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Integrales Z p Cambio de variable para a2 − x2 dx.

1.

Introducci´ on

A lo largo de este art´ıculo estudiaremos c´omo abordar la integraci´on de un tipo de funciones irracionales muy √ espec´ıfico, aquellas de la forma a2 − x2 . Es decir, nuestro objetivo ser´a calcular Z p a2 − x2 dx. Para ello, utilizaremos el siguiente cambio de variable x = sin (t), a que, de manera alternativa, podemos escribir como x = a sin (t), para as´ı estar en condiciones de encontrar m´as c´ omodamente dx, quedando dx = a cos (t)dt. As´ı pues, el cambio de variable propuesto para resolver la integral de inter´es queda como sigue: x = a sin (t), dx = a cos (t)dt.

2.

Ejemplos resueltos paso a paso Ejemplo 1

Calcula, justificando cada paso llevado a cabo, la siguiente integral: Z p 25 − x2 dx. I=

Soluci´ on A primera vista, observamos que la integral propuesta se ajusta al tipo estudiado, con a2 = 25, por lo que a = 5. De esta manera, el cambio de variable que efectuaremos ser´a el siguiente: x = 5 sin (t), dx = 5 cos (t)dt. As´ı pues, Z p 25 − x2 dx Z p = 5 cos (t) 25 − (5 sin (t))2 dt.

I=

Vamos a sacar ahora la constante fuera de la integral y a arreglar ligeramente la expresi´on que figura en el interior del radical:

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Z

q cos (t) 25 − 25 sin2 (t)dt Z q = 5 cos (t) 25(1 − sin2 (t))dt Z √ q = 5 cos (t) 25 1 − sin2 (t)dt Z q = 5 5 cos (t) 1 − sin2 (t)dt Z q = 25 cos (t) 1 − sin2 (t)dt.

I=5

Ahora bien, como sin2 (t) + cos2 (t) = 1, entonces 1 − sin2 (t) = cos2 (t), y, por tanto, q p 1 − sin2 (t) = cos2 (t) = cos (t). Haciendo uso de esta informaci´ on, la integral nos queda como sigue: Z I = 25

cos (t) cos (t)dt Z

= 25

cos2 (t)dt.

Esta u ´ ltima integral obtenida la podemos resolver f´acilmente si recordamos la siguiente identidad trigonom´etrica: 1 + cos (2t) cos2 (t) = . 2 De esta forma, tenemos que Z I = 25

1 + cos (2t) dt 2

Z 25 (1 + cos (2t))dt 2 Z Z 25 = 1dt + cos (2t)dt 2 Z Z 25 1 = 1dt + 2 cos (2t)dt 2 2 25 1 = t + sin (2t) + K . 2 2

=

Procedamos ahora a deshacer el cambio de variable. Por un lado, como x 5 x ⇒ t = arcsin . 5

x = 5 sin (t) ⇒ sin (t) =

Por otra parte, si recordamos en este momento la f´ormula trigonom´etrica del ´angulo doble, sin (2t) = 2 sin (t) cos (t), y expresamos cos (t) en funci´ on del seno haciendo: sin2 (t) + cos2 (t) = 1 ⇒ cos2 (t) = 1 − sin2 (t) q ⇒ cos (t) = 1 − sin2 (t),

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se tiene que q sin (2t) = 2 sin (t) 1 − sin2 (t), y, de cara a deshacer el cambio de variable, es cierto que

sin (t) = q 1 − sin2 (t) =

x , 5 r 1−

sin (2t) = 2 ·

x · 5

r

r x2 25 − x2 1p = 1− = = 25 − x2 , 5 25 25 5 2 p 1p 25 − x2 = x 25 − x2 . 5 25

x 2

Introduciendo en I todos estos resultados intermedios que acabamos de obtener, llegamos a: x 1 2 p 25 2 I= + · x 25 − x + K arcsin 2 5 2 25 x p 1 = 25 arcsin + x 25 − x2 + K, 2 5 donde la constante de integraci´on, que hemos extra´ıdo del par´entesis y por tanto se ver´ıa afectada por el t´ermino que lo precede, la volvemos a renombrar como K por comodidad, llegando as´ı a la soluci´on general buscada para la integral propuesta en el enunciado de este primer ejemplo. Ejemplo 2 Calcula, justificando cada paso llevado a cabo, la siguiente integral: Z p I= (1 + x)(1 − x)dx.

Soluci´ on No parece que este sea el lugar adecuado para una integral como la planteada en el segundo ejemplo, puesto que no se ajusta precisamente a la plantilla esbozada en la introducci´on del documento. Sin embargo, si recordamos aquella identidad matem´atica que nos hicieron aprender en el colegio a base del conocido ritmo ”suma por diferencia, diferencia de cuadrados”(cantinela que, matem´ aticamente, equivale a (a + b)(a − b) = a2 − b2 como bien sabemos), y la aplicamos a I, llegamos a que

I= =

Z p Z p

(1 + x)(1 − x)dx 1 − x2 dx.

Ahora simplemente nos resta replicar los pasos detallados en el ejemplo anterior, ya que la integral hallada se ajusta al tipo estudiado, con a2 = 1, por lo que a = 1. De esta manera, el cambio de variable que efectuaremos ser´ a el siguiente: x = sin (t), dx = cos (t)dt. As´ı pues, Z p 1 − x2 dx Z q = cos (t) 1 − sin2 (t)dt.

I=

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Ahora bien, como sin2 (t) + cos2 (t) = 1, entonces 1 − sin2 (t) = cos2 (t), y, por tanto, q p 1 − sin2 (t) = cos2 (t) = cos (t). Haciendo uso de esta informaci´ on, la integral nos queda como sigue: Z I=

cos (t) cos (t)dt Z

=

cos2 (t)dt.

Esta u ´ ltima integral obtenida la podemos resolver f´acilmente si recordamos la siguiente identidad trigonom´etrica: 1 + cos (2t) cos2 (t) = . 2 De esta forma, tenemos que Z I= = = = =

1 + cos (2t) dt 2 Z 1 (1 + cos (2t))dt 2 Z Z 1 1dt + cos (2t)dt 2 Z Z 1 1 1dt + 2 cos (2t)dt 2 2 1 1 t + sin (2t) + K . 2 2

Procedamos ahora a deshacer el cambio de variable. Por un lado, como x = sin (t) ⇒ t = arcsin (x). Por otra parte, si recordamos en este momento la f´ormula trigonom´etrica del ´angulo doble, sin (2t) = 2 sin (t) cos (t), y expresamos cos (t) en funci´ on del seno haciendo: sin2 (t) + cos2 (t) = 1 ⇒ cos2 (t) = 1 − sin2 (t) q ⇒ cos (t) = 1 − sin2 (t), se tiene que q sin (2t) = 2 sin (t) 1 − sin2 (t), y, de cara a deshacer el cambio de variable, es cierto que

q

sin (t) = x, p 1 − sin2 (t) = 1 − x2 , p sin (2t) = 2x 1 − x2 .

Introduciendo en I todos estos resultados intermedios que acabamos de obtener, llegamos a:

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p 1 1 2 I= arcsin (x) + · 2x 1 − x + K 2 2 p 1 arcsin (x) + x 1 − x2 + K, = 2 donde la constante de integraci´on, que hemos extra´ıdo del par´entesis y por tanto se ver´ıa afectada por el t´ermino que lo precede, la volvemos a renombrar como K por comodidad, llegando as´ı a la soluci´on general buscada para la integral propuesta en el enunciado de este segundo ejemplo. Ejemplo 3 Calcula, justificando cada paso llevado a cabo, la siguiente integral: Z p I= 7 − x2 dx.

Soluci´ on Aunque, por lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, pudi´esemos sospechar que a2 debe ser un cuadrado perfecto, no es necesario que dicho t´ermino se caracterice por satisfacer la mencionada propiedad. El cambio de variable propuesto es v´alido para cualquier valor real del par´ametro a. Sin ir m´as lejos, la 2 integral que √ figura en el enunciado de este tercer ejemplo se ajusta al tipo estudiado, con a = 7, por lo que a = 7. De esta manera, el cambio de variable que efectuaremos ser´a el siguiente: x= dx =

√ √

7 sin (t), 7 cos (t)dt.

Si a2 es un cuadrado perfecto, s´ı que es cierto que resulta m´as sencillo lidiar con la resoluci´on de la integral, puesto que se evita el trabajo con radicales. No obstante, este es el u ´ nico inconveniente que hallaremos a lo largo de los siguientes p´ arrafos, ya que el proceso a seguir es id´entico al esbozado en los anteriores ejemplos. As´ı pues, Z p

7 − x2 dx Z √ q √ = 7 cos (t) 7 − ( 7 sin (t))2 dt.

I=

Vamos a sacar ahora la constante fuera de la integral y a arreglar ligeramente la expresi´on que figura en el interior del radical: q √ Z 7 cos (t) 7 − 7 sin2 (t)dt q √ Z = 7 cos (t) 7(1 − sin2 (t))dt √ Z √ q = 7 cos (t) 7 1 − sin2 (t)dt Z q = 7 cos (t) 1 − sin2 (t)dt.

I=

Ahora bien, como sin2 (t) + cos2 (t) = 1, entonces 1 − sin2 (t) = cos2 (t), y, por tanto, q p 1 − sin2 (t) = cos2 (t) = cos (t). Haciendo uso de esta informaci´ on, la integral nos queda como sigue:

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Z I=7

cos (t) cos (t)dt Z

=7

cos2 (t)dt.

Esta u ´ ltima integral obtenida la podemos resolver f´acilmente si recordamos la siguiente identidad trigonom´etrica: 1 + cos (2t) cos2 (t) = . 2 De esta forma, tenemos que Z I=7 = = = =

1 + cos (2t) dt 2

Z 7 (1 + cos (2t))dt 2 Z Z 7 1dt + cos (2t)dt 2 Z Z 7 1 1dt + 2 cos (2t)dt 2 2 7 1 t + sin (2t) + K . 2 2

Procedamos ahora a deshacer el cambio de variable. Por un lado, como

x=

√

x 7 sin (t) ⇒ sin (t) = √ 7 x ⇒ t = arcsin √ . 7

Por otra parte, si recordamos en este momento la f´ormula trigonom´etrica del ´angulo doble, sin (2t) = 2 sin (t) cos (t), y expresamos cos (t) en funci´ on del seno haciendo: sin2 (t) + cos2 (t) = 1 ⇒ cos2 (t) = 1 − sin2 (t) q ⇒ cos (t) = 1 − sin2 (t), se tiene que q sin (2t) = 2 sin (t) 1 − sin2 (t), y, de cara a deshacer el cambio de variable, es cierto que x sin (t) = √ , 7 s r 2 r q 7 − x2 1 p x x2 2 = 1− = =√ 1 − sin (t) = 1 − √ 7 − x2 , 7 7 7 7 x 1 p 2 p sin (2t) = 2 · √ · √ 7 − x2 = x 7 − x2 . 7 7 7 Introduciendo en I todos estos resultados intermedios que acabamos de obtener, llegamos a:

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7 x 1 2 p 2 √ I= arcsin + · x 7−x +K 2 2 7 7 p 1 x = 7 arcsin √ + x 7 − x2 + K, 2 7 donde la constante de integraci´on, que hemos extra´ıdo del par´entesis y por tanto se ver´ıa afectada por el t´ermino que lo precede, la volvemos a renombrar como K por comodidad, llegando as´ı a la soluci´on general buscada para la integral propuesta en el enunciado de este tercer ejemplo.

3.

Ejercicios propuestos Ejercicio 1

Comprueba, calculando la integral de manera justificada, que: Z p x p 1 4 arcsin + x 4 − x2 + K. I= 4 − x2 dx = 2 2 Ejercicio 2 Comprueba, calculando la integral de manera justificada, que: Z p p 1 x 2 2 I= 11 − x dx = + x 11 − x + K. 11 arcsin √ 2 11 Ejercicio 3 Comprueba, calculando la integral de manera justificada, que: Z p x p 1 I= (6 + x)(6 − x)dx = 36 arcsin + x 36 − x2 + K. 2 6

4.

Preguntas y respuestas Pregunta

¿Y si el coeficiente asociado a x2 fuese distinto de uno?

Respuesta En principio, la situaci´on planteada en la anterior pregunta excede el actual nivel de dificultad marcado para el presente curso. No obstante, simplemente por satisfacer la curiosidad de aquellas mentas inquietas, la respuesta pasa por revisar ligeramente el contenido expuesto en la introducci´on de este art´ıculo. As´ı pues, si nuestro objetivo es el c´ alculo de una integral del tipo Z p a2 − b2 x2 dx, utilizaremos el siguiente cambio de variable b x = sin (t), a que, de manera alternativa, podemos escribir como x=

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a sin (t), b

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para as´ı estar en condiciones de encontrar m´as c´omodamente dx, quedando dx =

a cos (t)dt b

. As´ı pues, el cambio de variable propuesto para resolver la integral de inter´es queda como sigue: a sin (t), b a dx = cos (t)dt. b x=

La integral se abordar´ıa entonces de manera an´aloga a la esbozada en los ejemplos que componen la segunda secci´ on de este art´ıculo. Podemos poner a prueba nuestra pericia comprobando que, efectivamente, Z p p 1 2 2 2 9 − 4x dx = 9 arcsin x + 2x 9 − 4x + K. 4 3

5.

Acerca del art´ıculo

Podr´as encontrar la versi´on m´as actualizada de este documento, as´ı como otros art´ıculos similares, en el apartado Bachillerato de mi p´ agina web personal: Infinitos Contrastes. Cuadro 1: Ficha informativa del documento

T´ıtulo: Subt´ıtulo:

Integrales. R√ a2 − x2 dx. Cambio de variable para

Resumen:

Este documento aborda en √ detalle la integraci´on de un tipo de funci´on irracional muy espec´ıfico, a2 − x2 , proponiendo un cambio de variable de adecuado.

Temas asociados:

Integrales indefinidas. Integrales definidas.

Recomendado para:

2o de Bachillerato de Ciencias y Tecnolog´ıa.

Curso:

2016/17.

Autor: Web:

Rub´en Alexis S´aez Morcillo. Infinitos Contrastes.

Fecha de publicaci´ on original: Fecha de u ´ltima modificaci´ on:

30 de enero de 2017. 30 de enero de 2017.

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