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Matemáticas de 2º de bachillerato

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Integral indefinida

Integral indefinida 1.Introducción.La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata de hallar la función derivada de una función f, esto es, hallar f ´, mientras que en la integración se trata de que dada una función f, debemos determinar otra (escribimos F) tal que su derivada sea f, esto es, F ´= f. El proceso de integración (o calcular una integral) es, generalmente, más complicado que el de derivación. En el presente tema veremos diversas técnicas o métodos de integración, es decir, métodos que nos permitirán resolver el siguiente problema: “dada una función f, hallar otra función F cuya derivada sea f “.

2.Primitivas de una función.Una función F es una primitiva de otra función f, si la derivada de F es f. F es una primitiva de f

]

F´ =f

Ejemplo 1.La función F (x) = x3 es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que F ´(x) = 3x2 = f (x). La función F1 (x) = x3 + 5 también es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que derivando, F1´(x) = 3x2 = f (x). La función F2 (x) = x3 & 0´8 también es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que derivando, F2´(x) = 3x2 = f (x). En realidad, cualquier función de la forma F (x) = x3 + C , siendo C un número real cualquiera, es una primitiva de la función f (x) = 3x2. De lo anterior deducimos que la función f (x) = 3x2 tiene infinitas funciones primitivas.

En general, podemos asegurar que si una función f (x) tiene una primitiva F(x), entonces tiene infinitas, ya que la función Φ(x) = F(x) + C con C 0ú también es una primitiva de f (x). En efecto: F ( x ) primitiva de f ( x ) ⇒ F ′ ( x ) = f ( x )

Φ ′ ( x ) = [ F ( x ) + C] ′ = F ′ ( x ) = f ( x ) ⇒ Φ ( x ) es una primitiva de f ( x )

La expresión F(x) + C representa al conjunto de la infinitas funciones primitivas de f (x). Para cada valor de C (número real), obtenemos una primitiva en concreto. Si conocemos una primitiva, tenemos determinadas todas, ya que difieren en una constante.

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Ejemplo 2.Sea la función f (x) = cos x. Una primitiva de f (x) es F1(x) = sen x ya que F1´(x) = cos x = f (x). Otra primitiva de f (x) es F2 (x) = sen x + 9 ya que F2´(x) = cos x = f (x). Otra primitiva de f (x) es F3 (x) = sen x & 12´92 ya que F3´(x) = cos x = f (x). etc. Como la función f (x) = cos x tiene infinitas primitivas y todas se diferencian en una constante, expresamos F (x) = sen x + C (C es un número real cualquiera) como el conjunto de las infinitas primitivas de f (x) = cos x. Es decir:

F ( x ) = sen x + C C ∈ R

Conjunto de las primitivas de f (x) = cos x

Ejercicio 1.Determinar el conjunto de las primitivas de la función f (x) = ex y escribir tres elementos de dicho conjunto.

Solución: A simple vista se aprecia que cualquier función de la forma F (x) = ex + C œC 0 ú es una primitiva de f (x) = ex, por lo que: F (x) = ex + C

Conjunto de las primitivas de f (x) = ex

 Para C = 0 tenemos F1 = e x  Hallemos tres de ellas:  Para C = 73 tenemos F2 = e x + 73   Para C = − 5 tenemos F3 = e x − 5

Puede ocurrir que la primitiva de una función esté definida únicamente en un intervalo de ú. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 3.Consideremos la función f ( x ) = 1x . Una primitiva de esta función sería F(x) = Lx (logaritmo neperiano de x) ya que F ´(x) = f (x). Ahora bien, si x#0 entonces Lx no está definido (recuerda que los números negativos y el cero no tiene logaritmo), por lo que las funciones F(x) = Lx + C serán primitivas de f (x) en el intervalo abierto (0,+4), esto es, para valores positivos de x. No obstante, la función F(x)=L*x* sí es una primitiva de f (x) en todo ú&{0}. En efecto:

 Si x > 0 entonces F ( x ) = L x = Lx y F ′ ( x ) = 1 = f ( x )  x  1 1  Si x < 0 entonces F ( x ) = L x = L( − x ) y F ′ ( x ) = − x ( − 1) = x = f ( x )

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Lo visto en el ejemplo 3 hace que la definición de primitiva de una función deba ser más rigurosa que la dada anteriormente. Definición: Se dice que la función F (x) es una primitiva de la función f (x) en el intervalo abierto (a,b), si se verifica que œx0(a,b) es F´(x) = f (x) Cuando no se especifica un intervalo concreto, se entiende que se refiere a todo el dominio de definición de f (x).

Ejercicio 2.1 Dada la función G ( x ) = 4 x 3 − x 2 + 6 x − 5, comprobar si es una primitiva de la 2

función g ( x ) = 12 x 2 − x + 6.

Solución: G(x) es una primitiva de g(x) si G ´(x) = g(x) Derivemos G (x): G ´(x) = 12 x2 - x + 6 Observamos que G ´(x) = g(x) Conclusión: G(x) es una primitiva de g(x)

Ejercicio 3.¿Es f ( x ) = sen 2 x + 3 una función primitiva de ϕ ( x ) =

sen 2 x 2 x

?

Solución:

f (x) es una primitiva de n (x) si f ´(x) = n (x)

Derivemos f (x) : f ′ ( x ) = 2 sen

sen 2 x x ⋅ cos x ⋅ 1 = = ϕ ( x) 2 x 2 x

Por tanto, f (x) es una primitiva de n (x). NOTA: Recuerda que sen 2A = 2 sen A · cos A (seno del ángulo doble). En este caso A =

x

3.Integral indefinida de una función.Sea f(x) una función. Se llama integral indefinida de la función f(x) al conjunto formado por todas sus funciones primitivas. A dicho conjunto le damos la siguiente notación: Esta notación representa el conjunto de las primitivas de f(x) y se lee “integral de f diferencial de x ” o simplemente “integral de f “ f ( x ) dx

∫

m es el símbolo de integración (lo mismo que ´ es el de derivación)

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dx es una expresión que nos indica cuál es la variable (x) de la función que vamos a integrar. Su lectura es “diferencial de x” y significa algo así como “variación de x”. Recopilando lo visto en los apartados y ejemplos anteriores y considerando este concepto:

Conjunto de las primitivas de f ( x ) =

∫ f ( x) dx = { F ( x)

F ′ ( x) = f ( x)

}

Hemos visto que si F(x) es una primitiva de la función f (x), entonces la función Φ(x)=F(x)+C, siendo C una constante, también es una primitiva de f (x). Puede demostrarse lo siguiente:

  Todas las primitivas de f ( x ) ⇒ F ( x ) una primitiva de f ( x )   son de la forma F ( x ) + C ( C constante) & f ( x ) una funcion

es decir, dos primitivas de una función f (x) sólo se diferencian en una constante. Visto lo anterior, para abreviar, al conjunto de las primitivas de la función f (x) lo podemos expresar de la siguiente forma:

∫ f ( x) dx =

F ( x) + C

En la que F(x) es una primitiva cualquiera y C0ú son números reales cualesquiera, esto es, son infinitas primitivas.

En ocasiones, cuando tengamos varias integrales o queramos abreviar su expresión, las identificaremos con letras mayúsculas, esto es:

I=

∫ f ( x) dx

; J = ∫ g ( x ) dx ; L = ∫ h( x ) dx etc ...

Ejemplo 4.Sea la función f (x) = 2x. Una primitiva de f (x) será F (x) = x2 ya que F ´(x) = 2x = f (x) El conjunto formado por las infinitas primitivas de f (x) se expresa:

∫ f ( x) dx = ∫ 2 x dx

Se lee “integral de 2x diferencial de x”

Si nos piden que hallemos dicho conjunto, expresaríamos:

∫ f ( x) dx = ∫ 2 x dx = x 2 + C

∀ C∈ R

Para cada valor de C obtenemos una función primitiva distinta.

Veamos algunas:

 Para C = 0 tenemos F1 = x 2 una primitiva de f ( x ) = 2 x  2  Para C = 1 tenemos F2 = x + 1 otra primitiva de f ( x ) = 2 x  2  Para C = − π tenemos F2 = x − π otra primitiva de f ( x ) = 2 x

Los conceptos de integral y diferencial de una función son recíprocos, es decir: Sea f (x) una función y f ´(x) su derivada. Recordemos el concepto de “diferencial de f (x)” : d f (x) = f ´(x) dx Si integramos: I =

∫ df ( x) = ∫ f ′ ( x) dx =

f ( x ) + C ya que [ f (x) + C ]´= f ´(x)

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Resumiendo:

  siderivamos   →  f ( x) + C     ←  si integramos

   f ′ ( x) 

Ejercicio 4.Justificar razonadamente si es cierta o no la igualdad siguiente: 3x 2 3x 2 siendo C0ú

∫ 6x e

dx = e

+ C

Solución: 2

2

Llamamos f ( x ) = 6 x e 3x y F ( x ) = e 3x La igualdad propuesta es cierta sí y sólo sí F´(x) = f (x) Veamos: 2

( )′ Le = e 3x

F ′ ( x ) = e 3 x 3x 2

2

2

6 x = 6 x e 3x = f ( x )

Conclusión: La igualdad propuesta es cierta.

Ejercicio 5.-

∫ f ( x) dx = x 3 + 6 x + C, con

Hallar f (x) para que sea cierta la igualdad

C0ú.

Solución: Para que la igualdad sea cierta debe ocurrir que la derivada de F (x) = x3 + 6x + C sea igual a f (x) = x2 + 6. Veamos: F´(x) = ( x3 + 6x + C )´= 3 x2 + 6 = f (x) Por tanto, la igualdad propuesta es cierta, es decir:

∫ f ( x) dx = x 3 + 6 x + C

∀C ∈ R

Ejercicio 6.Dada la función f ( x ) = a) b) c)

1 2 x

, se pide:

Determinar el conjunto formado por todas sus primitivas. Hallar la primitiva cuya gráfica pasa por el punto del plano A(9,8) Hallar la primitiva cuya gráfica pasa por el punto del plano B(&4,6)

Solución: a)

Se trata de resolver la integral I =

∫2

1 x

dx

Es fácil apreciar que una primitiva de f (x) es F1 ( x ) = Por tanto, F ( x ) =

1 2 x

x + C representa al conjunto pedido. Lo expresamos:

I= b)

x ya que F1 ′ ( x ) =

∫2

1 x

dx =

x + C ∀C ∈ R

De las infinitas primitivas, buscamos aquella cuya gráfica pase por el punto A(9,8).

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La función que buscamos será de la forma F ( x ) = x + C , siendo C = nº desconocido. Debemos hallar el valor de constante C para tener determinada dicha función. Veamos:

& A(9,8) punto de la grafica de F ( x ) =

x + C ⇔ F ( 9) = 8 9 + C = 8 ; 3+ C = 8 ; C = 5

La función pedida es:

F2 ( x ) = c)

x+5

Se trata del mismo razonamiento que en el apartado anterior: La función que buscamos será de la forma F ( x ) = x + C , siendo C = nº desconocido. Debemos hallar el valor de constante C para tener determinada dicha función. Veamos:

& B( − 4,6) punto de la grafica de F ( x) =

x + C ⇔ F ( − 4) = 6 & sin solucion & − 4 + C = 6 ecuacion

Significa que ninguna de las primitivas de f (x) pasa por el punto B(&4,6). En este ejercicio puede apreciarse que la función f ( x ) = intervalo (0,+4), esto es, su dominio es ú+ y sus primitivas F ( x ) =

1 2 x

está definida en el

x + C están definidas en

el intervalo [0,+4), por lo que en este caso debemos decir que las funciones F ( x ) = las primitivas de f (x) en el intervalo (0,+4), esto es, en el dominio de f (x). Podemos expresar:

I=

∫2

1 x

dx =

x + C son

x + C ∀ C ∈ R x ∈ (0,+∞ )

Representemos gráficamente las funciones de este ejercicio: En la figura 1 apreciamos la función f (x) y las dos primitivas halladas anteriormente, F1(x) y F2(x). Obsérvese que F1 ( x ) = x es una primitiva que pasa por el punto O(0,0) y F2 ( x ) = x + 5 es otra primitiva que pasa por el punto A(9,8)

4.Integral de una suma de dos funciones.“La integral de una suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones” Es decir:

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3 f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real. 3 (f + g)(x) = f (x) + g(x) es la función suma de ambas. Se verifica que:

∫( f

+ g )( x ) dx = ∫ [ f ( x ) + g ( x )] dx =

∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx

En efecto: P Sea f (x) una función y F(x) una de sus primitivas, es decir, F´(x) = f (x). Entonces podemos poner que P

P

C1 ∈ R

Sea g (x) otra función y G(x) una de sus primitivas, es decir, G´(x) = f (x). Entonces podemos poner que

P

∫ f ( x) dx = F ( x) + C1 ∫ g( x) dx = G ( x) + C2

C2 ∈ R

Consideremos la función suma de f y g : ( f + g)(x) = f (x) + g(x) Consideremos la función suma de F y G : ( F + G )(x) = F (x) + G(x) Pues bien, la función ( F + G )(x) es una primitiva de ( f + g)(x). En efecto: ( F + G )´(x) = F´(x) + G´(x) = f (x) + g(x) = ( f + g)(x) Las funciones F (x) + G(x) + C son las primitivas de f (x) + g(x), por lo que expresamos:

∫( f

+ g )( x) dx = ∫ [ f ( x ) + g ( x)] dx = F ( x) + G ( x ) + C = F ( x ) + C1 + G ( x ) + C2 =

={

Haciendo C = C1 + C2

∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx

c. q. d

Ejemplo 5.Sea f (x) = ex una función y F(x) = ex una de sus primitivas. Sea g(x) = cos x una función y G(x) = sen x una de sus primitivas. Podemos poner que:

  

∫ f ( x) dx = ∫ e x dx = e x + C1 = F ( x) + C1 ∫ g ( x) dx = ∫ cos x dx = sen x + C2 = G( x) + C2

Entonces:

∫ (e x + cos x) dx = ∫ e x dx + ∫ cos x dx = e x + sen x + C

C∈R

5.Integral del producto de un número por una función.“La integral del producto de un número real por una función es igual al número por la integral de la función” Es decir: 4 Sea f (x) una función y k un número real. 4 La función “k por f ” es (k f )(x) = k f (x) Se verifica que:

∫ (k En efecto:

f )( x ) dx = ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

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R

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Supongamos que F (x) es una primitiva de f (x), es decir, F ´(x) = f (x). Entonces:

R

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∫ f ( x) dx = F ( x) + C1

C1 ∈ R

La función (k F )(x) = k F (x) es una primitiva de (k f )(x) = k f (x) ya que si derivamos: (k F )´(x) = [ k F (x)]´ = k´·F (x) + k ·F´(x) = 0·F (x) + k ·F´(x) = k F´(x) = k f (x) Entonces k F (x) + C representa a todas las primitivas de k f (x), es decir:

∫k

f ( x ) dx = k F ( x ) + C

={

Llamamos C = k C1

k F ( x ) + k C1 =

= k ( F ( x ) + C1 ) = k ∫ f ( x ) dx

9

c. q. d

Esta propiedad nos permitirá “sacar” constantes que estén multiplicando, “fuera” del símbolo integral.

Ejemplo 6.Supongamos que queremos resolver la integral I =

∫2

5 x

dx .

Utilizando la propiedad anterior, podemos poner: I = ∫ 5 dx = 5 ∫ 1 dx = 5 x + C 2 x 2 x

Ejemplo 7.Vamos a resolver la integral I =

∫

2 dx 3x

Veamos:

I=

∫

NOTA:

2 dx 3x

=

21

2

1

2

∫ 3 x dx = 3 ∫ x dx = 3 L

x +C

Obsérvese que en los dos últimos ejemplos hemos omitido la expresión C0ú, dando por hecho que C es una constante cualquiera, esto es, un número real.

Ejercicio 7.Considera la función f ( x ) = 32x que hemos integrado en el ejemplo 7 y el conjunto de sus primitivas a) b) c)

F (x) = L* x* + C. Se pide: Halla la primitiva cuya gráfica pasa por el punto P(1,1) Halla la primitiva que pasa por el punto Q(&1,1) Halla la primitiva que pasa por el punto M(&e,&4)

Solución: a)

F (x) = L* x* + C primitiva que pasa por P(1,1). Buscamos el valor de la constante C.

& P(11 , ) pertenece a la grafica de F ( x ) = L x + C ⇔ F (1) = 1 F (1) = 1 ⇒ L 1 + C = 1 ⇒ L 1 + C = 1 ⇒ 0 + C = 1⇒ C = 1 Por tanto, la función pedida es :

F1 ( x ) = L x + 1

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b)

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F (x) = L* x* + C primitiva que pasa por Q(&1,1). Buscamos el valor de la constante C.

& Q( − 11 , ) pertenece a la grafica de F ( x ) = L x + C ⇔ F ( − 1) = 1 F ( − 1) = 1 ⇒ L − 1 + C = 1 ⇒ L 1 + C = 1 ⇒ 0 + C = 1⇒ C = 1 Por tanto, la función pedida es la misma que la que pasa por el punto P(1,1). c)

F1 ( x ) = L x + 1

F (x) = L* x* + C primitiva que pasa por M(&e,&4). Buscamos el valor de C.

& M ( − e,− 4) pertenece a la grafica de F ( x) = L x + C ⇔ F ( − e) = − 4 F ( − e) = − 4 ⇒ L − e + C = − 4 ⇒ L e + C = − 4 ⇒ 1 + C = − 4 ⇒ C = − 5 Por tanto, la función pedida es :

F2 ( x ) = L x − 5

Representemos gráficamente la función f (x) y sus primitivas F1(x) y F2(x) : En la figura 2 tenemos dibujadas las gráficas de la función f (x) y de sus primitivas F1(x) y F2(x). Apréciese como la gráfica de F1(x) pasa por el punto Q(&1,1) (no hemos representado este punto) y como el punto M(&e,&4), que hemos representado, está en la gráfica de la función F2(x). Debe quedar clara la idea de que F1´(x) = F2´(x) = f (x). En la figura 2 puedes apreciar como las gráfica de F1(x) y F2(x) son paralelas, esto es, las pendientes de ambas curvas en un punto x = a son exactamente iguales. Por ejemplo:

) 2 1 F1 ′ (4) = F2 ′ (4) = f (4) = 3⋅ 4 = 6 = 0 ′ 16

6.Integrales inmediatas.Se denominan integrales inmediatas a aquellas que, por su sencillez, se hallan de una forma inmediata, es decir, “a simple vista”. Basta con saber derivar para resolverlas directamente. No obstante, hay que decir que la clasificación de las integrales en inmediatas y no inmediatas es subjetiva, o sea, que para un estudiante una integral puede ser inmediata y para otro puede ser complicada y de difícil resolución. En este apartado veremos aquellas integrales que consideramos inmediatas.

6.1.Integral de la función cero.Recordemos que la función cero es aquella que transforma todo número real en el cero, es decir:

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O

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  O( x ) = 0 

R  → R x Si

integramos

la

función

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La imagen de cualquier número real x es 0. La gráfica de la función cero coincide con el eje de

cero:

I = ∫ O( x ) dx = ∫ 0 dx = C , siendo C una constante. cualquiera. Recuérdese que la derivada de una función constante es cero, esto es, F (x) = C y F ´(x) = 0 Por tanto: “La integral de la función cero es el conjunto formado por todas las funciones constantes”

I = ∫ O( x ) dx = ∫ 0 dx = C

6.2.Integral de una función constante.Función constante es aquella que transforma todo número real x en el mismo número k. Es decir: f

  f ( x ) = k 

La imagen de cualquier x0ú es k0ú, siendo k un número fijo. La gráfica de la función f (x) = k es una recta paralela al eje de abcisas que corta al eje de ordenadas en el punto (0,k)

R  → R x

Si integramos la función constante f (x) = k : I =

∫ f ( x) dx = ∫ k dx = k x + C

Es decir, las primitivas de la función f (x) = k tienen la forma F (x) = k x + C. Comprobación: F´(x) = (k x + C )´= k Por tanto: “La integral de una función constante es el conjunto de funciones polinómicas de grado uno cuyos coeficientes principales es el valor de la constante”

I=

∫ f ( x) dx = ∫ k dx =

k x+ C

Nótese que las gráficas de las primitivas son todas las rectas paralelas de pendiente k.

Ejemplo 8.Queremos hallar el conjunto de las primitivas de la función f (x) = 2. Veamos: I=

∫ f ( x) dx = ∫ 2 dx = 2 x + C

∀C ∈ R

El conjunto de las primitivas de f (x) = 2 es F (x) = 2 x + C Queremos hallar tres de esas primitivas: L Para C = 0 tenemos F1 (x) = 2 x L Para C = 5 tenemos F2 (x) = 2 x + 5 L Para C=&2 tenemos F3 (x) = 2 x & 2 Ahora buscamos la primitiva cuya gráfica tiene al punto P (&2, 3): F4 (x) = 2 x + C función buscada. ¿C ? P (&2, 3)0GF ] F (&2) = 3 2·(&2) + C = 3 Y C = 7 F4 (x) = 2 x + 7 es la función buscada

En la figura 3 tenemos las gráficas de f, F1, F2 , F3 y F4

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Ejemplo 9.Hallemos las primitivas de la función unidad. Veamos: La función unidad es aquella que transforma todo número real en el 1, es decir, u(x) = 1

I = ∫ u ( x ) dx = ∫ 1dx = ∫ dx = x + C Nótese que una primitiva de la función unidad es la función identidad (aquella que transforma todo número x en sí mismo). En efecto: L Para C = 0 tenemos la primitiva I (x) = x + 0 = x. Observa que su derivada es u(x) = 1.

Ejercicio 8.Dada la función f ( x ) = −43 , se pide: a) b)

Halla el conjunto de sus primitivas. Halla aquella primitiva que pase por los puntos P(&2,&3) y Q(2, 5)

Solución: a)

Se trata de resolver una integral: I = ∫ −43 dx = − 43 x + C 3

F ( x) = − 4 x + C C ∈ R b)

es el conjunto de las primitivas de f (x). Nótese que lo forman todas las rectas de pendiente &0´75.

Buscamos la primitiva que pase por los puntos P(&2,&3) y Q(2, 5), esto es, la recta primitiva que pase por dichos puntos. Veamos: 3 F ( x ) = − 4 x + C es la función buscada. Necesitamos hallar el valor de C. Llamaremos GF al grafo (puntos de la gráfica) de la función buscada F (x).

 − 3 ( − 2) + C = − 3 ⇒ C = − 9  P( − 2,− 3) ∈ G F ⇔ F ( − 2) = − 3   4 2  ⇒  −3 ⇒ C ≠ C 13 Q(2,5) ∈ G F ⇔ F (2) = 5   4 2 + C = 5 ⇒ C = 2 

Hemos obtenido dos valores distintos para C, lo que significa que no existe una función primitiva de f (x) que pase pos los punto P y Q. Si existe una primitiva que pasa por el punto P y otra distinta que pasa por el punto Q.

6.3.Integral de una función de la forma f (x)=xn.Sea la función polinómica de grado n f (x) = xn

I=

∫ f ( x) dx = ∫ x n dx =

n+ 1

x +C n+ 1

C∈R

NOTA: Esto es válido si n …&1, ya que si n = 1 entonces el denominador es 0. El caso n = 1 se trata en el punto siguiente.

Ejemplo 10.Queremos determinar el conjunto de las primitivas de la función I (x) = x. Nótese que se trata de caso f (x) = x1 = x. Integramos:

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x 1+ 1 x 2 J = ∫ I ( x ) dx = ∫ x dx = = +C 1+ 1 2 x2

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Nótese que, por comodidad, la constante C la ponemos cuando hemos terminado de operar.

Debe apreciarse que si derivamos F (x) obtenemos f (x)

F ( x) = 2 + C ; C ∈ R

Ejercicio 9.De una función se sabe que su derivada es h( x ) = 5x 2 y que el punto P(2,0´5) pertenece a su gráfica. Halla dicha función.

Solución: Buscamos una función H(x) tal que H´(x)= h(x) = 5x2 Para ello, hallamos las primitivas de h(x):

∫ h( x) dx = ∫ 5x 2 dx

={

2 +1

sacamos la constante

3

5 ∫ x 2 dx = 5 x2 + 1 = 5 x3 + C

x3 + C tiene por derivada a h(x) = 5x2. 3 Buscamos una en concreto, aquella cuya gráfica tiene al punto P(2,0´5). Veamos: 1 23 1 P 2, 21 ∈ G ⇔ H ( 2 ) = ⇔ 5 + C = H 2 3 2 { grafo de H

Todas las funciones de la forma H ( x ) = 5

( )

& en C : C = 21 − 40 ; C = − 677 Re solviendo la ecuacion 3 3

H ( x ) = 5 x3 − 77 6

es la función buscada.

6.4.Integral de una función de la forma f (x)=x&1.Sea la función f ( x ) = x − 1 = x . El conjunto de sus primitivas será: 1

I=

1

∫ f ( x) dx = ∫ x dx = L

x +C

Ejercicio 10.2 , se pide: 5x Halla el conjunto de sus primitivas. Halla la primitiva cuya gráfica contiene al punto P(&e2,&2)

Dada la función g ( x ) = a) b)

Solución: a)

Integrando la función g (x) obtenemos el conjunto de sus primitivas: 2

2

1

2

∫ g ( x) dx = ∫ 5x dx = 5 ∫ x dx = 5 L

x + C

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 13

La familia de funciones b)

Integral indefinida

G ( x ) = 25 L x + C ; C ∈ R

forman las primitivas de g (x)

Hallamos aquella cuya gráfica contiene al punto P(&e2,&2). 2

Llamamos G ( x ) = L x + C a la función buscada. Necesitamos conocer C. 5 Llamamos GG al grafo (puntos de la gráfica) de la función G. P( − e 2 ,− 2) ∈ GG ⇔ G ( − e 2 ) = − 2 2 L − e 2 + C = − 2 ; 25 L e 2 + C = − 2 ; 25 2 + C = − 2 ; C = − 2 − 45 = − 14 5 5

La primitiva buscada es

2

14

G( x) = 5 L x − 5

6.5.Integral de una función de la forma y =f ´(x)/f (x).f ′ ( x) . f ( x) Observa que la función numerador es la derivada de la función denominador. Supongamos una función de la forma y =

I=

∫

f ′ ( x) dx = f ( x)

L f ( x) + C

Ejercicio 11.3

Dada la función f ( x ) = 3x + 5 , se pide: a) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(&2, 6) b) Comprueba que la función obtenida es verdaderamente una primitiva de f. Solución: a) Primer hallemos el conjunto de las primitivas de f : 3 ∫ 3x + 5 dx = (observa que el numerador es la derivada del denominador) = L 3x + 5 + C Por tanto, F (x) = L*3x + 5* + C es el conjunto de las primitivas de f. Busquemos aquella cuya gráfica tiene al punto P(&2, 6). Llamamos GF al grafo de F. F (x) = L*3x + 5* + C es la función buscada. Necesitamos el valor de C.

P( − 2,6) ∈ G F ⇔ F ( − 2) = 6 L 3( − 2) + 5 + C = 6 ; L − 1 + C = 6 ; L 1 + C = 6 ; 0 + C = 6 ; C = 6 La primitiva cuya gráfica contiene al punto P(&2, 6) es b)

F ( x ) = L 3x + 5 + 6

Debe verificarse que F ´(x) = f (x). Veamos:

 L(3x + 5 ) + 6 si 3x + 5 > 0 (*) F ( x ) = L 3x + 5 + 6 =   L( − 3x − 5 ) + 6 si 3x + 5 < 0 (**) De las desigualdades (*) y (**) obtenemos:

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 14

Integral indefinida

5  L ( − 3x − 5) + 6 si x < − 5 (*) 3x + 5 > 0 ⇒ 3x > − 5 ⇒ x > − 3   3 ⇒ F ( x) =   5 5 (**) 3x + 5 < 0 ⇒ 3x < − 5 ⇒ x < − 3   L (3x + 5) + 6 si x > − 3

Si derivamos F (x) en un punto x < −35 : F ′ ( x ) = − 3x1 − 5 ⋅ ( − 3) = − ( 3−x3+ 5) = 3x3+ 5 = f ( x ) Si derivamos F (x) en un punto x > − 5 : F ′ ( x ) = 1 ⋅ 3 = 3 = f ( x ) 3 3x + 5 3x + 5 Hemos comprobado que la derivada de F (x) es f (x).

6.6.Integral de una función de la forma f (x)=ax.Consideremos la función exponencial de base a (a 0ú y a>0)

∫ a x dx =

x

a +C; C∈R La

NOTA: Recuérdese que la función exponencial f (x) = ax se definía para a>0. Las primitivas obtenidas corresponden al caso en que a…1 ya que si a=1 el denominador sería La = L1 = 0.

Hagamos la comprobación:

′   ax 1  =  ⋅ a x . La = a x C +   La La  

Ejemplo 11.5x La integral de la función y = 5 x es I = ∫ 5 x dx = +C L5

6.7.Integral de la función f (x)=ex.Se trata de un caso particular de la integral tratada en el punto 6.5. NOTA: Recuérdese que e = 2´71828182.... y que Le = 1

ex ex ∫ e dx = Le = 1 + C = e x + C ; C ∈ R x

6.8.Integral de la función seno.-

∫ sen x dx = − cos x + C

; C∈R

Comprobación: (& cos x + C )´ = (& cos x )´ = &( cos x )´ = &(& sen x ) = sen x

6.9.Integral de la función coseno.-

∫ cos x dx = sen x + C

; C∈R

Comprobación: ( sen x + C )´ = (sen x )´ = cos x

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 15

Integral indefinida

6.10.Integral de la función f (x) = 1/sen 2x .-

∫

1 sen 2 x

dx = − cotg x + C ; C ∈ R

Comprobación: cos x   (− cotg x + C)′ = (− cotg x)′ = − (cotg x)′ = −  sen x − sen x ⋅ sen x − cos x ⋅ cos x

= −

sen 2 x

=−

′

=

− ( sen 2 x + cos 2 x ) sen 2 x

6.11.Integral de la función f (x) = 1/cos 2x .1

∫

cos2 x

dx = tg x + C ; C ∈ R

6.12.Integral de la función f ( x ) = 1 1 − x 2 1

∫

1− x2

dx = arc sen x + C ; C ∈ R

6.13.Integral de la función

∫

−1 1− x2

f ( x) = − 1

1− x2

dx = arc cos x + C = − arc sen x + C ; C ∈ R

Recuerda que la derivada de la función y = arc cos x es y ′ =

6.14.Integral de la función f ( x) = 1

∫ 1+ x

2

−1 1− x2

1 1+ x 2

dx = arc tg x + C ; C ∈ R

Recuerda que la derivada de la función y = arc tg x es y ′ =

1 1+ x 2

=

1 sen 2 x

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 16

6.15.Integral de la función f ( x) = −1

∫ 1+ x

2

Integral indefinida

−1 1+ x 2

dx = arc cotg x + C = − arc tg x + C ; C ∈ R

Recuerda que la derivada de la función y = arc cotg x es y ′ = −

6.16.Integral de la función f ( x) =

∫

1 n xn− 1 n

1 1+ x 2

1 n n xn− 1

dx = n x + C ; C ∈ R

Comprobación:

( n x + C )′ = ( n x )′ = ( x

1 n

)= ′

1 n1 − 1 1 1−nn x = n x = n1 x − n

n −1 n

=

1 1 1 1 1 = n −1 = nx n n n xn− 1 n n xn− 1

Ejemplo 12.-

∫

1 7

7 x

6

dx = 7 x + C

Hemos expuesto las integrales que consideramos como inmediatas. El apartado siguiente lo dedicaremos a resolver algunos ejercicios de integrales en los que estas pueden reducirse a uno de los modelos tratados anteriormente.

7.Ejercicios sobre integrales inmediatas.Veamos algunos ejercicios de cálculo integral en el que se utilizaran las propiedades de la integral vistas anteriormente, así como la idea de integral inmediata.

Ejercicio 12.Resolver la integral I =

∫

4 x3 9

dx y halla la primitiva cuya gráfica pasa por el origen.

Solución:

I=

∫

4 x4 4 x3 4 x 3+1 4 x4 3 dx = x dx = + C = + C = + C 9 3+ 1 9⋅ 4 9 9 9∫

Para C = 0 tenemos la primitiva F ( x ) = 4 se verifica que F(0) = 09 = 0

x4 9

cuya gráfica pasa por el punto O(0,0) ya que

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 17

Integral indefinida

Ejercicio 13.Hallar el conjunto de las primitivas de la función f ( x ) = 5 x 3 + 3x 2 − x + 3 . ¿Hay alguna primitiva cuya gráfica pase por los puntos P(0,4) y Q(2,36)?

Solución:

∫ f ( x) dx = ∫ (5x 3 + 3x 2 − x + 3) dx = ∫ 5x 3 dx + ∫ 3x 2 dx − ∫ x dx + ∫ 3 dx = 4

3

2

= 5∫ x 3dx + 3∫ x 2 dx − ∫ x dx + 3 ∫ dx = 5 x4 + 3 x3 − x2 + 3x + C =

F ( x) =

5 x4 4

3

+ x −

x2 2

es el conjunto de las funciones primitivas de la

+ 3x + C

Buscamos una función F ( x ) =

5x4 4

función f ( x ) = 5 x 3 + 3x 2 − x + 3

2 + x 3 − x2 + 3x + C

cuya gráfica contiene a los

puntos P(0,4) y Q(2,36). La función puede que exista o que no exista. Llamamos GF al grafo de F.

P(0,4) ∈ G F ⇔ F (0) = 4

0+ 0− 0+ 0+ C = 4 ⇒ C = 4 Q(2,36) ∈ G F ⇔ F (2) = 30 20 + 8 − 2 + 6 + C = 36 ⇒ C = 36 − 32 ⇒ C = 4 Por tanto:

F ( x) =

5 x4 4

2 + x 3 − x2 + 3x + 4

es una primitiva de f (x) cuya gráfica contiene a los puntos P(0,4) y Q(2,36).

Ejercicio 14.Resolver la integral I =

∫

− x9 dx 4

Solución:

I=

∫

− x9 dx = − 41 4

1 x 10 x 10 9 x dx = − + C = − + C ∫ 4 10 40

Ejercicio 15.Resolver la integral I =

∫ ( − x) dx

Solución: 2 I = ∫ ( − x ) dx = − ∫ x dx = − x2 + C

Ejercicio 16.Resolver la integral I =

∫ (−

5 ) dx

Matemáticas de 2º de bachillerato

Solución:

I=

∫ (−

5 ) dx = −

página 18

∫

Integral indefinida

5 dx = − 5 x + C

Ejercicio 17.Hallar el conjunto de las funciones primitivas de la función f ( x ) =

π x3 − 2 x − 1 3

Solución:

∫ f ( x) dx = ∫

π x3 − 2 x − 1 3

(

1 π x3 − ∫ 3

dx =

)

2 x − 1 dx =

[

π x4 1 π x4 2 x2 3 = π ∫ x dx − 2 ∫ x dx − x = − − x+ C= − 3 3 4 3 2 12

[

]

π

2

F ( x ) = 12 x 4 − 6 x 2 − 13 x + C

Ejercicio 18.Resolver la integral I =

Solución: I=

∫(

)2

20 x 2 − 2 x dx =

∫(

2 x2 1 − x+ C 6 3

es el conjunto de las funciones primitivas de la función f (x).

)2

20 x 2 − 2 x dx

∫ (20 x 4 − 4

= 20

]

1 π x 3 dx − ∫ 2 x dx − ∫ dx = ∫ 3

)

20 x 3 + 4 x 2 dx = 20∫ x 4 dx − 4 20 ∫ x 3dx + 4 ∫ x 2 dx =

4 x5 x4 x3 − 4 20 +4 + C = 4 x 5 − 20 x 4 + x 3 + C 5 4 3 3

Ejercicio 19.Resolver la integral I =

∫ x − 5dx

Solución:

I=

∫x

−5

dx =

∫

1 x − 5+ 1 x−4 −1 −4 dx = +C= x +C= − +C 4 −5+ 1 −4 4 x4

Ejercicio 20.Resolver la integral I =

∫

6 x3

dx

Solución: I=

∫

6 x3

1

dx = 6 ∫ 3 = 6∫ x x dx

−3

x − 3+ 1 x−2 −3 dx = 6 + C= 6 + C = − 3x − 2 + C = 2 + C −3+ 1 −2 x

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 19

Integral indefinida

Ejercicio 21.Resolver la integral I =

∫x

2

3

dx

Solución:

x3+1 2

5

5

3x 3 33 5 I = ∫ x 3 dx = 2 + C= 5 + C = + C= x +C 5 5 +1 2

x3

3

3

Ejercicio 22.Resolver la integral I =

∫

x dx

Solución:

x2+1 1

∫

I=

3

2 x3 2x x x dx = ∫ x dx = 1 + C= 3 + C= + C= +C 3 3 +1 1

2

x2

2

2

Ejercicio 23.Resolver la integral I =

5x 3 dx

∫

Solución: x2+1 3

I=

∫

3

3

3

3

5 x dx = ∫ 5 x dx = 5 ∫ x dx = 5 ∫ x dx = 5 2

3 2

x

5

2 2 5 + C= 5 5 + C= x5 + C +1 5

2

Ejercicio 24.Resolver la integral I =

∫4

4 x3

dx

Solución: 4 4 4 1 I= ∫ dx = (multiplico por 4 4 = 1) = ∫ dx = 16 ∫ dx = 16 4 x 3 + C 4 3 4 4 4 x x3 4 x3

Ejercicio 25.Resolver la integral I =

∫

−8 35 x 4

dx

Solución: Esta integral es similar a la anterior pero la resolvemos por otro procedimiento.

I=

∫

−8 5

3 x4

dx =

1 −8 −8 1 − 8 −4 5 dx = x dx = 4 dx = ∫ ∫ 3 5 x4 3 x 5 3 ∫ −4

−8 x 5 +1 −8 x 5 − 40 15 − 40 5 C C x C x+C = + = + = + = 3 1 3 3 3 −4 + 1 5 5 1

Matemáticas de 2º de bachillerato

página 20

Ejercicio 26.-

Integral indefinida

−9

∫ 2 3 x dx

Resolver la integral I =

Solución: −1 2 3 − 27 x 2 −9 1 −9 1 − 9 −13 −9 x 3 +1 −9 x 3 I = ∫ 3 dx = dx = dx = x dx = + C = + C = +C 1 2 ∫3x 2 ∫x 3 2 ∫ 2 −1 + 1 2 2 4 2 x 3 3

−9

Ejercicio 27.-

∫

Resolver la integral I =

Solución:

I=

∫

(

x+1 dx x

)

x+1 dx = ∫ 1 + 1x dx = ∫ dx + ∫ 1x dx = x + L x + C x

Ejercicio 28.Resolver la integral I =

2 x 2 − 5x + 6 dx ∫ 3x

Solución:

2 x 2 − 5x + 6 I= ∫ dx = ∫ 23x − 53 + 36x dx = 3x

(

)

2

5

2

∫ 3 x dx − ∫ 3 dx + ∫ x dx =

2 2 5x = 23 ∫ x dx − 53 ∫ dx + 2 ∫ 1x dx = 23 x2 − 53 x + 2 L x + C = x3 − 3 + 2 L x + C

Ejercicio 29.Halla el conjunto de las primitivas de la función f ( x ) =

1 y determina aquella cuya x

gráfica pasa por el punto P(1,1).

Solución: Las primitivas de f (x) las hallamos resolviendo la integral:

x− 2 + 1 1

I=

∫ f ( x) dx = ∫

1 x

dx = ∫ x

F ( x) = 2 x + C

−1

dx = ∫ x

−1

2

dx =

1

− 2+1

x

1

2

+ C= 1 + C= 2 x + C 2

es el conjunto de las primitivas de f (x). Buscamos aquella que verifica que P(1,1)0GF (grafo de la función que buscamos F(x) )

P(11 , ) ∈ G F ⇔ F (1) = 1 ⇔ 2 1 + C = 1 ⇔ C = − 1 F ( x) = 2 x − 1

es la primitiva cuya gráfica pasa por el punto P(1,1).