CE 331, Spring 2011

Stability & Determinacy of Trusses

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The first step in analyzing a truss is to determine if the truss is stable or unstable.  The truss in  Figure 1a below is not stable, and is therefore not a structure.  The ts of an unstable  structure can be displaced without causing any of the  to deform (lengthen or shorten  in this case), as shown in Figure 1b.   

tension 

Figure 2a.  Stable & Determinate Truss 

compression 

Figure 1a.  Unstable Truss  Figure 1b.    In Figure 2a, a diagonal member has been added to the truss of Figure 1.  This truss is stable:  a  the horizontal load shown in Figure 2b causes the diagonal to stretch and the  shown  in blue to shorten.  The ts cannot be displaced without causing  to deform and  therefore to resist the attempted displacement.  The bar forces in the truss of Figure 2b can  easily be calculated using the equations of static equilibrium and the truss is said to be  statically determinate.      compression 

Figure 2b. 

  In Figure 3 below we have added another member to the truss of Figure 2.  The bar forces of  this truss cannot be calculated using the equilibrium equations alone and the truss is said to be  statically indeterminate.  The forces can be calculated by hand for the truss in Figure 3, but it is  an involved procedure.  Most practicing structural engineers would calculate the bar forces  using a structural analysis computer program. 

diagonals are  not connected

 

Figure 3.  Indeterminate Truss  

 

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Statically indeterminate trusses differ from statically determinate trusses in several ways  besides complexity of analysis by hand calculations.    • Indeterminate trusses are redundant.  As illustrated by the trusses in Figures 1 through  3, the indeterminate truss of Figure 3 has one additional member than is required for  stability.  If one of the diagonals in Figure 3 fails, for example, the load will be shifted to  the other diagonal and the truss will not collapse.  If the single diagonal of Figure 2 fails,  however, the truss will collapse.  •

Indeterminate trusses can be more structurally efficient (where structural efficiency =  load at failure / weight of structure).  The two trusses shown in Figure 4 below have  identical  and loads (a total of 80 kips each), yet the forces in the chords (the  horizontal ) are very different.  As seen in the figure, the maximum chord force  in the indeterminate continuous‐span truss is 21.4kips and the maximum force in the  two simple span trusses are 26.7k.   

  Figure 4a.  Chord forces (in kips) in a truss with two continuous spans (indeterminate)                       

Figure 4b.  Chord forces (in kips) in two simple span trusses (determinate)   

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Indeterminate trusses are much more effected by settlement.    settlement can  cause large forces in indeterminate trusses, as illustrated in Figure 5 below.   Indeterminate trusses are not affected by settlement, as seen in Figure 6.    

 

 

 

(a) 

 

 

(b)    Figure 5.  Deflected shape (a) and chord forces (b) in kips of two‐span continuous truss due to 1”  settlement of center .     

              (a) 

            (b)    Figure 6.  Deflected shape (a) and chord forces (b) in kips of two simple‐span trusses due to 1”  settlement of center .   

 

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Procedures are presented below for determining if a structure is stable or unstable, and  determinate or indeterminate.  The first procedure involves counting the number of unknown  forces, counting the number of equilibrium equations, and comparing the two numbers.  This  procedure is fairly straightforward to follow but is not foolproof, since it does not  for  the arrangement of  and s.  The second procedure is harder to implement, but  serves as a good check on the results from the first procedure.    Counting Procedure.  The procedure is derived using the simple truss below left.  The truss is  “exploded” into nine separate free‐body diagrams, one for each member and one for each  t. 

 

  Number of Unknowns = 13 forces 

 

 

•

2 forces per member x 5  = 10   (the forces are the ts are equal and opposite to the  adjacent member‐end force and are not counted) 

•

3 reactions   

Number of Equations = 13   • •

1 equation per member x 5  = 5      (Σ FII)  2 equations per t x 4 ts = 8      (Σ FH,  Σ FV) 

 

Shortcut: (Used by some books)  Number of Unknowns = 13 8  • •

 

2 1 forces per member x 5  = 10 5  3 reactions   

Number of Equations = 13 8  • •

 

1 equation per member x 5  = 5  2 equations per t x 4 ts = 8 

  Since the number of unknown forces = the number of  equations, the structure is statically determinate (the  member forces can be calculated using equilibrium  equations). 

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In general:    If 

The structure is 

number of unknowns 

<  number of equations   

Unstable 

number of unknowns 

=  number of equations   

Stable & Determinate 

number of unknowns  >  number of equations    Indeterminate    The procedure outlined above does not always work with regard to stability.  For example, the  truss below has the same number of unknowns as equations, yet it is unstable as illustrated in  the second figure below.      Number of Unknowns  = 9 member forces + 3 reactions = 12    Number of Equations  = 6 ts x 2 eqns/t = 12          The structure displaces without any   deforming.      No member deformation means no resistance  to structure displacement.      The structure is therefore unstable.      The figure above suggests an alternate procedure (the displaced shape procedure) of  determining whether a structure is stable or unstable.    • If the displaced shape of the structure can be drawn so that no  deform, the  structure is unstable.  •

If the displaced shape cannot be drawn without causing a member to deform, the  structure is stable. 

  The method can be extended to also determine if a structure is statically indeterminate.  • If removal of one constraint (a  or a member force) causes the structure to be  unstable (i.e. the structure can be displaced without deforming a member), then the  original structure is stable and determinate (see Figure 2 for an example).  •

If two or more constraints need to be removed to cause the structure to be unstable,  the original structure is stable and indeterminate (see Figure 3 for an example).