac · § 1 0 · § a · B ¨ bc ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ b ¸ ¹ © ¹ © ¹ ©
•
y
b
C(a, b)
a O
Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-y menghasilkan bayangan titik Cac, bc) dengan ac a dan bc b.
A(a, b)
Sumbu-y x
a
A(a, b) ac a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b bc b Ÿ bc 0 ˜a 1 ˜b
Gambar 6.8 Pencerminan titik A terhadap sumbu-y
§ 1 Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ © 0
C •
y a
D(b, a)
y
b
a
E(b, a) a
x y
x
Gambar 6.10 Pencerminan titik A terhadap garis y x
D(b, a)
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y titik E(ac, bc) dengan ac b dan bc a.
A(a, b) a
x
§ 0 1· Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ ¸ , sehingga ©1 0¹ § ac · § 0 1 · § a · D ¨ bc ¸ ¨ 1 0 ¸ ¨ b ¸ ¹© ¹ © ¹ ©
•
b
x menghasilkan bayangan
ac b Ÿ ac 0 ˜a 1 ˜b bc a Ÿ bc 1 ˜a 0 ˜b
y
O
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y titik D(ac, bc) dengan ac b dan bc a.
A(a, b)
x
0· , sehingga 1 ¸¹
§ 1 0 · § a · ¨ ¸¨ ¸ © 0 1¹ © b ¹
Garis y x
Gambar 6.9 Pencerminan titik A terhadap garis y x
b
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
A(a, b)
b O
C(a, b)
Garis y A(a, b)
x menghasilkan bayangan
x E(b, a)
ac b Ÿ ac 0 ˜a 1 ˜b bc a Ÿ bc 1 ˜a 0 ˜b § 0 1· Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ ¸ , sehingga © 1 0 ¹ § ac · § 0 1 · § a · E ¨ b c ¸ ¨ 1 0 ¸ ¨ b ¸ ¹© ¹ © ¹©
140
140
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
•
A(a, b)
O(0, 0) Titik asal
F(a, b)
§ 1 0 · Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah ¨ 0 1 ¸ , sehingga © ¹ § a c · § 1 0 · § a · F ¨ bc ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ b ¸ ¹© ¹ © ¹ ©
A (a, b)
h
G (2h a, b)
Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut. G
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ 1 ¨ 0 ©
x
a
O
Gambar 6.11 Pencerminan titik A terhadap titik asal
y
b
ac 2h a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b) 2h bc b Ÿ bc (0 ˜a 1 ˜b) 0
•
a
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x h menghasilkan bayangan titik G(ac, bc) dengan ac 2h a dan bc b. Garis x
A(a, b)
b
b F(a, b)
ac a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b bc b Ÿ bc 0 ˜a 1 ˜b
•
y
Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(ac, bc) dengan ac a dan bc b.
x
h
A(a, b) G(2h a, b)
O
a
x
2h a
Gambar 6.12 Pencerminan titik A terhadap garis x h
0 · § a · § 2h · 1 ¸¹ ¨© b ¸¹ ¨© 0 ¸¹
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y titik H(ac, bc) dengan ac a dan bc 2k b.
k menghasilkan bayangan
y 2k b
H(a, 2k b) y
Garis y A(a, b)
b
k H(a, 2k b)
ac a Ÿ ac 1 ˜a 0 ˜b) 0 bc 2k b Ÿ bc (0 ˜a 1 ˜b) 2k Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut. H
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
O
k
A(a, b) x
a
Gambar 6.13 Pencerminan titik A terhadap garis y k
§1 0 · § a· § 0 · ¨ 0 1¸ ¨ b ¸ ¨ 2k ¸ © ¹© ¹ © ¹
Bagaimana jika dua refleksi dikomposisikan? Misalnya, titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis x h. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x k. Untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut! 141 Bab 6 Transformasi Geometri
y Accc 2 h a , 2m b
y
m
O
Ac (2h a, b) Acc (2( k h ) a , b)
A(a, b)
b
m
a
h x
h
x
k x
k
Gambar 6.14 Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x = h dan x = k
Dari gambar, tampak bahwa: Garis x h Garis x k A(a, b) Ac (2h a, b) Acc (2(k h) a, b) Dengan cara yang sama, kalian dapat menentukan bayangan titik A(a, b) yang dicerminkan terhadap garis y m, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y n sebagai berikut. Garis y m Garis y n A(a, b) (a, 2m b) c A Acc (a, 2(n m) b) Sekarang, jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap dua garis yang saling berpotongan tegak lurus, misalnya pencerminan terhadap garis x h, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y m. Diperoleh bayangan Accc sebagai berikut.
Garis x A(a, b)
h
Ac(2h a, b)
Garis y
m
Accc (2h a, 2m b)
Contoh 1. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan titik sudut A(2, 4), B(0, 5), C(3, 2), dan D(1, 11) jika a. dicerminkan terhadap sumbu-x b. dicerminkan terhadap sumbu-y c.
dicerminkan terhadap sumbu-x. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y
d. dicerminkan terhadap sumbu-y. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x. 142
142
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jawab: a. Pencerminan terhadap sumbu-x
§ x1c x2c x3c x 4c · ¨ ¸ ¨ y1c y 2c y 3c y 4c ¸ © ¹
§1 ¨ ©0
0 · § 2 1 ¹¸ ©¨ 4
0 5
3 2
1· 11 ¹¸
0 3 1· § 2 ¨ 4 5 2 11 ¸¹ © Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-x adalah jajargenjang AcBcC cDc dengan titik sudut Ac 2, 4 , Bc 0, 5 , C c 3, 2 , dan Dc 1, 11 . b. Pencerminan terhadap sumbu-y § x1c x2c x3c x 4c · § 1 0 · § 2 ¨ ¸ ¨ 1 ¸¹ ¨© 4 ¨ y1c y 2c y 3c y 4c ¸ © 0 © ¹
0 5
3 2
1· 11 ¸¹
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-y adalah jajargenjang A’B’C’D’ dengan titik sudut Ac 2, 4 , Bc 0, 5 , C c 3, 2 , dan Dc 1, 11 . c.
Pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y. Pada jawaban a, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang ABCD yang dicerminkan terhadap sumbu-x. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-y sehingga diperoleh
§ x cc x cc x cc x cc · ¨ 1 2 3 4 ¸ ¨ cc cc cc cc ¸ © y1 y2 y3 y4 ¹
§ 1 ¨ © 0 § 2 ¨ 4 ©
0 ·§ 2 0 3 1 · ¸¨ 4 5 2 1 ¸ 1 ¹© ¹ 0 3 1 · 5 2 11 ¸¹
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y adalah jajargenjang Acc Bcc C cc Dcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, 5 , C cc 3, 2 , dan Dcc 1, 11 . Bayangan jajargenjang ABCD ini dapat pula kalian tentukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y sebagai berikut. § x cc x2cc x3cc x4cc · 0 3 1· § 1 0 · § 1 0 · § 2 ¨ 1 ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ 4 5 2 11 ¸ ¨ cc ¹© cc cc cc ¸ © ¹© ¹ © y1 y 2 y 3 y 4 ¹ 3 1· § 1 0 · § 2 0 ¨ 0 1 ¸ ¨ 4 5 2 1 ¸ © ¹© ¹
§ 2 0 3 1· ¨ ¸ © 4 5 2 11 ¹ 143 Bab 6 Transformasi Geometri
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu–y adalah jajargenjang AccBccC ccDcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, , C cc 3, , dan Dcc 1, . d. Pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x. Pada jawaban b, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang ABCD yang dicerminkan terhadap sumbu-y. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-x sehingga diperoleh
§ x cc x cc x cc x cc · 2 3 4 ¨ 1 ¸ ¨ y cc y cc y cc y cc ¸ 2 3 4 ¹ © 1
§ 1 ¨ 0 ©
0 · § 2 1 ¸¹ ¨© 4
§ 2 ¨ 4 ©
0 3 1· 5 2 11 ¸¹
0 3 1· 5 2 1 ¸¹
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x adalah jajargenjang AccBccC ccDcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, , C cc 3, , dan Dcc 1, . Bayangan jajargenjang ABCD ini dapat pula kalian tentukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x sebagai berikut.
§ x cc x2cc x3cc x 4cc · ¨ 1 ¸ ¨ y cc y cc y cc y cc ¸ 2 3 4 ¹ © 1
0 § 1 0 · § 1 0 · § 2 ¨ 0 1¸ ¨ 0 1¸ ¨ 4 5 © ¹© ¹©
3 2
1· 11 ¸¹
0 3 1 · § 1 0 · § 2 ¨ 0 1 ¸ ¨ 4 5 2 11 ¸ © ¹© ¹ 2 0 3 1 § · ¨ 4 5 2 11 ¸ © ¹ Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x adalah jajargenjang AccBccC ccDcc dengan titik sudut Acc 2, 4 , Bcc 0, , C cc 3, ,dan Dcc 1, . 2. Tentukan bayangan parabola y terhadap garis y 3.
x2 2x 1 yang dicerminkan
Jawab: Ambil sembarang titik P(a, b) pada y x2 2x 1, sehingga b a2 2a 1 (*). Refleksikan titik P terhadap garis y 3 sehingga kalian memperoleh titik Pc( ac , bc) . 144
144
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Dengan mencerminkan titik P(a, b) terhadap garis y
3, kalian
memperoleh titik Ac( a c, b c) P(a, b)
Garis y
3
Pc( a , 2 ˜ 3 b)
Pc( a , 6 b)
Jadi, titik Pc( a , 6 b ). Perhatikan bahwa: ac
a
bc 6 b. Dari persamaan ini, didapat b 6 bc. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh: 6 b c
bc
( a c )2 2 a c 1 ( ac )2 2 ac 5
Jadi, bayangan parabola y x2 2x 1 yang dicerminkan terhadap garis y 3 adalah y x2 2x 5.
Asah Kompetensi
2
1. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6). Tentukan bayangan segitiga ABC tersebut jika: a. dicerminkan terhadap sumbu-x b. dicerminkan terhadap sumbu-y c. dicerminkan terhadap garis y x d. dicerminkan terhadap garis y x e. dicerminkan terhadap titik O f. dicerminkan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x g. dicerminkan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O h. dicerminkan terhadap titik O, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 2 i. dicerminkan terhadap garis y 2, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1 j. dicerminkan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 2x. 2. Tentukanlah bayangan titik A(3, 2) oleh: a. pencerminan terhadap garis x 1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x b. pencerminan terhadap garis x 4, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x c. pencerminan terhadap garis y 1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y d. pencerminan terhadap garis y 3, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
4 1 3 y 1.
3. Tentukanlah bayangan titik A(4, 3) oleh: a. pencerminan terhadap garis y 2x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x b. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 2x c. pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x
145 Bab 6 Transformasi Geometri
d. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x e. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y f. pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x. 4. Tentukanlah bayangan kurva berikut! a. Garis x 2y 2 0 dicerminkan terhadap garis x 9. b. Parabola y x2 2 dicerminkan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1. c. Lingkaran x2 y2 2x 4y 3 0 dicerminkan terhadap garis y x, dan dilanjutkan dengan dua kali pencerminan terhadap sumbu-x.
C. Rotasi Dengan menggunakan jangka, Anakota membuat sebuah busur lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian memutar jangka dengan sudut putar D berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Anakota telah melakukan rotasi sebesar a dengan pusat titik O. Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah dirotasi sebesar D dengan pusat titik O, posisi pensil jangka ini berada pada titik A(ac, bc) seperti pada gambar berikut. y
Ac(ac, bc)
r A(a, b)
D O
r
T Bc
B
x
Gambar 6.15 Rotasi titik A(a, b) sebesar D dengan pusat titik O
Posisi awal pensil jangka ini dapat pula ditulis dalam koordinat kutub, A(r cos T , r sin T ). Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar D dengan arah berlawanan dengan arah perputaran jarum dapat ditulis sebagai Ac r cos T D . Jadi, dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut menjadi matriks berikut.
Ac
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ r cos (T D ) · ¨ ¸ © r sin (T D ) ¹
146
146
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
§ r cosT cosD r sin T sin D · ¨ r cosT sin D r sin T cosD ¸ © ¹ § a cos D b sin D · ¨ a sin D b cos D ¸ © ¹ § cosD sin D · § a · ¨ sin D cos D ¸¹ ¨© b ¸¹ © Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesar D tersebut adalah § cos D sin D · § a · ¨ sin D cos D ¸ ¨ b ¸ © ¹© ¹
Uraian ini menggambarkan rumus rotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0) sebagai berikut. Ac
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ cos D · ¨ sin D ¸ © ¹
§ a· ¨b¸ © ¹
Adapun untuk rotasi sebesar D dengan pusat titik P(m, n) dapat ditentukan sebagai berikut.
Ac
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ cos D ¨ sin D ©
sin D · § a m · § m · cosD ¸¹ ¨© b n ¸¹ ¨© n ¸¹
Nilai D bertanda positif jika arah putaran sudut berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searah dengan arah perputaran jarum jam. Bagaimana jika titik A(a, b) dirotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian, rotasi lagi sebesar E dengan pusat yang sama? Perhatikan gambar berikut! Acc(acc, bcc)
Ac(ac, bc) E O
D
A(a, b)
Gambar 6.16 Rotasi titik A(a, b) dengan pusat titik O sebesar D dan dilanjutkan rotasi sebesar E
147 Bab 6 Transformasi Geometri
Tampak bahwa posisi rotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian dilanjutkan rotasi sebesar E dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasi sebesar Dǃ dengan pusat titik O(0, 0). Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut.
Acc
§ acc · ¨ ¸ © bcc ¹
§ cos (D E ) ¨ © sin (D E )
sin(D E ) · § a · ¸ cos(D E ) ¹ ©¨ b ¹¸
Contoh 1. Tentukan bayangan titik A(1, 2) yang dirotasi berturut-turut sebesar 180q dan 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0). Jawab: Merotasi titik A(1, 2) berturut-turut sebesar 180° dan 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0) sama artinya dengan merotasi titik A sebesar 270q dengan pusat O(0, 0). Bayangan titik A adalah sebagai berikut.
Acc
§ acc · § cos 270q sin 270q · § 1 · ¨ ¸¨ cos 270q ¹¸ ©¨ 2 ¹¸ © bcc ¹ © sin 270q § 0 1 · § 1 · § 2 · ¨ 1 0 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹
Jadi, bayangan titik A(1, 2) adalah Acc (2, 1). 2. Tentukan bayangan parabola y x2 1 yang dirotasi sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2). Jawab: Ambil sembarang titik A(a, b) pada y x2 1 sehingga b a2 1 (*). Rotasikan titik A sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2). Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik Ac ( ac, bc) . § ac · ¨ ¸ ¨ c¸ ©b ¹
§ cos 90 q ¨ ¨¨ © sin 90 q § 0 ¨ ¨ 1 ©
sin 90 q · § a 1 · cos 90 q
1· § a 1 ·
¸ ¨ 0 ¸¹ ¨© b
¸ 2 ¸¹
§
¨
1·
¸ ¨ 2 ¸ © ¹
¸ ¸¸ ¹
¨ ¸ ¨¨ b 2 ¸¸ © ¹ § ¨ ¨ ©
§
¨
1·
¸ ¨ 2¸ © ¹
b 3· ¸
a 1 ¸¹
Jadi, titik Ac (b 3, a 1). Perhatikan bahwa: ac
b 3, dari persamaan ini didapat b
dan dari b c a 1 didapat a
ac 3
b c 1.
148
148
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh:
ac 3 ac 3
( b c 1)2 1 ( b c )2 2bc 2
ac
( b c )2 2bc 5
Jadi, bayangan parabola y x2 1 yang dirotasi sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2) adalah x y2 2y 5.
Asah Kompetensi
3
1. Tentukanlah bayangan titik-titik berikut! a. Titik P(1, 5) dirotasi 270q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). b. Titik Q(5, 2) dirotasi 60q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar A(2, 2). c. Titik R(3, 4) dirotasi 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 30q dengan arah dan pusat yang sama. d. Titik S(6, 7) dirotasi 45q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar B(3, 5). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 135q dengan arah dan pusat yang sama. e. Titik T(2, 9) dirotasi 240q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar C(3, 6). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 15q dengan pusat yang sama dan arah putar berlawanan. 2. Tentukanlah bayangan bangun berikut. Kemudian, tentukan pula luas bangun bayangan tersebut! a. Segitiga ABC dengan A(5, 0), B(10, 10), dan C(0, 15) dirotasi sebesar 225q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). b. Lingkaran x2 y2 6x 10y 10 0 dirotasi 30q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar P(2, 3). 3. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! S berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan a. Garis x y 3 0 dirotasi 3 pusat putar O(0, 0). S b. Garis y x 2 dirotasi searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat 6 S putar O(0, 0). Dilanjutkan dirotasi dengan arah dan pusat yang sama. 4 S berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan c. Parabola x2 6y 0 dirotasi 3 S dengan pusat yang sama dan arah pusat putar P(4, 2). Dilanjutkan dirotasi 2 berlawanan.
149 Bab 6 Transformasi Geometri
1
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit 1. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(8, 2), B(2, 1), dan C(3, 4). Z adalah titik berat segitiga ABC. Translasi T
Bobot soal: 20
§ a· ¨ b ¸ memetakan © ¹
segitiga ABC dan titik beratnya menjadi segitiga Ac Bc C c dan C c (2,3). Tentukanlah translasi tersebut dan koordinat Ac, Bc, dan Cc §3· § 1 · 2. A adalah translasi ¨ ¸ dan B adalah translasi ¨ ¸ . ©4¹ © 2 ¹ Tentukanlah (B D A D B D A D B)(1, 2).
Bobot soal: 60
3. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! a.
Garis y 3x 1 dirotasikan sebesar 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik O(0, 0). Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x.
Bobot soal: 20
b. Lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan menyinggung sumbu-x dirotasi sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik P(2, 0). Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x. c.
Lingkaran x2 y2 4x 6y 9 y
0 dicerminkan terhadap garis
3x. Kemudian, dilanjutkan dengan translasi T
Tentukanlah matriks pencerminan terhadap garis y
§ 4 · ¨ 1¸ . © ¹
x tan D sebagai komposisi transformasi!
150
150
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
D. Dilatasi Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k. •
Jika k 1 atau k ! 1, maka hasil dilatasinya diperbesar
•
Jika 1 k 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
•
Jika k
1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan
Sekarang, perhatikan lingkaran pada Gambar 6.10 yang berpusat di titik P(4, 2) dan melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat 1 O(0, 0) dengan faktor skala . Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran 2 yang berpusat di titik Pc(2, 1) dan melalui titik Qc(2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan ukuran diperkecil. y Q
4 3
Qc
2
P
1 3
2
1
O 1
Pc 1
2
3
4
x 5
6
2
Gambar 6.10 Dilatasi lingkaran P terhadap pusat O dengan faktor skala 1 2
kalian dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan matriks seperti berikut.
§ x1c x2c · ¨ ¸ ¨ y1c y 2c ¸ © ¹
§1 ¨2 ¨ ¨¨ 0 ©
· P Q 0¸ § 4 4· ¸¨ 1 ¸ © 2 4 ¹¸ ¸ 2¹
Pc Qc §2 2· ¨ ¸ ©1 2 ¹
1 , diperoleh 2 lingkaran dengan titik pusat Pc(2, 1) dan melalui titik Qc(2, 2).
Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala
151 Bab 6 Transformasi Geometri
Secara umum, dilatasi ini sebagai berikut. • Titik P(a, b) didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k menghasilkan titik Pc ka , kb . Secara matematis, ditulis:
>O , k @
P(a, b)
Pc ka , kb
Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut. Pc
•
§ ac · ¨ ¸ © bc ¹
§k ¨ ©0
0· k ¹¸
§ a· ¨ ¸ ©b¹
Titik P(a, b) didilatasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k menghasilkan titik Pc k a m m , k b n n . Secara matematis, ditulis:
P( a , b )
>F(m, n), k @
P c ( k( a m ) m , k ( b n ) n )
Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut. Pc
§ ac · ¨ ¸ © bc ¹
§ k 0 · § a m· §m· ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ©0 k¹ ©b n¹ ©n ¹
Contoh Tentukanlah bayangan titik P(5, 6) jika didilatasikan oleh: 1. [O, 3] Jawab: P(5, 6)
>O , 3@
P c(3 ˜5, 3 ˜6)
P c (15, 18)
Jadi, titik P c(15, 18). 2. [F(2, 3), 4] Jawab: P(5, 6)
>F (2, 3) , 4 @
P c(4(5 2) 2, 4(6 3) 3)
P c (14, 15)
Jadi, titik P c(14, 15).
152
152
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
A
ktivitas di
K
elas
Komposisi transformasi dengan menggunakan matriks akan diperlukan pada pembahasan selanjutnya. Kalian telah membahas matriks transformasi pada subbab sebelumnya. Sekarang rangkumlah semua matriks komposisi tersebut dengan menyalin dan melengkapi tabel berikut! No.
Jenis Transformasi
Matriks
1.
Refleksi terhadap sumbu-x
ª... ...º ¬... ...¼
2.
Refleksi terhadap sumbu-y
ª... ...º ¬... ...¼
3.
Refleksi terhadap sumbu y
4.
Refleksi terhadap sumbu y x
5.
Rotasi sejauh T terhadap titik pusat O
6.
Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k
7.
Dilatasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k
ª... ...º ¬... ...¼
x
ª... ¬... ª... ¬...
...º ...¼
ª... ¬... ª... ¬...
...º ...¼
...º ...¼
...º ...¼
Diskusikan dengan teman-temanmu dan hasilnya tuliskan di papan tulis.
E. Komposisi Transformasi dengan Matriks Transformasi T memetakan titik P(x, y) o Pc(xc, yc). Hubungan antara (xc, yc) dengan (x, y) ditentukan oleh: xc ax by xc a b x yc cx dy atau yc c d y Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan transformasi T
adalah M
ca db .
Berikut ini adalah tabel matriks-matriks transformasi geometri berordo 2 u 2. No.
Transformasi
1.
Identitas (I)
2.
Dilatasi dengan faktor skala k
3.
Refleksi (M) a. terhadap sumbu-x (Mx)
Pemetaan (x, y) o (x, y) (x, y) o (kx, ky)
(x, y) o (x, y)
Matriks transformasi
01 01 0k 0k 01
0 1
153
Bab 6 Transformasi Geometri
b. terhadap sumbu-y (My)
(x, y) o (x, y)
c.
(x, y) o (y, x)
terhadap garis y
x (My x)
d. terhadap garis y x (My 4.
x
)
(x, y) o (y, x)
Rotasi terhadap titik asal O(0,0) a. sebesar T (RT)
(x, y) o (xc, yc) xc x cos T y sin T yc x cos T y cos T
S 90q 2 c. sebesar S 90q 2
(x, y) o (y, x)
b. sebesar
(x, y) o (y, x)
d. sebesar S (setengah putaran)
(x, y) o (x, y)
01 01 01 01 01 01 T cos sin T
sin T cos T
01 01 01 01 01 01
Jika T1 dan T2 masing-masing adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks. a b e f M1 c d dan M 2 g h maka komposisi transformasi yang dinyatakan dengan: a. T2 D T1 bersesuaian dengan perkalian matriks e f a b M 2 ˜ M1 g h u c d b. T1 D T2 bersesuaian dengan perkalian matriks a b e f M1 ˜ M 2 c d u g h Hasil perkalian M1 ˜M2 belum tentu sama dengan hasil perkalian M2 ˜M1.
Contoh 1. Diketahui T 1 dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks. M1
03 02 dan M 01 11 2
Dengan menggunakan matriks-matriks yang bersesuaian, tentukanlah koordinat bayangan yang dinyatakan dengan komposisi transformasi berikut ini. a. T2 D T1 (2, 3) b. T2 D T1 (1, 4) Jawab: a. T2 D T1 (2, 3) 0 2 0 1 2 2 2 2 3 0 1 1 3 0 3 3 Jadi, T2 D T1 (2, 3) (10, 9)
109
154
154
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
b.
T2 D T1 (1, 4) 0 1 0 2 1 3 0 1 1 1 3 0 4 3 2 4 Jadi, T2 D T1 (1, 4) (3, 5)
53
2. T 1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y x. T2 adalah transformasi perputaran setengah putaran terhadap titik asal. Tentukan bayangan titik P(3, 5) yang ditransformasikan terhadap T1 dan dilanjutkan terhadap T2. Jawab:
01
1 0 Transformasi T2 D T1 : M1
M2
01
0 1
T DT
2 1 P 3, 5 o Pcc
01 01 01 01 35 01 01 35 35
Pcc
Jadi, bayangan akhir titik P(3, 5) terhadap transformasi T1 dan T2 adalah (5, 3).
2
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit 1. Tentukanlah bayangan titik-titik berikut ini! a.
P(2, 4) didilatasikan oleh ª«O , ¬
Bobot soal: 20
1º 4 »¼
b. R(9, 6) didilatasikan oleh [O, 9]
S(12, 8) didilatasikan oleh >F(3, 2), 2 @ 1º ª § 1 · d. T(10, 21) didilatasikan oleh «G ¨ , 5 ¸ , » 2¼ ¬ © 2 ¹ 2. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! a. Garis 3x 5y 15 0 yang didilatasikan oleh [O, 5] c.
b. y
Bobot soal: 40
1 2 yang didilatasikan oleh ª«O , º» 5¼ ¬ x ª
x2 4y2
3º
9 yang didilatasikan oleh «F( 5, 1), » 4¼ ¬ d. Lingkaran x2 y2 2x 6y 14 0 yang didilatasikan oleh c.
>G( 10, 10),
5@ 155
Bab 6 Transformasi Geometri
3. Tentukanlah bayangan bangun-bangun berikut. Kemudian, tentukan pula luas bangun bayangan tersebut! a. Segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(2, 1), B(4, 3), dan C(3, 6)
Bobot soal: 30
oleh dilatasi ªO , 2 º . 7 ¼» ¬« b. Persegi panjang ABCD dengan titik-titik sudut A(1, 2), B(4, 2), C(1, 7), dan D(4, 7) oleh dilatasi >O , 3@ . c.
Lingkaran yang berpusat di titik P(5, 2) dan berjari-jari 4 oleh dilatasi >F( 6, 7), 2 @ . x2 1 yang ditranslasi oleh
4. Tentukanlah bayangan dari parabola y T
§1· ¨ 2 ¸ , dilanjutkan oleh dilatasi >O , 3@ . © ¹
Bobot soal: 10
Rangkuman 1. Translasi (pergeseran) merupakan transformasi yang memindahkan titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. •
Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 (h, k), maka akan diperoleh P c sebagai berikut T1
P(a, b) •
§h· ¨k¸ © ¹
Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1
P c (a h, b k)
(h, k) dilanjutkan dengan T2
(l, m), maka
akan diperoleh P cc sebagai berikut. T2 D T1 P(a, b)
§h l · ¨ k m¸ © ¹
P cc (a h l, b k m)
2. Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan sifat bayangan cermin. • Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap sumbu-x, maka akan diperoleh Sumbu-x
A(a, b) •
B(a, b)
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap sumbu-y, maka akan diperoleh A(a, b)
Sumbu-y
C (a, b)
156
156
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
•
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap garis y Garis y
A(a, b) •
Garis y
x
E(b, a)
Titik asal
F(a, b)
Jika titik A(a, b) direfleksikan garis x terhadap garis x Garis x = h
A(a, b) •
x, maka akan diperoleh
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap titik asal O(0, 0), maka akan diperoleh A(a, b)
•
D(b, a)
Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap garis y A(a, b)
•
x
x, maka akan diperoleh
G(2h a, b)
Jika titik A(a, b) direflesikan terhadap garis y Garis y
A(a, b)
k
h, maka akan diperoleh
k, maka akan diperoleh
H(a, 2k b)
3. Rotasi (perputaran) merupakan transformasi yang memutar suatu bidang. • Jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar D dengan titik dengan titik pusat O, maka akan diperoleh Ac
•
§ ac · ¨ bc ¸ © ¹
§ a cos D b sin D · ¨ a sin D b cosD ¸ © ¹
Jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar D dengan titik pusat P(m, n), maka akan diperoleh
§ ac m · Ac ¨ ¸ © bc n ¹
§ ( a m) cos D (b n) sin D · ¨ ¸ © (b m) sin D (b n) cos D ¹
4. Dilatasi (perkalian) merupakan transformasi yang memperkecil atau memperbesar suatu bidang. • Jika titik A(a, b) didilatasikan terhadap titik pusat F(m, n) dengan faktor skala k, maka akan diperoleh A(a, b) •
[O, k]
Ac(ka, kb)
Jika titik A(a, b) dilatasikan terhadap titik pusat F(m, n) dengan faktor skala k, maka akan diperoleh:
>F(m, n, k @ A( a , b )
Ac( k( a m) m , k(b n) n)
157 Bab 6 Transformasi Geometri
○
Pilihlahlah jawaban yang paling tepat!
○ ○ ○
1. Bayangan titik A(1, 4) oleh translasi T(2, 3) adalah . . . .
○
○
○
I.
○
Ulangan Bab 6
E.
○ ○
Ac(4, 4)
○
Ac(3, 5)
○
B.
D. Ac(4, 6)
○
A. Ac(3, 7)
E.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Pc (1, 2)
○
E.
○
Pc (2, 1)
D. Pc ( 2, 1)
○
B.
8. Diketahui T 1 dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks
○
§0 2· ¨ ¸ dan M 2 ©2 0¹
maka T2 D T1 ( 3, 1)
§ 1 1· ¨ ¸, ©0 1 ¹
....
A. (4, 12)
D. (4, 6)
B. (4, 12)
E. (4, 6)
C. (4, 12) 9. Diketahui 'PQR dengan titik-titik sudut P(1, 3), Q(1, 4), dan R(2, 1). Jika 'PQR
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
M1
○
○
Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang W membentuk sudut lancip dengan V. Jika W memotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi g pada W . . . . A. tegak lurus pada V B. tegak lurus pada s C. sejajar dengan V D. sejajar dengan s E. sejajar dengan W
○
○
○
C. Bc(2, 12) 5.
1 S 2 1 D. Perputaran S 2 1 E. Perputaran S 4
C. Perputaran
○ ○ ○ ○ ○
E. Bc(2, 6)
§ 0 1· oleh matriks ¨ ¸ , maka transformasi T © 1 0 ¹ adalah . . . . A. Pencerminan terhadap sumbu-x B. Pencerminan terhadap sumbu-y
○
B. Bc(1, 3)
○
D. Bc(2, 12)
7. Diketahui satu transformasi T dinyatakan
○
4. Jika titik B(2, 6) dilatasi terhadap T(0, 1), maka bayangan titik B adalah . . . .
○
○
○
○
C. Pc (2, 1)
A. Bc(4, 12)
3 3
○ ○ ○
3. Jika titik P(1, 2) diputar 90q berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal koordinat O, maka bayangan dari titik P adalah . . . .
○
○
○
○
C. M cc (5, 4)
A. Pc (2, 1)
C.
○
M cc (5, 1)
○
M cc (2, 5)
○
B.
D. M cc (2, 4)
○
A. M cc (4, 1)
○
2. Jika titik M(2, 1) direfleksikan terhadap garis x 3 dan terhadap garis y 3, maka bayangan M cc adalah . . . .
○
○
○
○
C. Ac(4, 3)
6. Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45qdengan V dan 30q dengan W. Sinus sudut antara l dan g adalah . . . . 1 3 A. D. 2 2 1 2 3 B. E. 3 2
158
158
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
○ ○ ○ ○ ○
Titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu-x dan bayangannya dicerminkan pula terhadap sumbu-y. Bayangan terakhir titik A merupakan . . . .
○ ○
Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1
○
B.
○
A. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, -1
○
direfleksikan terhadap sumbu-x kemudian dilanjutkan dengan dilatasi (0, 1), maka koordinat bayangannya adalah . . . .
○
○
○
C. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1
C. Pencerminan titik A terhadap garis y x D. Pencerminan titik A terhadap garis y x
○ ○
○
○
○
○
y
B. Perputaran titik A dengan titik pusat O sebesar 2 S radian berlawanan perputaran jarum jam.
○
10. Suatu lingkaran digambarkan sebagai berikut
○
○
○
○
○
○
D. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1 E. Pc 1, 3 , Qc 1, 4 , dan Rc 2, 1
A. Perputaran titik A dengan titik pusat O sebesar Sradian berlawanan perputaran jarum jam.
○
y x
4
E. Pencerminan titik A terhadap sumbu-y 12. Jika garis 3x 2y 6 ditranslasikan terhadap T(2, 3), maka . . . .
x
3
○
O
6
D. 3x 2y
4
B. 3x 2y
3
E. 3x 2y
11
○
○
3
C. 3x 2y
4
B. x2 y2 8x 6y 9
0
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Kuning
○
0
1. Sebuah lingkaran target dibuat warna-warni seperti gambar berikut.
Hitam
○
○
A. x2 y2 8x 6y 9
II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat!
○
Jika lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu-x dicerminkan pada y x, maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah . . . .
○
○
○
○
○
Pc(4, 3)
A. 3x 2y
○
○
○
4
○
○
○
○
○
○
○
P(3, 4)
○
Putih Merah
○
r1
D. x2 y2 8x 6y 9
0
E. x2 y2 8x 6y 9
0
○
0
r2
○
○
○
C. x2 y2 8x 6y 9
○
○
r3
○
r4
○ ○ ○ ○
○
○
○
y
○
11. Suatu pencerminan ditunjukkan seperti gambar berikut.
r3
3 r4 4
x
Ac(a, b)
○
Acc (a, b)
○
○
○
○
○
○
○
O
○
○
○
○
○
○
A(a, b)
dengan: 1 r1 r2 2 1 r2 r4 2
Tentukanlah faktor skala dari: A. Merah ke Putih B. Merah ke Hitam C. Merah ke Kuning D. Kuning ke Putih E. Hitam ke Putih 159
Bab 6 Transformasi Geometri
○ ○
A
○
A
○
E.
A
A
○
○
yang
F.
A
A
A
A
○ ○
○
○
○
○
A
A
A
A
B.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A
A
A
A
A.
○
○
○
3. Sebutkan jenis transformasi memetakan tiap gambar berikut ini!
○
○
○
A
○
○
○
○
○
D.
A
2. Sebuah bangun mula-mula ditransformasikan dengan refleksi terhadap garis y x, dilanjutkan dengan rotasi 90q searah dengan jarum jam terhadap titik asal O. Tentukanlah bayangannya!
A
○
○
A
○
A
A
A
A
5. Titik P(x, y) direfleksikan terhadap y x menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian, diputar 90° dengan titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1, 2). Tentukan: A. koordinat titik P B. koordinat titik Q
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
C.
○
○
○
4. Tentukanlah persamaan bayangan dari garis 3x y 2 0 oleh refleksi terhadap garis y x dilanjutkan dengan rotasi 90q terhadap O.
160
160
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Related Documents 543cg
Bab 6 Transformasi Laplace 1l4s5i
November 2019 134
Transformasi Geometri-bab 6 6v6d4b
December 2019 78
Transformasi 4e6y41
November 2019 21
Transformasi 4e6y41
November 2019 44
Transformasi-geometri 4u2d63
November 2019 43
Transformasi Lorentz 3a124p
December 2021 0More Documents from "Medya Septina" 4b3u4l
Geometri Dimensi Dua - Bab4 5f2se
December 2021 0
Transformasi Geometri-bab 6 6v6d4b
December 2019 78
Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6 r3z1i
April 2020 25
Makalah Desain Produk Dan Jasa 593u1r
November 2020 0
Sop Pemeriksaan Dalam 5fm37
April 2020 18