Practica 2016 5p2wv

Universidad Tecnol´ogica Nacional Facultad Regional Rosario Departamento Materias B´asicas UDB Matem´atica

´ Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica Civil - El´ectrica - Qu´ımica - Mec´anica Raquel Voget Coordinadora





´ GU´IAS DE TRABAJOS PRACTICOS



Alarc´on - Cabrera - Gutierrez - Mascheroni Mu˜noz - Pomata - Sabatinelli - Voget - Zucco

2016

Esta p´agina queda en blanco

´Indice 1. Vectores 1.1. Ejercicios de revisi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 7

2. Recta en el plano

8

3. Plano

11

4. Recta en el espacio 4.1. Pr´actica adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15

5. Matrices

17

6. Determinantes

19

7. Sistemas de ecuaciones lineales

23

8. C´ onicas

26

9. Espacios vectoriales 9.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 32

10.Transformaciones lineales

34

11.Superficies y curvas en el espacio 11.1. Miscel´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 39 40

3

Esta p´agina queda en blanco

1.

Vectores

Por D. Pomata 1.

a) Represente en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes vectores #» v = (3, 4). #» w = (1, −2). # » AB, siendo A(1, −2) y B(−3, 1). el vector posici´ on de P (−3, −6). #» #» #» w = u + v. b) Resuelva anal´ıtica y gr´ aficamente las siguientes operaciones. # » #» OP − w. # » #» v 0 − AB.

# » #» − AB. 2w # » − #» v + 31 OP .

2. Dados P (2, 6), Q(1, 3) y R(3, −1), encuentre las coordenadas del punto S de modo que los # » # » vectores P Q y RS sean iguales. 3. El punto medio de un segmento es R(1, −15), uno de los extremos est´a en el punto Q(−2, 17). Calcule las coordenadas del otro extremo de dicho segmento. 4. Sabiendo que la distancia entre dos puntos A y B es 11 y siendo las coordenadas de A(3, −5, 2) y las de B (9, 2, z), calcule el valor de z. #» = (2, −3), verifique si w #» puede escribirse como 5. Siendo #» u = (1, 2), #» v = (2, −4) y w #» #» #» combinaci´on lineal de u y v , es decir si existen α1 , α2 tal que w = α1 #» u + α2 #» v. 6. Un vector de R3 est´ a situado en el plano xy, y su segundo coseno director vale − 21 . Determine el valor de los otros dos cosenos directores. 7. Dado un vector #» u , del cual se sabe que su primer coseno director vale coseno director vale 29 , calcule su tercer coseno director.

4 9,

y su segundo

8. Indique si un vector #» u en el espacio puede formar con los ejes coordenados los siguientes ´angulos #» #» #» #» #» #» ◦ ◦ a) u ˆ, i = 45 , u ˆ, j = 135 , u ˆ, k = 60◦ . #» #» #» b) #» u ˆ, i = 90◦ , #» u ˆ, j = 150◦ , #» u ˆ, k = 60◦ . #» #» #» c) #» u ˆ, i = 30◦ , #» u ˆ, j = 45◦ , #» u ˆ, k = 60◦ . 9. El pol´ıgono de la figura es un rombo. #» v

#» u

a) Exprese las diagonales en funci´ on de #» u y #» v. b) Pruebe que las diagonales son perpendiculares. 5

10. Sabiendo que #» u y #» v son dos vectores tales que | #» u | = 5 y | #» v | = 8, y que forman entre ellos ◦ un ´angulo de 60 , determine gr´ afica y anal´ıticamente | #» u + #» v | y | #» u − #» v |. √ #» #» #» 11. Dados los vectores #» a y b tal que | #» a | = 3, b = 2 y #» a ˆ, b = π3 halle #» a) #» a · b. #» #» b) b · b . #» #» #» #» c) −3 a − b · b − 10 a . 12. Dados los vectores #» a = (2, 0). #» b = 32 , 2 . #» #» #» c = 2 i +3j .

#» u = (3, −4, 1). #» v = (0, 2, −7). #» #» #» #» w = 5 i +3j − k.

Calcule #» #» b + #» a · b. #» f ) ( #» u − #» v ) · (−4 w). #» g) b 0 · ( #» a − #» c ). #» #» h) w0 · v 0 .

a) | #» a |. #» b) | w|. #» c) #» a · b. #» d ) #» v · w.

e)

13. Dados #» u = (5, 3) y #» v = (3, −1) u / #» v y vector proyecci´on #» v / #» u. a) Grafique el vector proyecci´ on #» #» #» #» #» b) Halle la proyecci´ on escalar u / v y v / u . c) Encuentre las componentes del vector proyecci´on #» u / #» v. 14. Dados los siguientes pares de vectores, averig¨ ue si son paralelos o perpendiculares. De otra forma, calcule el ´ angulo que ellos determinan. a) (4, 1) y (16, 4). b) (2, 1) y (−3, 6). c) (−3, 2) y 1, − 31 . 15. Sabiendo que el m´ odulo del vector #» u es igual a 3 y el m´odulo de #» v es igual a 5 determine #» #» #» #» para que valor de β, los vectores u + β v y u + (−β) v son perpendiculares. #» 16. Halle las componentes del vector u sabiendo que su m´odulo es igual a 50, adem´as es #» 15 colineal con b = 6, −8, − 2 y forma un ´angulo agudo con el eje Z. 17. Si #» u = (3, −1, −2) y #» v = (1, 2, −1), calcule a) #» u × #» v. #» b) (2 u + #» v ) × #» v. #» #» c) (2 u − v ) × (2 #» u + #» v ). 18. Halle las componentes de #» v sabiendo que el m´odulo de #» v es igual 51, #» v es perpendicular #» al eje Z y al vector a = (8, −15, 3) y forma un ´angulo agudo con el eje X. 6

19. Sean A(1, 2, 3), B(−2, 0, 5) y C(4, 1, 5) los v´ertices de un tri´angulo, a) Determine el valor del ´ angulo en el v´ertice B. b) Encuentre el per´ımetro y el ´ area del tri´angulo ABC. c) Halle la longitud de la mediana que contiene al v´ertice B. 20. Calcule el volumen del paralelep´ıpedo cuyas aristas concurrentes en un v´ertice queden #» determinadas por los vectores #» a = (1, 2, −1), b = (0, 0, 2) y #» c = (1, 1, 3). 21. Siendo A(1, 2, 0), B(1, 2, 2), C(2, 1, −1) y D(x, 0, 3), determine el valor de x para que los cuatro puntos resulten coplanares. 22. Calcule el volumen del tetraedro de v´ertices A(1, −1, 0), B(2, −1, −1), C(−4, 4, 0) y D(1, 2, 1). #» 23. Calcule α para que los vectores #» a = (−1, 3, 2), b = (2, α, 1) y #» c = (1, 0, −1) resulten a) coplanares. b) definan un paralelep´ıpedo de volumen igual a 6.

1.1.

Ejercicios de revisi´ on

#» 1. Dados los vectores #» a = (−1, −1, 1) y b = (2, 1, −1) y los puntos P1 (6, −4, 0) y P2 (5, −2, 3), calcule los cosenos directores del vector #» # » #» #» 2 #» w = a × b + a · b P1 P2 . #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» 2. Las fuerzas F 1 = 2 i +3 j − k , F 2 = −5 i + j +2 k y F 3 = 6 i − k act´ uan simult´aneamente sobre una part´ıcula. Encuentre la magnitud y direcci´on de la fuerza resultante. 3. Sea #» r que cumple con las siguientes condiciones #» #» r ˆ, i = 135◦ . #» #» r ˆ, j = 60◦ . #» 90 ≤ #» r ˆ, k ≤ 180◦ . | #» r | = 4. y sean #» q = (−1, 2, 3), #» s = (α, 1, 2), calcule #» #» a) el vector proy #» r (3 q − r ).

√ b) el/los valores de α para que el ´ area del paralelogramo de lados #» q y #» s valga 6.

u | = 2, | #» v | = 3 y ( #» u ˆ, #» v ) = π/3, calcular | #» u − 2 #» v |. 4. Si | #» 5. Determine | #» u × #» v | sabiendo que #» u se encuentra en el plano xy con m´odulo 3 mientras #» que #» v tiene la direcci´ on y sentido del versor k y m´odulo 4. #» #» #» 6. Si los vectores #» a y b forman entre s´ı un ´angulo de 60◦ , | #» a | = 5 y #» a − b ⊥ b , calcule #» a) b . #» b) el ´area del paralelogramo determinado por #» a yb. #» c) el ´area del tri´ angulo determinado por #» a yb.

7

2.

Recta en el plano

Por L. Mu˜ noz y P. Sabatinelli 1. Sea la recta

( x = 1 − 3t, r: y = −2 + t,

t ∈ R.

a) Verifique si (−5, 4), (7, −4), (1, −1) pertenecen a r. b) Encuentre un punto P1 ∈ r, distinto de P0 (1, −2).

c) Determine el punto P2 ∈ r, sim´etrico de P1 respecto de P0 .

d ) Determine los valores del par´ ametro correspondientes a los puntos de intersecci´on de r con los ejes coordenados. 2. Sea la recta

( x = −2 + λ, r: y = 1 + 3λ,

λ ∈ R.

Obtenga la forma param´etrica de la ecuaci´on de las siguientes rectas. a) La recta t paralela a r que contiene al punto A(−1, 4). b) La recta s perpendicular a r que contiene a B(0, −2). c) La recta q determinada por A y B.

3. En cada caso, escriba y represente gr´ aficamente la recta que a) contiene al punto A(−1, 4) y es perpendicular a la direcci´on del vector #» n = (2, −1). b) contiene al punto B(−1, 3) y es paralela al eje X.

c) forma un ´ angulo de 60o con el sentido positivo del eje X, y corta al eje de las ordenadas en el punto C(0, −1).

d ) es paralela a la recta de ecuaci´ on y =

x 2

− 1 y contiene al punto D(−2, 2).

e) contiene a los puntos A(3, −3) y B(3, 4).

f ) contiene al punto A(8, −2) y su abscisa al origen es dos veces su ordenada al origen. g) su distancia al origen es 3 y adem´as es perpendicular al vector #» n = (3, 4). 4. Determine la ecuaci´ on cartesiana y expl´ıcita de ( x = −2 + 3λ, y = 1 − 2λ,

λ ∈ R.

5. Determine, si existen, la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas a) 2x − 3y − 6 = 0.

c) y − 3 = 0.

d ) −x − 5 = 0.

b) 3x + 2y = 0.

6. Halle las ecuaciones de las rectas que satisfacen las siguientes condiciones: a) contiene al punto (1, −3) y su pendiente es m = 2.

b) interseca a los ejes coordenados en (3, 0) y (0, −2). 8

c) contiene al origen de coordenadas y es perpendicular a la recta 5x + y − 2 = 0.

d ) contiene al punto (3, 2) y es paralela a la recta 4x − y − 3 = 0.

e) est´a determinada por el origen de coordenadas y por el punto de intersecci´on de las rectas r1 ) x − 2y + 3 = 0 y r2 ) y = − 12 x + 92 .

7. Determine en cada caso si los pares de rectas dados son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares. En este u ´ltimo caso, calcule el ´angulo que determinan. a) r1 ) − 3x − y + 17 = 0, r2 ) x − 3y − 2 = 0. b) r1 ) x = −2, r2 ) 2x − 4y + 3 = 0.

c) r1 ) y + 5 = 0, r2 ) 3y − 1 = 0. ( x = 1 − 4t, d ) r1 : t ∈ R, r2 ) y = 43 x − 53 . y = −1 + 3t, 8. Dadas s) − x + 2y + 3 = 0 y t)3x + y − 2 = 0, a) encuentre el ´ angulo agudo entre ellas. b) halle la ecuaci´ on de la recta que contiene a la intersecci´on de ambas y forma un ´angulo o de 60 con el semieje positivo X. 9. Dados los puntos A(2, 1) y B(−3, −3) determine la recta que los contiene y la recta perpendicular a ella que contiene al punto medio del segmento AB. 10. Determine k de manera que: a) 2x − 3y + k = 0 contenga a (−2, 1).

b) (2 + k)x − (3 − k)y + 4k + 14 = 0 contenga a P (2, 3). c) 2kx − 5y + 3 = 0 tenga pendiente 6.

d ) x + y − k = 0 contenga a (3, 4).

e) kx + (3 − k)y + 25 = 0 tenga pendiente 7.

f ) x − 3ky + 4 = 0 tenga ordenada al origen igual a 9.

g) kx − 3y + 2 = 0 forme un tri´ angulo de ´area igual a 3 con los ejes coordenados.

h) 2x + y = 3k forme con los semiejes positivos un tri´angulo de ´area uno. 11. Calcule la distancia del punto a la recta en los siguientes casos: a) x − 3y + 5 = 0, P (−1, 3).

b) y = − 45 x + 6, P (2, −1). ( x = 1 + u, c) u ∈ R, P (2, 5). y = −2 − 3u,

12. Halle la ecuaci´ on de cada recta que contenga a (2, −1) y cuya distancia al origen sea 2. 13. Sea C(−1, 0) el punto de intersecci´ on de las diagonales de un cuadrado, uno de cuyos lados est´a contenido en la recta de ecuaci´ on x + 3y = 5; halle las ecuaciones de las rectas que contienen a los otros tres lados. 14.

a) Determine la ecuaci´ on de la recta r determinada por (1, 0) y (3, 4).

9

b) Encuentre una recta paralela a r que forme un tri´angulo de area igual a 4 con los ejes coordenados. c) Encuentre una recta perpendicular a r que forme un tri´angulo de area igual a 4 con los ejes coordenados. 15. Dados los puntos R(9, −9), S(1, 2) y T (3, 1), halle las coordenadas del punto sim´etrico a R respecto de la recta determinada por S y T . 16. Calcule el ´area de un rect´ angulo, uno de cuyos v´ertices es el punto A(−2, 1), siendo 2x − 3y − 5 = 0 y 3x + 2y − 9 = 0 las ecuaciones de las rectas que contienen a dos lados del mismo.

10

3.

Plano

Por L. Mu˜ noz y P. Sabatinelli 1.

a) Determine la ecuaci´ on cartesiana del plano π que contiene a P0 (2, −1, 1) y es perpendicular al vector (3, −1, −2). b) Verifique si los puntos A(2, 4, −2), B(1, 5, 7) y C(3, 1, 1) pertenecen a π.

c) Halle los puntos de intersecci´ on de dicho plano con los ejes coordenados.

2. Determine la ecuaci´ on de cada uno de los siguientes planos a) es paralelo al plano coordenado xy y contiene al punto (−2, 4, 3). b) yz. c) contiene al eje y, y es normal al vector (3, 0, −4).

d ) es paralelo al tercer eje coordenado y contiene a los puntos (−3, 2, 4) y (1, 5, 7). 3. Obtenga la ecuaci´ on del plano determinado por los siguientes puntos: a) (−1, 0, 1), (4, 1, −3), (1, 1, 1). b) (−3, 2, 4), (1, 5, 7), (2, 2, 1).

4. El pie de la perpendicular trazada desde el punto A(3, 6, 2) al plano π es el punto B(1, 2, 6). Determine una ecuaci´ on para el plano π. 5. Dados los planos π1 : 2x + ky − z − 4 = 0 y π2 : 6x − 5y − 3z − 8 = 0 a) determine el valor de k para que π1 ⊥π2 . b) determine el valor de k para que π1 kπ2 .

6. Determine si los siguientes pares de planos son paralelos, perpendiculares, o secantes no perpendiculares. a) 2x + 5y − 6z + 8 = 0, 6x + 15y − 18z − 5 = 0. b) 6x − 3y + 2z − 7 = 0, 3x + 2y − 6z + 28 = 0. c) 3x − 5y − 4z + 7 = 0, 6x + 2y + 2z − 7 = 0.

d ) 2x − y + 2z + 9 = 0, 4x − 2y + 4z + 21 = 0. 7. Determine la ecuaci´ on de un plano paralelo a π) 2x − y + 3z − 1 = 0, que contiene al punto medio del segmento determinado por M (1, 2, −1) y N (0, 1, 3). 8. Halle las ecuaciones de cada uno de los siguientes planos: a) contiene al punto P (3, −3, 2) y es paralelo al plano π1 ) 3x − y + z − 6 = 0.

b) contiene a los puntos P1 (2−1, 6) y P2 (1, −2, 4) y es perpendicular a π2 ) x − 2y − 2z + 9 = 0. c) contiene al punto Q(1, 2, 0) y es perpendicular a los planos π1 ) − 2x + y − z − 2 = 0 y π2 ) x + y − 3z = 4.

9. Determine la distancia del plano π) 6x + 2y − 3z − 63 = 0 a: a) origen de coordenadas. b) P (1, −1, 2).

c) plano de ecuaci´ on 6x + 2y − 3z + 49 = 0. 11

10. Si los siguientes pares de planos son paralelos halle la distancia entre ellos, si no lo son calcule el ´angulo que determinan. a) π1 ) 2x + 5y − 6z + 8 = 0, π2 ) 6x + 15y − 18z − 5 = 0. b) π1 ) 6x − 3y + 2z − 7 = 0, π1 ) 3x + 2y − 6z + 28 = 0.

c) π1 ) 3x − 5y − 4z + 7 = 0, π1 ) − 6x + 10y + 8z − 14 = 0.

11. Halle la ecuaci´ on de todos los planos paralelos a π) x − 2y + 2z + 12 = 0, cuya distancia al origen sea 2. 12. Determine k para que π) x + ky − 2z − 9 = 0: a) contenga a P (5 − 4, 6).

b) sea paralelo al plano π1 ) 6x − 2y − 12z − 7 = 0.

c) sea perpendicular al plano π2 ) x − 3y + 6z + 4 = 0.

13. Halle la ecuaci´ on del plano equidistante de los planos: π1 ) 2x − y − 2z = 3 y π1 ) 2x − y − 2z = −10. 14. Halle la ecuaci´ on del plano que contiene a (3, −4, 5) y es perpendicular a los planos π1 ) 2x − 3y = 5 y π2 ) x − 4z = 3.

12

4.

Recta en el espacio

Por L. Mu˜ noz y P. Sabatinelli 1. Dados los puntos A(1, −1, 2) y B(2, 3, −1) a) Determine las ecuaciones param´etricas de la recta que ellos definen. b) Verifique si los puntos (3, 7, −4) y (1, 5, 0) pertenecen a la recta.

c) Encuentre los valores del par´ ametro para los cuales la recta interseca a los planos coordenados.

2. En cada caso indique ecuaciones param´etricas para la recta que a) contiene al punto (2, −1, 3) y es paralela al primer eje coordenado. b) contiene al punto (4, −2, 6) y es perpendicular al plano xy.

c) contiene al punto (2, 1, 5) y es perpendicular al plano 3x − 2y + z − 2 = 0.

d ) contiene al punto (4, 1, −2) y es paralela a la recta

x+2 −4

=

y+1 3

=

z−1 2 .

3. Determine la ecuaci´ on de la recta que contiene a (−2, 3, 2) y es paralela a los planos π1 ) 3x − y + z = 0 y π2 ) x − y − z = 0. 4. Determine si los siguientes pares de rectas son coplanares a alabeados. Si las rectas son coplanares, halle la ecuaci´ on del plano que determinan. Si son alabeadas, determine un par de planos paralelos que las contengan respectivamente. ( ( 2y + z = 0, 5y − 2z = 8, a) r1 : r2 : 3y − 2z = 0, 4x + 11y = 4.  (  x = 1 + t, 4x + 4y − 3z = −7, b) r1 : r2 : y = 2 + 3t, ∀t.  4x + y − z = −3,  z = −t,   x = 2 + 2t, y+3 z−2 x−1 ∀t. c) r1 : 2 = −3 = 4 , r2 : y = 1 − 3t,   z = 5 + 4t, 5. Dadas las rectas   x = 2 − t, r1 : y = 1 + 2t,   z = −1 + t,

y t∈R

  x = 1 + 2s, r2 : y = 2 − 3s   z = −1 − 4s,

s ∈ R,

se pide: Analice si son o no coplanares. Si son coplanares encuentre la ecuaci´on del plano que las contiene, si no lo son calcule la distancia entre ellas. 6. Halle la distancia del punto P (2, 3, 5) a las siguientes rectas: a)

x−1 y+5 z = = . −3 2 −1 13

  x = −1 + 7t, b) y = 2 + t, ∀t.   z = 3 − 5t, ( 6x + 3y − z + 3 = 0, c) x − 5y + z + 4 = 0, ( x + 2y − z − 6 = 0, 7. Halle las coordenadas del punto de intersecci´on de la recta 2x − y + 3z + 13 = 0 el plano 3x − 2y + 3z + 16 = 0. 8. Determine el valor de α para que el plano x + y − 2z = 7 y la recta paralelos y calcule la distancia entre ambos.

x−1 3α

=

y−2 α+1

=

z−5 α+2

con

sean

9. Dado el plano de ecuaci´ on π : x + 2y − z = 4, determine el valor de a y b para que la recta y−1 x−1 z−4 = = sea perpendicular a π. 5 a+1 2b   x = 3 + 2t, 10. Halle la ecuaci´ on del plano que contiene a (1, 2, 3) y es perpendicular a la recta y = 2 + 3t,   z = 1 + 4t, ( x + 2z = 1, 11. Halle la ecuaci´ on del plano que contiene a la recta y es paralelo a la recta y − z = 8, x − 3 = y+4 3 = −z. ( 2x + y − z + 1 = 0, 12. Sabiendo que π : x − 2y + 3z − 4 = 0 y r : halle: x + z − 5 = 0, a) la ecuaci´ on del plano proyectante de r sobre π. b) la proyecci´ on de r sobre π. ( 2x + 3y + z = 0, 13. Halle la ecuaci´ on del plano que contiene a la recta x + y + z = 1, al plano −5x + y + z + 10 = 0.

y es perpendicular

14. Halle las coordenadas del punto sim´etrico a P (1, 1, 1) respecto del plano x − 2y + 3z = 0. 15. Muestre que la recta

2y − 2 z−5 x−2 = = 10 11 7 est´a contenida en el plano π)3x − 8y + 2z = 8. r)

16. Dadas las siguientes rectas: r1 :

x−1 y = = z, 3 4

r2 :

x+4 1−y z = = , 5 2 3

r3 : x = y = z,

a) Determine si cada par de rectas es alabeado o coplanar. b) Determine el ´ angulo que forma cada par de rectas.   x = 2 − t, 17. Halle el ´angulo entre el plano π : 2x + y + z = 0 y la recta r : y = 1 + 2t,   z = −1 + t, 14

t ∈ R.

∀t.

4.1.

Pr´ actica adicional

1. Las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de un tri´angulo son 2 3 r1 ) y = x − 7 7

( x = −2 + 3t, r2 : y = −t,

t∈R

3x + 2y − 7 = 0.

Determine: a) los v´ertices del tri´ angulo. b) los ´angulos interiores del mismo. c) el ´area del tri´ angulo. 2. Dos v´ertices de un rect´ angulo son los puntos A(2, 3) y B(6, 4). Halle las coordenadas de los otros dos v´ertices sabiendo que una de sus diagonales est´a contenida en la recta de ecuaciones: ( x = 2 + 3t, ∀t ∈ R. y = 3 + 5t, 3. Circunscribi´endose a R2 , determine la ecuaci´on gen´erica de a) una recta que interseca al eje X a p unidades de O y al eje y a q unidades de O. b) dos rectas perpendiculares. c) dos rectas paralelas entre s´ı. d ) la recta determinada por los puntos P y Q. 4. Circunscribi´endose a R3 , determine la ecuaci´on gen´erica de a) el eje x. b) una recta paralela al plano xz. c) un plano paralelo al plano xz. d ) un plano proyectante al plano xz. e) una recta perpendicular al plano xz. f ) el plano xz. 5. Diga qu´e representan las siguientes ecuaciones. a) x + y + 3 = 0 en R2 . b) x + y + 3 = 0 en R3 . ( 2x + 3y − 1 = 0, c) x + z + 1 = 0. d ) y = 0 en R2 . e) y = 0 en R3 . 6. Dos aviones siguen la trayectoria descritas por las ecuaciones     x = 3,  x = 1 − s, y y = 5, y = 6 − 2t,     z = 2t, ∀t z = 4 − 2s, ∀s. ¿Colisionan los aviones? Justifique. 15

7. Se desea realizar una mezcla entre l´ıquidos y para ello se dispone de un recipiente que tiene la forma de un prisma recto de base rectangular. Para conseguir una distribuci´on de flujo en forma radial se coloca en el centro del recipiente un agitador de paletas planas. Se disponen de los siguientes datos: V´ertices de la base: A(5, 3, 0), B(5, 8, 0), C(1, 4, 0). V´ertices de la tapa del recipiente: E(5, 3, 3), F (1, 4, 3). A los fines de construir un equipo similar al existente se necesita obtener la siguiente informaci´on: a) la ecuaci´ on de la recta determinada por los puntos A y C. b) la ecuaci´ on del plano que contiene la base del recipiente. c) la ecuaci´ on de la recta que contiene la arista determinada por los puntos E y F . d ) el ´area de apoyo del recipiente. e) el volumen del recipiente. f ) las coordenadas del punto donde se ubica el agitador.

16

5.

Matrices

Por G. Gutierrez y P. Zucco 1. Sean las matrices A=



1 −3 2 , 0 21 −1

√ 2 2 B= , 3 0 −1

1 2

C=





−4 5 0 , 2 −1 7

 0 −2 D = −5 e  . 7 π

Calcule en los casos que sea posible a) B + C − A.

b) −B + A − C.

c) 2 (A + C) − 5 B − 43 C .

d ) A + D.

2. Determine el valor de la matriz X si 1 3 −5 0 0 5 −9 6 A= , B= , −1 2 0 1 −10 −3 0 4



2 −2 1 0 C= . −5 0 0 4

a) 2 (A + B) − 2X + 3C = O. b) 2A − 3X = 5X + 4B.

3. Calcule α y β, de ser posible, tales que verifiquen 2 6 −2 1 4 23 . = +β a) α −4 11 0 3 −2 1 2 3 5 −1 16 7 b) α . +β = 8 −1 4 1 0 −2     1 −1 c)  α + 2  =  2α  . 3β + 1 β−5 4. Calcule los productos AB, BA, A2 , B 2 y (AB)2 cuando est´en definidos en cada uno de los siguientes casos   −1 1  1 −2 3 4 0  a) A = B= 2 0 −1 2 3 12     λ 0 0 −1 2 b) A =  0 λ 0  B =  5 3 0 0 λ 2 1   x1 x2   B = −1 −4 1 0 . c) A =  x3  2 3 9 −1 x4 5. Dadas

1 2 A= 3 4



y 17

2 −1 B= , −3 −2

a) verifique que (A + B)2 6= A2 + 2AB + B 2 . b) ¿Por qu´e ocurre esto?

6. Suponga que existen las matrices A2 , B 2 , A + B, A − B, A2 − B 2 , ¿se puede asegurar que A2 − B 2 = (A + B) (A − B)? ¿Por qu´e? 7. Si AB = O entonces A = O o B = O. ¿Verdadero o falso? 8. Determine n´ umeros α y β tales que 

 2 α 3  5 −6 2 β 2 4 sea sim´etrica. 9. Se dice que una matriz cuadrada es antisim´etrica si matrices son antisim´etricas?  2 −2 1 −6 0 −6 A= B= C = 2 2 6 0 6 0 2 2

At = −A. ¿Cu´ales de las siguientes  −2 −2 2



 0 1 −1 2 . D = −1 0 1 −2 0

10. Sean A y B matrices antisim´etricas de orden n. Muestre que A + B es antisim´etrica. 11. Si A es antisim´etrica, muestre que todo elemento de la diagonal principal es igual a 0.

18

6.

Determinantes

Por G. Gutierrez y P. Zucco 1. Calcule los siguientes determinantes −2 3 1 a) 4 6 5 . 0 2 1 −2 0 0 7 1 2 −1 4 b) 3 0 −1 5 4 2 3 0 2. Determine todas las soluciones de las siguientes ecuaciones 4 x − 1 12 7 x2 + 4 28 = 0. a) 0 0 0 x + 5 2 x − 2 −2 = 0. b) x + 128 x 3. Aplicando propiedades, obtenga los determinantes asociados a las matrices dadas.     1 2 1 2 1 1 2 −3 0 0 3 −1 1 1 2 3   .  d ) a)  0 1 1 1 . 0 2 4 6  0 0 0 −3 1 1 2 −3     1 2 0 4 0 2 4 6 1 −3 0 6 1 1 −2 −1   . b)  e)  2 1 3 2. 1 3 2 5  3 0 2 0 2 6 4 −10   1 5 2 3 f ) In .  0 2 3 4  c)  0 0 −4 2 . 0 0 0 −1 4. Sea A ∈ R4 , tal que |A| = −2 y sean las matrices a) B, obtenida intercambiando la primera y segunda fila de A. b) C, obtenida sumando a la tercera fila de B, la segunda fila de B multiplicada por 3. c) D, obtenida multiplicando por 2 a la segunda fila y por −2 a la tercera columna de A. Obtenga a) b) c) d)

e) (−3A)2 . f ) (2B)t . g) (3AD)−1 .

|B|. |C|. |D|. |−3A|. 19

5. Dadas las matrices  1 2 − 3 −1 2 A=  1 0 1 2

 1 2 1 1 , 1 4 1 −1

B = (bij )4×4 , tal que |B| = − 15 ,

C = (cij )4×4 tal que det AC t B −1 = 900. a) Determine si C es inversible. De ser posible calcular det 4C −1 − 13 (−B) . b) Determine, en caso de ser posible: 1) 3A2 .

4) (3A)2 .

2) |−2A|.

5) −2 |A|. 6) B t A−1 .

3) |A (B + C)|. 6.

a) Calcule el determinante |A| construyendo el mayor n´ umero de ceros posibles en alguna l´ınea convenientemente elegida.   1 0 3 2  4 −1 0 1  . A= 2 1 0 3 −1 2 3 −1 b) Obtenga a partir de A, una matriz B que tenga tres ceros en la fila 2 tal que |B| = −2 |A|.

7. Halle los valores de x ∈ R para los cuales no  1  A= x 0

existe A−1 siendo  2 1 0 1 . x 2

8. ¿Qu´e valores de α hacen que la matriz   −α α − 1 α + 1  1 2 3  2−α α+3 α+7 no tenga inversa? 9. Siendo



 x x x A = −1 −2 0  x x 3

 −4 − 21 y B = −1 2 3 x

 x 2 , 0

calcule si es posible, el o los valores de x para los cuales no es posible calcular a) (A + B)−1 . b) (AB)−1 . 10. M , N , P y Q son matrices cuadradas de orden 5 y adem´as |M | = −28; |N | = 21, |P | = − 56 y |M + N | = −842. Calcule en cada caso |Q| sabiendo que 20

a) (M N Q)−1 = P . b) (QP )−1 − P −1 M = N M − N Q−1 .

c) QP = 7P −1 . −1 d ) M −1 Q − Q−1 3M = N . −1 t = 2P − 4M −1 Qt . e) Q−1 M f ) (N QP + M QP )t = M .

11. Calcule el rango de las siguientes matrices   47 π −3 2 1 3 0 1 A= , B =  0 π 25  , 4 2 6 0 2 0 0 0 12. Sea



 1 5 −6 C =  7 9 5 . −9 0 0

  1 −1 8 41 0 k 45k 14k   A= 0 0 k (k − 2) 0  0 0 0 k k2 − 4

determine el o los valores de k para los cuales a) Ran (A) = 4.

c) Ran (A) = 2.

b) Ran (A) = 3.

d ) Ran (A) = 1.

13. Calcule la inversa de las siguientes matrices cuando sea posible. En caso de no serlo, justifique la respuesta.   2 4 3 2 1 . c) 1 2 a) 0 2 2 . 0 0 −1 2 −3 −4   . d) 2 −1 4 4 −6 −8 b) −1 0 5. 19 −7 3 14. Exprese matricialmente cada uno de los siguientes sistemas (  2x − 3y = 1   x− y =1 a) c) x + 2y = 3 3x + 2y = 5.   −x + 5y = 0. ( ( −x + 2y = 1 2x + y + z = 1 b) d) 2x − 4y = 3. x + y − 2z = 0. 15. Dadas las matrices

2 0 A= −3 −1



−1 0 B= 0 3

resuelva las siguientes ecuaciones matriciales 21





3 0 C= −1 2



a) (XA)t + B = C. b) BXC = −2A.

c) X + At B = C + B t AC.

d ) (3XA − B)t = 2A.

e) A + (BX)t = 2I − 3X t . 1 f ) I − (BX)−1 = X −1 A − At . 2

22

7.

Sistemas de ecuaciones lineales

Por G. Gutierrez y P. Zucco 1. Determine el conjunto de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales   x1 + 2x2 + x3 − x4 − 2x5 = 4    2x + x − x − x + 2x = 4 1 2 3 4 5 a)  3x1 − x2 + 4x5 = 5     x2 + x3 − x4 − 2x5 = 1    x1 + x2 − x3 = −2 b) 2x1 + 2x2 − x3 = 3   x1 + x2 + 2x3 = 8   u + 2v + 2w = 2    3u − 2v − w = 5 c)  2u − 5v + 3w = −4     u + 4v + 6w = 0   −w + 6x − 2y − 18z = 0 d) − 4x + y + 11z = 0   w − 5x + 2y + 16z = 0  x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + 2x5 − 3x6 = 6       −2x1 − 4x2 + 2x3 − 6x4 − x5 − 2x6 = 4 e)

      

2x1 + 4x2 + 3x3 − 9x4 + 5x5 + x6 = 7 2x3 − 6x4 − 4x5 − x6 = 5

−x1 − 2x2 − 2x3 + 6x4 − x5 + x6 = −6  2x + y + z = 2       x + 3y + z = 5  f) x + y + 5z = −7     2x + 3y − 3z = 14    3x − y + z = −1      5 1 −1 x 0      y = 0 . g) 1 4 7 2 3 6 z 0 2. Calcule α, β y γ tales que 1 −3 4 2 5 −1 3 −9 α +β +γ = . 1 2 2 −5 3 −3 3 6 3. Obtenga, si existen, los valores de la constante k, de modo que el sistema   2x − y + z = 0 x + y + kz = 1   x + 2y − z = 3 resulte 23

a) incompatible. b) compatible determinado. c) compatible indeterminado. 4. Dado el sistema

 =0   2x1 + x2 (S) : −x1 + 2x3 = 0   2x1 + 2x2 + kx3 = 0

obtenga a) El valor de la constante k de modo que S ita soluciones no triviales. b) La soluci´ on general de S, si k es el obtenido en 4a c) La soluci´ on general de S para cualquier otro valor de k. 5. Determine los valores de las constantes α y β de modo que el sistema   2x − 2y + z = β 5x − 8y + 9z = 3   2x + y + αz = −1 sea a) incompatible. b) compatible determinado. c) compatible indeterminado. 6. Halle, si existen, los valores de λ ∈ R de modo soluciones no triviales y resuelva tal sistema par  1 2  A= 0 1 0 0 7. Dada

#» que el sistema (A − λI) X = 0 , ita el menor de los λ obtenidos con  3 4 . 5

  2 −1 3 4 5 A = 1 1 −2 −3 −1 3 0 1 1 4

obtenga a) el rango de A. b) la soluci´ on general del sistema homog´eneo cuya matriz de coeficientes es A. 8. Proponga un ejemplo de sistema lineal de dos ecuaciones con tres inc´ognitas que no tenga ninguna soluci´ on y otro que s´ı tenga soluci´on. Justifique ambos ejemplos. 9. Un ingeniero supervisa la producci´ on de tres tipos de autom´oviles. Se requieren tres clases de materiales: metal, pl´ astico y caucho para la producci´on. La cantidad necesaria de cada uno de ellos para producir cada autom´ovil se observa en el cuadro siguiente

24

Auto 1 2 3

Metal (kg/auto) 1500 1700 1900

Pl´ astico (kg/auto) 25 33 42

Caucho (kg/auto) 100 120 160

Si se dispone de un total de 106 tn de metal, 2,17 tn de pl´astico y 8,2 tn de caucho diariamente, ¿cu´ antos autom´ oviles se pueden producir por d´ıa? 10. Un granjero le da a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad est´andar de alimento tipo A le proporciona al novillo el 10 % de su requerimiento diario de prote´ına y el 15 % de su requerimiento de carbohidratos. El alimento tipo B contiene el 12 % del requerimiento de prote´ına y el 8 % del de carbohidratos en una unidad est´andar. Si el granjero desea que su ganado tenga el 100 % de su requerimiento m´ınimo diario de prote´ınas y de carbohidratos, ¿cu´ antas unidades diarias de cada tipo de alimento deber´a proporcionar a cada novillo por d´ıa? 11. Determina si existe soluci´ on para la siguiente situaci´on: Debe elaborarse una dieta con cuatro alimentos b´ asicos: a1 , a2 , a3 y a4 , con la siguiente proporci´on de prote´ınas, hidratos y grasas por unidad de alimento b´ asico:

a1 a2 a3 a4

P

H

G

5 2 3 2

2 2 1 3

4 2 5 2

La dieta debe contener 20 u de prote´ınas, 30 u de hidratos y 30 u de grasas. Se desea calcular la cantidad de cada uno de los alimentos b´asicos para cumplir el requerimiento.

25

8.

C´ onicas

Por R. Cabrera y J. M. Alarc´ on 1. Halle la ecuaci´ on de la circunferencia que es tangente a ambos ejes coordenados y adem´as contiene al punto P (−2, 1). 2. Halle la ecuaci´ on de la circunferencia en cada caso: a) De centro C(8, −16), sabiendo que (0, 0) pertenece a la circunferencia. b) AB es el di´ ametro, siendo A(3, 2) y B(−1, 6).

c) De centro C(O, O), tangente a la recta de ecuaci´on 3x − 4y − 25 = 0.

d ) Con centro en la recta de ecuaci´ on 3x−3y = 9, sabiendo que (5, −2) y (2, 3) pertenecen a la circunferencia. 3. Determine cu´ ales de las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias. En esos casos indicar centro y radio: a) x2 + y 2 + 8x + 8y = 0. b) 2x2 + 2y 2 + 6x − 3y = 0.

c) x2 + y 2 − x − 4y − 13 = 0.

d ) 3x2 + 2y 2 + x − 4y + 1 = 0.

e) x2 + y 2 + 2x − 6y + 10 = 0.

4. Determine la ecuaci´ on de una circunferencia que contiene al origen de coordenadas y tiene por cuerda la intersecci´ on de la recta de ecuaci´on y = − 21 x + 2 con los ejes coordenados. 5. Determine la intersecci´ on de la recta con la circunferencia en cada uno de los siguientes casos: a) r1 ) 2x − y + 3 = 0 y c1 ) x2 + y 2 − 3x + 2y − 3 = 0. b) r2 ) x − y + 10 = 0 y c2 ) x2 + y 2 − 1 = 0.

c) r3 ) x − 2y − 1 = 6 y c3 ) 4x2 + 4y 2 + 244 + 40y = −127.

6. Dadas las circunferencias de ecuaciones x2 +y 2 −8x−2y +8 = 0 y x2 +y 2 +4x+2y +1 = 0, encuentre la ecuaci´ on de la recta que pasa por sus centros. 7. Halle la ecuaci´ on de la circunferencia que circunscribe al tri´angulo cuyos lados est´an contenidos en las rectas de ecuaciones: x + 2y − 3 = 0 y 3x − y − 2 = 0, y su centro es el punto (0, −2). 8. Encuentre, en cada caso, la ecuaci´ on de la circunferencia y realice una gr´afica previa a la resoluci´on. a) Contiene a los puntos (0, 9) y (1, 2), y es tangente a la recta de ecuaci´on x = 2. b) Contiene al punto (−4, 2) y es tangente a los ejes coordenados. 9. Analice las ecuaciones de las elipses siguientes, determinando su menor y coordenadas de los focos y v´ertices. Grafique: a) 16x2 + 25y 2 = 400. b) 4x2 + y 2 = 100. 26

10. En los problemas que siguen halle la ecuaci´on de la elipse que determinan las condiciones dadas en cada caso: a) V´ertices: (5, 0), (−5, 0), focos: (4, 0), (−4, 0). b) Focos: (0, −3), (0, 3), y el punto (1, 4) pertenece a la elipse. c) Focos: (0, 3), (0, −3), eje mayor de longitud igual a 12.

11. Una elipse que es tangente al eje oy tiene sus ejes de simetr´ıa paralelos a los coordenados. Siendo su centro C(3, −1), y su semieje mayor igual a 4, halle su ecuaci´on y las coordenadas de los focos. 12. Halle la ecuaci´ on can´ onica de una elipse que verifica simult´aneamente las siguientes condiciones Eje focal en eje oy. Eje menor de longitud 16. Excentricidad 53 . 13. El centro de una elipse es el punto C(−1, 2), su eje mayor es paralelo al eje oy. Determine su ecuaci´on si su excentricidad es 12 . 14. Halle la excentricidad, coordenadas de los v´ertices, focos y ecuaciones de las as´ıntotas de las hip´erbolas siguientes. Realizar la gr´afica de cada una de ellas: y2 x2 − = 1. 4 25 b) x2 − y 2 = 1.

a)

c) x2 − 16y 2 = 1.

15. Halle la ecuaci´ on de la hip´erbola en cada uno de los siguientes casos: a) Con as´ıntotas de ecuaciones y = ± 35 x, y focos (2, 0) y (−2, 0). √ b) Contiene a los puntos P 5, 43 y Q 34, − 53 y su centro es (0, 0). c) V´ertices: (3, 0), (−3, 0), siendo una de sus as´ıntotas y = 32 x.

d ) Focos: F (0, ±5), y as´ıntotas de ecuaciones y = ± 23 x. 16. Determine la ecuaci´ on de la hip´erbola cuyo eje focal es el eje ox, si se sabe que P (−5, 2) pertenece a la hip´erbola y la recta de ecuaci´on y = − 53 x es una de sus as´ıntotas. 17. Dada la hip´erbola de ecuaci´ on 16x2 − 9y 2 = 144 halle sus semiejes, sus focos, su excentricidad, sus as´ıntotas y su gr´ afica. 18. Determine el ´ area del tri´ angulo definido por las as´ıntotas de la hip´erbola 9x2 − 4y 2 = 36 y la recta de ecuaci´ on 9x + 2y − 24 = 0. 19. Determine la ecuaci´ on de la hip´erbola de v´ertices V1 (−2, 0) y V2 (2, 16), siendo uno de focos (−2, 18). 20. Halle la ecuaci´ on de la hip´erbola de focos: F1 (16, 2) y F2 (−10, 2), siendo la distancia entre los v´ertices igual a 24. 21. Halle las coordenadas del foco y la ecuaci´on de la directriz de la par´abola y 2 = 8x. Grafique.

27

22. Encuentre la ecuaci´ on de la par´ abola cuyo foco se encuentra en (2, 4), y la ecuaci´on de su directriz es y = −2. 23. Dada la par´ abola x2 − 8x − 16y + 32 = 0, halle las coordenadas del v´ertice y del foco. 24. Determine la ecuaci´ on de las par´ abolas en los siguientes casos: a) Foco F (−5, 0) y la directriz x = 5. b) Foco F (−7, 2) y la directriz x = 5. c) Foco F (4, 3) y directriz y = −1. 25. Encuentre los puntos de intersecci´ on de las gr´aficas de las ecuaciones dadas. Trace las gr´aficas y muestre los puntos de intersecci´on. ( x2 + 4y 2 = 20 a) x + 2y = 6. ( x2 − y 2 = 4 b) −3x + y 2 = 0. 26. Halle la ecuaci´ on de la circunferencia conc´entrica con la elipse 2x2 + 3y − 4x + 9y + 4 = 0, y que es tangente a la recta 2x + y − 6 = 0. 27. Halle la ecuaci´ on de la par´ abola cuya directriz es la recta x = 4, y su v´ertice es el centro de la hip´erbola de ecuaci´ on 2x2 − 4y 2 − 8x + 16 = 0. Grafique ambas curvas. 28. Determine si la gr´ afica de 18x2 + 8y 2 = 72 es una elipse y, en caso afirmativo halle sus v´ertices; entonces, si A es el v´ertice de abscisa negativa y B el de ordenada positiva, halle la ecuaci´on de la circunferencia que tiene como uno de sus di´ametros al segmento de extremos A y B. 29. Halle la ecuaci´ on de una elipse que tiene sus focos en (±4, 0), sabiendo que la suma de las distancias de un punto a los focos es igual a 10. 30. Halle la ecuaci´ on de la o las elipses conc´entricas con la hip´erbola de as´ıntotas y = 2x − 9, y = −2x + 7, sabiendo que la excentricidad de la elipse es 23 , y que contiene al punto Q(8, 0). 31. Determine la ecuaci´ on de las hip´erbolas que tienen por as´ıntotas a las rectas −3x+4y −1 = 0 y 3x + 4y − 7 = 0. 32. Determine la secci´ on c´ onica que tiene en cada caso la siguiente ecuaci´on: a) x2 − 9y 2 − 6x + 9 = 0.

b) 2x2 − 8y 2 + 4x + 16y + 2 = 0.

c) 2x2 + 3y 2 + 4x − 30y + 71 = 0.

d ) x2 + y 2 − 6x + 20y + 97 = 0. e) x2 − 4y 2 = 0.

f ) 2x2 + y 2 + 7 − 8x + 2y = 0.

g) 7x2 + 7y 2 − 8x + 2y = 10.

33. Resuelva el ejercicio planteado la p´ agina 163 del libro ((Nociones de Geometr´ıa Anal´ıtica ´ y Algebra Lineal)) (Kozak, Pastorelli, Vardanega).

28

9.

Espacios vectoriales

Por A. Mascheroni 1. Determine si cada uno de los conjuntos dados, junto con las operaciones habituales, es un espacio vectorial. Si no lo es, enuncie los axiomas que no se cumplen. a) { #» u = (u1 , u2 , u3 ) : ui ∈ R , i = 1, 2, 3.}. b) p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 : ai ∈ R , i = 1, 2, 3. . c) (x, y) ∈ R2 : y = 3x + 1 . 0 a d) ∈ R2×2 , a, b ∈ R. . b 0 x 2 e) ∈ R , xy ≥ 0. . y f ) El conjunto de todas las ternas de n´ umeros reales (x, y, z) con las operaciones siguientes (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ) . k(x, y, z) = (kx, y, z). 2. Determine si el conjunto dado S es un subespacio de V . a) 1) S es el conjunto de vectores de Rn con la segunda componente nula. V = Rn . 2) S es el conjunto de vectores de Rn con alguna componente nula. V = Rn . b) S = (x, y, z) ∈ R3 : x + y = 2z . V = R3 . Interpretar geom´etricamente. a b 2×2 ∈R , ad ≥ bc. . V = R2×2 . c) S = c d d ) S = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 1. , V = R4 . e) S = x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 : x2 · x4 = 0. . V = R5 . f ) S = x ∈ R3 : x = (a, 1, 1) , a ∈ R. . V = R3 . g) S = p(t) ∈ P2 : p(t) = a + bt + ct2 , a + b + c = 0. . V = P2 . h) S = (x, y) ∈ R2 : x + y ≥ 0. . V = R2 . i ) S = p(t) ∈ P2 : p(t) = a + bt + ct2 , a = b, c = 2a. . V = P2 . 3. Interprete geom´etricamente el conjunto soluci´on del sistema   3x + y − 2z = 0, −2x − 2y + 5z = 0,   x − 5y + 14z = 0. ¿Es este conjunto un subespacio de R3 ? 4. Analizar si #» = (2, −3) puede expresarse como combinaci´on lineal de los vectores #» a) w u = (1, 2) y #» v = (−1, 2). #» b) c = (−2, 1, −1) puede expresarse como combinaci´on lineal de los vectores #» a = #» (1, 2, 0) y b = (−1, 3, −1). 29

#» c) #» a = (1, 2, 0) puede expresarse como combinaci´on lineal de los vectores b = (−1, 3, 1) #» y d = (−1, 0, −1).

d ) t(x) = 4 − x2 puede expresarse como combinaci´on lineal de p(x) = −1 + x + x2 , q(x) = 1 + 3x − x2 y r(x) = −3x + 2x2 . 5. Describa el subespacio generado por los vectores a) { #» u = (1, 2, 1), #» v = (−1, 0, 1)}. 1 0 0 1 0 0 b) A = ,B = ,C = . 0 −1 0 0 1 0 #» = (1, 0, 0)}. ¿Constituyen estos vectores un conjunto c) { #» u = (1, 1, 1), #» v = (1, 1, 0), w 3 generador de R ? #» = (1, 0)}. ¿Constituyen estos vectores un conjunto gened ) { #» u = (1, −1), #» v = (1, 1), w rador de R2 ? e) { #» u = (1, −1), #» v = (2, −2)}. 2 f ) p(t) = 1 − t , q(t) = 2 + t .

6. Halle un conjunto generador para S = x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x3 = x2 + 2x1 . . 7. Analice la independencia lineal de cada uno de los conjuntos dados. a) El conjunto de vectores del ejercicio 5. b) {(1, 1, 0), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}.

c) {(1, −1, 0), (1, 1, 2), (1, 0, 1)}.

d ) {(1, 2), (2, 3)}.

e) {p(t) = 2 + 3t, q(t) = −1 + t}.

f ) {(1, 2, 3), (1, 1, 1)}. g) p(x) = −1 + x + x2 , q(x) = 1 + 3x − x2 , r(x) = −3x + 2x2 . 1 0 2 2 1 1 1 −1 . , , , h) 2 1 −1 1 0 2 0 3 8. Dada la matriz

  k −2 1 A = 2 k −2 , 3 −1 −1

halle: a) El o los valores de k tal que los vectores columna de A sean li. b) El o los valores de k tal que los vectores columna de A sean ld. c) Una ecuaci´ on que identifique el subespacio generado por los vectores columna de A cuando k = 1. 9. Analice si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. a) los conjuntos de vectores dados en cada apartado del ejercicio 5 constituyen una base del espacio correspondiente; b) { #» v = (1, 2), #» v = (−1, 1)} es base de R2 ; 1

2

30

c) el conjunto p(x) = −3x + 1, q(x) = 5x2 + x − 3, h(x) = 5 + 2x constituye una base del espacio vectorial P3 (polinomios de grado menor o igual que 3 y el polinomio nulo); #» = (0, −7, 1)} es base de R3 ; d ) { #» u = (2, −3, 1), #» v = (4, 1, 1), w

e) { #» u = (0, 1, 1), #» v = (1, 0, −1)} es base de R3 ; f ) el conjunto p(x) = x2 + x + 1, q(x) = 2x, h(x) = x − 1 constituye una base del espacio vectorial de P2 (polinomios de grado menor o igual que 2 y el polinomio nulo); n o #» #» g) #» a = (1, 2, 0), b = (−1, 3, 1), #» c = (−2, 1, −1), d = (−1, 0, −1) es base de R3 ;

#» = (−3, 2, 4) pertenece al espacio generado por #» 10. Estudie si el vector w u = (1, 4, −2) y #» v = (2, 1, 0). ¿Qu´e representa geom´etricamente el espacio generado por los vectores #» u y #» #» constituye una base de R3 ? v ? ¿El conjunto formado por #» u , #» v yw 11. ¿Puede un vector #» x = (x1 , x2 ) expresarse como combinaci´on lineal u ´nica de los vectores #» v 1 = (−2, 2), #» v 2 = (−2, −2) y #» v 3 = (2, 0)? ¿Es { #» v 1 , #» v 2 , #» v 3 } una base de R2 ? 12. Determine una base y la dimensi´ on para los subespacios de R3 . a) S = (a, b, c) ∈ R3 : b = a + c . b) V = (x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 0 . Escriba las componentes del vector (1, 5, 6) en la base obtenida. 13. Sea A = { #» u 1 , #» u 2 , #» u 3 , . . . , #» u m } ⊂ Rn , con m > n. ¿Es el conjunto A li o ld? ¿Puede ser A un conjunto generador de Rn ? ¿Puede ser una base de Rn ? 14.

a) ¿Puede asegurarse que el conjunto soluci´on del sistema S es un subespacio vectorial de R3 ?   x + 3y + 2z = 0,    2x − y + 3z = 0, (S) :  3x − 5y + 4z = 0,    x + 17y + 4z = 0. b) En caso afirmativo obtenga una base de tal subespacio, su dimensi´on y su interpretaci´on geom´etrica.

15.

a) Determine si {(1, 2, 1, −1), (1, 0, 1, 2), (0, 2, 0, −3), (0, 1, 0, 1)} es una base de R4 . b) En caso afirmativo, encuentre las componentes del vector #» v = (3, 5, 3, 2) en dicha #» base. En caso negativo, analice si dicho vector v pertenece al conjunto gen {(1, 2, 1, −1), (1, 0, 1, 2), (0, 2, 0, −3), (0, 1, 0, 1)} .

#» = (9, 4). 16. Dados los vectores #» u = (2, −3), #» v = (1, 2) y w a) Verifique que B = { #» u , #» v } constituye una base de R2 . #» en la base B. b) Determine las componentes del vector w #» en la base B. c) Determine las componentes de #» s = #» u + #» v +w 17. En cada apartado, halle las componentes de #» u en la base indicada. a) #» u = (−2, 3) ∈ R2 , B = {(1, 1), (1, 0)}. 31

b) #» u = (2, −1, 5) ∈ R3 , B = {(1, 0, 1), (2, −1, 0), (0, 1, 1)}. 18. Construya una base ortonormal a partir de la base {(1, 2, 0), (−1, 3, −1), (−1, 0, −1)}. 19. Construya una base ortonormal para el subespacio S = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x3 = x2 + 2x1 .

9.1.

Problemas propuestos

a) Verifique si los puntos A(0, 1, 5), B(2, 3, 1), C(1, 2, −1) y D(−1, 2, 1) pertenecen a un mismo plano. n # » # » # »o b) ¿Es AB, AC, AD una base de R3 ? # » # » c) En base a lo obtenido en los apartados anteriores, ¿es AD combinaci´on lineal de AB # » y AC? n #»o 2. Si el conjunto de vectores #» a , b es una base en el plano, diga cu´ales de los siguientes conjuntos representan tambi´en una base en el plano n n #» n #» #»o #»o #»o #» #» a , #» a+ b , a , b , #» a+ b , b,−b .

1.

3.

a) Analice si #» v = (−3, 2, 1, 4) es cominaci´on lineal de #» v 1 = (2, 1, −1, 1), #» v 2 = (−1, 0, 1, 2) y #» v 3 = (1, 1, −1, 1). b) En base al resultado obtenido describa el espacio generado por { #» v , #» v , #» v , #» v }. 1

2

3

4

4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales   x + y − 2z − 5w = 3,    2x + 5y − z − 9w = −3,  2x + y − z + 3w = 11,    x − 3y + 2z + kw = −5. a) Encuentre k, de modo que el sistema resulte compatible indeterminado. b) Para dicho valor de k, determine el rango de la matriz de los coeficientes del sistema y exhiba una base de su espacio de columnas. c) ¿Cu´al es la dimensi´ on del espacio soluci´on del sistema homog´eneo asociado a S? 5. En cada caso determine si la afirmaci´ on es verdadera o falsa, justificando la respuesa. a) El conjunto S = {p ∈ P1 : p(x) = a + x} es un subespacio de P1 . b) El conjunto S = {p ∈ P1 : p(0) = 0} es un subespacio de P1 .

c) De los vectores x1 , x2 , x3 y x4 de un espacio vectorial V , se sabe que #» x 1 es combinaci´on lineal de #» x 2 y #» x 3 . Entonces se puede asegurar que #» x 1 es tambi´en combinaci´on lineal de #» x 2 , #» x 3 y #» x 4.

d ) La dimensi´ on del espacio generado por los vectores (1, 2), (0, 1) y (−1, 1) es 3. e) La dimensi´ on del espacio generado por los vectores (0, 0), (2, 1) es 1. 6. ¿Por qu´e puede asegurarse que el conjunto de puntos del plano π : x3 = x2 − x1 es un subespacio de R3 ?

32

#» Interprete 7. ¿Cu´al es el subespacio generado por A = { #» u , #» v }? ¿Y por B = { #» s , w}? 3 geom´etricamente. ¿Generan A y B el mismo subespacio de R ? z 3

z

#» 2w b

#» u = (1, −1, 1)

1

-1

b

-3

y

1

#» v = (3, 0, 1)

= (−2, −1, 0) -2

1 -1

b

b

2

-2

y

1

#» s = (5, −2, 3)

3

-1

2 3

x

4 5

x

8. Indique en cada caso si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique. a) gen 2x2 − x + 1, 2x3 − x2 − 1, 6x2 − 4x + 2, −x3 + 3x + 3 = P3 . n #» o b) Si #» a , b , #» c es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V , n #» o #» entonces el subconjunto #» a , b , #» a + b + #» c tambi´en lo es. c) El conjunto V =

a b : b = a + c es un subespacio vectorial de M2×2 . c 0

33

10.

Transformaciones lineales

Por R. Voget 1. Determine, en cada caso, si la transformaci´on dada es o no lineal. a) T1 : R → R definida por T1 (x) = sen x. b) T2 : R2 → R definida por T2 (x, y) = x.

c) T3 : R3 → R2 definida por T3 (x, y, z) = (|x| , y). d ) T4 : P2 → P1 definida por T4 a + bx + cx2 = b + 2cx. a11 a12 2 = (a12 − a21 , a22 + a21 ). e) T5 : M2×2 → R definida por T5 a21 a22 f ) T6 : R → R definida por T6 (x) = x2 . 2. Sea A una matriz de orden m × n. Considera que Rn y Rm son espacios de vectores columna. Demuestre que la transformaci´on T : Rn → Rm , definida por T (x) = Ax, es una transformaci´ on lineal. 3. Observe la figura y aplicando sus conocimientos previos sobre componentes de un vector, igualdad entre vectores, m´ odulo de un vector y ´angulo entre vectores, muestre que cos α − sen α x 2 2 , T : R → R : T (x, y) = y sen α cos α define una rotaci´ on (o giro) de amplitud α con centro en el origen de coordenadas. y

b

T (x, y) = (x′ , y ′ )

b

(x, y)

α x

4. Dado un pent´ agono regular inscrito en una circunferencia de radio r = 2 y con centro en el origen de coordenadas, y sabiendo que uno de sus v´ertices es el punto P1 (2, 0), encuentre las coordenadas de los dem´ as v´ertices. 5. Interprete geom´etricamente la transformaci´on T : R3 → R3 , definida por    cos α − sen α 0 x T (x, y, z) = sen α cos α 0 y  0 0 1 z 6. Interprete geom´etricamente la transformaci´on T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x, y) + (h, k), h, k n´ umeros reales. ¿Es T una transformaci´on lineal? 34

7. Determine si es lineal la transformaci´ on T : R2 → R2 definida por cos α − sen α x h T (x, y) = + . sen α cos α y k 8. Pruebe que a partir de la ley anterior se transforman rectas en rectas. 9. Describa la imagen del rect´ angulo de v´ertices A(1, 2), B(0, 3),C(−1, 1) al aplicarle a cada π π cos 6 − sen 6 x 2 2 2 punto la transformaci´ on T : R → R definida por T (x, y) = + . sen π6 cos π6 y 3 x2 9

+ y 2 = 1 corresponde a una elipse. Determine la imagen que resulta al 1 0 x 2 2 0 0 aplicarle la transformaci´ on T : R → R definida por T (x, y) = (x , y ) = . 0 3 y Bosqueje las gr´ aficas.

10. La ecuaci´on

11. Dada la transformaci´ on T : P2 → P3 definida por T (p(x)) = xp(x), pruebe que es una transformaci´ on lineal. 12. Determine si T : R3 → R2 , definida por T (x, y, z) = (x − 2y, y + 3z) es una transformaci´on lineal. 13. Sea F el espacio vectorial de todas las funciones f : R → R y sea c ∈ R. Determine si la transformaci´ on T : F → R definida por T (f ) = |f | es o no lineal. 14. Sea la transformaci´ on lineal T : R2 → R3 . Se sabe que   1 1 = 2. T 3 1   1 −1 = 0. T 1 2 x −1 . yT Encuentre T y 5 15. Sea la transformaci´ on lineal T : P1 → P1 . Se sabe que T (1 + 3x) = −1 + 3x y t(−1 + x) = 2 − 5x. Ecuentre T (b + ax) y T (−1 + 5x). 16. Halle el n´ ucleo de la transformaci´ on lineal del ejercicio 12. Pruebe que es un subespacio 3 de R . Indique su dimensi´ on. 17. Halle la imagen de la transformaci´ on lineal del ejercicio 12. Pruebe que es un subespacio 2 de R . Indique su dimensi´ on. 18. Sean V y W espacios vectoriales y oT : V → W una transformaci´on lineal. Pruebe que T es n #» uno a uno si y s´ olo si N (T ) = 0 . Ayuda: Recuerde que f : R → R es uno a uno si para cada par x1 , x2 del dominio de f , si x1 6= x2 resulta f (x1 ) 6= f (x2 ). 19. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n. El conjunto B = {b1 , b2 , . . . , bn } una base ordenada para V. Sea TV → Rn definida por T ( #» v ) = [ #» v ]B , para cada vector #» v de V. a) Pruebe que T es una transformaci´on lineal. 35

b) Demuestre que T es uno a uno. c) Demuestre que I(T ) = Rn . 20.

a) Halle la representaci´ on matricial can´onica AT para la transformaci´on lineal T : R4 → R5 definida por T (x, y, z, t) = (x − 2y + 2t, x + z − t, 4x − 2y + 3z − t). b) Halle el rango y la nulidad de T .

c) Determine las coordenadas de la imagen de (2, 1, 3, −1) en la nueva base B 0 = {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 9)}. 21.

a) Pruebe que la transformaci´ on T : R4 → R3 : T (x, y, z, w) = (x + w, x + y + z, x + y + z) es lineal. b) Encuentre la representaci´ on matricial can´onica AT para la transformaci´on. c) Encuentre el n´ ucleo de la transformaci´on, una base del n´ ucleo y su dimensi´on. d ) Encuentre la imagen de la transformaci´on, una base para la imagen y su dimensi´on. e) Interprete geom´etricamente el conjunto imagen.

22. Determine, en cada caso, si la aplicaci´on es o no lineal. En caso afirmativo, exhiba una base para el recorrido de la transformaci´on. T1 : P2 → P2 : T1 a + bx + cx2 = 3 + ax + bx2 + xc3 . x+y x−z 3 . T2 : R → M2×2 : T2 (x, y, z) = 0 x + 2y + z 23. Sea T : R3 → R3 , tal que T (x, y, z) (= x − y + 2z, x + 2y + z, 3x + 5z). a) Demuestre que T es una transformaci´on lineal. b) Exhiba una base para el n´ ucleo de la transformaci´on. c) Extienda la base encontrada a una base de R3 . 24. Una transformaci´ on T : V → W es sobre si su imagen (recorrido o contradominio) coincide con su codominio. Es decir si I(T ) = W. Determine si es sobre la transformaci´on T : R4 → P2 definida por T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 ) + (x3 − x4 ) x + (2x1 + x2 ) x2 . 25. Sea T : P2 → M2×2 una transformaci´ on lineal. Se sabe que 0 −1 1 2 2 0 2 2 . T x−x = T 1+x+x = T (1 − x) = 1 0 −2 −1 3 1 a) Encuentre la ley de la transformaci´on T a + bx + cx2 . b) Indique el rango y la nulidad de T . c) ¿Es T una transformaci´ on uno a uno?, ¿y sobreyectiva? 26. Si se tiene una sucesi´ on de n´ umeros {a1 , a2 , . . .}, ´esta puede transformarse en la sucesi´on de los promedios sucesivos: a1 a1 + a2 a2 + a3 , , ,... 2 2 2 (observe que comienza con el promedio entre a1 y 0). Suponiendo que cuenta con 11 n´ umeros, exprese la transformaci´ on en forma matricial. 27. Lea detenidamente el Ejemplo 24 de la p´agina 603 del libro ((Nociones de Geometr´ıa ´ Anal´ıtica y Algebra Lineal)) (Kozak, Pastorelli, Vardanega).

36

11.

Superficies y curvas en el espacio

Por R. Voget 1. Analiza las ecuaciones: a) x2 + z 2 − 4x − 12 = 0, ∀y. b) y 2 + z 2 − 4z − 12 = 0, ∀x.

2. Halla la ecuaci´ on de la superficie cil´ındrica de generatriz paralela al eje oy y directriz la 2 2 elipse contenida en el plano c´ oordenado xz de ecuaci´on x9 + z4 = 1, y = 0. 3. Estudia y representa las superficies cil´ındricas cuyas ecuaciones se dan: a) 3x − 2y + z − 5 = 0.

b) 25x2 + 4y 2 = 100, ∀z. c) 9 − x2 = z, ∀y.

d ) xz + 2yz = 1.

4. Halla la ecuaci´ on de la superficie cil´ındrica cuyas generatrices tienen como coeficientes ( 2 2 x − y = 1, Realiza un bosquejo directores (0, −2, 1) y su directriz tiene por ecuaci´on z = 0. de la gr´afica. 5. Halla la ecuaci´ on de la superficie cil´ındrica cuya directriz es una par´abola contenida en el pl´ano coordenado xy, con eje de simetr´ıa en el eje ox v´ertice en el origen de coordenadas, foco F (1, 0, 0), y cuyas generatrices son normales al plano π de ecuaci´on x − y + z = 0. 6. Dada la superficie cil´ındrica de ecuaci´on 17x2 + 2y 2 + z 2 − 8xy − 6xz − 2 = 0, halla las ecuaciones de su directriz y la direcci´ on de sus generatrices. 7. Halla el volumen del cilindro determinado por la superficie cil´ındrica de ecuaci´on x2 + y 2 − ´ z = 5. 6x − 4y + 12 = 0, el plano coordenado xy y el plano de ecuaciOn 8. Halla la ecuaci´ on e identifica el lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al plano coordenado xy es siempre igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje oy. Realiza la gr´ afica. 9. Halla la ecuaci´ on de la superficie c´ onica, dadas, en cada caso,las coordenadas del v´ertice y las ecuaciones de la directriz: ( x2 − 4z 2 = 6, V (−1, 1, 1). a) y = 2. ( z 2 = 9y, b) V (3, 0, 0). x = 1. 10. Halla la ecu´ aci´ on de la superficie c´ onica, cuyo v´ertice es V (1, 3, −2) y cuya directriz es la elipse contenida en el plano xy, con centro en el origen de coordenadas, eje mayor sobre el eje ox, semieje mayor igual a 5 y un foco en (3, 0, 0). 11. Analiza y representa las superficies c´ onicas dadas por las siguientes ecuaciones: a) x2 + y 2 = 4z 2 . 37

b) z 2 + 2y 2 − 4(x + 3)2 = 0. 12. Halla la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de los puntos cuya distancia al eje y sea el triple de la correspondiente al eje z. Describe dicha superficie. 13. Halla la ecuaci´ on de la superficie de revoluci´on generada por la rotaci´on de la curva en torno al eje especificado en cada caso. ( 9x2 + 4y 2 = 36, a) Eje x. z = 0. ( y 2 − z 2 = 4, b) Eje y. x = 0. ( y = 3x, c) Eje x. z = 0. 14. Analiza cada una de las ecuaciones. En caso que sea de una supericie de revoluci´on, halla las ecuaciones de la generatr´ız, y el eje de revoluci´on. Grafica. a) x2 + y 2 + z 2 = 9. b) x2 + z 2 = 4, ∀y. 15. Halla la ecuaci´ on de la esfera de centro C(3, 6, −4), y tangente al plano de ecuaci´on 2x − 2y − z − 10 = 0. 16. Halla la ecuaci´ on de la esfera dada por los puntos (7, 9, 1), (−2, −3, 2), (1, 5, 5) y (−6, 2, 5). 17. Verifica que x2 + y 2 + z 2 − 6z − 3z = 15 es la ecuaci´on de una superficie esf´erica y encuentra las coordenads del centro y el radio. 18. Efect´ ua el an´ alisis de las ecuaciones a)

x2 a2

b) − c) − d) − e) −

−

x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2

y2 b2

+ − + −

+ y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2

z2 c2

+

z2 c2

+

z2 c2

−

z2 c2

2

z2 c2

= by.

y2

g) − b2 +

z2 c2

= ax.

h) −

x2 a2

y2 b2

= cz.

f ) − xa2 +

= 1. = 1. = 1. = 1.

= cz.

i)

x2 a2

j)

y2 b2

+

− −

z2 c2

= by.

z2 c2

= ax.

19. Halla las proyecciones sobre los planos coordenados de las curvas del espacio dadas por las siguientes ecuaciones ( 2x2 + y 2 + 5z 2 = 22, a) Γ1 2x2 − y 2 + 4z 2 = 14. ( x2 + y 2 + z 2 = 1, b) Γ2 x + y = 1. ( x2 + 2y 2 + z = 10, c) Γ3 x + y − z = 0.

38

11.1.

Miscel´ anea

1. Analiza la ecuaci´ on, y representa la superficie en cada caso. a) x2 + b) x2 −

y2 4 y2 4

c) −x2 − d ) x2 +

y2 4

+

z2 9

= 36,

+

z2

= 36,

y2 4

9

+

z2 9

= 36,

= −2z.

2. Halla e identifica el lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los ejes x e y es siempre igual a 4. Grafica. 3. Halla la ecuaci´ on de una cu´ adrica sin centro, si la superficie se extiende a lo largo del eje z, y los puntos (2, 1, 1) y (4, 3, −1) pertenecen a ella. 4. Halla la euaci´ on de una cu´ adrica con centro si contiene a la curva ( 4y 2 + 2z 2 = 3, x = 2, y el punto (1, 1, −1) pertenece a ella. 5. Halla el lugar geom´etrico de los puntos P (x, y, z) cuya suma de distancias a los puntos fijos (−5, 0, 2) y (5, 0, 2) es constante e igual a 12. Identif´ıcalo. 6. Halla el lugar geom´etrico de los puntos P (x, y, z) tal que el cuadrado de su distancia al eje z, es el doble de la correspondiente al plano xy. 7. Halla la ecuaci´ on de la esfera de centro C(3, 6, −4) tangente al plano π de ecuaci´on 2x + 2y + z − 10 = 0. 8. Determina el valor de λ para que la esfera de ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 − 4x + 6y + 2z + λ = 0, tenga radio 5. 9. Nombra y representa las superficies cuyas ecuaciones son a) x2 + z 2 = 4. b) x2 = 4y. c) x2 + y 2 − z 2 = 0. 10. Halla las intersecciones de las superficies del ejercicio anterior, con los ejes y planos coordenados.

39

11.2.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Estudiemos la superficie x2 + y 2 − 4x − 12 = 0, ∀z. Intersecci´on de la superficie con los ejes coordenados. • Eje x. Para ello formamos el sistema  2 2  x + y − 4x − 12 = 0, y = 0,   z = 0. Obtenemos dos puntos (6, 0, 0) y (−2, 0, 0). • Eje y. Para ello formamos el sistema  2 2  x + y − 4x − 12 = 0, x = 0,   z = 0. √ √ Obtenemos dos puntos 0, 2 3, 0 y 0, −2 3, 0 .

• Eje z. Para ello formamos el sistema  2 2  x + y − 4x − 12 = 0, x = 0,   y = 0.

El sistema es incompatible y por lo tanto la superficie no intersecta al eje z. Intersecci´on de la superficie con los planos coordenados. • Plano coordenado xz. ( x2 + y 2 − 4x − 12 = 0, y = 0,

( x2 − 4x − 12 = 0, ⇔ y = 0,

( (x − 6)(x + 2) = 0, ⇔ y = 0.

El sistema representa una par de rectas en el espacio, ambas paralelas al eje z y contenidas en el plano xz, de ecuaciones ( ( x − 6 = 0, x + 2 = 0, y y = 0, y = 0. • Plano coordenado yz. ( x2 + y 2 − 4x − 12 = 0, x = 0,

( y 2 − 12 = 0, ⇔ x = 0,

( √ √ |y| = 12 = 2 3, ⇔ x = 0.

El sistema representa una par de rectas en el espacio, ambas paralelas al eje z y contenidas en el plano yz, de ecuaciones ( ( √ √ y = −2 3, y = 2 3, y x = 0, x = 0. 40

• Plano coordenado xy. ( x2 + y 2 − 4x − 12 = 0, z = 0,

( (x − 2)2 + y 2 = 16, ⇔ z = 0.

El sistema representa una circunferencia contenida en el plano xy de centro (2, 0, 0) y radio 4. z 2

-4

-3

b

1

-2

-1 1 -1

4

2 3 b

5 6

-1

-3 b

1

2 3

-2

y

-2

b

x

-3

Intersecci´on con planos paralelos al plano xy. Para valores de z distintos de 0, obtenemos ( (x − 2)2 + y 2 = 16, z = k, k 6= 0, que son ecuaciones de circunferencias Ck contenidas en planos de e4cuaci´on z = k, con centro en ck (2, 0, k) y radio 4. Ello nos induce a pensar que S est´a generada por el desplazamiento de la circunferencia C0 . Observaciones: Los centros de las circunferencias Ck pertenecen a una recta paralela al eje z. Para todo P1 (x1 , y1 , 0) perteneciente a C0 , todo punto P10 (x1 , y1 , k) perteneciente a Ck , determina con P1 una recta paralela al eje z. Esta recta se llama generatriz, y es natural pensar que S puede ser generada por una cualquiera de esas rectas que se desplaza manteni´endose paralela al eje z, y apoy´andose sobre la circunferencia C0 que llamamos directriz.

41

El lugar geom´etrico definido por la ecuaci´ on analizada es un cilindro o superficie cil´ındrica de generatriz paralela al eje z y directriz C0 .

Ejemplo 2 Analicemos la ecuaci´ on

2 2 2 z x − − 2 + y + z = 16. 2 3

Intersecci´on de la superficie con los ejes coordenados. • Eje x. Formamos el sistema  2 2 2 z   x − 2 − 2 + y + 3 z = 16, y = 0,   z = 0. Los u ´nicos puntos que satisfacen el sistema son (6, 0, 0) y (−2, 0, 0). √ √ • Eje y. De manera an´ aloga obtenemos 0, 2 3, 0 y 0, −2 3, 0 . • Eje z. De manera an´ aloga obtenemos 0, 0, 18 5 y (0, 0, 6). Intersecci´on de la superficie con los planos coordenados. • Plano xz. (

x − z2 − 2 y = 0,

2

+ y + 23 z

2

= 16,

( ⇔

x − z2 − 2 y = 0.

2

+ 49 z 2 = 16,

Esta curva corresponde a una elipse cuyos ejes de simetr´ıa no son paralelos a los ejes coordenados y que est´ a contenida en el plano coordenado xz. Su centro de simetr´ıa es el punto C1 (2, 0, 0). • Plano yz. De manera an´ aloga obtenemos una elipse cuyos ejes de simetr´ıa no son paralelos a los ejes coordenados y su centro de simetr´ıa es el punto C2 (0, 4, −6). • Plano xy.

(

x − z2 − 2 z = 0,

2

+ y + 32 z

2

= 16,

( (x − 2)2 + y 2 = 16, ⇔ z = 0.

Es la ecuaci´ on de una circunferencia C0 contenida en el plano coordenado xy, de centro C0 (2, 0, 0) y radio 4. 42

Intersecci´on de la superficie con planos paralelos al plano xy. ( ( 2 2 2 2 x − z2 − 2 + y + 23 z = 16, x − k+6 + y + 23 k = 16, 3 ⇔ z = k, k ∈ R, z = k, k ∈ R. 2 El sistema representa circunferencias de centro ck k+6 3 , − 3 k, k y radio 4. Los centros de estas circunferencias determinan una recta; en efecto #c c» = k , − 2 k, k = k 1 − 2 , 1 . 0 k 3 3 3 3 Podemos decir entonces que los centros de las circunferencias intersecci´on de la superficie con los planos paralelos al plano coordenado xy, pertenecen todos a una recta que contiene al punto c0 (2, 0, 0) y es paralela al vector #» u = 13 − 23 , 1 . An´alogamente a lo visto en el primer ejemplo, resulta que cada punto P (x, y, z) que pertenece a la superficie, pertenece a una recta paralela al vector #» u y a su vez cada una de estas rectas corta al plano xy en un punto de la circunferencia C0 . Luego la superficie est´ a generada por una recta de direcci´on #» u , que se desplaza apoy´andose sobre la circunferencia C0 de ecuaci´ on ( (x − 2)2 + y 2 = 16, C0 : z = 0. Ejemplo 3 Halla la ecuaci´on de la superficie cil´ındrica cuya directriz es la circunferencia de ecuaci´on ( x2 + y 2 = 9, z = 3, y cuyas generatrices son paralelas al vector (3, 4, 5).

43

Las ecuaciones de la generatriz por P0 (x0 , y0 , z0 ) son   x = x0 + 3t, g : y = y0 + 4t,   z = z0 + 5t, t ∈ R. El punto P0 (x0 , y0 , z0 ) verifica, adem´ as, las ecuaciones de la directriz: ( x20 + y02 = 9, z0 = 3.

De las dos condiciones resulta ( ( (x − 3t)2 + (y − 4t)2 = 9, (x − 3t)2 + (y − 4t)2 = 9, ⇔ z − 5t = 3, t = z−3 5 ,

( (x − 53 (z − 3))2 + (y − 45 (z − 3))2 = 9, ⇔ t = z−3 5 .

La ecuaci´on es 5x2 + 5y 2 + 5z 2 + 18x + 24y − 30z − 6xz − 8yz = 0. Su gr´afica es

Ejemplo 4 Analicemos el lugar geom´etrico del espacio de ecuaci´on S : 3x2 − y 2 + 2z 2 = 0.

Intersecci´on con los ejes coordenados. S s´olo intersecta a los ejes coordenados en el punto (0, 0, 0). Intersecci´on con los planos coordenados.

44

• Plano yz. ( 3x2 − y 2 + 2z 2 = 0, x = 0,

( −y 2 + 2z 2 = 0, ⇔ x = 0,

√ √ y + 2z −y + 2z = 0, x = 0.

( ⇔

La superficie S corta al plano yz en dos rectas de ecuaciones ( ( √ √ y + 2z = 0, −y + 2z = 0, y x = 0, x = 0. • Plano xy. ( 3x2 − y 2 + 2z 2 = 0, z = 0,

( 3x2 − y 2 = 0, ⇔ z = 0,

√ √ y + 3x −y + 3x = 0, z = 0.

( ⇔

La superficie S corta al plano xy en dos rectas de ecuaciones ( ( √ √ y + 3x = 0, −y + 3x = 0, y z = 0, z = 0. • Plano xz. La superficie intersecta al plano coordenado s´olo en el punto (0, 0, 0). Planos paralelos al plano xz. ( 3x2 − y 2 + 2z 2 = 0, y = k,

( 3x2 − k 2 + 2z 2 = 0, ⇔ y = k,

( 3x2 + 2z 2 = k 2 , ⇔ y = k,

⇔

 2  x2 + k 3

z2 k2 2

= 1,

y = k.

Las intersecciones son elipses Ek con eje mayor paralelo al eje z, todas ellas con centro de simetr´ıa en el punto (0, k, 0), contenida cada una en el plano de ecuaci´on y = k, ∀x, ∀z. Podemos considerar este lugar geom´etrico como una sucesi´on de elipses infinitamente pr´oximas, con centros de simetr´ıa sobre el eje y, cuyos ejes mayor y menor crecen en forma proporcional a |k|, siendo |k| la distancia de los planos de ecuaci´ on y = k al origen de coordenadas. Uno de los k v´ertices de la elipse Ek es el punto Ak 0, k, √2 y estos puntos est´an sobre la intersecci´on de la superficie con el plano yz. Luego, el lugar geom´etrico es aquel engendrado por una recta que se desplaza sobre una curva fija, en este caso una elipse, manteniendo un punto fijo, en este caso, el punto (0, 0, 0).

45

Ejemplo 5 Se trata de hallar la ecuaci´ on ( de la superficie c´onica con v´ertice en V (0, 0, 0) y cuya directriz es x2 + y 2 = 9, la circunferencia de ecuaci´ on z = 2. El punto P0 (x0 , y0 , 2) pertenece a la directriz y a la generatriz. Esta u ´ltima tiene la direcci´on # » del vector OP0 = (x0 , y0 , 2) y su ecuaci´ on es g:

x y z 1 = = = , x0 y0 2 t

luego  x  x0 = 2 z , y0 = 2 yz ,   z0 = 2, Reemplazando queda

y

( x20 + y02 = 9, z02 .

x 2 y 2 2 + 2 = 9, z z

o equivalentemente 4x2 + 4y 2 − 9z 2 = 0, que es la ecuaci´on de un cono. Observa que la ecuaci´ on encontrada es homog´enea en x, y, z, y es de segundo grado. La representaci´on gr´afica es

Ejemplo 6 Hallaremos la ecuaci´ on de la superficie c´ onica cuyo v´ertice es V (1, 3, 2) y su directriz es la elipse de ecuaci´on ( 4x2 + y 2 = 1, z = 0.

46

Las ecuaciones de la generatriz son  1  x = 1 + (x0 − 1) t , y = 3 + (y0 − 3) 1t ,   z = 2 + (z0 − 2) 1t ,

despejando

Como P0 pertenece a la directriz, entonces ( 4 [1 + (x − 1)t]2 + [3 + (y − 3)t]2 = 1, 2 + (z − 2)t = 0,

  x0 = 1 + (x − 1)t, y0 = 3 + (y − 3)t,   z0 = 2 + (z − 2)t.

( 4 [1 + (x − 1)t]2 + [3 + (y − 3)t]2 = 1, ⇔ 2 . t = − z−2

La ecuaci´on de la superficie c´ onica resulta x−1 4 1−2 z−2

2

y−3 2 + 3−2 = 1. z−2

Ejemplo 7 Tenemos que hallar la ecuaci´ on de la superficie de revoluci´on engendrada por la rotaci´on de la hip´erbola Γ, contenida en el plano xy, en torno al eje y, y representarla gr´aficamente, donde ( 2y 2 − x2 = 4, Γ: z = 0.

Sustituyendo x por

√

x2 + z 2 en la primera ecuaci´on que define a Γ obtenemos 2y 2 −

p 2 x2 + z 2 = 4

o equivalentemente 2y 2 − x2 − z 2 = 4.

47

Intersecciones de la superficie con los ejes coordenados. • Eje x.

 2 2 2  2y − x − z = 4, y = 0,   z = 0,

 2  −x = 4, ⇔ y = 0,   z = 0.

El sistema es incompatible y por lo tanto la superficie no intersecta al eje x. • Eje y.

 2 2 2  2y − x − z = 4, x = 0,   z = 0,

 2  2y = 4, ⇔ x = 0,   z = 0.

Las coordenadas de dos puntos satisfacen al sistema A1 0, • Eje z.

 2 2 2  2y − x − z = 4, x = 0,   y = 0,

√

√ 2, 0 y A2 0, − 2, 0 .

 2  −z = 4, ⇔ x = 0,   y = 0.

El sistema es incompatible y por lo tanto la superficie no intersecta al eje z. Propuesta: Hallar las ecuaciones de las curvas intersecci´on de la superficie con los planos coordenados y con planos paralelos a los coordenados, y analizarlas. Se trata de un hiperboloide de dos hojas.

48

Ejemplo 8 Probemos que y 2 + z 2 − 4x + 16 = 0 es la ecuaci´on de una superficie de revoluci´on. p 2 y 2 + z 2 − 4x + 16 = 0 ⇔ y 2 + z 2 − 4(x − 4) = 0 ⇔ y 2 + z 2 − 4(x − 4) = 0. p 2 2 La ecuaci´on es del tipo F x, y + z = 0, que corresponde a una superficie de revoluci´on en torno al eje x. Intersecci´on de la superficie con los ejes coordenados. • Eje x.  2 2  y + z − 4x + 16 = 0, y = 0,   z = 0,

  −4x + 16 = 0, ⇔ y = 0,   z = 0,

  x = 4, ⇔ y = 0,   z = 0,

que corresponden a las coordenadas del punto P (4, 0, 0). • Eje y.

 2 2  y + z − 4x + 16 = 0, x = 0,   z = 0,

 2  y + 16 = 0, ⇔ y = 0,   z = 0.

No hay intersecci´ on con el eje y. • Eje z.

 2 2  y + z − 4x + 16 = 0, x = 0,   z = 0,

 2  z + 16 = 0, ⇔ x = 0,   y = 0.

No hay intersecci´ on con el eje z. Intersecci´on de la superficie con los planos coordenados. • Plano xz. ( y 2 + z 2 − 4x + 16 = 0, y = 0,

( z 2 − 4x + 16 = 0, ⇔ x = 0,

( z 2 = 4(x − 4), ⇔ x = 0,

ecuaci´ on que corresponde a una par´abola con v´ertice V (4, 0, 0). • Plano xy. ( y 2 + z 2 − 4x + 16 = 0, z = 0,

( y 2 − 4x + 16 = 0, ⇔ x = 0,

( y 2 = 4(x − 4), ⇔ z = 0,

ecuaci´ on que corresponde a una par´abola con v´ertice V (4, 0, 0). • Plano yz.

( y 2 + z 2 − 4x + 16 = 0, x = 0,

No existe intersecci´ on. 49

( y 2 + z 2 + 16 = 0, ⇔ x = 0.

Intersecci´on de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. • Planos paralelos al plano yz. ( y 2 + z 2 = 4(x − 4), x = k, √ Si k > 4, las curvas son circunferencias con centro en ck (k, 0, 0) y radio 2 k − 4. Por lo tanto, la superficie es de revoluci´ on y el eje de rotaci´on es el eje x.

Ejemplo 9 Se trata de obtener la ecuaci´ on de la superficie esf´erica de centro C(1, −3, 4) y radio 4. La ecuaci´on buscada es (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 4)2 = 16. Ejemplo 10 Consideremos la ecuaci´ on x2 + y 2 + z 2 − 2x + 6y − 4z = 11. Analicemos si es la ecuaci´on de una esfera y en ese caso determinemos su centro y radio. Completamos cuadrados: x2 + y 2 + z 2 − 2x + 6y − 4z = 11 x2 − 2x + y 2 + 6y + z 2 − 4z = 11 x2 − 2x+1 − 1 + y 2 + 6y+9 − 9 + z 2 − 4z+4 − 4 = 11 (x − 1)2 − 1 + (y + 3)2 − 3 + (z − 2)2 − 4 = 11

(x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 25

Es la ecuaci´on de una superficie esf´erica de centro C(1, −3, 2) y radio 5. 50

Ejemplo 11 Analicemos ahora la ecuaci´ on x2 + y 2 + z 2 + 4x − 2y + 7 = 0. Completamos cuadrados: x2 + y 2 + z 2 + 4x − 2y + 7 = 0 x2 + 4x + y 2 − 2y + z 2 = −7 x2 + 4x+4 − 4 + y 2 − 2y+1 − 1 + z 2 = −7 (x + 2)2 + (y − 1)2 + z 2 = −2

La ecuaci´on no corresponde a ning´ un lugar geom´etrico real. Ejemplo 12 Deseamos hallar las ecuaciones de la proyecci´on sobre el plano coordenado yz de la curva ( x2 + 2y 2 + 3z 2 − 27 = 0, Γ: x2 − 2y 2 − z 2 + 9 = 0. La curva Γ es la intersecci´ on de un elipsoide con un hiperboloide de una hoja.

Para hallar la ecuaci´ on del cilindro proyectante sobre el plano coordenado yz, debemos eliminar x de las ecuaciones de Γ. ( ( x2 + 2y 2 + 3z 2 − 27 = 0, x2 + 2y 2 + 3z 2 − 27 = 0, ⇔ x2 − 2y 2 − z 2 + 9 = 0, 4y 2 + 4z 2 − 36 = 0. La segunda ecuaci´ on corresponde al cilindro proyectante y 2 + z 2 = 9. Podemos observar la curva intersecci´on. La ecuaci´on de la directriz de la superficie cil´ındrica sobre el plano coordenado yz es ( y 2 + z 2 = 9, d: x = 0, 51

que adem´as es la proyecci´ on ortogonal de Γ sobre yz. Se trata de una circunferencia de centro C(0, 0, 0) y radio 3.

Ejemplo 13 Tenemos que hallar la proyecci´ on sobre el plano xy de la circunferencia intersecci´on del plano cuya ecuaci´on es 3x + 2y − z = 0, con la esfera de ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 = 16. ( 3x + 2y − z = 0, Γ: x2 + y 2 + z 2 = 16. Eliminamos z de las ecuaciones de Γ ( ( 3x + 2y − z = 0, 3x + 2y = z, ⇔ x2 + y 2 + z 2 = 16, x2 + y 2 + z 2 = 16,

( (3x + 2y)2 = z 2 , ⇔ x2 + y 2 + z 2 = 16,

( (3x + 2y)2 = z 2 , ⇔ x2 + y 2 + (3x + 2y)2 = 16.

La segunda ecuaci´ on del sistema corresponde al cilindro proyectante de Γ sobre el plano xy. La ecuaci´on de la proyecci´ on es ( ( x2 + y 2 + (3x + 2y)2 = 16, 10x2 + 12xy + 5y 2 = 16, p: o q: z = 0, z = 0.

52