Mecanismos 3h56d

Teor´ıa de Mecanismos: Apuntes y problemas resueltos

José Luis Blanco Claraco José Luis Torres Moreno Antonio Giménez Fernández

Departamento de Ingenier´ıa ´ Area de Ingenier´ıa Mecánica Universidad de Almer´ıa

Versión preliminar (fecha: 15 de noviembre de 2015)

Historial de cambios y revisiones: 3/NOV/2015: A˜ nadido problema resuelto §6.3. 9/OCT/2015: A˜ nadida secci´ on §2.3.1. 29/NOV/2014: Corregida errata en solución del problema §4.3; a˜ nadido denominador omitido por error en Ec. (4.79). 28/OCT/2014: Correcci´ on de figuras y resultados del problema §3.1.

Este obra est´ a bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

ÍNDICE GENERAL

I

Cinem´ atica: m´ etodos anal´ıticos

4

1. Repaso de conceptos b´ asicos 1.1. Sistemas de coordenadas . . . . . . . 1.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones vectoriales b´ asicas . . . 1.3.1. Suma . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Resta . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Escalado . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Producto escalar . . . . . . . 1.3.5. Producto vectorial . . . . . . 1.3.6. Triple producto vectorial . . 1.4. Derivadas de expresiones vectoriales 1.5. Problemas resueltos y propuestos . .

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5 5 5 7 7 7 8 8 9 10 12 13

2. Nociones de cinem´ atica anal´ıtica 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Coordenadas intr´ınsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Cinem´ atica del s´ olido r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Concepto de velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Derivada de un vector constante que se traslada o rota . . 2.3.3. Caso de un punto en un sólido r´ıgido . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Caso de un punto móvil en un sistema de referencia móvil

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15 15 16 19 19 19 22 22

3. Problemas resueltos 3.1. Examen Feb-2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Examen Feb-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Doble deslizadera con dos barras (problema 4.3 de [1]) 3.4. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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25 26 31 35 37

II

Cinem´ atica: m´ etodos num´ ericos

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39

4. Problemas resueltos 40 4.1. Bloques en dos correderas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Ejemplo modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2

ÍNDICE GENERAL

4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

III

Cuadril´ atero con motor en acoplador . . . . . . . . . . Modelado: retorno r´ apido . . . . . . . . . . . . . . . . Mecanismo de cuatro barras: posición inicial . . . . . . Doble deslizadera con dos barras (problema 4.3 de [1]) Problema cilindro neum´ atico . . . . . . . . . . . . . . Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Din´ amica num´ erica

3

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48 51 54 56 59 61

64

5. Problemas resueltos 65 5.1. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

IV

Engranajes

69

6. Problemas resueltos 70 6.1. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. Examen Sep-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3. C´ alculo de velocidades en un tren compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa

Parte I

Cinem´ atica: m´ etodos anal´ıticos

4

CAPÍTULO

1 ´ REPASO DE CONCEPTOS BASICOS

Contents 1.1. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . 1.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones vectoriales b´ asicas . . . . . . . . 1.3.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Escalado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Triple producto vectorial . . . . . . . . . . . 1.4. Derivadas de expresiones vectoriales . . . . . 1.5. Problemas resueltos y propuestos . . . . . . .

1.1.

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. 5 . 5 . 7 . 7 . 7 . 8 . 8 . 9 . 10 . 12 . 13

Sistemas de coordenadas

Un sistema de coordenadas consiste en un punto al que llamamos origen de coordenadas y en un conjunto de direcciones perpendiculares entre s´ı que usaremos para medir la posici´ on de cualquier punto o vector con respecto al origen. Normalmente emplearemos sistemas tridimensionales, por ser los más u ´tiles en problemas reales de ingenier´ıa y mecánica, aunque a menudo podremos simplificar un problema abordándolo mediante coordenadas bidimensionales, siempre que todos los desplazamientos ocurran en un u ńico plano. En estos apuntes denotaremos un sistema de coordenadas por el nombre de sus ejes (XY Z) o por el nombre del punto donde está su origen (O), como se ve en la Figura 1.1.

1.2.

Vectores

Una magnitud vectorial es una entidad compuesta por un m´ odulo (tama˜ no) y una direcci´ on en el espacio. Es fundamental por tanto no confundir magnitudes f´ısicas vectoriales (posici´ on, velocidad fuerzas, par de fuerzas, velocidad angular, etc.) con otras que son escalares (energ´ıa cinética, m´ odulo de la velocidad, módulo de una fuerza, etc.). 5

1.2. VECTORES

6

Z

Z' Y'

Y

A X' O

Y

X

X (a)

(b)

Figura 1.1: Ejemplos de sistemas de coordenadas. (a) Un sistema XY en el plano. (b) Un sistema tridimensional XY Z con origen en O y otro sistema X 0 Y 0 Z 0 con origen en A.

Un vector puede venir dado en dos formas: (i) por su módulo y su dirección por separado, o (ii) directamente por sus coordenadas en el espacio. En cuanto a notación, un vector se suele denotar en textos impresos por una letra min´ uscula en negrita (~r), ~ mientras que al escribir a mano se usa el s´ımbolo de vector (~r). A la hora de operar vectores junto a matrices es importante tener claro si estos son vectores fila o vectores columna. El convenio habitual es tratar los vectores como columnas, y as´ı lo haremos en este texto: 

rx



   ~r = (rx ry rz )> =   ry  = (rx , ry , rz ) rz

(1.1)

donde la tercera forma mostrada, (rx , ry , rz ), será la más empleada por motivos de espacio. El m´ odulo de un vector se denota con |a| o con |˜ a|. En algunos libros también se denota con el s´ımbolo de vector sobre una letra min´ uscula en texto regular (no negrita), p.ej. ~a. No usaremos aqu´ı dicho convenio y, desde luego, no se aconseja seguirlo en ejercicios escritos a mano ya que no se habr´ıa forma de distinguir una magnitud vectorial y su módulo. El m´ odulo de un vector dadas sus coordenadas ~r = (rx , ry , rz ) es inmediato, ya que:

|~r| =

q

rx2 + ry2 + rz2

(1.2)

Un vector unitario es aquel cuyo módulo es la unidad. Debido a la frecuencia con que se usan los vectores asociados a las tres direcciones de un sistema de coordenadas ˆ a los vectores unitarios asociados con las direcXY Z, se suelen denotar como î, ˆj y k ciones positivas de los ejes X, Y y Z, respectivamente. Dado un vector cualquiera ~r podemos hallar un vector unitario en su misma dirección (~ˆr) simplemente dividiendo sus coordenadas por su m´ odulo:

~ˆr =

rx ry rz , , |~r| |~r| |~r|

(1.3)


´ 1.3. OPERACIONES VECTORIALES BASICAS

1.3. 1.3.1.

7

Operaciones vectoriales b´ asicas Suma

Anal´ıticamente, la suma de dos vectores a y b da por resultado otro vector ~r cuyas coordenadas son la suma de los dos primeros:

~r = a + b = (ax , ay , az ) + (bx , by , bz ) = (ax + bx , ay + by , az + bz )

(1.4)

Gráficamente, la suma de vectores equivale a la composición de vectores, colocando uno en el extremo del otro. El vector resultante queda determinado por el punto de inicio y el extremo del u ´ltimo vector que se suma:

Y

b

a c r X Figura 1.2: Ejemplo de suma vectorial ~r = a + b + c por el método gráfico.

La suma cumple la propiedad conmutativa, por lo que no importa el orden en que se sumen dos o m´ as vectores (es decir, a + b = b + a).

1.3.2.

Resta

La resta de vectores se puede ver como un caso particular de suma donde uno de los vectores se invierte, es decir:

~r = a + b = a + (−b) (1.5) donde el vector inverso −b se obtiene cambiando el signo a todas sus coordenadas o, gráficamente, invirtiendo su sentido mientras se mantienen su módulo y dirección:

Y

b

-b a r

X Figura 1.3: Ejemplo de resta ~r = a − b por el método gráfico.



1.3.3.

8

Escalado

Un vector se puede multiplicar o dividir por un n´ umero escalar, con lo que solamente se verá afectado su m´ odulo pero no su dirección. Anal´ıticamente, el producto de un vector ~r por un escalar a se obtiene multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar:

a~r = a (rx , ry , rz ) = (arx , ary , arz )

(1.6)

Esta operaci´ on es precisamente la que impl´ıcitamente realizamos cuando damos un vector por sus coordenadas ~r = (rx , ry , rz ), ya que esos tres n´ umeros son los que multiˆ ˆ ˆ plicarán a los tres ejes unitarios i, j y k, respectivamente, siendo el vector ~r la resultante de sumar esos tres vecotores escalados. Como ejemplo, tomemos el vector: ~r = (3, 2, 1)

−→

ˆ ~r = 3î + 2ˆj + 1k

(1.7)

ˆ que gráficamente podemos construir mediante la composición de 3î, más 2ˆj, y más 1k, como se muestra en la Figura 1.4.

Z

kˆ ˆj

î

r

Y

X Figura 1.4: Ejemplo de composici´ on de varios vectores (las bases unitarias en este caso), cada uno escalado por un n´ umero distinto para dar un vector ~r.

1.3.4.

Producto escalar

Definimos el producto escalar de dos vectores tridimensionales ~r1 = (x1 , y1 , z1 ) y ~r2 = (x2 , y2 , z2 ) como la magnitud escalar resultante de:

~r1 · ~r2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

(1.8)

Alternativamente, el producto escalar se puede expresar en otra forma que tiene una clara interpretaci´ on geométrica: ~r1 · ~r2 = |~r1 ||~r2 | cos θ

(1.9)

donde θ es el ´ angulo que los vectores hacen en el espacio, medido sobre el plano que contiene a ambos. (Ver ejemplo 1.1). ˆ , su producto escalar: Por tanto, dado un vector genérico ~r y un vector unitario u 1 ~r · u ˆ = |~r||ˆ u | cos θ = |~r| cos θ

(1.10)



9

Z

r

uˆ r uˆ

Y

X ˆ. Figura 1.5: La proyección del vector ~r sobre la dirección de u

(a)

(b)

(c)

Figura 1.6: Trucos para recordar el sentido de un producto vectorial. (a) La regla de la mano derecha dice que si cerramos los dedos haciéndolos girar pasando primero en la direcci´ on de a y luego en la de b, el pulgar apuntará en la dirección de a × b. (b)–(c) La regla del destornillador indica que el giro de un tornillo en el sentido definido por el ´ angulo m´ as corto desde a hacia b, lo hará subir o bajar en el mismo sentido del producto vectorial correspondiente.

ˆ , como se ve en la Figura 1.5. En otras palabras, nos dará la proyecci´ on de ~r sobre u ˆ ” contiene ~r. “cuánto de u

1.3.5.

Producto vectorial

A diferencia del producto escalar, el resultado de un producto vectorial no es un n´ umero sino, como su nombre indica, un nuevo vector. Denotaremos esta operación como ~r = ~r1 × ~r2 , aunque en otros textos se emplea la notación alternativa ~r = ~r1 ∧ ~r2. Las propiedades m´ as importantes del producto vectorial son: El m´ odulo de ~r1 ×~r2 vale |~r1 ||~r2 | sin θ, siendo θ el ángulo que hacen ~r1 y ~r2 . Esto implica que si dos vectores son colineales (hacen 0◦ o 180◦ ), su producto vectorial ser´ a nulo. La direcci´ on de ~r1 ×~r2 ser´ıa siempre perpendicular a ambos, ~r1 y ~r2 . Es decir, ser´ a perpendicular al plano que ambos vectores definen. El sentido viene dado por las reglas de la mano derecha o, equivalentemente, la del tornillo, ilustradas en la Figura 1.6.



10

En un producto vectorial el orden s´ı que importa, ya que ~r1 × ~r2 = −~r2 × ~r1 . Es decir, al intercambiar el orden de los vectores se obtiene un vector de idéntico módulo y direcci´ on pero de sentido contrario. En general, si conocemos las coordenadas de dos vectores ~r1 = (x1 , y1 , z1 ) y ~r2 = (x2 , y2 , z2 ), podemos calcular su producto vectorial usando la fórmula del determinante de una matriz de 3 × 3:

~r1 × ~r2 =

î

ˆj

x1

y1

x2

y2

ˆ k y1 ˆ z1 = i y2 z2

x z1 − ˆj 1 z2 x2

x z1 ˆ 1 +k z2 x2

y1 y2

(1.11)

Alternativamente, podemos usar el operador [·]× sobre el primer término del producto (~r1 ) para convertir ese vector en una matriz 3 × 3, que entonces se multiplica (usando el producto matricial est´ andar) con el segundo término (~r2 ), resultando en un vector columna 3 × 1 con las coordenadas del vector resultante:



0

 ~r1 × ~r2 ≡ [~r1 ]×~r2 =   z1 −y1

−z1 0 x1

y1



x2



    −x1    y2  0 z2

(1.12)

Es u ´til coger soltura con multiplicaciones vectoriales donde intervengan los vectores ˆ debido a lo frecuentemente que enunitarios de un sistema de coordenadas (î, ˆj y k), contraremos esta operaci´ on durante la resolución de problemas. Debido a que siempre usaremos un sistema dextr´ ogiro de coordenadas, tendremos las siguientes relaciones: î × ˆj = k ˆ ˆj × k ˆ = î

ˆj × î = −k ˆ ˆ × ˆj = −î k

ˆ × î = ˆj k

î × k ˆ = −ˆj

(1.13)

Se puede emplear la siguiente regla nemotécnica: tomando los vectores unitarios en ˆ → î → ˆj · · · (ver Figura 1.7), el producto de dos términos consesecuencia, î → ˆj → k cutivos en ese mismo orden nos dará siempre el siguiente elemento, con signo positivo. En caso de encontrarlos en el orden inverso, tendremos que a˜ nadir el signo negativo. Es conveniente dedicar unos momentos a comparar la Figura 1.7 con la Ec. (1.13) para interiorizar esta regla.

1.3.6.

Triple producto vectorial

Es frecuente en mec´ anica encontrar productos vectoriales triples, simplemente consistentes en la concatenaci´ on de dos productos vectoriales: a × (b × c)

(1.14)

El paréntesis es muy importante ya que indica el orden de los dos productos vectoriales: primero, multiplicar b × c, y después, multiplicar a por el resultado. Recordar que el producto vectorial no es conmutativo, por lo que en general: Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


11

kˆ

ˆj

î

Figura 1.7: Regla nemotécnica para recordar el orden en que el producto de dos vectores unitarios nos da el siguiente dentro de una base XY Z.

a × (b × c) 6= (a × b) × c

(1.15)

Debido a lo frecuentemente que aparecerán este tipo de productos triples en mecánica anal´ıtica, conviene agilizar su c´ alculo explotando las siguientes propiedades: 1. Si el primer y segundo vector que aparecen en el producto son el mismo, a su vez éste es perpendicular al tercero, y todos son unitarios (módulo unidad), el resultado total ser´ a siempre igual el tercer vector con su sentido invertido. Algunos ejemplos: î × (î × ˆj) î × (î × k) ˆ ˆ × (k ˆ × î) k ˆ × (k ˆ × (−î)) k

= =

−ˆj ˆ −k

(1.16)

−î = î =

··· Este resultado, extendido como se explica abajo, será muy u ´til cuando se calculen aceleraciones centr´ıpetas. 2. Si tenemos tres vectores genéricos a, b y c, con direcciones dadas por los vectores ˆ yc ˆ, b ˆ y de m´ unitarios a odulos a,b y c, respectivamente, se cumple: ˆ × (cˆ a × (b × c) = (aˆ a) × (bb) c) (1.17) ˆ ×c ˆ × (b ˆ) = abc a lo que significa que siempre podremos reducir un producto vectorial triple al producto de tres vectores unitarios por un lado, y un escalado del resultado (la multiplicaci´ on por un n´ umero real). 3. Encadenando las dos propiedades anteriores, llegamos a la siguiente regla:

ˆ = a × (a × b) = (aˆ a) × (aˆ a) × (bb)

 2 ˆ    a b(−b)

(o equivalentemente) (1.18)

  

a2 (−b)

Un ejemplo concreto con valores numéricos ser´ıa:    52 4(−î)  ˆ × (5k ˆ × 4î) = 5k = −100î  52 (−4î) 

(1.19)


1.4. DERIVADAS DE EXPRESIONES VECTORIALES

1.4.

12

Derivadas de expresiones vectoriales

En mec´ anica anal´ıtica se trata constantemente con vectores que representan las coordenadas de alg´ un punto de interés, luego es natural que al interesarnos por velocidades y aceleraciones aparezcan derivadas de expresiones vectoriales. La derivada de un vector con respecto al tiempo es simplemente otro vector cuyas componentes son las derivadas de las coordenadas del primer vector. Sin embargo, en la práctica conviene familiarizarse con las siguientes reglas básicas para agilizar los cálculos. Linealidad: La derivada de la suma de dos vectores es la suma de sus derivadas:

d (a + b) = dt

d d a + b ≡ a˙ + b˙ dt dt

(1.20)

Adem´ as, los valores constantes pueden salir fuera de la derivada:

d (ka) = k a˙ dt

(Sólo si k es una constante)

(1.21)

Regla del producto: Recordemos la regla de la derivada del producto de funciod nes: dt (f g) = f˙g + f g. ˙ Esta misma norma se aplica a productos de una función escalar multiplicada por un vector:

d (k(t)a) = dt

dk(t) a + k(t)a˙ dt

(1.22)

y también al producto escalar y vectorial de dos vectores:

d ˙ + ab˙ (ab) = ab dt

(1.23)

d (a × b) = a˙ × b + a × b˙ dt


1.5. PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

1.5.

13

Problemas resueltos y propuestos

Ejemplo 1.1 Determinar el ángulo que hacen los vectores ~r1 = (2, −3, 5) y ~r2 = (−1, 1, 2). Como tenemos las coordenadas de ambos vectores, podemos usar la Ec. (1.8) para calcular su producto escalar: ~r1 · ~r2 = 2 · (−1) + (−3) · 1 + 5 · 2 = 5 Porpotro lado, usando la√ Ec. (1.2) obtenemos los módulos√de ambos vectores, p |~r1 | = 22 + (−3)2 + 52 = 38 y |~r2 | = (−1)2 + 12 + 22 = 6, con lo que sustituyendo todos los datos conocidos en la Ec. (1.9) y despejando el ángulo desconocido θ: ~r1 · ~r2 = |~r1 ||~r2 | cos θ √ √ 5 = 38 6 cos θ cos θ = θ =

√5 6·38 cos−1 (0.331)

= 70.66◦

ˆ Ejemplo 1.2 Evaluar el triple producto vectorial 10î × (10î × 3k). Método 1: Podemos aplicar la fórmula del determinante de la Ec. (1.11) dos veces, una para cada uno de los dos productos. Primero para el producto dentro del paréntesis:

ˆ ˆ 10i × 3k =

0 ˆj k ˆ 0 0 10 0 ˆ ˆ 10 0 0 = i − j 0 3 0 3 0 0 3 î

0 10 0 +k ˆ = −30ˆj 0 0

y a continuaci´ on el producto vectorial exterior al paréntesis:

z }| { 10î×( −30ˆj ) = ˆ =10î×3k

0 0 ˆ k > 10 0 0 10 0 0 −ˆj +k ˆ 10 0 0 = î 0 −30 −30 0 0 0 0 −30 0 î

ˆj

= −300k ˆ

Método 2: Usando la regla nemotécnica de la Figura 1.7, sabemos que la direcˆ ser´ ción de î × k a la de −ˆj, por lo que debido a la linealidad del producto vectorial ˆ = −30ˆj. Ahora hay que multiplicar este reobtenemos directamente que 10î × 3k sultado por el primer vector, es decir calcular 10î × (−30ˆj). Volviendo a emplear la ˆ misma regla anterior, determinamos que si el resultado de î × ˆj tiene dirección de k, ˆ ˆ ˆ el producto 10i × (−30j) debe ser −300k.


1.5. PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

14

Se recomienda repetir los razonamientos anteriores visualizando las direcciones de los distintos vectores en el espacio tridimensional y aplicando las reglas de la mano derecha o del destornillador para verificar que las direcciones obtenidas son las correctas. Método 3: Ya que el primer y segundo vector son el mismo y éste a su vez es perpendicular al tercer vector del producto, podemos aplicar directamente el resultado de la Ec. (1.18), obteniendo inmediatamente el resultado correcto: ˆ = 102 3(−k) ˆ = −300k ˆ 10î × (10î × 3k)

ˆ e interpretar Ejemplo 1.3 Evaluar el triple producto vectorial 5î × (4ˆj × 2k) geométricamente el resultado obtenido.


CAPÍTULO

2 ´ NOCIONES DE CINEMATICA ANALÍTICA

Contents 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Coordenadas intr´ınsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Cinem´ atica del s´ olido r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.

2.3.1. Concepto de velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.2. Derivada de un vector constante que se traslada o rota . . . . .

19

2.3.3. Caso de un punto en un sólido r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.4. Caso de un punto móvil en un sistema de referencia móvil . . .

22

Introducci´ on

El estudio cinem´ atico de un objeto pretende determinar cómo se mueve éste a lo largo del tiempo, sin entrar a analizar las fuerzas o momentos implicados. En esta asignatura necesitaremos describir el estado de movimiento de dos entidades muy distintas: puntos y s´ olidos r´ıgidos. Los puntos son adimensionales, es decir, de tama˜ no tan reducido que podemos aproximarlos bien por un punto “matemático” ideal. Normalmente nos interesaremos en puntos que a su vez forman parte de un cuerpo sólido, por lo que equivalentemente podr´ıamos decir que nos interesar´ a describir el estado de movimiento de un sólido r´ıgido al completo, o solamente de una de sus partes puntuales. La diferencia crucial entre puntos y sólidos es la necesidad de describir cómo cambia la orientaci´ on en estos u ´ltimos. Es decir, para un punto cuya posición venga dada en un sistema de coordenadas cartesianas tenemos: Estado cinem´ atico de un punto

Posici´ on

x(t)

Aceleración

d dt x(t) d d2 ˙ = dt 2 x(t) dt x(t)

˙ x(t) =

Velocidad

¨ (t) = x

Mientras que para un s´ olido r´ıgido necesitamos definir las coordenadas (posición en el espacio) de uno de sus puntos (x(t)) y, además, la orientación (θ(t)) del sólido: 15

2.2. COORDENADAS INTRÍNSECAS

16

Estado cinem´ atico de un s´ olido r´ıgido

Lineal

Angular

Posici´ on

x(t)

Velocidad

d ˙ v(t) ≡ x(t) = dt x(t) 2 d ¨ (t) = dt a(t) ≡ x 2 x(t)

Aceleraci´ on

θ(t) ˙ ~ (t) ≡ θ(t) ω = ¨ = α(t) ≡ θ(t)

d dt θ(t) d2 θ(t) dt2

En principio, tenemos total libertad para elegir el punto de referencia del sólido r´ıgido con respecto al que medir la posición, velocidad y aceleración lineal. Normalmente convendr´ a elegir o su centro de gravedad o uno de los puntos de unión con otros cuerpos. Las velocidades y aceleraciones lineales ser´ an distintas para cada punto de un sólido r´ıgido, excepto cuando éste se mueve con movimiento lineal puro (sin rotación). En cambio, las velocidades (~ ω ) y aceleraciones (α) angulares siempre ser´ an id´ enticas en todos los puntos de un cuerpo r´ıgido.

2.2.

Coordenadas intr´ınsecas

A la hora de estudiar el movimiento de un punto a lo largo del tiempo podemos elegir el sistemas de coordenadas que más nos convenga. Existe un sistema concreto que a veces puede ser u ´til: el sistema de coordenadas intr´ınsecas.

Z Punto de comienzo

s t

de trayectoria

A Punto actual

X

Y

sobre la trayectoria

Figura 2.1: La curva que define la trayectoria seguida por el punto de interés. En un momento concreto t el punto est´ a localizado en A tras recorrer una distancia s(t), medida a lo largo de la curva de la trayectoria.

Asumamos que conocemos la trayectoria exacta que recorre el punto de interés. Podemos describirla como una función vectorial en función del tiempo, es decir: (Posición)

r(t)

(2.1)

Como se puede ver en la Figura 2.1, la trayectoria representa una curva que en principio puede tener cualquier forma. Llamemos s(t) a la función escalar que nos da la longitud de curva recorrida desde el origen de la trayectoria hasta el instante t. Nótese que esta funci´ on no afecta para nada a la forma de la trayectoria recorrida, ya determinada por r(t), pero s´ı est´ a relacionada con la velocidad con la que se recorre. En concreto, si calculamos la velocidad del punto como la derivada de su posición, obtenemos mediante la regla de la cadena:



(Velocidad)

v(t) ≡

17

dr dr ds = = s ˙ t dt |{z} ds |{z} dt t

(2.2)

s˙

Es decir: el vector velocidad tiene en cada instante un módulo de valor s˙ (la derivada de la posici´ on a lo largo de la curva, como era de esperar) y una dirección dada por el vector unitario t , que siempre ser´ a tangente a la curva r(t) (ver Figura 2.2).

Z Centro instantáneo de trayectoria

& İn A

& İt

Y

X Figura 2.2: En cada punto de la trayectoria tenemos dos vectores unitarios cuyas direcciones est´ an determinadas por la geometr´ıa de la trayectoria: el vector tangencial t y el normal n .

Ahora podemos calcular el vector aceleración como la derivada de la velocidad. Aplicando la regla de la derivada del producto:

a ≡

d d d (v) = (s ˙ t ) = s¨t + s˙ t dt dt dt

(2.3)

vemos que la aceleraci´ on siempre tendrá dos componentes: una primera en la misma dirección tangencial que ya ten´ıa la velocidad (la que indica el vector unitario t ) y de módulo s¨. Por lo tanto, para un movimiento de velocidad constante (s˙ = constante) la componente tangencial de la aceleración siempre será nula (¨ s = 0). d La segunda componente tendr´ a la dirección de dt t , que se puede demostrar coincide con la direcci´ on centr´ıpeta, que apunta desde cada punto de la trayectoria hacia el centro instantáneo de la curvatura local de la trayectoria, siendo por tanto perpendicular al vector velocidad (y a t ). Como se ve en el ejemplo de la Figura 2.2, dicho punto se define como el centro de una circunferencia tangente al punto actual de la trayectoria y cuya radio es tal que aproxima perfectamente la forma de la trayectoria en un entorno infinitesimal alrededor del punto actual. En concreto, se demuestra que: dt v = n (2.4) dt R donde v es el m´ odulo del vector velocidad instantáneo (|v| = v = s), ˙ R es el radio de curvatura instant´ aneo y n es el vector unitario en la dirección centr´ıpeta (hacia el centro de curvatura). En el caso especial de movimiento rectil´ıneo tenemos un radio de curvatura infinito, y el vector n puede ser cualquiera perpendicular al vector t . En resumen, se puede concluir que la aceleración tendrá siempre estas dos componentes (ver Figura 2.3): Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


(Aceleraci´ on)

18

a = at + an =

(2.5)

s¨t |{z}

v2

+

Aceleraci´ on tangencial

n |R{z }

Aceleraci´ on centr´ıpeta

El hecho de que los vectores t y n siempre sean perpendiculares y definan un sistema de coordenadas local y distinto para cada punto de la trayectoria es lo que motiva el nombre de “coordenadas intr´ınsicas” a la trayectoria.

Centro instantáneo de trayectoria

& a

& an & at

Figura 2.3: La aceleraci´ on total a puede apuntar en cualquier dirección resultante de combinar una componente tangencial (at ) y una normal (an ). Por definición, siempre existir´ a una aceleraci´ on nula en la dirección perpendicular a al plano que definen t y n .

En el caso de trayectorias planas definidas en forma y = f (x), se puede demostrar que el radio de curvatura en cada instante se obtiene como: 1+ R=

dy dx

2 !3/2 (2.6)

2 d y dx2

mientras que para trayectorias espaciales (tridimensionales) tenemos la expresión más genérica: R=

|v|3 |v × a|

(2.7)

Resumen de coordenadas intr´ınsecas

Posici´ on (definici´ on de la trayectoria)

r(t)

Longitud recorrida sobre la trayectoria

s(t)

Direcciones

Tangente: t , Normal: n

Velocidad

v = s ˙ t

Aceleración

a = s¨t +

v2 R n


´ ´ 2.3. CINEMATICA DEL SOLIDO RÍGIDO

2.3.

19

Cinem´ atica del s´ olido r´ıgido

A continuaci´ on estudiamos algunos casos de movimientos relativos en el espacio tridimensional, para posteriormente aplicarlos al caso particular de mecanismos planos.

2.3.1.

Concepto de velocidad angular

A pesar de que existen diferentes maneras de parametrizar la orientación de un cuerpo en el espacio (p.ej. las matrices de rotación y los quaterniones), existe un vector u ńico que refleja la manera en que dicha orientación var´ıa a lo largo del tiempo: el vector de ~ . Este vector tiene las siguientes propiedades: velocidad angular ω ~ es un vector deslizante, es decir, no está asociado a ning´ ω un punto u ńico concreto del s´ olido. Todos los puntos de un s´ olido r´ıgido tienen exactamente el mismo vector de velocidad angular. El m´ odulo |~ ω | indica la velocidad de rotación del sólido en rad/s. ~ es la paralela al eje instantáneo de rotación, y su sentido de giro La direcci´ on de ω la dad por la regla de la mano derecha. Si dos sistemas de referencia (o sólidos r´ıgidos) A y B mantienen una orientación ~ A/B = 0. relativa constante, tendremos ω ~ A/B = −~ Siempre se cumplir´ a que ω ω B/A . Normalmente nos interesar´ a el valor del vector de rotación en coordenadas absolutas, es decir, respecto al sistema inercial de referencia O. En esos casos, que serán ~ A/O ≡ ω ~ A. la mayor´ıa, usaremos la notación simplificada ω Menci´ on aparte merece el teorema de la suma de la velocidad angular por su uso práctico:

Sean A, B y C tres sistemas de referencia cualquiera. Siempre se cumplirá:

(2.8)

~ A/C = ω ~ A/B + ω ~ B/C ω donde t´ıpicamente C suele ser el marco inercial (”O”) y se omite de la notación.

2.3.2.

Derivada de un vector constante que se traslada o rota

La mayor´ıa de f´ ormulas de aplicación práctica se pueden obtener aplicando las sencillas reglas de derivaci´ on que vimos en la sección 1.4, donde siempre acabarán apareciendo derivadas de vectores. Vamos a considerar por ello un primer caso sencillo: el de un vector de m´ odulo constante que se desplaza solidariamente a un sistema de coordenadas móvil. Si el sistema de coordenadas m´ ovil solamente se traslada (sin rotar), el vector (llamémosle a) simplemente se desplazar´ a junto a él. No cambiará su orientación ni su módulo, como se ilustra en la Figura 2.4.



20

Y a

O

X

Figura 2.4: Un vector “fijo” A que se traslada en el plano.

Nótese que un vector genérico representa una dirección y un módulo, y por lo tanto no “está f´ısicamente” en ning´ un lugar concreto, luego trasladarlo no cambia para nada las coordenadas que lo describen. Por lo tanto, para un vector de módulo constante que solamente se traslada, tenemos que su derivada debe ser cero:

da =0 dt (Para |a| constante y movimiento de traslación pura)

(2.9)



21

Ya hemos visto que a la hora de calcular la derivada de un vector de módulo constante no debemos preocuparnos por si sufre una traslación. Sin embargo, en caso de existir rotación ésta s´ı que afectar´ a a su derivada. Sea un vector de m´ odulo constante A, fijado a un sistema que rota con velocidad ~ como en la Figura 2.5. angular ω

Z

Ȧ

a O

Y

X ~. Figura 2.5: Un vector “fijo” a que rota con velocidad angular ω

En este caso las coordenadas del vector a en coordenadas globales (de O) s´ı que var´ıan a lo largo del tiempo, a pesar de ser un vector “fijo” respecto al sistema que rota. Se puede demostrar que ahora obtenemos:

da ~ ×a =ω dt (Para |a| constante y movimiento con rotación)

(2.10)

En este apartado hemos tratado la derivada de un vector genérico, cuyo significado f´ısico bien podr´ıa ser la posici´ on relativa de dos puntos, una aceleración, o una velocidad angular. El resto de situaciones estudiadas a continuación son en u ´ltima instancia aplicaciones concretas del resultado general de la Ec. (2.10), pero todas tendrán una interpretaci´ on f´ısica mucho m´ as clara en términos de velocidades y aceleraciones.



2.3.3.

22

Caso de un punto en un s´ olido r´ıgido

Sea un s´ olido r´ıgido como el mostrado en la Figura 2.6. Si conocemos la velocidad ~ del y aceleraci´ on de un punto A perteneciente a dicho cuerpo y la velocidad angular ω cuerpo completo, seremos capaces de determinar la velocidad y aceleración de cualquier otro punto B del s´ olido.

Ȧ

Z

B

OB

vA

A

AB

O

Y

OA X Figura 2.6: Dos puntos A y B de un cuerpo r´ıgido con movimiento de traslación y rotación. N´ otese que la velocidad del punto A podr´ıa apuntar en cualquier dirección inde~ del cuerpo. pendientemente de la velocidad angular ω

(Posici´ on) (Velocidad)

OB = OA + AB vB =

vA |{z}

+

Vel. arrastre

(Acel.)

aB =

aA |{z}

Acel. arrastre

ω |~ ×{zAB}

Vel. relativa (vB )A

(2.11)

~ × (~ +ω ~˙ × AB + ω ω × AB) | {z } Acel. relativa (aB )A

La primera ecuaci´ on, para OB, nos da la posición en coordenadas globales del punto B y se puede obtener inmediatamente al reconocer que la geometr´ıa de la figura implica la suma de dos vectores (OA y AB) para obtener un tercero deseado (OB). Ser´ıa muy recomendable realizar, como ejercicio, las derivadas primeras y segundas con respecto al tiempo para verificar que efectivamente se obtienen la segunda y tercera ecuación. Es importante recalcar que todos los vectores que aparecen en la Ec. (2.11) están definidos en coordenadas globales, es decir, seg´ un el sistema de coordenadas en el cuál queremos calcular la velocidad o aceleración (en la figura corresponde al sistema XY Z con origen en O). Por esto se recomienda hacer coincidir la orientación de todos los sistemas de coordenadas con el global, con el fin de evitar confusiones.

2.3.4.

Caso de un punto m´ ovil en un sistema de referencia m´ ovil

Consideremos ahora un sistema móvil con origen en el punto A, como se muestra en la Figura 2.7. Al igual que en el caso anterior, asumimos conocidas la velocidad (vA ) y aceleraci´ on (aA ) de dicho punto y deseamos obtener las de un segundo punto B. Pero a diferencia del caso anterior en que A y B se mov´ıan como un sólido r´ıgido, ahora B tiene un estado de movimiento relativo a A. A la velocidad del punto B relativa Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


23

al origen del sistema m´ ovil A le llamaremos (vB )A para diferenciarla de su velocidad en coordenadas globales respecto a O, que denotamos simplemente como vB . De manera similar definimos la aceleraci´ on relativa de B con respecto a A, que escribiremos como (aB )A para diferenciarla de su aceleración global aB .

Ȧ

Z

vA O OA

vB A

B

OB Z'

AB

Y' A

Y

X'

X Figura 2.7: Sistema m´ ovil A con respecto al cuál se mueve un punto B.

El sistema m´ ovil con origen en A tiene a su vez una componente de movimiento ~ . Entonces, obtenemos: debido a rotaci´ on, siguiendo una velocidad angular ω

(Pos.) (Vel.)

OB = OA + AB vB =

vA |{z}

Vel. arrastre

(Acel.)

aB =

aA |{z}

~ × AB + (vB )A + ω | {z }

Acel. arrastre

Vel. relativa total

(2.12)

~ × (~ ω × (vB )A + (aB )A + ω ~˙ × AB + ω ω × AB) + 2~ {z } | {z } | Acel. relativa total

Acel. de Coriolis

Es interesante comparar la Ec. (2.12) con la Ec. (2.11) y notar que el caso del sólido r´ıgido estudiado anteriormente es un caso particular del estudiado ahora, al que se llega cuando el vector AB es constante (respecto a A) y por tanto (vB )A = 0 y (aB )A = 0.


X

X

X

vA

OB

O OA

Z

O

Z

O

Z

Z'

OA

a

Y'

vB A

AB

B

AB

B

A

Ȧ

A

X'

Ȧ

vA

OB

Ȧ

Y

(Acel.)

(Vel.)

(Pos.)

aB =

aB =

vB =

Acel. relativa total

Acel. de Coriolis

~ × (~ + (aB )A + ω ~˙ × AB + ω ω × AB) + 2~ ω × (vB )A | {z } | {z }

Acel. relativa (aB )A

~ × (~ +ω ~˙ × AB + ω ω × AB) | {z }

Vel. relativa total

Acel. arrastre

aA |{z}

ω |~ ×{zAB}

Vel. relativa (vB )A

~ × AB + (vB )A + ω | {z }

Acel. arrastre

aA |{z}

Vel. arrastre

vA |{z}

OB = OA + AB

(Aceleración)

Vel. arrastre

+

vB =

(Velocidad)

vA |{z}

OB = OA + AB

(Posición)

Cuadro 2.1: Resumen de los tres casos de movimiento estudiados en este tema.

Y

Y

da ~ ×a =ω dt (Para |a| constante y movimiento con rotaci´ on)

´ ´ 2.3. CINEMATICA DEL SOLIDO RÍGIDO 24


CAPÍTULO

3 PROBLEMAS RESUELTOS

Contents 3.1. Examen Feb-2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Examen Feb-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3. Doble deslizadera con dos barras (problema 4.3 de [1]) . . . . 35 3.4. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

25

3.1. EXAMEN FEB-2010

3.1.

26

Examen Feb-2010

El siguiente mecanismo corresponde a un caballito de feria en el que el movimiento de vaivén se produce por el giro del eslabón AB a una velocidad angular ω0 en sentido horario (ω0 = −ω0î), mientras el punto C se desliza sobre una ranura vertical tal y como se muestra en la figura 3.1.

z W

y

B

q = 60º w0 f C

A

D

Figura 3.1

Sabiendo que en el instante inicial el ángulo en A es un ángulo recto (φ = π2 ), que θ = π3 , y que el punto D est´ a situado en la barra AC (de longitud |AC| = R) a una 1 distancia desde A de 3 R, calcular: 1. La velocidad angular ωAC de la barra AC en función de los valores iniciales. 2. La velocidad del caballito (del punto D). √ ˆ y que el 3. La aceleraci´ on del mismo punto, sabiendo que aA = ω02 R8 (− 3ˆj + 1k) movimiento de la barra AC puede considerarse uniforme. Adem´ as del movimiento de vaivén del caballito, se considera ahora la rotación uniforme en sentido antihorario Ω de la plataforma del tiovivo, alrededor de un eje vertical Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


27

que pasa por el centro de la plataforma. Considerando que el caballito está situado a una distancia de 2 metros del eje de giro (quedando éste a su izquierda), calcular: 4. La velocidad absoluta del caballito. 5. La aceleraci´ on absoluta del caballito. Soluci´ on 1. ¿Velocidad angular ωAC de la barra AC? Debido a la restricci´ on en el punto C, para cada posición de la barra AB, la AC se ve forzada a desplazarse a una u ńica posición compatible. Se ve por lo tanto que una velocidad angular ω0 en AB induce otra velocidad angular en AC de sentido contrario:

z

y

B

w0

vc

A

w AC C

Figura 3.2

Para averiguar la velocidad angular ωAC vamos a buscar su relación con la velocidad del punto C, vC para imponer la restricción de que su componente horizontal debe ser nula (por la deslizadera). Esto nos proporcionará las ecuación necesaria para despejar la incógnita buscada. La velocidad del punto C respecto al sistema de referencia (el punto B) corresponde al caso de movimiento relativo de un punto (el C) que forma parte de un sólido (la barra AC) que rota a una velocidad angular dada (ωAC ) y del que conocemos la velocidad de uno de sus puntos (la del punto A). Por tanto, la fórmula a usar es:



28

vC = vA + ωAC × AC

(3.1)

La velocidad del punto A en el momento de interés la podemos obtener como la √ derivada con el tiempo de su vector de posición (BA), cuyo módulo es 3R) y que al ser un vector fijo que gira a velocidad angular ω0 , vale: ˙ ≡ dBA = ω0 × BA vA ≡ BA dt√ √ ˆ vA |t=0 = (−îω0 ) × ( 3R cos 60oˆj − 3R sin 60o k) √ 3 3ˆ = (−îω0 ) × R( ˆj − k) 2 2 √ 3R √ ˆ ˆ = ω0 (− 3j − k) 2

(3.2a)

(3.2b)

Adem´ as, por la geometr´ıa del problema:

z B

3R

y

60º

90º

60º

A D

C R

Figura 3.3

sabemos que para el instante de interés: √ ˆ = − R ( 3ˆj + k) ˆ AC|t=0 = R(− sin 60oˆj − cos 60o k) 2

(3.3)



29

Como ωAC = ωACî y sustituyendo 3.3 y 3.2 en 3.1: √

vC |t=0

R √ˆ ˆ 3R √ ˆ ˆ ˆ = −ω0 ( 3j + k) + (ωAC i) × − ( 3j + k) 2 2 √ √ √ 3R ˆ − ωAC R ( 3k ˆ − ˆj) = −ω0 ( 3ˆj + k) 2 2 √ √ ! 3R R 3R 3R ˆ −ω0 +k = ˆj −ω0 + ωAC − ωAC 2 2 2 2

(3.4a) (3.4b) (3.4c)

Podemos ahora aplicar la restricción del movimiento del punto C, que al no poder moverse m´ as que verticalmente (eje Z) implica que: ˆ vC = 0î + 0ˆj + vc k

(3.5)

Igualando esta u ´ltima expresi´ on con 3.4 componente vectorial a componente vectorial, llegamos a un sistema de dos ecuaciones:          0 =   vc =      

Componente en ˆj de la ec. 3.4

z

}| { R 3R + ωAC −ω0 2 √ 2 √ 3R 3R −ω0 − ωAC 2 2 {z } |

(3.6)

ˆ de la ec. 3.4 Componente en k

donde aparecen dos inc´ ognitas vc y ωAC . Por lo tanto, podemos despejar ambas fácilmente: ωAC

= 3ω0

√

vc = −ω0 2R 3

(3.7a) (3.7b)

donde ya tenemos la velocidad angular pedida ωAC . Nótese cómo la velocidad del punto C se obtiene negativa por haberse tomado positiva en el sentido positivo del eje Z mientras que, como es l´ ogico, para ω0 > 0 el punto C baja en el momento de interés. 2. ¿Velocidad vD del punto D? Nos encontramos con una situación idéntica al apartado anterior: conocida la velocidad de un punto (A) de un s´ olido r´ıgido (la barra AC) que rota a velocidad angular dada (ωAC ), obtener la velocidad de un punto de dicho sólido (en este caso, el D). Por lo tanto, usamos la f´ ormula: vD = vA + ωAC × AD

(3.8)

donde directamente sustituimos todos los valores, que son conocidos, y operamos para obtener: √

3R √ ˆ ˆ R R ˆ ( 3j + k) + 3ω0î × (− sin 60◦ˆj − cos 60◦ k) 2 3 3 √ √ 3 ˆ 3R ˆ 3ˆ 1 = −ω0 Rj − ω0 k − ω0 R k + ω0 Rˆj 2 2 2 2 √ ˆ ˆ = ω0 R −j − 3k

vD = −ω0

(3.9a) (3.9b) (3.9c)



30

3. ¿Aceleraci´ on aD del punto D? Sabiendo que la aceleraci´ on del punto A es:

aA = ω02

R √ˆ ˆ (− 3j + 1k) 8

(3.10)

podemos calcular la aceleraci´ on del punto D derivando 3.8 con respecto al tiempo, es decir: 0 > ~˙AC ~ AC × (~ aD = aA + ω × AD + ω ω × AD) } | AC {z ˙ AD

√

=

R ω02 (−

=

ω02 R

8

"

ˆ × +3ω0î × 3ˆj + 1k)

(3.11a)

√

! 3ˆ 1 −ω0 R k + ω0 Rˆj 2 2

# √ 11 3ˆ 13 ˆ j+ k 8 8

(3.11b) (3.11c)

4. Incluyendo el giro Ω, ¿cu´ al es la velocidad absoluta del punto D? En este caso tenemos un movimiento relativo de velocidad vD con respecto a al eje ˆ Asumiendo que la distancia de giro del tiovivo, que rota con velocidad angular Ω = Ωk. del punto D al eje de giro del tiovivo es de D = 2m, tenemos:

0 (vD )abs

2ˆj

z}|{

+ Ω × D ˙7 = vD + R

(3.12a)

ˆ × 2ˆj = vD + Ω k √ ˆ − 2Ωî = −ω0 Rˆj − ω0 3Rk

(3.12b) (3.12c)

F´ıjese en que solamente importa la distancia al eje de giro, y no la posición exacta del punto de referencia tomado en dicho eje. Matemáticamente, esto viene del hecho de que la componente vertical del vector posición relativa de D no contribuye a la velocidad relativa al ser un vector paralelo a Ω. 5. ¿Y la aceleraci´ on absoluta del punto D? Sólo hay que reemplazar, en la fórmula de aceleración relativa, los valores ya conocidos de velocidad (3.9) y aceleraci´ on (3.11) relativa del punto D con respecto al tiovivo, obteniendo:

(aD )abs

2ˆj 0 0 z}|{ 7+ Ω 7 ¨ = aD + R ×v ˙ × D + Ω × (Ω × D ) + 2Ω | {z D}

(3.13a)

Ac. de Coriolis

ˆ × (Ωk ˆ × 2ˆj) + 2Ωk ˆ × vD = aD + Ω k (3.13b) h i √ 11 ˆ − 2Ω2ˆj + 2Ωk ˆ × ω0 R − √1 ˆj − k ˆ 3ˆj − k (3.13c) = ω02 R 8 4 3



3.2.

31

Examen Feb-2013

Mientras el profesor explica el tema de movimiento relativo, un alumno de teor´ıa de mecanismos est´ a concentrado en responder un WhatsApp en su móvil. Considere el sistema mec´ anico formado por la palma de la mano con que sostiene el móvil (que se considerar´ a el sistema de referencia o ”tierra”) y los dos huesos (falanges) del dedo pulgar. Se pide: 1. Considerar el movimiento del pulgar cuando se mueve hacia la pantalla táctil (ver figura), cuando solamente existe velocidad y aceleración angular de OA con respecto a tierra y de AB con respecto a OA. Es decir, en este caso ω3 = 0. Calcular la velocidad y aceleraci´ on del extremo del dedo (punto B) con respecto a la palma de la mano. Nota: La velocidad angular ω2 dada como dato se corresponde a la relativa del eslab´ on AB con respecto al OA. 2. Si al caso anterior se le a˜ nade ahora un giro del pulgar para alcanzar una letra que est´ a situada m´ as a la izquierda, con velocidad constante ω3 = 2rad/s, ¿cuánto valen ahora la velocidad y aceleración del extremo del dedo?

Figura 3.4

Figura 3.5

Datos: |AB| = 3 cm, |OA| = 4 cm, ω1 = 5 rad/s, α1 = 3 rad/s2 ,ω2 = 10 rad/s,α2 = 4 rad/s2 .

Soluci´ on 1. Movimiento del pulgar (con ω3 = 0). Usamos el siguiente sistema de coordenadas XY Z (con Z saliendo del papel): Y B

A

ω3

ω2 , α 2 45º

ω1 , α 1

O

X

Figura 3.6

Se ve que existen dos s´ olidos r´ıgidos: OA y AB. Uno podr´ıa estar tentado de resolver el problema planteando el movimiento del punto B directamente con respecto al punto Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


32

O y usar las ecuaciones mostradas en §2.3.3, pero ser´ıa incorrecto ya que no existe un u ńico sólido r´ıgido desde O hasta B, sino dos. Podemos obtener la velocidad del punto B usando el hecho de que B pertenece al sólido r´ıgido AB y a partir de la velocidad del punto A sobre el eslabón AB.

Y’ B

A

X’ Y

X O Figura 3.7

Entonces: vB = vA + ωAB × AB

(3.14)

donde todos los vectores est´ an dados en el sistema de coordenadas XYZ global. La velocidad de A se obtiene f´ acilmente fijándose en que dicho punto también pertenece al sólido r´ıgido OA, que rota alrededor de O (punto estático) con velocidad angular ˆ ωOA = 5k: * 0+ ωOA × OA vO (3.15a) vA = ˆ × 4(− √1 î + √1 ˆj) (cm/s) = 5k (3.15b) 2 2 20 ˆ = √ (k × (−î + ˆj)) (cm/s) (3.15c) 2 20 = √ (−ˆj − î) (cm/s) (3.15d) 2 Como la velocidad angular del eslabón AB resulta de combinar (sumar vectorialmente) las de OA (ω1 ) y la relativa de AB con respecto a OA (ω2 ), tenemos:

ˆ + 10k ˆ = 15k ˆ ωAB = ω1 + ω2 = 5k

(3.16a)

Sustituyendo este valor en la Ec. (3.14): vB = vA + ω AB × |{z} AB | {z } ˆ =15k

=

(3.17a)

=−3î

20 ˆ × î) (cm/s) √ (−ˆj − î) − 45 (k | {z } 2

(3.17b)

=ˆj

20 20 = − √ î − √ + 45 ˆj (cm/s) 2 2 ≈ −14.142î − 59.142ˆj (cm/s)

(3.17c) (3.17d) (3.17e)



33

Para calcular la aceleraci´ on de B planteamos la ecuación correspondiente, de nuevo tomando el s´ olido r´ıgido como AB, el punto conocido A y el punto a obtener B: aB = aA + ω˙ AB × AB + ωAB × (ωAB × AB)

(3.18)

para lo que primero necesitamos la aceleración del punto A: * 0+ ω ˙ OA ×OA + ωOA × (ωOA × OA) aA = aO | {z } | |{z} {z } =α1

=ω 1

(3.19a)

=vA

20 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ× √ ˆ (−i − j) (cm/s2 ) = 3k × √ (−i + j) + 5k 2 2 12 ˆ 100 ˆ = √ (k × (−î + ˆj)) + √ (k × (−î − ˆj)) (cm/s2 ) 2 2 12 100 √ (−ˆj − î) = + √ (−ˆj + î) (cm/s2 ) 2 2 | | {z } {z }

Acceleraci´ on tangencial

(3.19b) (3.19c) (3.19d)

Acceleraci´ on normal

112 88 √ î − √ ˆj (cm/s2 ) 2 2 ˆ ≈ 62.225i − 79.196ˆj (cm/s2 )

=

(3.19e) (3.19f)

y dado que: d d ˆ rad/s2 (ω AB ) = (ω 1 + ω 2 ) = α1 + α2 = 7k dt dt podemos sustituir todo en la Ec. (3.18) para obtener la aceleración de B: ω˙ AB =

aB = aA + ω˙ AB × AB + ωAB × (ωAB × AB) 88 ˆ 112ˆ ˆ × (−3î) + 15k ˆ × (15k ˆ × (−3î)) (cm/s2 ) √ i − √ j + 7k = 2 2 88 ˆ 112ˆ √ i − √ j − 21ˆj + 675î (cm/s2 ) = 2 2 112 88 √ + 675 î + − √ − 21 ˆj (cm/s2 ) = 2 2 2 ≈ 737.23î − 100.2ˆj (cm/s )

(3.20)

(3.21a) (3.21b) (3.21c) (3.21d) (3.21e)

2. Incluyendo giro (con ω3 6= 0). Método de resoluci´ on #1 Ahora, el sistema formado por los eslabones OA–AB gira sobre el eje Y con ω3 = 2ˆj, por lo que el origen de coordenadas XY Z usado anteriormente ya no está estático. Necesitamos por tanto definir un nuevo marco de referencia (X 00 Y 00 Z 00 ) fijo, con respecto al cual gira todo el sistema considerado en el punto anterior. Esquemáticamente, la situación se podr´ıa representar as´ı:



34 Y’

B

A

X’ Y Y’’ X X’’

O

Figura 3.8

donde XY Z se ha dibujado separado de X 00 Y 00 Z 00 por claridad, aunque realmente compartan el mismo punto origen de coordenadas O y sólo se diferencien en el giro debido a ω 3 y α3 (que en este caso es cero). Bajo esta perspectiva, el movimiento del punto B se puede estudiar como un caso de “un punto m´ ovil en un marco de referencia móvil” (ver §2.3.4)1 . Conociendo la velocidad y aceleraci´ on del punto B con respecto a XY Z (las vB y aB ) del apartado anterior, aplicamos las ecuaciones vistas en §2.3.4) para introducir el efecto del giro alrededor del eje Y : X 00 Y 00 Z 00

vB =

XY Z

v + XY Z vO + ω 3 ×OB | {z B} | {z } |{z}

=Ec. (3.17)

=0

2ˆj

4 ˆ 4 ˆ 20 ˆ 20 ˆ ˆ i + √ j (cm/s) = − √ i − √ + 45 j + 2j × −3 − √ 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ≈ −14.142i + 30.858j + 11.657k (cm/s) (3.22a)

X 00 Y 00 Z 00

aB =

0 > ω˙ aB + XY Z aO + 3 × OB | {z } | {z } XY Z

=Ec. (3.21)

=0

XY Z v | {z B}

(3.23a)

ˆ (cm/s2 ) ≈ 760.544î − 100.2ˆj + 56.568k

(3.23b)

+ω 3 × (ω 3 × OB) + 2ω 3 ×

= Ec. (3.17)

Método de resoluci´ on #2 Alternativamente, podemos reutilizar las mismas ecuaciones del primer apartado (donde ω3 = 0) teniendo en cuenta ahora que en la velocidad angular de los dos eslabones debe a˜ nadirse la nueva componente ω3 . Es decir, ahora tendr´ıamos: ˆ + 2ˆj (rad/s) ω0A = ω1 + ω3 = 5k ˆ + 10k ˆ + 2ˆj = 15k ˆ + 2ˆj (rad/s) ωAB = ω1 + ω2 + ω3 = 5k

(3.24a) (3.24b)

Sustituyendo estos nuevos valores en las ecuaciones para vA , vB , aA y aB obtendr´ıamos también el mismo resultado que el mostrado arriba.

1 De nuevo, insistir en que no se puede asumir que el punto B se mueve como un punto r´ıgido dentro del sistema de referencia XY Z.


3.3. DOBLE DESLIZADERA CON DOS BARRAS (PROBLEMA 4.3 DE [?])

3.3.

35

Doble deslizadera con dos barras (problema 4.3 de [1])

Para el mecanismo de la siguiente figura, hallar la velocidad y aceleración instantáneas del punto 2. Datos: Velocidades ~v1 = 1ˆj(m/s), ~v3 = 1î(m/s); aceleraciones ~a1 = 1ˆj(m/s2 ), ~v3 = 1î(m/s2 ).

Soluci´ on Debemos buscar ecuaciones de movimiento que liguen las variables conocidas (estado de los puntos 1 y 3) con las desconocidas (las del punto 2). En este caso, se ven claramente las dos relaciones existentes: S´ olido r´ıgido 12: Ya que el punto 2 pertenece a la barra 12, usamos el punto 1 como punto de referencia para plantear la ecuación de movimiento de un punto dentro de un s´ olido r´ıgido: ~ ~v2 = ~v1 + ω ~ 12 × 12 (3.25)

S´ olido r´ıgido 32: Igualmente podemos plantear otra ecuación similar basándonos en que 2 pertenece a la barra 32: ~ ~v2 = ~v3 + ω ~ 32 × 32

(3.26)

Como vimos, es importante el orden en que cada término aparece en estas ecuaciones, aunque se pueden intercambiar los papeles jugados por los dos puntos que aparecen en cada una siempre y cuando también se cambie el sentido del vector que les une. Por ~ ~ 12 × 21. ejemplo, la Ec. (3.25) seguir´ıa siendo correcta como ~v1 = ~v2 + ω Juntando las ecuaciones 3.25–eq:avello43.vb1 obtenemos un sistema de 4 ecuaciones (recuerda que cada ecuaci´ on vectorial en el plano cuenta como dos) con cuatro incógnitas escalares, que es importante saber identificar: v2x , v2y , ω12 y ω32 (donde ~v2 = v2xî+v2yˆj). Planteándolas y despejando, obtenemos la solución: ~v2 = 1ˆj (m/s)

(3.27a)

ω12 = 0

(rad/s)

(3.27b)

ω32 = 1

(rad/s)

(3.27c)



36

Idénticamente a como se ha hecho para velocidades podemos plantear las ecuaciones de aceleraci´ on para un punto (el 2) que pertenece a un sólido r´ıgido (las barras 12 y 23), planteando otro sistema de ecuaciones:   ~a = ~a + α 2 12 ~ − ω12 ~ ~ 12 × 12 2 1 (3.28) 2 32  ~a2 = ~a3 + α ~ − ω32 ~ ~ 32 × 32 donde de nuevo tenemos cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas escalares (v2x , v2y , ω12 y ω32 ). Despejando, obtenemos las aceleraciones angulares de las barras, junto a las aceleraciones pedidas del punto 2: ~a2 = −1ˆj (m/s2 )

(3.29a)

2

(3.29b)

α12 = −2 α32 = 0

(rad/s ) 2

(rad/s )

(3.29c)



3.4.

37

Examen Feb-2014

Dado el mecanismo de la figura, y sabiendo que el disco gira a velocidad constante de 90 rpm en sentido horario, se pide: 1. Calcular la velocidad del punto extremo de la barra (punto 2) por el método anal´ıtico.

Figura 3.9 Datos: Todas las cotas est´ an en mil´ımetros. Ver tambi´ en: Soluci´ on por m´ etodos num´ ericos en §4.8.

Soluci´ on Usaremos un sistema de coordenadas XY con origen en el centro del disco (O2 ). Como conocemos la velocidad angular con la que gira el disco podemos calcular la velocidad lineal de cualquiera de sus puntos. Debemos por tanto encontrar un punto de enlace entre el disco y la barra O4 2 para encontrar su velocidad instantánea de rotación alrededor de O4 , que evidentemente será distinta de la del disco. La conexi´ on es el punto 1, sobre el que definimos tres puntos f´ısicos diferenciados: ~r1D (punto 1 sobre el disco), ~r1B (punto 1 sobre la barra), y ~r1C (punto 1 sobre el casquillo). Analizando la forma en que el casquillo se desliza sobre la barra mientras pivota sobre el disco, se ve claramente que ~r1D y ~r1C siempre estarán uno sobre el otro (tendrán las mismas coordenadas, velocidades y aceleraciones) mientras que ~r1B se puede mover con respecto a ellos u ńicamente en la dirección instantánea definida por la orientación de barra. Una vez realizado este an´ alisis podemos plantear un sistema de ecuaciones con la velocidad del punto 1 de la barra calculada por dos caminos: Punto 1 sobre la barra como punto del sólido r´ıgido O4 2: 0 >+ ω ~ ˆ ~vO ~v1B = O4 2 k × O4 1 4

(3.30)

Punto 1 sobre la barra como punto móvil con velocidad relativa al disco de módulo desconocido y orientaci´ on conocida de 15◦ : 0 >+ ω ~v1B = ~vO ~ O2 1 × O~2 1 + vrel (cos 15◦î + sin 15◦ˆj) (3.31) 2 Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


38

Igualando ambas ecuaciones, ya que las dos velocidades deben ser las mismas al tratarse del mismo punto f´ısico, obtenemos una ecuación vectorial en 2D que equivale a dos ecuaciones con dos inc´ ognitas: ˆ × (161.95î + 43.38ˆj) = (−9.42k) ˆ × (11.95î + 43.38ˆj) + ωO4 2 k vrel (0.966î + 0.2588ˆj)

(3.32)

Despejando: ωO4 2 = −1.28 rad/s = −73.34 ◦ /s vrel = −365.82 mm/s Con lo que podemos calcular la velocidad del punto 2 mediante la ecuación de la velocidad de un punto perteneciente a un sólido r´ıgido: 0 >+ ω ~ ˆ ~v2 = ~vO O4 2 k × O4 2 4 ˆ × (250 cos 15◦î + 250 sin 15◦ˆj) = −1.28k = 82.8221î − 309.0963ˆj (mm/s) = 320(mm/s)∠ − 75◦

(3.33)


Parte II

Cinem´ atica: m´ etodos num´ ericos

39

CAPÍTULO


Contents 4.1. Bloques en dos correderas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Ejemplo modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3. Cuadril´ atero con motor en acoplador . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4. Modelado: retorno r´ apido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.5. Mecanismo de cuatro barras: posici´ on inicial . . . . . . . . . . 54 4.6. Doble deslizadera con dos barras (problema 4.3 de [1]) . . . . 56 4.7. Problema cilindro neum´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.8. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

40

4.1. BLOQUES EN DOS CORREDERAS

4.1.

41

Bloques en dos correderas

Las correderas A y B de la figura 4.1 están obligadas a moverse por sendas gu´ıas vertical y horizontal, respectivamente, y están conectadas por una barra r´ıgida de longitud d = 15m. En un instante, θ = 35◦ y la corredera A se mueve hacia abajo con una velocidad vertical de 10m/s y aceleración (también hacia abajo) de 5m/s2 . Se pide: a) Modelar el problema en coordenadas naturales, más una coordenada angular relativa para la orientaci´ on de la barra r´ıgida (θ en el dibujo). b) Obtener la expresi´ on del Jacobiano Φq . c) Determinar la velocidad angular de la barra. ˙ q , la derivada temporal del Jacobiano Φq . d) Obtener Φ e) Determinar la aceleraci´ on angular de la barra y la aceleración del bloque B.

Figura 4.1: Dos correderas unidas por una barra r´ıgida.

Soluci´ on a) Modelado. Utilizando el punto de intersección de las dos correderas como origen de coordenadas, definimos los coordenadas naturales de los dos puntos A y B como (xA , yA ) y (xB , yB ), respectivamente. Podr´ıamos introducir las cuatro coordenadas en el vector q, pero ya que en este problema es obvio que xA y yB serán siempre cero, podemos dejar estas dos como coordenadas fijas y sacarlas de q1 . A˜ nadiendo la coordenada relativa angular pedida, tenemos el vector de coordenadas generalizadas que modela el mecanismo: 

yA



   q= xB 

(4.1)

θ 1

También ser´ıa correcto introducir las cuatro coordenadas, si simult´ aneamente introducimos las dos ecuaciones de restricci´ on extra xA = 0 y yB = 0 en sendas filas de Φ(q).



42

Ya que tenemos m´ as coordenadas (n = 3) que g.d.l. tiene el mecanismo (g = 1), estamos en un caso de modelado con coordenadas dependientes, lo que obliga a definir las ecuaciones de restricci´ on para completar el modelado del mecanismo. Necesitamos m = n − g = 3 − 1 = 2 ecuaciones de restricción. La primera viene de la condici´ on de s´ olido r´ıgido de la barra: Φ1 (q) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 − d2

(4.2)

y la segunda es necesaria por la introducción de la coordenada relativa θ. Ya que no es necesario modelar el mecanismo en posiciones donde θ se acerque a los valores numéricamente problem´ aticos (0◦ ,180◦ ,±90◦ ) nos basta con introducir una de las dos ecuaciones posibles vistas en clase; por ejemplo, la del coseno: Φ2 (q) = xB − xA − d cos θ

(4.3)

Es decir, el vector de restricciones queda:   2 2 2 (xB − xA ) + (yB − yA ) − d  Φ= xB − xA − d cos θ

(4.4)

b) Obtener la expresi´ on del Jacobiano Φq . Derivando cada componente de Φ(q) (filas) con respecto a cada coordenada generalizada (columnas), obtenemos: yA

 Φq (q) =

Φ1

xB

θ

−2(yB − yA ) 2(xB − xA )



0

Φ2

1

0 d sin θ

 

(4.5)

c) Determinar la velocidad angular de la barra. Se trata de resolver un problema de velocidad, para lo que antes deber´ıamos haber resuelto el problema de posici´ on. En este caso ya nos dan todos los datos en el enunciado del problema, por lo que solamente aplicando trigonometr´ıa obtenemos el valor numérico de las coordenadas: 

yA





15 sin(35◦ )



     = 15 cos(35◦ ) q= x B    

(4.6)

π 35◦ 180 ◦

θ La ecuaci´ on del problema de velocidad es:

Φq q˙ = −Φt

(4.7)

Ya que el tiempo no aparece expl´ıcitamente en el vector de restricciones, la derivada parcial Φt es cero en este caso, quedando: Φq q˙ = 0

(4.8)

Reemplazando los valores del Jacobiano, vemos que se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres inc´ ognitas, por lo que tiene infinitas soluciones, lo que siempre ocurrir´ a en mecanismos con uno o más grados de libertad. Debemos a˜ nadir tantas Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


43

ecuaciones extra como datos de velocidad conocidos tengamos; en este caso, hay que introducir una tercera fila imponiendo y˙ A = −10(m/s), quedando:      −2(yB − yA ) 2(xB − xA ) 0 0 y˙ A           0 1 d sin θ   x˙ B  =  0  θ˙ 1 0 0 −10

(4.9)

que reemplazando datos numéricos conocidos queda:      30 sin(35◦ ) 30 cos(35◦ ) 0 0 y˙ A           0 1 15 sin(35◦ )   x˙ B  =  0  θ˙ 1 0 0 −10

(4.10)

Un sistema de ecuaciones lineales como éste se puede resolver, por ejemplo, por los métodos de Gauss o de Cramer. Aunque en este caso se pueden ir despejando variables una a una y sustituir f´ acilmente, seguiremos el método de Cramer a modo de ejemplo; despejamos primero el valor de la velocidad angular de la barra: 30 sin(35◦ ) 30 cos(35◦ ) 0 0 1 0 1 0 −10

◦ −300 sin(35 ) θ˙ = = −0.8138 (rad/s) = ◦ ◦ 30 · 15 · cos(35 ) sin(35 ) 30 sin(35◦ ) 30 cos(35◦ ) 0 ◦ 0 1 15 sin(35 ) 1 0 0 (4.11) donde el signo negativo quiere decir que la rotación va en sentido contrario a cómo se ha definido θ (ver figura del enunciado), por lo que el giro tiene realmente sentido antihorario. Igualmente podemos calcular la velocidad horizontal de la corredera B:

30 sin(35◦ ) 0 0 ◦ 0 0 15 sin(35 ) 1 −10 0

· sin2 (35◦ ) 10 · 30 15 x˙ B = = 7.002 (m/s) = · · cos(35◦ ) ◦ 30 15 sin(35 ) 30 sin(35◦ ) 30 cos(35◦ ) 0 0 1 15 sin(35◦ ) 1 0 0 (4.12)

˙ q , la derivada temporal del Jacobiano Φq . d) Obtener Φ Derivar una matriz con respecto al tiempo consiste en derivar cada uno de sus elementos individualmente. Por tanto, tenemos:



  −2(yB − yA ) 2(xB − xA ) 0 d ˙ q (q, q)   ˙ = Φ dt 0 1 d sin(θ)   0 0 > > −2( y˙ B − y˙ A ) 2(x˙ B − x˙ A ) 0  =  ˙ 0 0 d cos(θ)θ   2y˙ A 2x˙ B 0  =  0 0 d cos(θ)θ˙

44

(4.13)

Podemos calcular el valor de esta matriz para el instante de interés sustituyendo todas las variables que aparecen, ya conocidas:   −20 14 0 ˙ q (q, q)  ˙ ≈  Φ 0 0 −10

(4.14)

e) Determinar la aceleraci´ on angular de la barra y la aceleraci´ on del bloque B. Debemos plantear la ecuaci´ on del problema de aceleración: ˙ q q˙ − Φ ˙t ¨ = −Φ Φq q

(4.15)

˙ t es cero en este problema, porque Φt ya es cero, como vimos antes. El El término Φ ˙ valor de Φq ya se obtuvo en la eq. 4.14, y el vector de velocidades q˙ también es conocido, as´ı que podemos evaluar su producto:       −10  −20 14 0  298.06 ˙ q q˙ =    7.002  =   Φ   0 0 −10 8.138 −0.8138

(4.16)

Al igual que en el problema de velocidades, la eq. 4.15 es un sistema linear de dos ecuaciones y tres inc´ ognitas, por lo que debemos conocer un valor de aceleración para despejar el resto. En este caso, se tiene que yÄ = −5 (m/s2 ), por lo que planteamos:      −298.06 30 sin(35◦ ) 30 cos(35◦ ) 0 yÄ       ¨  =  −8.138   0 1 15 sin(35◦ ) B   x   ¨ θ 1 0 0 −5

(4.17)

que podemos resolver por cualquier método conocido. Por ejemplo, empleando MATLAB:

>> [30*sind(35), 30*cosd(35), 0;... 0, 1, 15*sind(35);... 1, 0,0] \ [-298.06; -8.138; -5]



45

ans = -5.0000 -8.6278 0.0569

es decir: x ¨B = −8.63 (m/s2 ) θ¨ = 0.057 (rad/s2 )

(4.18)


4.2. EJEMPLO MODELADO

4.2.

46

Ejemplo modelado

Modelizar con coordenadas naturales, incluyendo además el ángulo ϕ indicado en la figura. Escribir las ecuaciones de restricción que se consideren necesarias.

Soluci´ on Marcamos los puntos de interés, siguiendo las reglas estudiadas en teor´ıa:

por lo que el vector de coordenadas generalizadas queda: q = [x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 ϕ]>

(4.19)

Tenemos n = 9 coordenadas, y como se trata de un mecanismo con g = 1 grados de libertad (comprobarlo se deja como ejercicio), debemos establecer m = n − g = 9 − 1 = 8 ecuaciones de restricci´ on. Siguiendo las normas de modelado de coordenadas naturales, tenemos: Sólido A12: Es un s´ olido r´ıgido con tres puntos. Da lugar a tres restricciones, una ~ y otras dos por la proporcionalidad A1 ~ = k A2: ~ de distancia constante A2 (x2 − xA )2 + (y2 − yA )2 − L2A2 = 0 LA2 (x2 − xA ) − (x1 − xA ) = 0 LA1 LA2 (y2 − yA ) − (y1 − yA ) = 0 LA1

(4.20) (4.21) (4.22)


4.2. EJEMPLO MODELADO

47

Sólido 23: S´ olido r´ıgido con dos puntos: (x3 − x2 )2 + (y3 − y2 )2 − L223 = 0

(4.23)


(4.24)

~ × CB ~ = 0. Par prism´ atico 3-tierra: Propiedad de colinealidad, C3 (x3 − xC )(yB − yC ) − (xB − xC )(y3 − yC ) = 0

(4.25)

~ × DE ~ = 0. Par prism´ atico 4-tierra: Propiedad de colinealidad, D4 (x4 − xD )(yE − yD ) − (xE − xD )(y4 − yD ) = 0

(4.26)

~ · 23 ~ = LA2 L23 cos ϕ Coordenada relativa ϕ: Podemos emplear, por ejemplo, A2 (x2 − xA )(x3 − x2 ) + (y2 − yA )(y3 − y2 ) − LA2 L23 cos ϕ = 0

(4.27)

Resultando: 

(x2 − xA )2 + (y2 − yA )2 − L2A2



    LA1 (x − x ) (x2 − xA ) − L   1 A A2     LA1 (y2 − yA ) − LA2 (y1 − yA )       2 2 2 (x3 − x2 ) + (y3 − y2 ) − L23   Φ(q) =   2 2 2   (x4 − x1 ) + (y4 − y1 ) − L14       (x − x )(y − y ) − (x − x )(y − y ) 3 3 C B C B C C       (x − x )(y − y ) − (x − x )(y − y ) 4 4 D E D E D D   (x2 − xA )(x3 − x2 ) + (y2 − yA )(y3 − y2 ) − LA2 L23 cos ϕ

(4.28)


´ 4.3. CUADRILATERO CON MOTOR EN ACOPLADOR

4.3.

48

Cuadril´ atero con motor en acoplador

Para el cuadril´ atero de la siguiente figura, se pide: a) Modelizar en coordenadas mixtas. Debe incluirse el ángulo ϕ. b) Resolver el problema instant´ aneo de velocidades, cuando ϕ˙ = 1 rad/s. Datos: xA = 0,yA = 0,xB = 7, yB = 0, x1 = 3,y1 = 4,x2 = 7, y2 = 5.

Soluci´ on El vector de coordenadas generalizadas quedar´ıa: q = [x1 y1 x2 y2 ϕ]>

(4.29)

Con n = 5 coordenadas, y con g = 1 grados de libertad, necesitamos m = n − g = 5 − 1 = 4 ecuaciones de restricci´ on: Sólido A1: S´ olido r´ıgido con dos puntos: (x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L2A1 = 0

(4.30)


(4.31)

Sólido 2B: S´ olido r´ıgido con dos puntos: (xB − x2 )2 + (yB − y2 )2 − L2B2 = 0

(4.32)

~ · 12 ~ = LA1 L12 cos ϕ, Coordenada relativa ϕ: Podemos emplear, por ejemplo, A1 ◦ por ser estar ϕ alejado de 0 (valor donde el coseno dar´ıa problemas): (x1 − xA )(x2 − x1 ) + (y1 − yA )(y2 − y1 ) − LA1 L12 cos ϕ = 0

(4.33)

Resultando el vector de restricciones: 

(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L2A1



    (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − L212   Φ(q) =     (xB − x2 )2 + (yB − y2 )2 − L2B2   (x1 − xA )(x2 − x1 ) + (y1 − yA )(y2 − y1 ) − LA1 L12 cos ϕ

(4.34)



49

Antes de proceder con el problema de velocidades, necesitamos tener todas las coordenadas. Como solamente nos falta ϕ, podemos despejar su valor a partir de la u ´ltima ecuación de restricci´ on, sin tener que resolver el problema de posición al completo:

(x1 − xA )(x2 − x1 ) + (y1 − yA )(y2 − y1 ) − LA1 L12 cos ϕ = 0 √ → 3 · 4 + 4 · 1 − 5 17 cos ϕ = 0 → ϕ = 39.094◦

(4.35)

con lo que:     x1 3     y   4   1          q= x2  =  7       y2   5      ◦ ϕ 39.094

(4.36)

Planteamos el Jacobiano Φq , que necesitamos para el problema de velocidades: 

2(x1 − xA )

2(y1 − yA )

0

0

0



   −2(x − x )  −2(y2 − y1 ) 2(x2 − x1 ) 2(y2 − y1 ) 0 2 1   Φq =     0 0 −2(xB − x2 ) −2(yB − y2 ) 0   x2 − 2x1 + xA y2 − 2y1 + yA x1 − xA y1 − yA LA1 L12 sin ϕ (4.37) Reemplazando los valores numéricos que tenemos en este problema: 

6

8

0

0

0



  −8 −2 8 2 0    Φq (q) =   0  0 0 10 0   1 −3 3 4 13

(4.38)

Con lo que podemos plantear el problema de velocidades: * ΦQ (q)q = −Φ t

0

(4.39)

forzando a que el grado de libertad ϕ tenga una velocidad dada (ϕ˙ = 1 rad/s):     0 x˙ 1      −8 −2 8 2 0   y˙  0    1        0     0 0 10 0   x˙ 2  = 0        1 −3 3 4 13  y˙ 2  0      ϕ˙ 0 0 0 0 1 1 

6

8

0

0

0

(4.40)

de donde podemos despejar el valor del resto de velocidades:



50

x˙ 1 = −2.2857 (m/s) y˙ 1 = 1.7143 (m/s) x˙ 2 = −1.8571 (m/s) y˙ 2 = 0 (m/s)

(4.41)


´ 4.4. MODELADO: RETORNO RAPIDO

4.4.

51

Modelado: retorno r´ apido

La Figura 4.2 representa un mecanismo de retorno rápido como el empleado en máquinas cepilladoras. Se pide: a) Modelarlo en coordenadas mixtas (naturales y relativas), incluyendo el ángulo de la manivela de entrada como coordenada angular relativa. b) Obtener la expresi´ on del Jacobiano Φq .

2

10 8

C

6

3

D

4

0 2

B

0

1

−2

A

−4 −6

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

Figura 4.2: Mecanismo de retorno rápido.

Soluci´ on El vector de coordenadas generalizadas quedar´ıa: q = [x1 y1 x2 y2 x3 y3 θ]>

(4.42)

Con n = 7 coordenadas, y con g = 1 grados de libertad, necesitamos m = n − g = 7 − 1 = 6 ecuaciones de restricci´ on: Condici´ on de s´ olido r´ıgido de las barras B1 y A2 : (x1 − xB )2 + (y1 − yB )2 − L2B1 = 0

(4.43)

(x2 − xA )2 + (y2 − yA )2 − L2A2 = 0

(4.44)

Restricciones de alineamiento. La primera se puede obtener mediante semejanza entre el tri´ angulo formado por los segmentos x1 − xA , y1 − yA y el formado por x2 − xA , y2 − yA : (x1 − xA )(y2 − yA ) − (y1 − yA )(x2 − xA ) = 0

(4.45)

La segunda se puede obtener mediante semejanza entre el triángulo formado por los segmentos x3 − xA , y3 − yA y el formado por x2 − xA , y2 − yA : (x3 − xA )(y2 − yA ) − (y3 − yA )(x2 − xA ) = 0

(4.46)



52

Si nos fijamos bien, la tercera ecuación de alineamiento viene determinada por la imposici´ on de que el punto 3 sólo pueda moverse horizontalmente. Esto equivaldr´ıa a eliminar la coordenada y3 del vector de coordenadas generalizadas, ya que ésta no var´ıa en el tiempo. No obstante, para mantener el carácter generalista del método, procedemos igual que para las dos deslizaderas anteriores. Por tanto, se puede obtener mediante semejanza entre los triángulos (ficticios) formados por los segmentos x3 − xC , y3 − yC y xD − xC , yD − yC : (x3 − xC )(yD − yC ) − (y3 − yC )(xD − xC ) = 0

(4.47)

Ecuaciones de ´ angulo. Ya disponemos de la información suficiente para determinar la posici´ on del mecanismo completo para un conjunto de coordenadas generalizadas que satisfagan las ecuaciones de restricción. No obstante, y como se ha visto en otros problemas, suele ser conveniente introducir una coordenada de ángulo que nos permita modelar c´ omo se aplicar´ıa movimiento al mecanismo. Recordemos que en la mayor´ıa de aplicaciones mecánicas esto se consigue por medio de los ejes de salida de motores. Por tanto, introducimos dos ecuaciones de restricción, de modo que en las posiciones de la manivela próximas a la horizontal no haya problemas con la utilizaci´ on del coseno, ni en la vertical con el seno: (x1 − xB ) − LB1 cos θ = 0

(4.48)

(y1 − xB ) − LB1 sin θ = 0

(4.49)

Resultando el vector de restricciones:   (x1 − xB )2 + (y1 − yB )2 − L2B1     2 + (y − y )2 − L2 (x − x )   2 2 A A A2    (x − x )(y − y ) + (y − y )(x − x )  2 1 2 A A A A   1    Φ(q) =   (x3 − xA )(y2 − yA ) + (y3 − yA )(x2 − xA )    (x3 − xC )(yD − yC ) + (y3 − yC )(xD − xC )       (x1 − xB ) − LB1 cos θ   (y1 − xB ) − LB1 sin θ

(4.50)

F´ıjese que realmente existen 6 restricciones u ńicas aunque el vector contenga 7 restricciones, al ser las dos u ´ltimas (´ angulo θ) redundantes con la primera (distancia B1 constante). Se mantiene por tanto que g = n − m = 7 − 6 = 1, donde m estrictamente representa el n´ umero de restricciones no redundantes, valor que se puede obtener numéricamente como el rango de Φq . Derivando este vector con respecto a cada una de las coordenadas utilizadas obtenemos el Jacobiano Φq :



53

  2(x1 − xB ) 2(y1 − yB ) 0 0 0 0 0     0) 0 2(x2 − xA ) 2(y2 − yA ) 0 0 0      (y − y ) −(x − x ) (y − y ) (x − x )  0 0 0 2 1 1 A A A A  2  Φq =     0 0 0 0 (yD − yC ) (xD − xC ) 0       1 0 0 0 0 0 L sin θ B1   0 1 0 0 0 0 −LB1 cos θ (4.51) Para ilustrar el movimiento que describir´ıan la manivela y el punto de anclaje de la herramienta en una m´ aquina de este tipo se han utilizado estas ecuaciones para generar la siguiente gr´ afica: Poscicion de la manivela y la herramienta 10 θ [rad] x3 [cm]

5

0

−5

0

2

4

6

8

10 12 14 t [s] Poscicion de la manivela y la herramienta

16

18

20

10 dθ [rad/s] vx3 [cm/s]

5

0

−5

0

2

4

6

8

10 t [s]

12

14

16

18

20

Figura 4.3: Resultados de posición y velocidad para mecanismo de retorno rápido.


´ INICIAL 4.5. MECANISMO DE CUATRO BARRAS: POSICION

4.5.

54

Mecanismo de cuatro barras: posici´ on inicial

La Figura 4.4 representa el proceso iterativo de resolución del problema de posición inicial de un mecanismo de cuatro barras. La manivela (barra izquierda) tiene una longitud LA1 = 2m, la biela (barra central) L12 = 8m, y el balanc´ın (barra derecha) L2B = 5m. La distancia entre centros fijos es de LAB = 10m. La coordenada relativa de ángulo es considerada como el grado de libertad, y se corresponde con el ´ angulo que forma la manivela con la horizontal. Se parte de una aproximaci´ on inicial q0 = [1.5 1 8 4 π3 ]> , y en la primera iteración se obtiene una aproximaci´ on q1 = [1 2.125 x2 y2 π3 ]> . Calcular las coordenadas x2 e y2 de esta primera iteraci´ on.

it1. e=2.263159

it0. e=13.724977 6 4 2 0

6 4 2 0 0

5

10

it5. e=3.972055e−15 6 4 2 0

0

5

10

0

5

10

Figura 4.4: Sucesivas iteraciones del problema de posición.

Soluci´ on El vector de coordenadas generalizadas quedar´ıa: q = [x1 y1 x2 y2 θ]>

(4.52)

Con n = 5 coordenadas, y con g = 1 grados de libertad, necesitamos m = n − g = 5 − 1 = 4 ecuaciones de restricci´ on: Sólido A1: S´ olido r´ıgido con dos puntos: (x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L2A1 = 0

(4.53)


(4.54)

Sólido 2B: S´ olido r´ıgido con dos puntos: (xB − x2 )2 + (yB − y2 )2 − L2B2 = 0

(4.55)

Coordenada relativa θ: Podemos emplear, por ejemplo una ecuación en términos del cos θ, ya que el valor de θ se encuentra alejado de 0◦ (valor donde el coseno dar´ıa problemas): (x1 − xA ) − LA1 cos θ = 0

(4.56)

Resultando el vector de restricciones:


´ INICIAL 4.5. MECANISMO DE CUATRO BARRAS: POSICION



(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L2A1

55



   (x − x )2 + (y − y )2 − L2  1 2 1  2 12  Φ=  (xB − x2 )2 + (yB − y2 )2 − L2  B2   (x1 − xA ) − LA1 cos θ

(4.57)

y el correspondiente Jacobiano: 

2(x1 − xA )

2(y1 − yA )

0

0

0



   −2(x − x ) −2(y − y ) 2(x − x ) 2(y − y ) 0 2 1 2 1 2 1 2 1   Φq =     0 0 −2(x − x ) −2(y − y ) 0 2 2 B B   1 0 0 LA1 sin θ

(4.58)

Ahora aplicamos el sistema de ecuaciones que establece el problema de posición inicial:     Φq (q, t) −Φ(q, t)  ∆q =    (4.59) B 0 Para la primera iteraci´ on tenemos: 2(0 x1 − xA )  −2(0 x2 −0 x1 )   0    1  0 

2(0 y1 − yA )

0

0

−2(0 y2 −0 y1 )

2(0 x2 −0 x1 )

2(0 y2 −0 y1 )

0

−2(xB −0 x2 )

−2(yB −0 y2 )

0

0

0

0

0

0

 1

x1  1   y1 0   1 0   x2  1 LA1 sin(0 θ)   y2 1 θ 1

 0  ( x1 − xA )2 + (0 y1 − yA )2 − L2 A1   0  ( x2 −0 x1 )2 + (0 y2 −0 y1 )2 − L2  y1  12       0 2 0 2 2 x2  =  (xB − x2 ) + (yB − y2 ) − LB2       (0 x1 − xA ) − LA1 cos(0 θ) y2     θ 0

− 0 x1 −0 −0 −0 −0



Sustituyendo los valores correspondientes y operando llegamos al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

13x2 + 6y2 − 513/4 = 0

(4.60)

8y2 − 4x2 = 0

(4.61)

de donde obtenemos la soluci´ on: x2 = 8.5781 y2 = 4.9141



4.6.

56

Doble deslizadera con dos barras (problema 4.3 de [1])

Dado el mecanismo de la siguiente figura, se pide: a) N´ umero de grados de libertad del mecanismo. b) Hallar velocidad y aceleraci´ on instantáneas del punto 2. Datos: y˙ 1 = x˙ 3 = 1m/s, y¨1 = x ¨3 = 1m/s2 .

Soluci´ on a) N´ umero de grados de libertad del mecanismo. Empleando el criterio de Gr¨ uebler, obtenemos: g = 3(N − 1) − 2pI − pII = 3(3 − 1) − 2 · 1 − 2 = 2 b) Hallar velocidad y aceleraci´ on instant´ aneas del punto 2. Comenzamos modelando el mecanismo en coordenadas naturales, mediante las coordenadas cartesianas de los puntos 1, 2 y 3. Aprovechando que las correderas en 1 y 3 tendrán siempre una de sus coordenadas constantes por imposición cinemática, definimos el vector q con el m´ınimo n´ umero de coordenadas posibles, solamente las que variarán durante el movimiento del sistema: 

y1



  x   2 q=   y2    x3

(4.62)

que, tomando como origen de coordenadas la posición inicial de 3, valen para el instante mostrado: 

q|t=0

  1     x  1  2   = =   y2  1     x3 0 y1



(4.63)



57

Con n = 4 coordenadas, y g = 2 grados de libertad, necesitamos por tanto m = n − g = 4 − 2 = 2 ecuaciones de restricción: Sólido 12: S´ olido r´ıgido con dos puntos: (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − L212 = 0

(4.64)


(4.65)

El orden en que aparecen los puntos dentro de los paréntesis no es importante, por lo que se puede escoger el que se prefiera. Eso s´ı, se debe tener cuidado y mantenerlos durante el c´ alculo de la matriz Jacobiana más adelante. Sustituyendo ahora los valores que serán siempre fijos en todas las posiciones del mecanismo, tenemos el siguiente vector de restricciones:   2 2 x2 + (y2 − y1 ) − 1  Φ(q) =  (4.66) (x2 − x3 )2 + y22 − 2 2×1

El problema de velocidad implica plantear Φq q˙ = −Φt . Como t no aparece expl´ıcitamente en las restricciones, tenemos que Φt = 0. Respecto al Jacobiano Φq , derivando hallamos su expresi´ on:

 Φq (q) =

Φ1

 Φ2

y1

x2

y2

x3

−2(y2 − y1 )

2x2

2(y2 − y1 )

0

0

2(x2 − x3 )

2y2

−2(x2 − x3 )

Reemplazando valores conocidos en el instante inicial:   0 2 0 0  Φ(q)|t=0 =  0 2 2 −2

 

(4.67)

2×4

(4.68)

Planteamos ahora el sistema de ecuaciones ampliado consistente en las restricciones de velocidad impuestas por el mecanismo Φq q˙ = 0 y los datos de velocidad conocidos:   0       0 2 2 −2  x˙  0    2      =    1 0 0 0   y˙ 2  1      x˙ 3 0 0 0 1 1 

0 2 0

0



y˙ 1



(4.69)

de donde se tienen las velocidades buscadas: x˙ 2 = 0 y y˙ 2 = 1. Es decir, el punto 2 se mueve con velocidad vertical, en sentido de abajo a arriba, a 1 m/s. Podemos resumir todas las velocidades en el instante inicial a través del vector:



  1     x˙  0  2   =   =   (m/s)  y˙ 2  1     x˙ 3 1 

˙ t=0 q|

y˙ 1

58



(4.70)

Con respecto a las aceleraciones, debemos plantear las restricciones cinemáticas, que ˙ t . Como ˙ q q˙ − Φ ¨ = −Φ como vimos en teor´ıa se resumen en el sistema de ecuaciones Φq q ˙ t sigue siendo cero. El término Φ ˙ Φt era cero, su derivada total con respecto al tiempo Φ representa la derivada temporal del Jacobiano, que obtenemos a partir de la Ec. (4.67):

 d ˙ Φ(q) = Φ(q) = dt

Φ1

y1

x2

y2

x3

−2(y˙ 2 − y˙ 1 )

2x˙ 2

2(y˙ 2 − y˙ 1 )

0

0

2(x˙ 2 − x˙ 3 )

2y˙ 2

−2(x˙ 2 − x˙ 3 )

 Φ2

  (4.71)

Particularizando con los valores numéricos de este caso, podemos calcular el resultado ˙ q q, ˙ término que aparece en la derecha de la ecuación de aceleraciones, del producto Φ resultando:   1      0 0 0 0  0 0  ˙ q q˙ =   Φ  =   0 −2 2 2  4 1 1

(4.72)

tras lo que podemos plantear el sistema de ecuaciones ampliado de aceleraciones, introduciendo los dos datos de aceleraciones conocidas: 

0 2 0

0



y¨1





0



         0 2 2 −2  x   ¨2  −4    =     1 0 0 0   y¨2   1       x ¨3 0 0 0 1 1

(4.73)

que despejando nos arroja unos valores de aceleración de x ¨2 = 0 (m/s2 ) y y¨2 = 2 −1 (m/s ).

Nota: Contrastar con la resolución anal´ıtica dada en §3.3.


´ 4.7. PROBLEMA CILINDRO NEUMATICO

4.7.

59

Problema cilindro neum´ atico

Determinar la velocidad angular instantánea ω1 del mecanismo de la Figura 4.5 sabiendo que el actuador hidr´ aulico se alarga con velocidad lineal v = 1m/s.

Figura 4.5: Ejemplo de mecanismo con actuador lineal

Soluci´ on Para obtener la velocidad solicitada basta con llevar a cabo un problema de velocidad para el instante objeto de estudio. Para ello establecemos un sistema de coordenadas naturales que además establezcan alguna relaci´ on con el dato de entrada, que en este caso se corresponde con la velocidad lineal del actuador. Por tanto tendr´ıamos un vector de coordenadas q = [x1 y1 x2 y2 s]> Aunque no es necesaria su evaluación, planteamos las ecuaciones de restricción ya que nos hará falta el Jacobiano, que se obtiene a partir de ellas: 

(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L2A1



   (x − x )2 + (y − y )2 − L2  1 2 1  2 12  Φ=  (xB − x2 )2 + (yB − y2 )2 − L2  B2   x22 + y22 − s2

(4.74)

En este caso se ha definido la coordenada lineal s mediante una distancia al cuadrado por poder definirse como la longitud total de la “barra” que va desde A hasta 2. Es importante resaltar que en otros problemas puede resultar más sencillo definir coordenadas lineales mediante polinomios de primer orden, de derivadas más sencillas que los de segundo orden. Derivando ahora con respecto a las cinco variables, obtenemos la siguiente matriz Jacobiana:


´ 4.7. PROBLEMA CILINDRO NEUMATICO



2(x1 − xA )

2(y1 − yA )

60

0

0

0



  −2(x − x ) −2(y − y ) 2(x − x ) 2(y2 − y1 ) 0  2 1 2 1 2 1   Φq =    0 0 −2(xB − x2 ) −2(yB − y2 ) 0    0 0 2x2 2y2 −2s

(4.75)

El problema de velocidad establece que que el producto de la matriz Jacobiana por el vector de velocidades menos debe de ser igual 0, ya que el tiempo no aparece expl´ıcitamente en el vector de restricciones, la derivada parcial Φt es cero en este caso, quedando: Φq q˙ = 0 (4.76) Esto implica la resoluci´ on de un sistema de m = 4 ecuaciones con n = 5 incógnitas. Puesto que falta una ecuaci´ on para que el sistema sea resoluble incorporamos el dato del grado libertad de 1m/s de acuerdo con el enunciado. 

    0 x˙ 1      −2(1 − 0) −2(1 − 0)     2(1 − 0) 2(1 − 1) 0     y˙ 1  0           0 0 −2(1 − (1 − 1/ tan(60◦ ))) −2(1 − 0) 0    x˙ 2  = 0  √          0 0 2(1) 2(1) −2 2    y˙ 2  0 2(0 − 0)

2(1 − 0)

0

0

0

0

0

0

0

1

s˙

1 (4.77)

De lo que se resulta el vector q˙ = [3.3461 0 3.3461 − 1.9318 1]> . Finalmente, la velocidad angular de la barra A1 se puede obtener a partir de la conocida fórmula de cinem´ atica anal´ıtica: ~ A1 ~v1 = ω ~ A1 × L

(4.78)

de donde |~v1 | = |~ ω A1 |LA1 y por tanto podemos despejar: |ωA1 | =

3.3461 x˙ 1 = (rad/s) y1 L

(4.79)

donde L queda como par´ ametro (no se especifica en el enunciado), y siendo el sentido de giro acorde a la velocidad x1 , es decir, en sentido de las agujas del reloj. Téngase en cuenta que este u ´ltimo paso podr´ıa haberse omitido si incluimos el ángulo θ1 en el vector de coordenadas generalizadas, ya que nos habr´ıa permitido una lectura directa de dicha velocidad. Esto se consigue a costa de ampliar el tama˜ no del problema, y es el analista el que debe decidir qué opción elegir.



4.8.

61

Examen Feb-2014

Dado el mecanismo de la figura, y sabiendo que el disco gira a velocidad constante de 90 rpm en sentido horario, se pide: a) Modelarlo por métodos numéricos mediante coordenadas naturales y las coordenadas relativas que se estimen necesarias para la realización del resto de apartados. b) Calcular la velocidad del punto extremo de la barra (punto 2) por métodos numéricos.

Figura 4.6 Datos: Todas las cotas est´ an en mil´ımetros. Ver tambi´ en: Soluci´ on por m´ etodo anal´ıtico en §3.4.

Soluci´ on a) Modelarlo por m´ etodos num´ ericos mediante coordenadas naturales y las coordenadas relativas que se estimen necesarias para la realizaci´ on del resto de apartados. Los puntos cuyas coordenadas aparecen en la cadena cinemática cerrada son los puntos fijos O2 y O4 , y el m´ ovil 1. Debido a que el punto 1 sobre la barra O4 2 está sobre una corredera, necesitaremos un tercer punto sobre dicha barra para poder establecer posteriormente la condici´ on de colinealidad. Por lo tanto, nos valdr´ıa cualquier otro punto de la barra pero ya que nos interesa el estado cinemático del punto 2, éste es otro punto que debe aparecer en el vector de coordenadas. En cuanto a coordenadas relativas, nos interesa definir el ´ angulo θO2 entre el eje X y la l´ınea O2 1, ya que su derivada es la velocidad angular del disco, dato cinemático dado en el problema. Recopilando las coordenadas de los puntos m´ oviles y esta coordenada relativa, tenemos: 

x1



  y  1      q =  x2      y2    θO2

(4.80)



62

Situaremos el origen de coordenadas XY en el punto O4 , con lo que xO4 = yO4 = 0. El modelado por coordenadas naturales o mixtas requiere además de la definición de las correspondientes ecuaciones de restricción. Empleando el criterio de Gr¨ uebler, obtenemos que los grados de libertad del mecanismo son: g = 3(N − 1) − 2pI − pII = 3(3 − 1) − 2 · 2 − 1 = 1 por lo que con n = 5 coordenadas, necesitamos m = n − g = 5 − 1 = 4 restricciones: Sólido O4 2: Es un s´ olido r´ıgido modelado con dos puntos, O4 y 2. Recordar que no se trata de un s´ olido de tres puntos al ser 1 un punto móvil (corredera). Por tanto, tenemos restricci´ on de distancia constante O4 2: 2 *20 :)20+ (y2 − yO4 (x2 − xO4 ) − LO4 2 = 0

x22

+

y22

−

L2O4 2

= 0

(4.81) (4.82)

Sólido O2 1: Distancia constante entre O2 y el punto 1 sobre el disco: (x1 − xO2 )2 + (y1 − yO2 )2 − L2O2 1 = 0

(4.83)

Par prism´ atico entre el punto 1 y la barra: Implica O~4 1 × O~4 2 = 0: x 1 y2 − y1 x 2 = 0

(4.84)

Coordenada relativa θO2 : Ya que sólo se nos pide resolver el problema para una configuraci´ on concreta, no es necesario emplear las dos ecuaciones redundantes con seno y coseno, pudiendo emplear cualquiera de ellas: x1 − xO2 − LO2 1 cos θO2 = 0

(4.85)

En resumen: 



x22 + y22 − L2O4 2

  (x − x )2 + (y − y )2 − L2  1 O2 O2  1 O2 1  Φ(q) =  =0   x 1 y2 − y1 x 2   x1 − xO2 − LO2 1 cos θO2

(4.86)

El conjunto de las coordenadas q y las restricciones conforman el modelo pedido. b) Calcular la velocidad del punto extremo de la barra (punto 2) por m´ etodos num´ ericos. Se trata de resolver un problema de velocidad, para lo que es un prerequisito haber resuelto el problema de posici´ on. En este caso el enunciado nos da la posición del mecanismo, por lo que aplicando trigonometr´ıa obtenemos el valor numérico de las coordenadas:     161.95 150 + 45 cos 74.6◦        y   45 sin 74.6◦   43.384  1             ◦       q =  x2  =  250 cos 15  = 241.482       ◦   64.705   y2   250 sin 15       

x1

θO2



π 74.6◦ 180 ◦

(mm, rad)

(4.87)

1.302



63

La ecuaci´ on del problema de velocidad es Φq q˙ = −Φt . Ya que en este caso no existen restricciones que dependan expl´ıcitamente del tiempo, tenemos Φt = 0. Calculamos el Jacobiano derivando cada restricci´ on con respecto a todas las coordenadas (muy importante respetar el orden de las ecuaciones y de las variables dentro del vector q):

 Φ1

Φq (q) =

Φ2 Φ3 Φ4

x1

y1

x2

y2

θO2

0

0

2x2

2y2

0

0

0

x1

0

0

45 sin θO2

   2(x1 − xO2 ) 2(y1 − yO2 ) 0    y2 −x2 −y1  1 0 0

       

(4.88)

Sustituyendo los valores numéricos para el instante inicial:

 Φ1

Φq (q0 ) =

Φ2 Φ3 Φ4

x1

y1

0

0

x2

y2

θO2

482.9640 129.41

   23.9 86.768    64.705 −241.482  1 0

0

0

0

0

−43.384

161.95

0

0

0

43.384

       

(4.89)

Ya que el mecanismo tiene 1 grado de libertad, debemos plantear el sistema de ecuaciones ampliado que incluya Φq q˙ = 0 junto con 1 dato de velocidad conocido, en este caso, θ˙O2 = −90 rpm = −9.42 (rad/s) dado en el enunciado. 

0

0

482.9640 129.41

  23.9 86.768    64.705 −241.482    1 0  0 0

0



x˙ 1





0



      y˙   0   1          x˙ 2  =  0  161.95 0             0 43.384    y˙ 2   0  θ˙O2 0 1 −9.42

0

0

−43.384 0 0

0

(4.90)

Resolviendo el sistema obtenemos las velocidades de todos los puntos del modelo: 

q˙ t=0

x˙ 1





408.68



     y˙  −112.57   1         =  x˙ 2  ≈  82.79        y˙ 2  −308.96     −9.42 θ˙O2

(mm/s y rad/s)

(4.91)

con lo que la velocidad pedida del extremo 2 es de (x˙ 2 , y˙ 2 ) = (82.79, −308.96) (mm/s), o lo que es lo mismo, 320(mm/s)∠ − 75◦ , resultado idéntico al obtenido mediante el método anal´ıtico en §3.4.


Parte III

Din´ amica num´ erica

64

CAPÍTULO


Contents 5.1. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.

Examen Feb-2014

Obtener la matriz de masas y el vector de fuerzas generalizadas del mecanismo de la figura.

Figura 5.1 Datos: Todas las cotas est´ an dadas en mil´ımetros. Masa del disco: 10 kg, masa de barra: 1 kg, masa del casquillo: 0 kg, Fuerza F = 20N .

Soluci´ on Para obtener la matriz de masas primero debemos establecer el vector de coordenadas generalizadas del mecanismo, y a continuación ensamblar las matrices de masas de cada uno de los elementos. Lo m´ as sencillo es modelar mediante las siguientes coordenadas naturales: q = [x1 y1 x2 ]. N´ otese c´ omo se ha dejado fuera la coordenada y2 por ser constante a lo largo del tiempo (el ejercicio también ser´ıa válido incluyéndola, aunque lógicamente la matriz de masas tendr´ıa una fila y una columna más). 65


66

Para determinar las matrices de masa de cada elemento, partimos de la matriz genérica para elementos planos definidos por dos puntos:   M + a − 2bx 0 bx − a −by    ∼ M + a − 2bx by bx − a   Me =    ∼ ∼ a 0    ∼ ∼ ∼ a

(5.1)

donde: M : Masa total. a =

Ii , L2ij

ey

ex

bx = M Lijg , by = M Lijg .

Ii : Momento polar de inercia (sobre z) en el punto i. (e xg ,e yg ): Coordenadas locales del centro de masas. Concretando para cada elemento del problema: Disco O2 1: Hay que ser muy cuidadosos con escoger los valores de momento polar de inercia que corresponda, seg´ un el centro del disco esté en el primer o el segundo punto usado para modelar el mecanismo. En este caso, asumimos que el orden de dos puntos del disco es (O2 , 1), luego tenemos: • Lij = 45 mm, la distancia entre los dos puntos O2 y 1. • R = 60 mm, el radio del disco f´ısico. Es esta distancia la que influye en el c´ alculo del valor de la inercia Ii , y no Lij . • Ii = 1/2M R2 = 1800M mm2 , el momento polar de inercia con respecto a O2 . • a=

Ii L2ij

= 0.8889M .

• Al coincidir el centro de masas con el primer punto del sólido, tenemos bx = 0 y by = 0. Sustituyendo en la matriz M: 

1.8889

−0.8889

0

  0 1.8889  Md = 10kg ·  −0.8889 0  0 −0.8889

0 0.8889 0

0



 −0.8889    0  0.8889

(5.2)

Barra 12: Sustituyendo, obtenemos:  2   1kg 0 Mb = · 6 1  0

 0 1 0  2 0 1   0 2 0  1 0 2

(5.3)



67

Casquillo en 2: Al no tener masa, no aporta nada a la matriz de masas del mecanismo El ensamblado de la matriz global presenta la siguiente estructura:

 O2

M=

1 2

O2

1

2

2 ,O2 MO d

2 ,1 MO d

0

  2  M1,O d  0

M1,1 d

+ M1,1 b 2,1 Mb



Mb1,2 Mb2,2

   

(5.4)

por lo que ensamblando cada submatriz en la matriz de masas del mecanismo completo y quedándonos s´ olo con las componentes que forman parte del vector de coordenadas q:

 x1

M=

y1

   

x2

x1

y1

x2

9.222

0

0.167

0

9.222

0

0.167

0

0.333

    (kg) 

(5.5)

En cuanto al vector de fuerzas generalizadas, debemos contar con la contribución de cada una de las fuerzas existentes: Peso propio del disco: Al estar su centro de masas en el apoyo a tierra, ninguna parte del peso se translada al resto del mecanismo:   0 (x1 )     Qd = 0 (y1 ) 0 (x2 )

(N)

(5.6)

Peso propio de la barra: Empleando la fórmula estudiada en teor´ıa, obtenemos: 

0





0



(x1 )        Qb =  −1/2Mb g  ≈ −5 (y1 ) 0 0 (x2 )

(N)

(5.7)

Fuerza F : Al ser una fuerza puntual, podemos aplicar las fórmulas vistas en teor´ıa para una fuerza aplicada en una parte de un sólido r´ıgido (la barra). Pero en este caso es a´ un m´ as sencillo, al coincidir el punto de aplicación con un punto del modelo (el 2), translad´ andose directamente el valor de la fuerza a su posición correspondiente:   (x1 ) 0    QF =  (5.8)  0  (y1 ) (N) (x2 ) −20



68

Sumando todos los efectos independientes obtenemos el vector de fuerzas generalizadas: 

0



(x1 )    Q=  −5  (y1 ) −20 (x2 )

(N)

(5.9)


Parte IV

Engranajes

69

CAPÍTULO


Contents 6.1. Examen Feb-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. Examen Sep-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3. C´ alculo de velocidades en un tren compuesto . . . . . . . . . 75

6.1.

Examen Feb-2014

El siguiente esquema se corresponde con un sistema de reparto de potencia de un veh´ıculo h´ıbrido. El motor-generador 2 (MG2) está conectado a la corona y es el encargado de propulsar al veh´ıculo. La corona tiene Z3 = 78 dientes, mientras que el portasatélites, acoplado al motor de combustión interna (ICE), engrana con MG1 y MG2, permitiendo actuar en la propulsi´ on del veh´ıculo y cargar las bater´ıas, dependiendo del caso. Por u ´ltimo, el engranaje sol está acoplado al motor-generador 1 (MG1) y tiene Z1 = 30 dientes.

Figura 6.1

De acuerdo a las vistas en alzado del dibujo, se considerarán velocidades angulares positivas las que giren en sentido de las agujas del reloj. Se pide: determinar la velocidad del MG1 y su sentido de giro, en estos tres casos: 1. El motor de combusti´ on est´ a bloqueado. El veh´ıculo inicia la marcha a la salida de un sem´ aforo, funcionando en modo eléctrico puro con una velocidad del MG2 de 715 rpm.

70

6.2. EXAMEN SEP-2014

71

2. MG2 gira a 2665 rpm y, dado que el veh´ıculo necesita un extra de potencia, el motor de gasolina se pone a 3000 rpm. 3. El veh´ıculo circula a velocidad constante, girando MG2 a 4290 rpm mientras que el motor de combusti´ on trabaja en un punto de equilibrio cercano al óptimo, a 2185 rpm. Tener en cuenta en todos los casos que las velocidades dadas tienen el sentido de giro indicado en el dibujo anterior.

Soluci´ on Caso 1: Sabiendo que el motor de combustión está bloqueado (ωB = 0), y empleando la fórmula de Willis, obtenemos ω0 = −1859 (rpm). Caso 2: De nuevo aplicamos la fórmula de Willis obteniendo ω0 = 3871 (rpm). Caso 3: En este caso se obtiene ω0 = −3288 (rpm).

6.2.

Examen Sep-2014

En una aplicaci´ on industrial se desea conseguir, con ruedas cil´ındrico rectas, una relación de transmisi´ on i=221/1005. Se pide: 1. Calcular el n´ umero de dientes de cada rueda para obtener la relación de transmisión dada con un tren de engranajes ordinario. Especificar la disposición de las ruedas y la condici´ on que deben cumplir para que el tren sea recurrente. 2. Obtener la relaci´ on de transmisión dada con un tren de engranajes epicicloidal de balanc´ın. Dibujarlo y especificar el n´ umero de dientes de cada rueda. 3. Calcular la relaci´ on de transmisión necesaria para obtener, con una pareja de ruedas de las disponibles, un error absoluto menor de 0,0001 respecto a la dada. (Tomar una precisi´ on de 8 decimales). Debido a condiciones de dise˜ no, se tienen las siguientes restricciones: La relaci´ on de transmisi´ on de cada engranaje no puede sobrepasar el valor de 5. El n´ umero m´ aximo de dientes por rueda será de Zmax = 100 y el n´ umero m´ınimo de Zmin = 10 (10 ≤ Z ≤ 100)

Soluci´ on Apartado 1 Para hallar una posible disposición de un tren ordinario que cumpla la relación de transmisi´ on pedida (i=221/1005), se descomponen el numerador y el denominador: i=

221 13 · 17 17 13 = = · 1005 3 · 5 · 67 67 15

(6.1)



72

Una posible soluci´ on ser´ıa: Z1 = 17, Z2 = 67, Z3 = 13, Z4 = 15 Para que el tren ordinario sea recurrente se tiene que cumplir que la distancia entre los dos ejes en cada engranaje sea igual: r1 + r2 = r3 + r4

(6.2)

Por tanto: m1 m2 · (Z1 + Z2 ) = · (Z3 + Z4 ) 2 2 Z1 + Z2 m2 = m1 Z3 + Z4 Para una disposici´ on de dos pares de ruedas dentadas, la relación entre los módulos de éstas para que el tren sea recurrente será: m2 Z1 + Z2 17 + 67 84 = = = =3 m1 Z3 + Z4 13 + 65 28 NOTA 1: Otra posible soluci´ on ser´ıa: Z1 = 13, Z2 = 67, Z3 = 17 y Z4 = 15, donde la relación entre los módulos ser´ıa: m2 80 Z1 + Z2 13 + 67 = = = m1 Z3 + Z4 17 + 15 32 NOTA 2: Si se desea trabajar con ruedas de 14 dientes o más, se puede recurrir a multiplicar el numerador y el denominador por 2: i=

13 · 17 2 17 26 221 = · = · 1005 3 · 5 · 67 2 67 30

En este caso, otra posible soluci´ on ser´ıa: Z1 = 17, Z2 = 67, Z3 = 26 y Z4 = 30, donde la relación entre los m´ odulos ser´ıa: m2 Z1 + Z2 17 + 67 84 = = = = 1.5 m1 Z3 + Z4 26 + 30 56 Apartado 2 Para obtener la relaci´ on de transmisión real de un tren epicicloidal de balanc´ın, a partir de la relaci´ on de transmisi´ on aparente, se particulariza para este caso la fórmula de Willis: µA =

ωM − ωL ωO − ωL

(6.3)

Para el caso del tren epicicloidal de balanc´ın ωM = 0, luego µA = ωL /(ωO −ωL ). Si se considera que la relaci´ on de transmisión real es i = ωO /ωL , las ecuaciones que vinculan la relación de transmisi´ on real y la aparente serán: i=1−

1 1 ⇒ µA = µA 1−i

(6.4)

Esta relaci´ on de transmisi´ on aparente es en realidad la que nos sirve para calcular el n´ umero de dientes que tendr´ an las ruedas del tren epicicloidal. Operando se tiene que Teor´ıa de Mecanismos (C) 2015 (Versión: 15-11-2015) – Universidad de Almer´ıa


73

Figura 6.2: Esquema del tren de engranajes epicicloidal de balanc´ın empleado en el apartado 2.

µA =

1005 3 · 5 · 67 15 67 1 = = 4 2 = · 1 − (221/1005) 784 2 ·7 16 49

Una posible soluci´ on ser´ıa la siguiente disposición: Z1 = 15, Z2 = 16, Z3 = 67 y Z4 = 49, cuya representación gráfica se muestra en la figura 6.2. Apartado 3 Para hallar la relaci´ on de transmisión con una pareja de ruedas y un error absoluto menor de 10−4 respecto a la dada (i = 221/1005), se usa el método de descomposición en fracciones continuas hasta obtener una reducida que cumpla las especificaciones. A partir de las divisiones llevadas a cabo seg´ un la figura 6.3 se pueden obtener las relaciones de transmisi´ on aproximadas y su correspondiente error de la siguiente forma:

Figura 6.3: Descomposición en fracciones continuas



74

1 = 0.25 4 E1 = |i − R1 | = |0.21990049 − 0.25| = 3.009951 · 10−2 > 10−4 1 1 R2 = 1 = 5 = 0.2 4+ 1 R1 =

E2 = |i − R2 | = |0.21990049 − 0.2| = 1.99004910 · 10−2 > 10−4 2 1 R3 = 1 = 9 = 0.22222222 4+ 1 1+ 1

E3 = |i − R3 | = |0.21990049 − 0.22222222| = 2.32173 · 10−3 > 10−4 9 1 = R4 = = 0.21951219 1 41 4+ 1 1+

1+ 1 4

E4 = |i − R4 | = |0.21990049 − 0.21951219| = 3.883 · 10−4 > 10−4 11 1 = = 0.22 R5 = 1 50 4+ 1 1+

1+

1 4+ 1 1

E5 = |i − R5 | = |0.21990049 − 0.22| = 9.9502 · 10−5 < 10−4 1 42 R6 = = 0.21989528 = 1 191 4+ 1 1+

1+

4+

1 1 1+ 1 3

E6 = |i − R6 | = |0.21990049 − 0.21989528| = 5.21 · 10−6 < 10−4

Luego la relaci´ on de transmisi´ on que cumple las especificaciones es: 11 50 es decir, un engrane con m´ odulo m = 4 mm. y un n´ umero de dientes Z1 = 11 (pi˜ nón) y Z2 = 50 (rueda). i0 =


´ 6.3. CALCULO DE VELOCIDADES EN UN TREN COMPUESTO

6.3.

75

C´ alculo de velocidades en un tren compuesto

Sea un tren de engranajes compuesto, formado por 6 ruedas dentadas y a cuya entrada se encuentra acoplado un motor girandoa 2000rpm. Dados los siguientes n´ umeros de dientes para cada rueda, se pide: 1. Velocidad de rotaci´ on de cada rueda. 2. Factor de reducci´ on total del conjunto de engranajes. Datos: Z1 = 15, Z2 = 45, Z3 = 20, Z4 = 40, Z5 = 10, Z6 = 33.

Soluci´ on Dado que un tren de engranajes ordinario compuesto se caracteriza porque todos sus ejes son fijos pero poseen m´ as de un engranaje solidariamente unidos en cada eje, se puede realizar el siguiente esquema de conexión de las distintas ruedas dentadas, donde ωe es la entrada y ωsal la salida:

Z2

Z3 w2

we

Z6

Z1

wsal

w4 Z5 Z4

Figura 6.4: Tren de engranajes con 6 ruedas

Apartado 1 Primero hallaremos todas las relaciones en función de ωe , sustituyendo su valor numérico al final. Para la rueda 1, tenemos: ω1 = ωe Las ruedas 2 y 3 giran solidariamente a velocidad ω2 . Usando la fórmula de la relación inversa entre n´ umero de dientes y velocidades en el par de engranajes en o 1–2. Z1 15 1 ω2 = − → ω2 = − ω1 = − ωe ω1 Z2 45 3 donde el signo negativo viene de que hemos asumido en nuestro dise˜ no que todas las ruedas engranan externamente, invirtiendo por tanto el sentido de giro en cada pareja. Las ruedas 4 y 5 también giran solidariamente a velocidad ω4 . Podemos obtener el valor de dicha velocidad a partir de la ω2 conocida y sabiendo que las ruedas 3–4 están en o:


´ 6.3. CALCULO DE VELOCIDADES EN UN TREN COMPUESTO

Z3 ω4 = → ω4 = ω2 Z4

20 − 40

76

20 15 1 ω2 = − − ωe = ωe 40 45 6

Finalmente, la velocidad de salida se obtiene de aplicar la fórmula de la velocidad a las ruedas 5–6 en o: ωsal Z5 10 10 1 10 = → ωsal = − ω4 = − ωe = − ωe ω4 Z6 33 33 6 198 En resumen, la velocidad de cada rueda, siendo ωe =2000 rpm, vale: Rueda 1:

ω1 = ωe = 2000 rpm

Ruedas 2 y 3:

ω2 = − 13 ωe = −666.67 rpm

Ruedas 4 y 5:

ω4 = 16 ωe = 333.33 rpm

Rueda 6:

10 ωsal = ω6 = − 198 ωe = −101.01 rpm

donde los signos positivos indican el mismo sentido de giro que a la entrada y los negativos indican el sentido opuesto. Apartado 2 La reducci´ on total del tren de engranajes se define como velocidad de la rueda 6 hallada m´ as arriba, obtenemos: Reducci´ on total =

ωe ωsal ,

as´ı que a partir de la

ωe 198 =− = −19.8 ωsal 10

es decir, el tren se comporta como una caja reductora de relación de reducción 19.8 y cuyo eje de salida gira en sentido inverso al de entrada.


BIBLIOGRAFÍA

[1] Alejo Avello Iturriagagoitia. Teor´ıa de M´ aquinas. Tecnun (Universidad de Navarra), 2011.

77

Mecanismos 3h56d

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