Cálculo Numérico Em Computadores 266h3w

[email protected]

n

∑a

j = i +1 j>i

ij

x kj ) / a ii

⇒

i = 1,2,...,n

(11)

cuja operacionalização é semelhante à do método de Jacobi, exceto que em (11) utiliza-se sempre o último valor obtido e em (8) utiliza-se o último vetor obtido. Ex. 10): Resolver o seguinte sistema pelo método de Gauss-Seidel: 3x 1 − x 2 − x 3 = 1   x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 2x − 2x + 4x = 4 2 3  1

Montando as equações evolutivas para as variáveis do sistema temos: 80

 x1k +1 = (1 + x 2k + x 3k ) / 3  k +1 k +1 k  x 2 = (5 − x1 − x 3 ) / 3  k +1 k +1 k+1  x 3 = (4 − 2x1 + 2x 2 ) / 4 Note que as equações evolutivas se utilizam dos valores disponíveis mais atualizados. Valor inicial: ( x10 , x 02 , x03 ) = (0,0,0) K x1k x 2k x 3k 0 0 0 0 1 0,333 1,555 1.611 2 1.388 0.666 0.638 3 0.768 1.197 1.214 4 1.137 0.882 0.872 5 0.918 1.069 1.075 6 1.048 0.958 0.955

| x 1k +1 − x 1k |

| x 2k +1 − x 2k |

| x 3k +1 − x 3k |

0.333 1.055 0.620 0.368 0.218 0.129

1.555 0.888 0.531 0.314 0.186 0.110

1.611 0.972 0.575 0.341 0.202 0.120

Aplicando o critério (i), tem-se: Max | x ik +1 − x ik | ≤ 0,129 . Obs.: Note que, no mesmo exemplo, o processo iterativo correspondente a aplicação do Método de Gauss-Seidel também é um processo oscilatório, porém neste caso tem-se um processo de convergência um pouco mais rápido, por que no método de Gauss-Seidel são tomados os valores disponíveis mais atualizados.

2.4.4 - Convergência dos Métodos Iterativos Nos tópicos anteriores foram desenvolvidas duas formas (expressões (8) e (11)) de se

{ }

construir uma seqüência S = x k

∞ k =0

de possíveis aproximações para a solução de Ax = b.

Aqui, será abordada a questão de quando esta seqüência será convergente. Para tanto, necessita-se de mais dois conceitos. n

Definição 1: No sistema Ax = b, sejam Si = ∑ | aij |, i = 1,..., n . Daí, diz-se que ele é diagonal j =1 j ≠i

dominante se ocorrer: 1o ) | a ii | ≥ S i , i = 1,..., n e 2o ) | a ii | > S i , para pelo menos uma linha i de A. Teorema (Convergência) - Critério de Scarborough: Se o sistema A x = b for diagonal dominante, ou diagonal estritamente dominante, então tanto a seqüência construída pelo método de Jacobi, quanto a de Gauss-Seidel convergem para a solução. Vide exemplos 7 e 8. Com relação à convergência dos métodos iterativos, algumas características importantes devem ser salientadas, dentre as quais destacam-se: 81

{ }

1o) A convergência de S = x k

∞ k =0

não depende do valor inicial x0. Portanto, a escolha do x0

adequado afeta apenas na quantidade de iterações a serem efetuadas. Verificar isto, a título de x − x =1 exemplo, em  1 2 com vários x0 diferentes;  x1 + 2. x2 = 5 2o) O teorema da convergência contém uma condição suficiente, porém não necessária. Portanto, se for verdadeiro, a seqüência S convergirá e se não for verdadeiro nada pode-se x + 2. x 2 = 3 afirmar. Verificar que em  1 Gauss-Seidel fornece a seqüência convergente, x1 − 3. x 2 = −2 mesmo não satisfazendo o teorema; 3o) Um sistema que não seja diagonal dominante pode, em alguns casos ser transformado, através de troca de linhas e/ou colunas (pivotamento parcial e total), para satisfazer esta condição; 4o) Existem sistemas, muitos até triviais, que não são solúveis por estes métodos iterativos, a x −x =0 menos que x0 = α (α é própria solução). Testar isto em  1 2 ; x + x = 3  1 2 5o) A validade da condição suficiente de convergência do teorema citado estende-se também aos sistemas lineares que são diagonal dominante sobre as colunas da matriz de coeficientes. 2. x + 3. x 2 = 5 Verificar que  1 é diagonal 'estritamente' dominante sobre as colunas e portanto  x1 + 5. x 2 = 4 tem convergência assegurada (diagonais maiores que os vizinhos de coluna, em todas as colunas). 6o) O teorema da convergência enunciado anteriormente não é o único.Verificar na literatura outros critérios de convergência.

2.4.5 - Aplicação de coeficientes de Relaxação Caso o sistema de equações lineares não satisfaça os critérios de convergência, ou não tenha uma diagonal principal fortemente dominante (é considerada uma digonal fortemente dominate quando a ‘maioria’ das linhas tem diagonal principal maior ou igual ao ‘dobro’ da soma de seus coeficientes vizinhos em módulo), o processo iterativo poderá oscilar ou até mesmo divergir. Nestes casos é recomendado tentar desacelerar o processo de atualização iterativa usando fatores de sub-relaxação em cada equação. Por exemplo, para obter o valor mais atualizado de uma variável xik+1 qualquer, temse

xik+1 = xik + ∆xik+1 onde x ik é o valor antigo, ∆x ik+1 é o valor da atualização imposta ao valor antigo x ik para atingir o valor novo xik+1 . Caso se queira aplicar um fator de desaceleração, ou amortecimento na atualização do 82

valor novo, impõe-se um fator de subrelaxação λ , com 0 < λ ≤ 1 , da seguinte forma,

xik +1 = xik + λ ∆xik+1 Alternativamente, pode-se substituir o valor da atualização total ∆xik+1 = xik+1 − xik na equação anterior, o que gera a seguinte forma,

xik +1 = x ik + λ ( xik +1 − xik ) x ik +1 = (1 − λ) x ik + λ x ik +1 Por exemplo, a aplicação de subrelaxação para o método de Gauss-Seidel gera a seguinte equação geral, i −1

x ik +1 = (1 − λ ) x ik + λ ( b i − ∑ a ij x kj +1 − j= 1 j

n

∑a

j= i + 1 j>i

ij

x kj ) / a ii

⇒ i = 1,2,...,n

(11)

Ex. 11): Resolver o seguinte sistema pelo método de Gauss-Seidel adotando uma subrelaxação λ = 0.5 (lembrando que no exemplo 8 este mesmo sistema foi resolvido e sofreu oscilações). 3x 1 − x 2 − x 3 = 1   x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 2x − 2x + 4x = 4 2 3  1

Montando as equações evolutivas para as variáveis do sistema temos:

 x1k+1 = (1 − λ ) x1k + λ (1 + x 2k + x 3k ) / 3  k+1 k k +1 k  x 2 = (1 − λ ) x 2 + λ (5 − x1 − x 3 ) / 3  k+1 k k +1 k+1  x 3 = (1 − λ ) x 3 + λ (4 − 2x1 + 2x 2 ) / 4 Note que as equações evolutivas se utilizam dos valores disponíveis mais atualizados. Valor inicial: ( x10 , x 02 , x03 ) = (0,0,0) e λ = 0.5 K 0 1 2 3 4 5 6

x1k

x 2k

x 3k

| x 1k +1 − x 1k |

| x 2k +1 − x 2k |

| x 3k +1 − x 3k |

0 0.166 0.494 0.748 0.896 0.966 0.993

0 0.805 1.043 1.069 1.041 1.014 1.000

0 0.659 0.967 1.063 1.067 1.046 1.024

0.166 0.327 0.254 0.147 0.069 0.026

0.805 0.238 0.025 0.027 0.026 0.014

0.659 0.307 0.096 0.004 0.021 0.021

Aplicando o critério (i), tem-se: Max | x ik +1 − x ik | ≤ 0,026 . Obs.: Note que o processo iterativo com o fator de subrelaxação é mais estável, gerando um 83

processo de convergência monotônico (com erro sempre decrescente), e consequentemente tem-se um processo iterativo mais rápido. Note que com as mesmas 6 iterações do método de Gauss-Seidel atinge-se um erro máximo de 0,026 com sub-relaxação contra um erro de 0,129 sem sub-relaxação. Considerações: (i). Se o sistema satisfizer os critérios de convergência, não haverá necessidade de aplicação de fatores de sub ou sobre-relaxação, pois nestes casos o processo iterativo já é convergente. (ii). A utilização de fatores de sub-relaxação ( 0 < λ < 1 ) não garante a convergência do processo, mas pode agilizar esta convergência (vide exemplo 9) em processos iterativos oscilatórios com as iterações. (iii). Caso os sistema não tenha convergência garantida ou não tenha diagonal fortemente dominante é recomendado testar o efeito de fatores de sub-relaxação ou de fatores de sobrerelaxação. (iv). Em algumas destas situações práticas é possível até acelerar o processo iterativo com o uso de fatores de sobre-relaxação, com 1 ≤ λ < 2 , caso a convergência esteja muito lenta. Este método de Gauss-Seidel modificado é conhecido na literatura pertinente como SOR ("Sucessive Over Relaxation"). (v). A escolha adequada do fator λ ( 0 < λ < 2 ) pode conduzir o processo iterativo a uma performance ótima, com o menor número possível de iterações, mas só peossivel descobri-lo fazendo testes sucessivos.

84

Capítulo 3 - Solução de Equações a uma Variável 3.0 - Preliminares Nos modelos matemáticos de problemas de várias áreas (engenharia, economia, etc.) ocorre a necessidade de se resolver uma equação f(x) = 0. Definição 1: Raiz de f(x) = 0 é todo α ∈ C (Complexos), tal que f(α) = 0. Ou seja, um valor qualquer α é raiz de f(x) = 0, ou zero da função f(x) se zerar a função f(x). Exemplos: i) x3 - 2x2 + 2x = 0 ⇒ α1 = 0; α2 = 1 + i ; α3 = 1 - i ii) e 3x - 2 = 0 ⇒ 3x3 ln e = ln 2 ⇒ x3 = ln32 ⇒ α = iii) sen (x) = 1 ⇒ αk = 2kπ + π/2, com k ∈ ℵ iv) 4.cos(x) = ex ⇒ α = ? v) e2x = - 3 ⇒ ∃ α 3

3 ln 2 3

Note-se que nem sempre é possível explicitar a variável da equação, ou seja, nem sempre se consegue isolar a variável em um dos membros da equação para se obter uma raiz α. Pelas equações do exemplo anterior, conclui-se que: 1ª) Uma equação f(x)=0 pode: • não ter solução; • ter uma única solução; • ter uma quantidade finita de soluções; • ter uma quantidade infinita de soluções; 2ª) A solução de f(x) = 0 pode ser muito difícil, ou até impossível, de ser obtida pela técnica de isolamento da variável; 3ª) Resolver equações exige conhecimento de outras metodologias, além da forma de isolamento da variável. Aqui, usaremos a metodologia iterativa (proposta por Newton no século XVII) para a solução das equações. Definição 2: Um método iterativo obedece sempre à duas etapas na sua execução: 1ª). Isolamento da solução desejada (aproximação inicial da solução); 2ª). Refinamento da solução isolada até a precisão requerida.

3.1 - Isolamento de Soluções de f(x) = 0 Para equações f(x) = 0 esta etapa é a mais difícil por ser a mais subjetiva . Ela pode ser efetivada através de: 1º). Conhecimento teórico sobre o problema modelado que gerou a equação. 2º). Fazer esboço gráfico de y = f(x).

85

Limita-se à(s) raíz(es) reais (α) pois a abcissa é definida em ℜ.

3º) Utilizar propriedades algébricas da função geradora y = f(x). Dentre estas propriedades destacam-se: Propriedade 1 (Teorema de Bolzano): Em f(x) = 0, se y=f(x) for contínua em [a,b] e → f(a) * f(b) < 0 ⇒ ∃ α ∈ [a,b] / f(α) = 0. 4º) Agrupar as funções geradoras, y = f(x), em classes com características especiais. Exemplo: As funções geradoras do tipo pn(x) = a1xn + a2xn-1 + ... + an-1, com αi ∈ ℜ, são →denominadas polinômios de grau n e as equações polinomiais, pn (x) = 0, possuem várias propriedades que facilitam o isolamento das soluções. Propriedade 2: Toda equação polinomial de grau n possui n raízes reais ou complexas, distintas ou repetidas. Propriedade 3: Para equações polinomiais de coeficientes reais tem-se que, se o complexo a + bi for raiz, seu conjugado a - bi também é raiz. 3.2 - Refinamento da solução isolada Após isolada a raiz de f(x) = 0 ela será refinada através de técnicas específicas. Estas técnicas podem ser agrupadas em três grandes famílias de métodos: 1ª) Métodos de quebras: Obter [a,b] / α∈[a,b] e particioná-lo em subintervalos [ai,bi] contendo α e, tais que, ilim |ai - bi| = 0. →∞ Estes métodos têm convergência garantida mas normalmente são lentos. 2ª) Métodos de linearização: Obtém-se uma aproximação inicial x0 (valor estimado) para o α e posteriormente constrói-se uma seqüência iterativa { xi } i∞= 0 / lim xi = α. i →∞

Para definir a seqüência iterativa, lineariza-se a equação não linear f(x) = 0, gerando uma equação linear recursiva xi+1 = F(xi). Estes métodos não têm convergência garantida, mas, dependendo da forma recursiva 86

estabelecida F(x), têm convergência rápida. 3ª) Métodos híbridos: consistem na mescla das duas metodologias, tentando associar as suas vantagens: convergência garantida e alta velocidade de convergência. 3.2.1 - Métodos de Quebra 3.2.1.1 - Método da Bisseção (ou Bipartição) Em f(x) = 0 se f(x) for contínua em [a,b] e ocorrer f(a) * f(b) < 0, então uma raiz α ∈ [a,b] pode ser obtida como segue: a + b i) obter x1 = 2 1 ii) se f(x ) = 0 ⇒ x1 = α senão devemos verificar em qual subintervalo de [a,b] α está:  se f(a) . f(x1 ) < 0 ⇒ α ∈[a, x1 ] e b ← x1  1 1 1  se f(x ) . f(b) < 0 ⇒ α ∈[x , b] e a ← x Redefinindo o novo intervalo [a, b] retorna - se ao o (i)  No exemplo ilustrado abaixo α ∈ [a,x1] ⇒ b = x1, ou seja, o valor de b é redefinido, para que α fique contido em um intervalo menor. Assim, repete-se o processo iterativo sucessivamente, avaliando xk, com k = 2, 3, 4, ..., até que | a - b | < ε.

Neste ponto podemos levantar uma questão fundamental: será que klim xk = α ? →∞

|b − a | , onde a e b são os valores 2k limites do intervalo inicial e k indica o nível iterativo, ou seja, número de bipartições. Note-se que o comprimento de cada novo subintervalo é

|b − a | =0 2k k→∞

Como: lim

⇒

lim xk = α k→∞

Então, teoricamente, a raiz α será atingida quando o número k de bipartições tende ao infinito. 87

Exemplo: x 1o ) Obtenha um raiz α de e sen(x) = 1, situada em [0,1], por bisseção com 4 partições. 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

-1

0

1

2

3

x

Temos que f(x) = e sen(x) - 1 é uma função contínua em toda reta Real e verifica-se que f(0) = -1 e f(1) = 1,287, como f(0) * f(1) < 0, ∃ α ∈ [0,1], que pode ser comprovado pelo gráfico acima. Então partimos para o processo de refinamento. Como:

K 0 1 2 3 4

a 0 0,5 0,5 0,5 0,5625

XM

0,5 0,75 0,625 0,5625 0,594

b 1 1 0,75 0,625 0,625

f(a) -1 -0,21 -0,21 -0,21 -0,064

f(XM) -0,21 0,443 0,093 -0,064 0,014

f(b) 1,287 1,287 0,443 0,093 0,093

Logo a raiz α ≅ 0,594 com Erro=|a - b| = 0,062 Considerações: i) Quando truncar o processo de bipartições para assegurar uma precisão ε estabelecida? 1o) Podemos predefinir a quantidade de partições através de: O comprimento de cada subintervalo é dado por:   |b − a |    ln  |b − a | |b − a |   ε  ⇒ ≅ ε ⇒ k = (1)   2k 2k ln 2     Então, após a k-ésima bipartição o comprimento do subintervalo deverá ser da ordem da precisão estabelecida ε. Exemplo: Para x − 5. e − x = 0 obtenha o número de partições necessárias para aproximar α ∈ [1,2] com precisão ε = 10-10.

 1  ln  -10   10  = 33,2 ⇒ k = 34 Aplicando (1) ⇒ k = ln 2 2o) Ou podemos repetir as bipartições até que um critério de parada seja satisfeito. a) f ( x M K ) < ε

88

Observação: Note que apesar de xk ainda estar longe da raiz α, o critério de parada estabelecido | f(xk) | < ε pode já ter sido satisfeito. Portanto, é um critério que deve ser estabelecido, mas não serve como decisão final, é necessário associar uma outra condição de parada, como a do item b). b) | b - a | < ε c) | xk - xk-1| < ε x k − x k −1 d) <ε xk x k − x k −1 e) f ( x ) + <ε xk k

|xk - xk-1| é pequeno mas |f(xk)| ainda é grande Valor relativo do critério de parada é mais realístico, principalmente quando xk é muito pequeno ou muito grande É recomendável usar um critério combinado, que considere mais de um efeito.

3.2.1.2 - Método da Falsa Posição (ou das Cordas, ou Regula Falsi)

Mesmo intuitivamente, percebe-se que o método da bisseção é lento, pois reduz o intervalo de busca da raiz α em apenas 50 % a cada bipartição. Como particionar o intervalo [a , b] de forma a obter uma convergência mais rápida?

O método da falsa posição consiste nas seguintes etapas: i) Toma-se [a , b] com α ∈ [a , b]; 89

ii) Obtém-se os pontos (a, f(a)) e (b,f(b)); iii) Define-se a reta r(x) que a por estes pontos:  f ( b) − f ( a )  r ( x) = f ( a ) +   ( x − a)  b−a  iv) O valor de xk é obtido para r(xk) = 0 (interseção de r(x) com o eixo das abcissas)

f (a).(b − a) a. f (b) − b. f (a) = f (b) − f (a) f (b) − f (a) v) Pela propriedade 1 decide-se onde ficou a raiz α, se em [a , xk], ou se em [xk , b]. vi) Redefine-se o intervalo e retorna-se ao item (ii) até se atingir a precisão desejada. r(xk) = 0 ⇒ xK = a −

Considerações: Os métodos de quebra podem apresentar, em algumas equações, a seguinte situação:

Note-se que uma das extremidades pode ficar fixa, sem atualização iterativa, atrasando o processo de convergência. Assim, é muito importante alterar o critério de parada, o critério de cálculo do erro, que não pode ser mais baseado na diferença entre 'a' e 'b', |b-a|<ε, e deve ser baseado no valor do zero x ou da f(x), | xk - xk-1| < ε ou f ( x k ) < ε . Podemos ainda corrigir a convergência unilateral, adotando-se o método de Pégaso, o método da falsa posição modificado ou os métodos de linearização, que veremos a seguir.

3.2.2 - Métodos de Linearização: Nestes métodos busca-se linearizar a equação f(x) = 0 escolhendo apenas uma das incógnitas x como variável e todas a outras incógnitas são tratadas como se fossem conhecidas, inicialmente assumindo valores estimados x*. Assim, f(x) = 0 ⇒ x = F(x*) ou xk = F(xk-1) Exemplo: Resolver x. ln x − 3,2 = 0

α ∈ [ 2,3]

90

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

i) x .ln x * − 3,2 = 0 3,2 x= ln x * Adotando xo = 3

k 0 1 2 3 ... 53

x* 3,000 2,913 2,993 2,919 ... 2,954

x=3,2/ln(x*) 2,913 2,993 2,919 ... ... 2,954

A raiz obtida é 2,954 com Erro=|xk - xk-1| < 10-3 ii) x * ln x − 3,2 = 0 3,2 ln x = * x 3, 2

x = ex

*

k

x*

0 1 2 3 ... ...

3 2,906 3,008 2,897 ... ∞

 3, 2   *   x 

x=e 2,906 3,008 2,897 3,17 ... ∞

Está divergindo. Considerações: 1. Este processo iterativo é altamente sensível à escolha da forma iterativa x = F(x*), podendo gerar seqüências iterativas convergentes, seqüências oscilatórias ou seqüências divergentes. Em alguns casos podemos atenuar as oscilações usando fatores de amortecimento (subrelaxação) no processo de atualização da variável xk (vide capítulo 4). 91

2. Para se obter um resultado coerente e com exatidão, é necessário que a cada iteração a resposta se aproxime mais e mais da solução real, ou seja, que o método convirja para o valor real da raiz. No caso do método da bisseção, nós não precisamos nos preocupar com a convergência, pois nesse método ela está sempre garantida, já que isolamos a raiz dentro de um dado intervalo e nunca deixamos esse intervalo inicial. Já no método da iteração linear, a convergência não é garantida a priori. A cada iteração podemos nos aproximar ou nos afastar da solução real. Portanto, antes de resolver um problema através desse método é recomendável verificar se haverá ou não a convergência. O seguinte Teorema coloca condições suficientes, porém não necessárias para que o método de iteração linear seja convergente.

Teorema: Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] e α uma raiz de f(x) contida em [a,b]. Seja F(x) uma função de iteração obtida a partir de f(x). Se: i). F(x) e F’(x) forem contínuas em [a,b]; ii). |F’(x)| < 1 (para todo) ∀ x ∈ [a,b]; iii). x* ∈ [a,b]. Então: lim x k = α k →∞

Nesse caso, a sequência xk converge para a raiz α de f(x)=0. 3.2.3.1) Método de Newton (Raphson) Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e seja α um zero contido neste intervalo, com derivadas f´(x) e f´´(x) contínuas, também em [a,b], mas com f´(x) ≠ 0. Podemos encontrar uma aproximação xk para a raiz α de f(x)=0 no intervalo [a,b], utilizando a sua expansão em série de Taylor em torno de um valor inicial x * ou xk −1 estimado. Qualquer função f(x) pode ser representada, de forma exata, por série de Taylor e a equação f(x)=0 pode ser representada como segue, fazendo x = x * + ∆x : ∆ x1 ∆x 2 f ( x ) = f ( x * + ∆x ) = f ( x * ) + f ′( x * ). + f ′′( x * ). + ... 1!244444 2! 44 1444444 4 3 função original, com f ( x ) representado em série de Taylor 1 2 * ∆x * ∆x ′ ′ ′ f ( x ) = 0 ⇒ f ( x ) + f ( x ). + f ( x ). + ... = 0 1 424 3 ! 244442!4443 144444414 eq. original *

eq. original com f ( x ) representado em série de Taylor com infinitas parcelas

Para resolvermos a equação representada em série de Taylor, teríamos que resolver uma equação polinomial em ∆x com grau infinito, o que seria impossível. Então Newton assumiu que uma região próxima da raiz α os valores de ∆x são suficientemente pequenos para que se possa representar a função f(x) apenas pelos seus dois primeiros termos da série de Taylor, truncando os demais termos considerados de ordem inferior. Assim,

f ( x* + ∆x) ≅ f ( x* ) + f ′( x* ).∆x = 0 Observa-se acima que a equação não linear f(x) = 0 foi substituída por uma equação linearizada aproximada, onde a única variável x está presente em ∆x = x - x*. Todas as incógnitas nos demais termos são assumidas como conhecidas, ou seja, inicialmente são valores estimados e são atualizados por um processo iterativo. Então, resolvemos 92

f ( x* ) + f ′( x* ).∆x = 0 ∆x = −

f ( x* ) ⇒ x = x* + ∆x * f ′( x )

x = x* −

f ( x* ) f ′( x* )

Aproximação de Newton para a raiz de f(x)=0, que será atingida quando ∆x tende a zero.

Note que o valor x da fórmula de Newton é uma aproximação para a raiz de f(x)=0, e não o seu valor exato, porque houve um erro de truncamento da série de Taylor representativa de f(x), da ordem de O(∆x 2 ) , dado por 3 ∆x 2 * ∆x O (∆x ) = f ' ' ( x ). + f ' ' ' ( x ). + ... . 2! 3! 2

*

Para melhorar a aproximação x da raiz de f(x) = 0, podemos adotá-la como um novo valor estimado x* para uma segunda avaliação, ou seja, uma segunda iteração, e assim por diante: f (xk ) k +1 k x =x − f ′ (x k ) de modo que o erro de truncamento O (∆x 2 ) = f ' ' ( x* ).

∆x 2 ∆x 3 + f ' ' ' ( x* ). + ... vai sendo 2! 3!

reduzido a cada iteração.

Características: • Intuitivamente nota-se que o método de Newton tem convergência rápida. Pode-se provar que a convergência deste método é quadrática, isto é, o erro da próxima iteração (k+1) é aproximadamente o quadrado do erro da próxima iteração k. • Newton pode não convergir: i) se x0 é inadequado (onde a reta tangente, representativa de f(x) em x0, não corta o eixo x nas proximidades de x0);

No exemplo acima, a reta tangente corta adequadamente o eixo x. ii) se pegar um ponto crítico (onde a derivada vale zero); iii) se ocorrer um looping . Soluções para estes problemas: 93

i) escolher x0 o mais próximo possível de α; ii) para se evitar a divisão por zero e loopings pode-se utilizar um variante do método de Newton: x k +1 = x k −

f (xk ) f ′ (x k )

x k +1 = x k −

f (x k ) f ′( x 0 )

fixando o denominador em f ′(x0): Newton modificado

Pode ser muito difícil, ou até impossível, para o usuário obter a derivada explícita de f′(x). Como, então, refinar a raiz pelo método de Newton sem explicitar a f′(x)? Por definição, temos que: f ( x + h) − f ( x) f ′( x) = lim h→ 0 h se h for pequeno f ( x + h) − f ( x ) f ′( x) ≅ h Podemos adotar, do lado direito da expressão de f'(x*), x = x* , x + h = x * + h e h = x − x * = ∆x * , ou seja, ∆x * também é um valor estimado inicialmente: f ( x* + ∆x * ) − f ( x * ) * * f ′( x ) ≅ onde ∆x pode ser inicialmente estimado e depois * ∆x recalculado a cada iteração, conforme a formula normal de Newton-Raphson:

∆x = −

f ( x* ) ⇒ x = x* + ∆x f ′( x* ) , onde x é novo valor da raiz aproximada de f(x)=0.

Alternativamente, pode-se adotar f ′(x*) baseado em dois pontos anteriores x k −1 e x k para depois substituir-se na expressão do método de Newton: f (xk ) f ( xk ) − f ( xk −1 ) k +1 k f ' ( x*) = → x =x − f ′ (x k ) xk − xk −1 f ( xk ) xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( xk −1 ) xk − xk −1 ( x k − x k −1 ). f ( x k ) MÉTODO DA SECANTE x k +1 = x k − f ( x k ) − f ( x k −1 ) x . f ( xk ) − xk . f ( xk −1 ) xk +1 = k −1 f ( xk ) − f ( xk −1 ) Exemplo: Resolver com Newton-Raphson x. ln x − 3,2 = 0

α ∈ [ 2,3]

94

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

f ( x* ) = x. ln x − 3,2 f ' ( x* ) = ln x + 1 f ( x* ) → x = x * + ∆x * f ′( x ) Adotando xo = 3 como valor inicial ∆x = −

x* 3 2.9543 2.9542

k 0 1 2

f ( x* ) = x*. ln x* − 3,2

f ' ( x* ) = ln x* + 1

x = x * + ∆x

Erro =| ∆x |

0.09584 3.4935e-004 4.7594e-009

2.0986 2.0833

2.9543 2.9542

0.04567 1.6769e-004

A raiz obtida é 2,9542 com Erro=|xk - xk-1| < 10-3, em apenas 2 cálculos (iterações). • O que ocorre se a raiz α de f(x) = 0 tiver multiplicidade maior que um? Tendo uma raiz α para f(x) = 0 ⇒ Podemos reescrever f(x) da seguinte forma: f(x) = (x - α).g(x), onde g(x) é o quociente da divisão de f(x) por (x - α) , que contém todas as outras raízes de f(x), exceto α. Derivando esta expressão para f(x) tem-se: f ′ ( x) = ( x − α ). g ′ ( x) + g ( x).1 Se α anular também a função quociente g(x) ⇒ g(x) = 0 (α é raiz de g(x)), então, f′(x) ⇒ f′(α) = 0. Pois f′(α)= (α - α). g′(x) + g(x) ⇒ f′(α) = 0. 0 0 Logo, com raízes repetidas a fórmula do Método de Newton apresenta f(x) → 0 e f'(x) → 0 também. f (xk ) → 0 xk +1 = xk − f ′ ( xk ) → 0 O que torna a convergência lenta. Exemplo: Obtenha por Newton uma raiz de: e x − x − 1 = 0 com x 0 = 1. f(x) = ex -x - 1 f′(x) = ex - 1 Aplicando a fórmula do método de Newton vem: x0 = 1 x1 = 0,58198 x2 = 0,31906 .

95

. .

x4 = 0,08635 . . .

O processo se tornou muito lento, perdeu a convergência quadrática.

x7 = 0,01107 x8 = 0,005545 . . .

x11 = 6,9 x 10-4 . . .

x13 = 1,7416 x 10-4 x14 = 8,8041 x 10-5 --> 0 Solução dada a este problema: Dado f(x) = 0, pode-se tomar uma função g(x) modificada a partir de f(x): f (x) g (x ) = f ′ (x ) Agora, aplica-se à função modificada g(x) pois toda raiz α que anula f(x) também anula g(x) f ( xk ) g ( xk ) f ′ ( xk ) ⇒ xk +1 = xk − = xk − 2 [ f ′( xk )] − f ( xk ). f ′′ ( xk ) g ′ ( xk ) [ f ′( xk )]2

xk −1 = xk −

f (xk ). f ′ (xk ) [ f ′ (xk )]2 − f (xk ). f ′′ (xk )

Convergirá mais rápido em casos de raízes múltiplas.

Ou aplicamos a Regra de L'Hospital: Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, em um ponto a ∈ I. Suponhamos que g' (x)≠0 para todo x≠a em I. (i) Se lim f(x) = lim g(x) = 0, então x→) a

x→) a

 f ( x)   f ' ( x)   = lim  = L lim x→a g ( x )   x →a  g ' ( x )  Logo,  f ( x)   f ' ( x)   = L , para o caso de f ( x ) → 0 e f ' ( x ) → 0 , resultando  = lim lim x→ a f ' ( x)  x → a f ' ' ( x)      f ( xk ) f ' ( xk ) xk −1 = xk − → xk −1 = xk − f ' ( xk ) f ' ' ( xk ) Exemplo: Reaplicando o Método de Newton, modificado pela Regra de L'Hospital, para obter uma raiz de: e x − x − 1 = 0 com x 0 = 1. f '(x) = ex - 1 f ''(x) = ex Aplicando a fórmula do método de Newton vem: x0 = 1 96

x1 = x2 = x3 = x4 =

0.367879 0.0600801 1.7692e-003 1.5641e-006 --> 0

--> O processo recuperou a rápida convergência quadrática.

• Newton pode ser utilizado para se elaborar rotinas de funções pré-definidas para as máquinas digitais. Exemplo: Elabore uma rotina para obter o recíproco ( 1 c ) de c ∈ ℜ - {0} Deseja-se um x tal que x =

f (x ) =

⇒ xk − 1 ⇒ xk + 1

1c

⇒

1x

= c ⇒ que pode ser escrita conforme a equação:

1 1 − c . Aplicando Newton com f ’(x) = − 2 . x x 1 −c (1 − c. xk ) 2 xk . xk = xk − = xk + 1 xk − 2 xk = (2 − c. xk ). xk

Será que esta expressão acima sempre converge? Gráfico da função geradora:

Devemos estimar o valor inicial xk o mais próximo de 1 c , mas para garantimos a convergência, o valor inicial xk deve ser menor que 1/c. Por exemplo, se c = 0,... x 10E ⇒ 1 = O (10-E). Por exemplo, para obter o recíproco de C no Octave: c

function x=reciproco(C) %1/C=x=>? ; f(x)=C-1/x; f'(x)=-1/(x*x) %x=xi-f(xi)/df(xi) ; x=x-(C-1/x)/(1/(x*x)) ; x=x*(2-x*C); if(C>1) x=0+eps; else x=1+eps; end cont=0;erro=1; 97

while(erro>1.e-16 && cont<100) cont++; xi=x; x=x*(2-x*C); erro=abs(x-xi); end end Exemplos: 1) Obtenha o recíproco de c = 425,32 e c = 0,42532 x 103 sem utilizar a operação de divisão. Resposta: tomando x0 = 0.001 (10-3) ⇒ x6 = 0,00235117. 2) Crie uma rotina para obter

c , c ∈ℜ . +

Solução: Deseja-se x tal que x = c ⇒ x2 - c = 0 Aplicar Newton: f(x) = x2 - c f `(x) = 2x

 f ( xk )   xk +1 = xk + ∆x = xk +  −  f ' ( xk ) 

( xk2 − c) xk +1 = xk − ⇒ ( xk + c ).0,5 -> Sempre converge para todo x0 > 0. xk 2.xk Como estimar um x0 adequado? ‘Hero’ sugere que:

x0 = (1,68 −

1,29 ).10p .316 , q 0,84 + M

Mantissa

Para c = 0,d1 ... dt * 10

2p+q

, com q = 0 ou q =1 de modo que p seja inteiro.

Por exemplo, para obter a raiz quadráda de C no Octave: function x=sqrt2(C) %sqrt(C)=x=>? ; f(x)=x^2-C; f'(x)=2*x %x=xi-f(xi)/df(xi); x=x-(x^2-C)/(2*x); x=0.5*(x*x+C)/x; if(C>1) x=1+eps; else x=0+eps; end cont=0;erro=1; while(erro>1.e-16 && cont<100) cont++; xi=x; x=0.5*(x*x+C)/x; erro=abs(x-xi); end end

98

3) Obtenha 685,72 ⇒ c = 0,68752 . 103 Solução com valor incia de ‘Hero’:  M = 0,68572 1,29  ⇒ x0 = (1,68 − ) . 101 . 3,161 p = 1 0 , 84 + 0 , 68572 q = 1  ⇒ x0 = 26,370122 Aplicando Newton ⇒ x3 = 26,186255 Exercícios: 1) Elabore uma rotina para efetuar a divisão sem utilizar a operação de divisão. 2) Crie uma rotina para obter 1 , sem o uso da divisão e da radiciação. c 3 n 3) Crie rotinas para obter: c e c .

3.2.4 - Métodos Híbridos para f(x) = 0 Poli-algoritmos Existe atualmente uma forte tendência na literatura a se mesclar os métodos das duas famílias anteriores para se criar métodos abrangentes e que minimizem as desvantagens dos submétodos envolvidos. Exemplo: Obtenha a raiz próxima de zero de ex + x − 2 = 0 com ε = 10−5 Solução: 1o ) Bisseção com [0;1] ⇒ XM1=0,5 . • Lento . • Não obtém todos os α ∈ ℜ . • Necessita de [a,b] ⊃ α XM17 = 0,44286 2o ) Falsa Posição com [0;1] ⇒ XF1 = XF2 = . . .

XF7 = 0,44285 3o ) Newton com X0 = 0 X1 = 0,5 . . .

X3 = 0,44285 4o ) Secante com X0 = 0 X1 = 1 X2 = 0,3788 . . .

X5 = 0,44286

• Lento (um pouco menos) • Não obtém todos os α ∈ ℜ • Necessita de [a,b] ⊃ α

• Necessita de f ` (x) • Pode não convergir • Pode convergir para um α já obtido

• Lento (comparando-se com Newton) • Necessita de duas estimativas iniciais • Menos abrangente • Nem sempre converge. •

99

3.2.4.a) Poli-Algoritmo Newton & Bisseção Dado f(x) = 0 este poli-algoritmo permite obter todos os α ∈ℜ que estão em [a,b], seguindo-se os seguintes os: i) Toma-se o universo [a,b] e subdivide-o em k (livre) subintervalos de comprimento

( b − a) ; h= k ii) Rastrear cada subintervalo [xi ; xi+1] onde xi+1 = xi + h e x0 = a para verificar onde existe f(xi) * f(xi+1) < 0; iii) Refinar [xi ; xi+1] por bisseção e Newton associados. Observação: Note-se que ainda o método de Newton pode convergir para um α já obtido. Para evitar esta possibilidade devemos retirar, algebricamente, as raízes já determinadas através do seguinte procedimento: → Dados f(x) e α1 tal que f(α1) = 0. Então, f(x) = (x - α).g(x), com o quociente da divisão entre f(x) e (x - α) não nulo (g(x) ≠ 0). Toda raiz αj de g(x) será também raiz de f(x). Este processo de divisão gera uma função g(x) com uma raiz α a menos que f(x). Este processo é usualmente denominado de deflação, na resolução de equações polinomiais. → Reescrevendo a expressão anterior para g(x), tem-se: f ( x) g( x) = x − α1 → Agora, aplica-se Newton em g(x) = 0 g( x k ) x k +1 = x k − g ′( x k ) f (x k ) (x k − α1 ) 2 x k +1 = x k − . ( x k − α 1 ) f ′ ( x k )( x k − α 1 ) − f ( x k ) f (x k ) x k +1 = x k − f ′( x k ) − [ f ( x k ) / ( x k − α 1 )] Com este procedimento, evita-se o risco de Newton convergir novamente para α1. Para retirar j raízes: f (x k ) x k +1 = x k − j f ′ ( x k ) − [ ∑ f ( x k ) / ( x k − α i )] i =1

3.2.4.b) Poli-Algoritmo Dekker-Brent Criado na década de 70, faz combinações judiciosas entre bisseção, falsa posição e secante.

2.3 - Solução de Equações por Classes Solução de Equações Polinomiais a) Preliminares Devido à importância histórica e a freqüência com que aparecem nos modelos matemáticos, vamos aqui abordar a solução das equações polinomiais. 100

Uma equação polinomial é toda equação do tipo pn(x) = 0, onde pn(x) = a1xn + a2xn-1 + ... + anx1 + an+1, com ai ∈ ℜ e a1 ≠ 0 ⇒ polinômio de grau n. Como resolver pn(x) = 0? n = 1 → a1x + a2 = 0 ⇒ α = -a2/a1 n = 2 → a1x2 + a2x + a3 = 0 ⇒ α =

− a 2 ± a 22 - 4a 1a 3 2a 1

Resolvido pelos: • Babilônios em 1800a.C. (algebricamente) • Gregos • Hindus no século I d.C. (Báscara) n = 3 → a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0 ⇒ fazendo x = y - a2/ 3a1 teremos: y3 + py + q = 0 ⇒ α =3

−q

2 +

p3

27 +

q2

3 4 +

−q

2−

p3

27 +

q2 4

n = 4 → a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 = 0 Cardano divulgou um método de Ferrari de redução de qualquer equação de grau n = 4 para n = 3. n = 5 → a1x5 + a2x4 + a3x3 + a4x2 + a5x + a6 = 0 Em 1824 Abel provou que é impossível obter solução para n ≥ 5 por radiciação. b) Avaliação do valor de pn(x) Precisamos avaliar o valor numérico de pn(x), bem como p'n(x), em x=u (valor inicial x*), para podermos aplicar o método de Newton-Raphson às equações polinomiais pn(x)=0. Se expressarmos pn(x) na forma padrão ⇒ pn(x) = a1xn + a2xn-1 + ... + an+1 ⇒ n adições  e  pn(u) necessita de  2 n − 1 multiplicações Porém expressando pn(x) na forma de Horner teremos: pn(x) = ((((a1x + a2)x + a3)x + a4)x + ... + an)x + an+1 Desta forma, n adições e pn(u) necessita de  n multiplicações Rotina Horner Leia N, u Para i = 1 até n+1 faça 101

leia a[i] fim para Para k = 1 até n faça p = p*u + a[k+1] fim para Fim Se usarmos a Divisão de Polinômios - Divisão Sintética - o cálculo de pn(u) também necessita n adições e de  n multiplicações Veja que

pn(x) ÷ (x - u) ⇒ pn(x) = (x-u).pn-1(x) + Resto

(1)

onde o quociente da divisão, pn-1(x) = b1xn-1 + b2xn-2 + ... + bn, pode ser obtido através da igualdade da expressão a seguir, termo a termo: pn(x) = (x-u).pn-1(x) + R1

onde R1 é o Resto e foi definido com bn+1, por convenção.

(a1.xn + a2.xn-1 + ... + an.x1 + an+1)=(x-u).(b1.xn-1 + b2.xn-2 + b3.xn-2 + ... + bn)+ bn+1 (a1.xn + a2.xn-1 + ... + an.x1 + an+1)=((b1).xn +(b2 - u.b1).xn-1+(b3 - u.b2).xn-2 + ... + (bn+1-u.bn) a1 = b1

b1 = a1

a2 = b2 - u.b1

b2 = a2 + u.b1

a3 = b3 - u.b2

b3 = a3 + u.b2

.

.

.

.

.

.

an = bn - u.bn-1

bn = an + u.bn-1

an+1 =bn+1 - u.bn

bn+1 =an+1 + u.bn=R1

Observe que o resto R1, definido como bn+1, segue a mesma lei de formação de bn, e por isso convencionou-se definir R1=bn+1. Este método de divisão sintética de polinômios é conhecido por Método de Briot-Ruffini. Propriedade 4: “O valor numérico de pn(x) em x = u é o resto R1 da primeira divisão de pn(x) ÷ (x-u).” n adições e Lembre que neste caso, pn(x) necessita também de  n multiplicações Pois pn(x=u) = (u-u).pn-1(x) + R1 = R1 ⇒ pn(x=u) = R1 102

Propriedade 5: “O valor numérico de p'n(x) em x = u é o resto R2 da segunda divisão de pn(x) por (x-u).” Pois efetuando uma segunda divisão sintética pn-1(x) ÷ (x-u) temos que : ⇒ pn-1(x) = (x - u).pn-2(x) + R2 Substituindo pn-1(x) em pn(x) = (x-u).pn-1(x) + R1 ⇒ pn(x) = (x - u).[(x - u).pn-2(x) + R2] + R1 ⇒ pn(x) = (x - u)2 . pn-2(x) + (x - u).R2 + R1 Derivando pn(x) para obter .p'n(x), temos: ⇒ p'n(x) = (x - u)2. p'n-2(x) + 2.(x - u).pn-2(x) +1.R2 + 0 p'n(x=u) = (u - u)2. p'n-2(u) + 2.(u - u).pn-2(u) +1.R2 + 0 e ⇒ p'n(x=u) = R2 Propriedade 6: (k) “ p n (u) = k!R k+1 , onde Rk+1 = resto da (k+1)-ésima divisão sucessiva de pn(x) ÷ (x-u).”

(Importante para tratamento de raízes múltiplas, onde p'(x) tende a zero junto com p(x)) Exemplo: Obtenha p'(2), p''(2), p'''(2) e p''''(2) em p(x)=2x4+3x-2 (verificação com: p'(x)=8x3+3; p''(x)=24x2; p'''(x)=48x; p''''(x)=48). Solução: em u = 2 b1 = 2 b2 = 0 + 2 * 2 = 4 b3 = 0 + 4 * 2 = 8 b4 = 3 + 8 * 2 = 19 b5 = R1 = -2 + 19 * 2 = 36 => p(2) = 36 c1 = 2 c2 = 4 + 2 * 2 = 8 c3 = 8 + 2 * 8 = 24 c4 = R2 = 19 + 24 * 2 = 67 => p’(2) = 1! . R2 = 1*67 d1 = 2 d2 = 8 + 2 * 2 = 12 d3 = R3= 24 + 2 * 12 = 48 => p''(2) = 2! * R3 = 2.1 * 48 = 96 e1 = 2 e2 = R4 = 12 + 2 * 2 = 16 => p'''(2) = 3! * R4 = 3.2.1 * 16 = 96 f1 = R5 = 2

=> p''''(2) = 4! * R5 = 4.3.2.1 * 2 = 48

Exercício: Crie uma rotina que calcule a derivada qualquer de um polinômio Teorema 1: (Teorema Fundamental da Álgebra) “Toda polinomial pn(x) = 0 tem raiz.” Propriedade 7: 103

Se α é raiz de pn(x) = 0 então, pn(x) é divisível por (x - α). Propriedade 8:

(i) Uma raiz α de pn(x) = 0 possui multiplicidade M se e somente se p (α ) = 0 , n ( ) ∀ i = 0, 1, ..., M-1 e p M (α ) ≠ 0 . n Alternativamente, podemos verificar o número M de vezes que pn(x) é divisível por (x-α). Corolário 1: Uma polinomial pn(x) = 0 possui 'n' raízes, reais ou complexas, distintas ou repetidas. Exemplo: Determine a multiplicidade M da raiz α = 2 de x4 - 5x3 + 6x2 + 4x - 8 = 0. Solução: p(x) = x4 - 5x3 + 6x2 + 4x - 8 p’(x) = 4x3 - 15x2 + 12x + 4 p’’(x) = 12x2 - 30x + 12 p’’’(x) = 24x - 30 = 18

⇒ p(2) = 0 ⇒ p’(2) = 0 ⇒ p’’(2) = 0 ⇒ p’’’(2) ≠ 0 ⇒ M = 3 ∴ α = 2 é repetida 3 vezes

Exercício: Crie uma rotina para testar a multiplicidade de uma raiz α ∈ ℜ de uma polinomial pn(x) = 0. d) Localização de raízes α de pn(x) = 0 Em a1xn + a2xn-1 + ... + an-1 = 0, seja M = máx{|a2|, |a3|, ..., |an+1|}. Então ∀ M α raiz ⇒ | α |< 1 + a1 Propriedade 9:

Exemplo: Localize as raízes de 3x6 + 4x3 - 2x2 - 6 = 0 Solução: Aplicando a propriedade 9 temos que: 6 M = 6 ⇒ |α | < 1 + ⇒|α | < 3 ≅ α ∈ (-3,3) se α ∈ℜ |3|

Propriedade 10: Seja u = a + bi tal que p’(u) ≠ 0 e R = n *

p n (u) ⇒ existe pelo menos uma raiz α no p'n (u)

círculo de centro u = (a,b) e raio R. Exemplo: Para p4(x)=x4 - 2x3 + 6x2 - 8x + 8 com u = 2+0.i. Solução: ⇒ n=4 ⇒ pn(2) = 16 ⇒ p’n(2) = 24

104

16 = 2,666... ⇒ ∃ pelo menos uma raiz no circulo de raio R=2,666 e centro C=(2;0), 24 no gráfico com abscissa x Real e ordenada y Imaginária:

⇒ R= 4 *

3

2

R=2,666 1

0

C=(2;0) -1

-2

-3 -1

0

1

2

3

4

5

Podemos verificar que todas as raízes deste polinômio são 1 ± i e ± 2i, portanto dentro do circulo vermelho do gráfico acima. O polinômio p4(x) não tem zeros reais, conforme gráfico abaixo.

40

30

20

10

0

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Teorema (Cota de Cauchy): Dado um polinômio Pn(x), então toda raiz α, real ou complexa, de Pn(x) = 0 satisfaz: |α|< r sendo r = lim

ou

→

com valor inicial x(p=0) = 0, onde p é o o iterativo e =

=

1 1

105

Ex. Tomemos o polinômio P5(x) = x5 + x4 - 9x3 - x2 + 20x - 12. Então xp=0 = 0 (valor inicial) e a(1) = 1, o que nos leva a produzir a equação iterativa, como se o x de maior grau fosse separado, análogo ao método de Iteração Linear, com coeficientes em módulo e os demais termos colocados no lado direito tomados pelo seu valor x em um o anterior: =

+9

#

+

+ 20

1 + 12&5

Podemos então verificar que: x0 = 0 x1 = 1,643751829 x2 = 2,485458195 ... x10 = 3,805140857 Logo r = 3,805140857 e logo podemos afirmar que não há alguma raiz fora do círculo centrado em zero e raio r. Desta forma podemos escolher todos os valores iniciais das raízes de P5(x) dentro deste raio. Teorema (Cota de Kojima): Dado o polinômio Pn(x), toda a raiz α, real ou complexa, satisfaz que |α|< max1 + max2 onde max1 e max2 são os maiores valores da sequência:

Ou

(

= )*+

(

= )*

+

*

, -.,

/ com i = 2; ... ; n+1.

, -

* / com i = 1; ... ; n.

+

+

Exemplo: Seja o polinômio P5(x) = x5 + x4 - 9x3 - x2 + 20x – 12, a1 = 1, a2 = 1, a3 = -9, a4 = -1, a5 = 20, e a6 = -12. Podemos então verificar que a série de fatores q(i) é a seguinte: , ,

,

, 3

,

)* * , * * , * * , * * , * 1 2

4 5

, 6

* /={1; 3; 1; 2,114743537; 1,643751829}

Tomando os 2 maiores valores: max1 = 3 e max2 = 2,114742527. Logo, toda raiz |α|< max1 + max2 < 5,114742527, que gera o raio externo do anel que contém as raízes de Pn(x). Para determinar o raio interno do anel, podemos calcular P5(1/x)=-12x5+20x4 -x3-9x2 + x + 1 e aplicar o mesmo procedimento, pois as raízes de Pn(1/x) são as inverss das raízes de Pn(x). Assim,

)*

,

* ,*

4 ,

, 2

* ,*

0,608364342}

,

* ,*

1 3

, 5

* ,*

, 6

* / = {1,666; 0,288675239; 0,908560296; 0,537284; 106

Vemos que max1 = 1,666 e max2 = 0,908560296, com raio = 2,575226902, então a cota interna é 1/raio = 0,388315288. Logo as raízes de P5(x) estão no intervalo: 0,388315288 < α< 5,114742527.

Propriedade 11: As raízes complexas de equações polinomiais de "coeficientes reais" sempre ocorrem aos pares conjugados, isto é, se α = a + bi for raiz, α = a - bi também é raiz. Exemplo: x2 - x + 2 = 0 Solução:

1± 1− 8 1± − 7 ⇒α = Por Báscara temos que: 2 2 α 1 = 0,5 + 7 4 i e α 2 = 0,5 − 7 4 i

α=

Conseqüência: Toda pn(x) = 0 de "coeficientes reais" com 'n' ímpar possui ao menos uma raiz real. Propriedade 12: Em pn(x) = 0 se n for par e a1*an+1 < 0 ⇒ existe ao menos duas raízes reais, uma positiva e outra negativa. Exemplo: x12 - 5x2 + 3x - 2 = 0 possui ao menos duas raízes reais. Propriedade 13 2 Em pn(x) = 0, se existe k = 2, 3, ..., n tal que a k ≤ a k+1 * a k-1 e a n+1 ≠ 0 ⇒ existem raízes complexas. Propriedade 14: Regra dos sinais de Descartes Origem: Wikipédia, http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_dos_sinais_de_Descartes

A regra dos sinais de Descartes, primeiramente descrita por René Descartes no seu trabalho La géométrie, é um teorema que determina o número de raízes positivas e negativas de um polinômio. Segundo a regra, se os termos de um polinômio com coeficientes reais não nulos Pn(x) são colocados em ordem decrescente de grau, então o número de raízes positivas do polinômio é igual ao número de permutações de sinal de Pn(x), ou menor por uma diferença par. O número de raízes negativas do polinômio é igual ao número de permutações de sinal de Pn(-x), ou menor por uma diferença par. Ou seja, o número de permutações é igual ao número de raízes positivas e negativas acrescido do número de raízes imaginárias (que sempre acontecem ao pares em polinômio de coeficientes reais).

Exemplo

Possui uma mudança de sinal entre o segundo e o terceiro termos. Portanto possui apenas uma raíz positiva.

107

Para contar o número de raízes negativa, fazemos a substituição

:

Este polinômio tem duas permutações de sinal, logo o polinômio original possui 2 ou 0 raízes negativas. Para confirmar o resultado, observe a fatoração do polinômio:

Então as raízes são -1 (aparece 2 vezes) e 1 (aparece 1 vez).

f) Determinação (refinamento) de raízes 1o) Tomando pn(x) = a1xn + ... + an+1 e um x0 ≅ α e aplicando o método de Newton para p (x ) R refinar vem: ∆x = − 'n k = − 1 → x k+1 = x k + ∆x (também chamado de Método de p n (x k ) R2 Birge-Vieta). onde R1 = resto de pn(x) ÷ (x - xk) = p n (x k ) R2 = resto de pn-1(x) ÷ (x - xk) = p 'n (x k ) sendo pn-1(x) = polinômio quociente da primeira divisão. Exemplo: Aproxime com 3 iterações uma 1ª raiz de p3(x)=2x3 - x - 2 = 0 por Newton a partir de x0=1. Solução: p3(x)=2.x3+0.x2 -1.x - 2.x0 = 0 a1 = +2 a2 = 0 a3 = -1 a4 = - 2 Aplicando a divisão sintética de Briot-Rufini: 1a iteração: a partir de x0=1. b1 = 2 b2 = 0 + 2 . 1 = 2 b3 = -1 + 2 . 1 = 1 b4 = p(1)= R1 = - 2 + 1 . 1 = -1= R1 c1 = b1 = 2 c2 = b2 + x0.c1 = 2 + 2 . 1 = 4 c3 = p’(1) = R2 = b3 + x0.c2 = 1 + 1 . 4 = 5 = R2 R x1 = x0 - 1 = 1 - ( − 15 ) = 1,2 R2 2a iteração: a partir de x1 = 1,2 b1 = 2 b2 = 0 + 1,2 . 2 = 2,4 b3 = -1 + 1,2 . 2,4 = 1,88 b4 = R1 = 0,256= R1 c1 = 2 c2 = 2,4 + 1,2 . 2 = 4,8 108

c3 = R2 = 1,88 + 1,2 . 4,8 = 7,64 = R2 x2 = 1,2 - (

0,256

7 ,64 )

= 1,166

3a iteração: a partir de x2 = 1,166 b1 = 2 b2 = 0 + 2 . 1,166 = 2,332 b3 = -1 + 2,332 . 1,166 = 1,719 b4 = R1 = - 2 + 1,719 . 1,166 = 0,004= R1 c1 = b1 = 2 c2 = 2,332 + 1,166 . 2 = 4,664 c3 = R2 = b3 + x0.c2 = 1,719 + 1,166 . 4,664 = 7,1572 = R2 x3 = 1,166 - (

0,004

7,157 )

= 1,165 ≅ α1 com Erro=|p(x3=1,165)|<0,001.

Observação: Para determinar a 2ª e 3ª raízes e se evitar de obter a mesma 1ª raiz α1 novamente, pode-se efetuar redução de grau (deflações), isto é: - Tomar pn(x) ÷ (x - α1) obtendo pn-1(x), nesse caso com Resto R1 quase nulo (nas divisões exatas, R1=0); - Testar a multiplicidade M de α1, verificando se p'n(α1)=0, p''n(α1)=0, ... pMn(α1)≠0, ou reaplicar diretamente o método de no polinômio deflacionado. Algoritmo de Newton-Raphson para determinação de raízes com multiplicidade M: Exemplo de multiplicidade: Determine as 3 raízes de P(x)=x3-3.x2.+3.x-1=(x-1)3=0. Verifique que α1=1 tem multiplicidade M=3: Pela divisão sintética de Briot-Ruffini: 1a. Divisão

1

1

2a. Divisão

1

1

3a. Divisão

1

1

4a. Divisão

1

1 1

-3 1 -2 1 -1 1 0

3 -2 1 -1 0

-1 1 0

=> R1

=> R2

=> R3

=> R4 (não é possivel dividir)

ou usando as divisões tradicionais: 1x3-3x2+3x-1 R1=0

x-1 1x2-2x+1 R2=0

x-1 x-1 R3=0

x-1 1

x-1 109

R4=1

0

(k) Pela Propriedade 6: " p n (u) = k!R k+1 , onde Rk+1 = resto da (k+1)-ésima divisão.”

P (1) = 0! * R1 = 1*0 = 0 P'(1) = 1! * R2 = 1*0 = 0 P''(1) = 2! * R3 = 2*0 = 0 P'''(1) = 3! * R4 = 6*1 = 6 => Pela propriedade 8, a Multiplicidade de α1=1 é M=3. A essência do Método de Newton, para raízes não repetidas, prevê que ∆x = −

R pn (x k ) =− 1 ' R2 pn (x k )

mas observe que no caso de aproximações de raízes xk múltiplas, R1 e R2 tendem a zero juntos, podem gerar uma indeterminação 0/0, reduzindo a taxa de convergência (perde-se a taxa de convergencia quadrática) e assim precisaremos aplicar a regra de L'Hospital:

∆x = −

pn (x k ) 0!.R1 =− para M = 1 ' pn (x k ) 1!.R2

∆x = −

p'n (x k ) 1!.R2 =− para M = 2 '' p n (x k ) 2!.R3

∆x = −

p 'n' (x k ) 2!.R3 =− para M = 3 '' ' p n (x k ) 3!.R4

. .

∆x = −

-1 pM ( M − 1)!.RM ( M − 1)!.RM 1 R n (x k ) =− =− = − . M para M genérico M p n (x k ) M !.RM +1 M .( M − 1)!.RM +1 M RM +1

Temos uma dificuldade adicional na determinação de raízes múltiplas, que é o fato de não conhecermos as raízes xk previamente, mas é possivel verificar que no processo iterativo de convergência, os valores sucessivos de xk vão se aproximando de cada raiz de modo gradativo, "lento no caso de raízes múltiplas", onde perde-se a convergência quadrática quando R2 tende a zero gradativamente no denominador de ∆x. Normalmente não atingimos um valor com erro razoável, com R1/R2. Para acelerar a convergência, é necessário definir um valor limite mínimo de R2, R3,...,RM, no caso de raízes de multiplicidade M, ou seja, definir quais valores de R2, R3,...,RM, são pequenos suficientes para ser considerados nulos (ou quase nulos), por exemplo, se |R2|, |R3|,..., |RM| são menores ou iguais a 0,1 (precisa ser melhor verificado) podemos dizer que a Multiplicidade da raiz xk em avaliação é M, para o processo iterativo. Assim, para uma raiz xk de multiplicidade M genérica: -1 pM ( M − 1)!.RM ( M − 1)!.RM 1 R n (x k ) ∆x = − M =− =− =− . M p n (x k ) M !.RM +1 M .( M − 1)!.RM +1 M RM +1

Um algoritmo possível para o método de Newton-Raphson, generalizado para raízes xk de multiplicidade M pode ser o seguinte: function p = FNRPolM(xa,n,ai,tol) 110

## Metodo Newton-Raphson para polinomios: encontrando uma das n raizes de Pn(x)=0, % com multiplicidade M % xa - Valor inicial de cada raiz % n - Grau do polinomio Pn(x) % ai - Coeficientes do polinomio na entrada Pn(x) % tol - Valor limite do erro máximo - tolerância no erro da cada raiz erro=1.;iter=0; while(iter<20 & erro>tol) a=ai; iter=iter+1 naux=n; k=1; %contador de multiplicidade M M=1; %Multiplicidade inicial de xa while(k<=M+1) b(1)=a(1); for i=2:(naux+1) b(i)=a(i)+xa*b(i-1); endfor r1(k)=b(naux+1); %Teste de multiplicidade M if abs(r1(k))<0.10 (este valor deve trocado por um valor relativo ao valor da raiz) M=k; endif naux=naux-1; a=b; k=k+1; endwhile r1(n+1)=b(1); %Ultimo resto, se todas as 'n' divisões ocorrerem % Dx=-r1(M)/(M*r1(M+1));% M=1 => f/f' = 0!.r(1)/1.0!.r(2) % M=2 => f'/f'' = 1!.r(2)/2.1!.r(3) % M=3 => f''/f''' = 2!.r(3)/3.2!.r(4) => r(M)/(M.r(M+1)) xn=xa+Dx erro=abs(Dx) xa=xn; endwhile p=xn; %valor final da raiz com multiplicidade M endfunction

Exemplo de refinamento de raízes: p4(x)=x4 - 11,101x3 + 11,1111x2 - 1,0111x + 0,001 tem as raízes: α1 = 0,001; α2 = 0,1; α3 = 1 e α4 = 10. Aqui poderá ocorrer o erro da instabilidade numérica, se não aplicarmos o refinamento das raízes encontradas no processo de redução de grau. Considere encontrada a raiz α4 = 10,000005. Deflacionando teremos: p4(x) ÷ (x - α4 ) ⇒ p3(x) = x3 - 1,0099x2 + 0,101144x + 0,3405 que não possui raízes 111

próximas de α1 = 0,001, pois p3(0,001) = 0,3406. A solução para este problema seria um refinamento dos resultados parciais, a partir da segunda raiz, ou seja, reaplicar o método de Newton-Raphson ao polinômio original de grau n, p4(x)=0, usando as raízes parciais obtidas nos polinômios deflacionados como valor inicial de 'zero' do polinômio original de grau n, p4(x)=0. Exemplo: P4(x)= x4+3x3+x2+3x-1=0 (roots([1, 3, 1, 3, -1]) no octave) Raizes: -3.03235 + 0.00000i -0.12493 + 1.07377i -0.12493 - 1.07377i 0.28220 + 0.00000i 2o ) Método de Müller Trata-se de uma extensão do Método da Secante, e que busca minimizar alguns problemas presentes nos métodos de Newton, Secante, Falsa-posição, tais como: - Convergência lenta quando a função e sua derivada são próximos de zero; - Não encontram raízes complexas a menos que seja dado um valor inicial complexo. Em geral, os métodos citados são pobres para encontrar raízes complexas em polinômios, pois mesmo em se tratando de polinômios com coeficientes reais, ele normalmente tem raízes complexas. Para melhor entender o método de Müller vamos analisar a figura 1 abaixo, para a resolução da equação, f(x) = 0

(1)

Figura 1 - Comparativo entre Método da Secante e Müller. No método da Secante avalia-se o zero da função linear que a por dois pontos da curva de f(x)=0. Já no método de Müller avalia-se o zero da função quadrática que a por três pontos da curva de f(x)=0 a ser resolvida. Supomos que três aproximações iniciais xi--2, xi-1 e xi são dadas para a solução de f(x)=0. A aproximação seguinte xi+1 é obtida do zero do polinômio quadrático P(x) que a pelas três aproximações iniciais de f(x). 112

P(x) = a (x- xi) 2 + b(x - xi) + c

(2)

Portanto,  P ( x i − 2 ) = a ( x i − 2 − x i ) 2 + b( x i − 2 − x i ) + c = f ( x i − 2 )  2  P ( x i −1 ) = a ( x i −1 − x i ) + b( x i −1 − x i ) + c = f ( x i −1 )  2  P ( x i ) = a ( x i − x i ) + b( x i − x i ) + c = f ( x i )

(3)

Das eqs. (3) obtemos os coeficientes a, b e c e encontramos a aproximação seguinte xi+1 resolvendo P(xi+1) = 0 (usando a fórmula de Báskara).   2c xi +1 = xi − ( xi − xi −1 )   2  b ± b − 4ac 

(4)

onde a = q f(xi)-q (1+q) f(xi-1) + q2 f(xi-2) b = (2q+1) f(xi) - (1+q)2 f(xi-1) + q2 f(xi-2) c = (1+q) f(xi) xi − xi −1 q= xi −1 − xi −2 A fórmula escolhida para a eq.(4) produz menos erros de arredondamento que a forma tradicional. Note que na eq. (4) temos duas possibilidades para obter xi+1, dependendo do sinal escolhido no radicando. No método de Müller o sinal do radicando é escolhido de modo que o valor absoluto do denominador, ou módulo para números complexos, seja o maior possível. Esta escolha, que gera um denominador maior em magnitude, evita possibilidades de denominador nulo, e gera um valor de xi+1 mais próximo de xi, dando mais estabilidade ao método numérico. Assim escolhemos a seguinte expressão para atualizar xi+1

x i +1

 2c = x i − ( x i − x i −1 )   Max b ± b 2 − 4ac 

   

(5)

No caso onde as parcelas do denominador forem números reais, a expressão para calcular xi+1 pode ser dada pela eq. (6).   2c x i+1 = x i − ( x i − x i−1 )  (6) 2  b ± sign( b ) b − 4ac  Então aplica-se iterativamente a fórmula dada na eq. (5) até que uma condição de parada seja satisfeita. Note que, se o radicando gerar números complexos, podemos então obter raízes complexas de f(x)=0. Além disso, este método não está limitado somente a equações com coeficientes reais, pode-se encontrar inclusive raízes complexas de equações transcendentais. Também podemos ter equações com coeficientes complexos e que podem gerar raízes complexas não conjugadas. 113

Exercícios: 1). Determine um zero do polinômio Pn(x) = 16x4-40x3+5x2+20x+6, partindo das seguintes condições iniciais: i). x0 = 0.5, x1 = 1.0 e x2 = 1.5 ii). x0 = 0.5, x1 = -0.5 e x2 = 0.0 2). Compare a eficiência do método de Müller frente ao Método da Secante, partindo de uma mesma condição inicial x0, para equações a sua escolha. Sugestão para valores iniciais: Secante: x0 e x1 = 1,10 x0 Müller: x0, x1 = 1,05 x0 e x2 = 1,10 x0

114

Capítulo 4. Resolução de Sistemas de Equações não Lineares 4.0 - Fundamentos

No capítulo 2 abordamos a solução de f(x) = 0 (uma equação com uma variável). Porém na modelagem matemática dos fenômenos físicos, via de regra, estão envolvidas mais de uma variável e mais de uma conseqüência (sistema de equações). Exemplo: Sistemas de equações lineares:

a11 x1 + ... + a1n x n = b1  M M M a x + ... + a x = b nn n n  n1 n

⇒ Ax = B

Definição 1- Um sistema de n equações não lineares com n incógnitas é toda expressão do tipo:  f1 ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ) = 0   f 2 ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ) = 0  M  f n ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ) = 0

⇒ F(X ) = 0

onde  f1  f  2 F=  e ...     fn 

Exemplo: a)  x1 + 2 x23 = 3  2 3x1 + x22 = 7

 x1  x  2 X =  ...     xn 

 f 1 ( x1 , x2 ) = x1 + 2 x23 − 3  ⇒ F=  2 2  f 2 ( x1 , x2 ) = 3x1 + x2 − 7

 x1  e X =   x2 

b) 3x1 − cos( x1 x 3 ) = 0,5  3  x1 − x1 x 2 x 3 = 5  x1 x2 − ln( x12 + x 2 x 3 ) = 0 e Definição 2 - Solução de F(X) = 0 é todo vetor (=matriz coluna ou linha) α = [α1, α2, ..., αn] tal que F(α) = 0. Exemplo: 115

 x1 x2 = 1  2 2  x1 + x2 − 4 x1 + 2 x2 = 4

⇒ α = [0,604068; 1,655442]

Note-se a dificuldade de se isolar α já a partir do n = 2 (o menor possível). 4.1 - Método de Newton para F(X) = 0

A solução de um sistema não-linear consiste em determinar pontos no subespaço do problema que solucione o conjunto de equações. Os pontos de solução estão na intersecção das curvas que representam as equações. O processo de solução a ser visto é uma generalização do Método de Newton-Raphson para sistemas de equações não-lineares. Na solução de sistemas lineares viu-se que tem-se apenas três tipos de solução: solução única, infinitas soluções e não existe solução. No caso de sistemas não lineares o leque de respostas é maior, no qual pode-se ter de zero a infinitas soluções. Para exemplificar, seja o sistema de equações não lineares composto de duas equações:

 x1 + 2 x 2 − 3 = 0  2 2 3x1 + x 2 − 7 = 0

3 x2 2.5

2

1.5

1

0.5

0 -3

x1 -2

-1

0

1

2

3

Como pode ser observado na figura, tem-se dois pontos de intersecção. T Estes dois pontos pertencentes ao subespaço ℜ 2 , x = [1,461538 0,769230] e

x = [− 1 2] , e ambos são soluções do mesmo sistema. T

Seja o sistema de equações não-lineares:  f 1 ( x1 , x 2 ,......., x n ) = 0   f 2 ( x1 , x 2 ,......., x n ) = 0  M  f n ( x1 , x 2 ,......., x n ) = 0

116

O vetor de incógnitas [x1

(sublinhada), x = [x1 x

(0)

[

= x1

(0)

x2

(0)

L xn ]

T

pode ser representado de forma vetorial

x n ] , o vetor de valores iniciais das incógnitas por T

L

x2

L xn

x2

]

(0) T

e o vetor incremento de cada incógnita, diferença entre

(0) x e x , dado por ∆ x i = [∆x1

(0)

∆x 2

L ∆x n ] . T

Analogamente ao método de Newton-Raphson, utiliza-se da expansão em Série de Taylor vetorial da funções f i ( x1 , x 2 ,......., x n ) ∀ i em torno do ponto inicial x

(0)

[

= x1

(0)

x2

(0)

L xn

].

(0) T

onde:

∂f 1 ( x ) ∂f ( x ) ∂f ( x ) .( x1 − x10 \ ) + 1 .( x 2 − x 20 \ ) + .... + 1 .( x n − x n0\ ) + .. = 0 ∂x1 ∂x 2 ∂x n ( 0)

f 1 ( x1 , x 2 ,......., x n ) = f 1 ( x ) + ( 0)

(0)

(0)

∂f ( x ) ∂f ( x ) ∂f ( x ) f 2 ( x1 , x 2 ,......., x n ) = f 2 ( x ) + 2 .( x1 − x10 \ ) + 2 .( x 2 − x 20\ ) + .... + 2 .( x n − x n0 \ ) + .. = 0 ∂x1 ∂x 2 ∂x n (0)

(0)

(0)

( 0)

M

∂f ( x ) ∂f ( x ) ∂f ( x ) f n ( x1 , x 2 ,......., x n ) = f n ( x ) + n .( x1 − x10 \ ) + n .( x 2 − x 20 \ ) + .... + n .( x n − x n0\ ) + .. = 0 ∂x1 ∂x 2 ∂x n ( 0)

(0)

(0)

( 0)

Fazendo ∆xi = xi − xi0\ , desprezando os termos de ordem superior e isolando dos termos ∆xi : ( 0) (0 )  ∂f 1 ( x ( 0 ) ) ∂f ( x ) ∂f ( x ) (0 ) .∆x1 + 1 .∆x 2 + .... + 1 .∆x n = − f 1 ( x )  ∂ x ∂ x ∂ x 1 2 n  ( 0) (0)  ∂f ( x ( 0 ) ) ∂ f ( x ) ∂ f ( x ) (0 ) 2 .∆x1 + 2 .∆x 2 + .... + 2 .∆x n = − f 2 ( x )  ∂x 2 ∂x n  ∂x1 M  ( 0) ( 0)  ∂f ( x ( 0 ) ) ∂f ( x ) ∂f ( x ) ( 0)  n .∆x1 + n .∆x 2 + .... + n .∆x n = − f n ( x )  ∂x1 ∂x 2 ∂x n

 ∂f 1 ( x ( 0 ) )   ∂x1  ∂f ( x ( 0 ) )  2  ∂x1    ∂f ( x ( 0 ) )  n  ∂x1

( 0) ( 0)  f 1 ( x ( 0) )  ∂f 1 ( x ) ∂f 1 ( x )  ∆x1  ....     ∂x 2 ∂x n     ( 0)   (0 )  (0) ∂f 2 ( x ) ∂f n ( x ) ∆x 2   f 2 ( x )  ....   ∂x 2 ∂x n .  = −    M      ( 0) (0) M   ∂f n ( x ) ∂f n ( x )      ....  ( 0)  f n ( x ) ∂x 2 ∂x n  ∆x n 

onde

117

 ∂f 1 ( x ( 0) )   ∂x1  ∂f 2 ( x ( 0 ) ) ( 0) J ( x ) =  ∂x 1  M  (0)  ∂f n ( x )  ∂x 1 

é x

chamada (0)

[

= x1

(0)

x2

∂f1 ( x ) ∂x 2 (0) ∂f 2 ( x ) ∂x 2 M (0) ∂f n ( x ) ∂x 2 (0)

de

(0)

(0) ∂f1 ( x )   ∂x n  (0) ∂f 2 ( x )  L  ∂x n  O M  (0) ∂f n ( x )  L ∂x n 

L

matriz

L xn

Jacobiana,

].

calculada

no

ponto

inicial

(0) T

Resolvendo o sistema linearizado acima, determinamos os valores de uma aproximação para cada ∆xi e consequentemente os novos valores das incógnitas

xi = xi0 \ + ∆xi , x

(0)

[

= x1

(0)

x2

que (0)

repetida para x

( 0)

foram

L xn

calculados

baseados

nos

] , ou seja uma iteração baseada em x

(0) T

valores (0)

iniciais

, que precisa ser

= x (atualização dos valores iniciais).

Observe que em cada iteração do Método de Newton para sistemas de equações não lineares, resolve-se um sistema de equações lineares.

e x1 + x2 = 1 + 1 por Newton com X 0 =   com 3 iterações. Exemplo 1: Resolver  2 2  x1 + x2 = 4 − 1 Solução:

 f 1 ( x1 , x 2 ) = e x1 + x 2 − 1 Temos F ( X ) =   f 2 ( x1 , x 2 ) = x12 + x 22 − 4  ∂f 1 ( x ( 0) ) ∂f 1 ( x ( 0) )    ∂x1 ∂x 2  (0)  J (x ) =  ∂f 2 ( x ( 0 ) ) ∂f 2 ( x ( 0) )    ∂x 2   ∂x1  x10   + 1 e x1 1  0 ⇒ J(X ) =   para X = X =  0  =   2x 1 2x 2   x 2  − 1  Aplicando o sistema de equações linearizado para duas equações temos:  ∂f 1 ( x ( 0) )   ∂x1  ∂f ( x ( 0 ) )  2  ∂x1

( 0)  f 1 ( x ( 0) )  ∂f 1 ( x )  ∆x1      ∂x 2  .  = − (0 )      ∂f 2 ( x )      f 2 ( x ( 0 ) ) ∂x 2  ∆x 2 

1a iteração: 118

e1  2

∆x1 = 0,0758 x 1 = 1,0758 1 ∆x1  e − 2 = − ⇒  ⇒  *   - 2 ∆x2   -2  ∆x 2 = −0,9242 x 2 = −1,9242

Erro total = ∑∆xi=0,9999 2a iteração: x 12 = 1,0095 ∆x1 = −0,06629 2,933 1  ∆x1  0,0080  ⇒  2 2,152 - 3,848 * ∆x  = − - 0,8600 ⇒ ∆x = 0,1864 x 2 = −1,7378    2    2 Erro total = ∑∆xi= 0,2527 3a iteração: 3  x1 = 1,0042  3  x 2 = −1,7297 Erro total = ∑∆xi= 0,013474

x 1 = 1 Solução Exata ⇒  x 2 = 1 − e Exemplo 2: Resolver o sistema de equações não-lineares utilizando o Método de (0) T Newton para um vetor inicial x = [0,5 0,5 0,5] . x1 + x 22 + x 32 − 1 = 0 2

2 x1 + x 22 − 4 x 3 = 0 2

3 x1 − 4 x 2 + x 32 = 0 2

O processo iterativo, em notação vetorial, é dado por:

J (x

(k )

)∆x

(k )

= −F (x

(k )

)

A matriz Jacobiana J ( x

2 x1( k )  (k ) J ( x ) = 4 x1( k ) 6 x1( k )  Para x

( 0)

2 x 2( k ) 2 x 2( k ) −4

(k )

) é dada por:

2 x 3( k )   −4  2 x 3( k ) 

= [0,5 0,5 0,5] , tem-se: T

1 1 1  J ( x ) = 2 1 − 4 3 − 4 1  ( 0)

119

Para x

( 0)

= [0,5 0,5 0,5] , F ( x ) é calculado por: T

( 0)

0,5 2 + 0,5 2 + 0,5 2 − 1 = −0,25 2 × 0,5 2 + 0,5 2 − 4 × 0,5 = −1,25 3 × 0,5 2 − 4 × 0,5 + 0,5 2 = −1,00

F ( x ) = [− 0,25 − 1,25 − 1,00]T ( 0)

Tem-se o sistema linear: ( 0) 1   ∆x1  0,25 1 1 2 1 − 4 ∆x ( 0)  = 1,25    2    3 − 4 1   ∆x3 ( 0)  1,00   

Resultando em ∆x ( o ) = [0,375 0 − 0,125 ]T . Os novos valores do vetor x são dados por:

x

(1)

=x

(0)

+ ∆x

( 0)

0,5  0,375  0,875 = 0,5 +  0  =  0,5  0,5 − 0,125 0,375

Para x (1) = [0,875 0,5 0,375]T , tem-se:

0,7500  1,7500 1,0000  J ( x ) = 3,5000 1,0000 − 4,0000 5,2500 − 4,0000 0,7500  (1)

Para x (1) = [0,875 0,5 0,375]T , F ( x ) é calculado por: (1)

0,875 2 + 0,5 2 + 0,375 2 − 1 = 0,1563 2 × 0,875 2 + 0,5 2 − 4 × 0,375 = 0,2813 3 × 0,875 2 − 4 × 0,5 + 0,375 2 = 0,4375 F (x

(1)

) = [0,1563 0,2813 0,4375]T

Tem-se o sistema linear:

(1) 0,7500   ∆x1   0,1563 1,7500 1,0000 3,5000 1,0000 − 4,0000 ∆x (1)  = 0,2813   2    5,2500 − 4,0000 0,7500  ∆x3 (1)  0,4375  

120

Resultando em ∆x (1) = [− 0,00852 − 0,0034 − 0,0051]T . Os novos valores do vetor x são dados por:

x

( 2)

=x

(1)

+ ∆x

(1)

0,875 − 0,00852 0,7898 =  0,5  +  − 0,0034  = 0,4966 0,375  − 0,0051  0,3699

Para x ( 2) = [0,7898 0,4966 0,3699 ]T , tem-se:

J (x

( 2)

1,5796 0,9932 0,7399  ) =  3,1593 0,9932 − 4,000 4,7389 − 4,0000 0,7399 

Para x ( 2) = [0,7898 0,4966 0,3699 ]T , F ( x

( 2)

) é calculado por:

0,7898 2 + 0,4966 2 + 0,3699 2 − 1 = 0,0073 2 × 0,7898 2 + 0,4966 2 − 4 × 3699 = 0,0145 3 × 0,7898 2 − 4 × 0,4966 + 0,3699 2 = 0,0218 F (x

( 2)

) = [0,0073 0,0145 0,0218 ]T

Tem-se o sistema linear: ( 2) 1,5796 0,9932 0,7399   ∆x1  − 0,0073  3,1593 0,9932 − 4,000 ∆x ( 2)  = − 0,0145   2    4,7389 − 4,0000 0,7399  ∆x3 ( 2)  − 0,0218  

Resultando em ∆x dados por:

x

( 3)

=x

( 2)

+ ∆x

( 2)

( 2)

= [− 0,0046 0,0000 0,0000] . Os novos valores do vetor x são T

0,7898 − 0,0046 0,7852 = 0,4966 +  0,0000  = 0,4966 0,3659  0,0000  0,3699

Seguindo o mesmo procedimento, chega-se a:

x

( 4)

0,7852 = 0,4966 0,3699

O processo convergiu para Erro máximo = Max| ∆x | < 5. 10 −4 em quatro iterações. 121

4.2. Considerações: Além da necessidade do X0, o maior problema do Newton em F(X) = 0 é a necessidade de se calcular as n2 derivadas parciais para uso na Jacobiana J(X), que são n2 funções. A alternativa mais simples para se contornar o problema consiste em se ∂f i simular as n2 derivadas parciais através do próprio computador, via ∂x j aproximações numéricas das derivadas: ⇒ Por definição sabemos que: f ( x + h ) − f ( x) f ′ ( x) = lim h h→ 0

⇒

f ′( x ) ≅

f ( x + h) − f ( x) h

⇒ Por extensão: f i ( x1 , x2 ,..., x j + h,..., xn ) − f i ( x1 , x 2 ,..., xn ) ∂f i ( x1 ,..., xn ) = lim ∂x j h h→0 Utilizando um valor inicial pequeno para h, temos: f i ( x1 , x2 ,..., x j + h,..., xn ) − f i ( x1 , x2 ,..., xn ) ∂f i ≅ ∂x j h  f 1 ( x1 + h,...) − f 1 ( x1 ,..., x n )  h  f ( x h ,...) + − f 2 ( x1 ,..., x n )  2 1  h  J (X ) =   M    f ( x + h,...) − f ( x ,..., x ) n 1 n  n 1 h 

f 1 ( x1 , x 2 + h,...) − f 1 ( x1 ,..., x n ) h ....

....

f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n + h) − f 1 ( x1 ,..., x n ) h f 2 (..., x n + h) − f 2 h

f n (..., x n + h) − f n h

Custo Computacional = 2.n2 cálculos das funções originais, mas sem necessidade de se deduzir cada derivada parcial. É necessário estabelecer um h inicial que pode ser atualizado por ∆xi para cada variável i.

 x1 x 2 = 1 Exemplo 3: Resolva o sistema não linear  pelo método de Newton, x2  x1 − e = 0 utilizando uma aproximação numérica para a matriz Jacobiana, com 1 X 0 =   , h = 0,1 (incremento inicial) e erro ε <= 10-5 1  x10  1 f 1 ( x1 , x 2 ) = x1 x 2 − 1 0 Solução:  e X =  0 =   x2  x 2  1 f 2 ( x1 , x 2 ) = x1 − e 122

1a iteração: a11 a12  ∆x1  0  a a  * ∆x  = −1,718    21 22   2  Achando a11, a12, a21, a22 numericamente: ∂f1 f1 ( x10 + h, x20 ) − f1 ( x10 , x20 ) (1,1*1 − 1) − (1,0 *1 − 1) a11 = ≅ = =1 ∂x1 h 0,1

a12 =

∂f1 f1 ( x10 , x20 + h) − f1 ( x10 , x20 ) (1*1,1 − 1) − (1*1,0 − 1) ≅ ≅ =1 ∂x2 h 0,1

a21 =

∂f 2 f 2 ( x10 + h, x20 ) − f 2 ( x10 , x20 ) (1,1 − e1 ) − (1,0 − e1 ) ≅ = =1 ∂x1 h 0,1

∂f 2 f 2 ( x10 , x20 + h) − f 2 ( x10 , x20 ) (1 − e1,1 ) − (1 − e1,0 ) a22 = ≅ = = −2,859 ∂x2 h 0,1 Assim teremos:  x11 = 1,445 1   ∆x1  ∆x1 = +0,445 1 0  1 - 2,859  *  ∆x  = − 1,718  ⇒ ∆x = −0,445 ⇒  1  x2 = 0,555      2  2 2ª iteração:  x11  1,445  ∆x1  + 0,445 0 e h= = X =  1 =     x2  0,555 ∆x2  − 0,445 0,555 1 

0,151 ∆x1  0,198  ∆x1 = 0,348 = ⇒ ⇒ *    - 1,931  ∆x 2  0,287  ∆x 2 = 0,0316

 x12 = 1,793  2  x 2 = 0,587

Repetimos este processo iterativo até que na sexta iteração teremos: 6  x1 = 1,76322 α 1  ≅   6  x 2 = 0,56714 α 2 

123

Capítulo 5 - Teoria de Aproximações Aproximação Polinomial por Interpolação Geral, Spline e Bezier 5.0). Fundamentos: Sabe-se que a análise numérica trata do uso de modelos não aritméticos através de quantidades aritméticas. Nos próximos capítulos trataremos de um dos problemas centrais da Análise Numérica, que é o da aproximação de uma função y = f(x) através de outra z = g(x). Por que aproximar y = f(x)? Dois são os motivos básicos para a abordagem deste problema: o 1 ). A y = f(x) pode estar apresentada apenas na forma discreta, isto é, uma tabela do tipo que ocorre em experimentos e observações de maneira geral. x1 y1

xi yi = f(xi)

x2 y2

... ...

xn+1 yn+1

Ex.: Relação entre idade e produção média mensal de uma máquina (torno, robô,...). x (meses) y (103 peças/mês)

1 30

2 33

3 29

4 27

5 19

2o). A y = f(x) possui expressão conhecida, porém ineficiente ou impossível de ser utilizada. Ex.: (i). Construção de funções pré-definidas em bibliotecas de programas: - ex, sen(x), ... (ii). Computação Gráfica: - traçar o gráfico de y = e ln( x ) (iii). Sistemas dedicados:

[ (

- obter valores de y = sen ln ar coth( x)

)]

Neste exemplo, o tempo de U necessário para o cálculo da expressão acima é muito grande. Computacionalmente é mais interessante utilizar uma aproximação para se obter a resposta da expressão acima. (iv). Manipulação Algébrica de modelos matemáticos: - obter

∫

2

0

e − x dx 2

Quem pode ser a aproximadora z = g(x)? Em princípio a g(x) deve ser facilmente utilizável. Ela pode ser encontrada nas seguintes famílias: n +1

1 ). Polinomiais: g ( x) = ∑ ai x ( n +1) −i = Pn( x) o

i =1

Vantagens: - Só envolvem operações elementares; - Facilmente deriváveis, integráveis, etc,... - Formam um anel, ou seja, todas as transformações algébricas aplicadas resultam em 124

um outro polinômio.

Pn( x) Qm( x) Permite a representação de curvas do tipo

2o). Racionais: g( x) =

m

3o). Trigonométricas: g( x) = ∑ a i sen(ix) i =1

5.1). Aproximação Polinomial pela Técnica da Interpolação: Em virtude de suas características (simplicidade, continuidade, diferenciabilidade, etc,...) as funções polinomiais são as mais utilizadas como aproximadoras. Contudo, tais vantagens óbivias dos polinômios teriam pouca valia se não existisse prova teórica de que os mesmos podem realmente aproximar funções. Para tal prova teórica, vamos citar o teorema de WEIRSTRAUSS: “Seja y = f(x) contínua em [a,b], então ∀ ε > 0 sempre existe Pn(x) com n(ε) tal que |f(x) - Pn(x)| < ε, ∀ x ∈ [a,b]”. Para aproximar uma função y = f(x) contínua em [a,b] pode-se proceder como segue: 1o). Tome n+1 pontos (xi, yi = f(xi)), com i =1,2,...,n+1, desta função com xi ∈ [a,b]: xi yi = f(xi)

x1 y1

x2 y2

... ...

xn+1 yn+1

com x1 = a e xn+1 = b 2o). Tome um polinômio de grau n, n +1

Pn( x) = ∑ ai x ( n +1) −i = a1 x n + a2 x n −1 + L + an x + an +1 com coeficientes ai (i = 1,2,...,n+1 i =1

com número de coeficientes ncoef =n+1). Tal que o polinômio Pn(x) e por todos os pontos (xi, yi = f(xi)), ou seja, ⇒ i = 1,2,...,n+1 (número de pontos npont =n+1) Pn ( x i ) = y i 125

Daí,  Pn( x1 ) = a1 x1n + a2 x1n −1 + L + an x1 + an +1 = y1  n n −1  Pn( x2 ) = a1 x2 + a2 x2 + L + an x2 + an +1 = y2    Pn( x ) = a x n + a x n −1 + L + a x + a = y n +1 1 n +1 2 n +1 n n +1 n +1 n +1  Que gera um sistema de equações lineares com nsist=n+1 incógnitas ai e npont =n+1 equações:

 x1n x1n −1 L x1  n n −1 L x2  x2 x2 M M L M  n n −1  xn +1 xn +1 L xn +1

1 a1   y1      1  a2   y2  = M  M  M      1  an +1   yn +1 

(*)

ou

 x1n x1n −1 L x11 x10  a1   y1   n     n −1 L x12 x20  a2   y2   x2 x2 = M M L M M  M  M        xnn+1 xnn+−11 L x1n +1 xn0+1  an +1   yn +1 

(*)

cuja solução fornece os ncoef =n+1 coeficientes ai do polinômio que a por todos os pontos (xi, yi = f(xi)). Este polinômio é denominado de INTERPOLADOR da função y = f(x). Note-se que os elementos Uij da matriz dos coeficientes do sistema (*) U.a = y, têm lei de formação dada por: U ij = xi( n +1) − j Ex: Aproxime por interpolação y = ln(x), x ∈ [1,0;2,0] dividindo este intervalo em n=3 (três) partes iguais e estime ln(1,14). ⇒ h = (b − a ) / n = ( 2,0 − 1,00 ) / 2 = 0,5 Tabela:

i x y = ln(x)

Solução: n+1 = 3

1 1,0 0,0000

⇒ n=2

2 1,5 0,405465108108164 ⇒

2+1=3 2,0 0,693147180559945

P2 ( x) = a1x2 + a2 x + a3

Aplicando o sistema (*) temos,  (1,0) 2  2  (1,5) ( 2,0) 2 

(1,0)1 (1,5)1 ( 2,0)1

(1,0) 0  a1  0,0000000000 00000   (1,5) 0  a2  = 0,40546510 8108164  ( 2,0) 0  a3  0,69314718 0559945 

Resolvendo o sistema acima por um método direto, temos: a1 = -0,235566071312767 a2 = 1.399845394498246 126

a3 = -1.164279323185479

P2 ( x) = -0,235566071312767. x 2 + 1,39984539 4498246. x - 1,16427932 3185479 ≅ ln( x) P2 (1,14 ) = 0,12540276 0264449 ≅ ln(1,14 )

⇒ avaliação por Horner ou divisão sintética.

Valor Exato local: f(1,14)=ln(1,14) = 0,131028262406404 P2 (1,14 ) = 0,12540276 0264449 ≅ ln(1,14 )

⇒ Erro local=0,00562550214195459

ErroMax = 0,00600172444201380 127

Algoritmo Interpolador Polinomial (resolvendo um sistema de eqs. Lineares): %Cálculo do erro real de interpolação = |f(x) - Pn(x)| clear clc format long a = 1; b = 2; n = 2; h = (b-a)/n; x = a : h : b; y = log(x); tsis = n+1; for i = 1 : tsis for j = 1 : tsis A(i,j) = x(i)^((n+1)-j); end%for A(i,j) = 1.; A(i, tsis+1) = y(i); end%for A C = fgauss(tsis,A) % coeficientes do polinomio interpolador np = 100; hp = (b-a)/np; xp = a:hp:b; ye = log(xp); yintp = frestoPn(n,C,xp); erro = abs(ye -yintp); ErroMax=max(erro) x=[x 2.2];% ampliar a area de plotagem y=[y 0.8]; yintp1 = frestoPn(n,C,1.14) yex=log(1.14) %plot(x,y,"x;f(x) = ln(x);",xp,ye,"r;F(x)exata;", xp,yintp,"b;Pn(x) interpolador;") grid plot(xp,erro,"r;Erro = |f(x) - Pn(x)|;") --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------function y = frestoPn(n, a, x) Nx = length(x); for k=1:Nx b(1) = a(1); for i=2:n+1 b(i) = a(i) + x(k)*b(i-1); end %for y(k) = b(n+1); end %for end %function

Fazendo uma análise minuciosa da técnica de aproximação por interpolação polinomial, pelo menos três questões fundamentais devem ser consideradas: 1a). Será que o sistema (*) U.a = y sempre tem solução? Caso sempre exista solução, esta será única? 2a). Será possível melhorar a eficiência computacional (menor tempo de resposta e demanda de memória) para a obtenção do Pn(x) via (*)? 3a). Qual é o erro associado ao se tomar Pn(x) como aproximador de f(x), ∀ x ∈ [a,b] com x ≠ xi? 128

5.1.a). Unicidade do Interpolador: Vamos mostrar que existe um único interpolador de grau n para toda a tabela: xi yi = f(xi)

x1 y1

x2 y2

... ...

xn+1 yn+1

Considere que existe um polinômio interpolador Pn(x) de grau ‘n’ n +1

Pn( x) = ∑ ai x n +1− i = a1 x n + a2 x n −1 + L + an x + an +1

com n+1 coeficientes ai (i =

i =1

1,2,...,n+1) gerados a partir da solução do sistema de equações lineares abaixo, com n+1 incógnitas ai e n+1 equações:

 x1n x1n −1 L x1  n n −1 L x2  x2 x2 M M L M  n n −1  xn +1 xn +1 L xn +1

1 a1   y1      1  a2   y2  = M  M  M      1 an +1   yn +1 

(*)

Sabendo que o Determinante da matriz X (Matriz de Vandermonde) acima é dado por  x1n x1n −1 L x1 1  n  x2 x2n −1 L x2 1   Det ( X ) = Det  = ∏ (x i - x j ) M M L M M  i =1, n +1  j =1; n +1   xnn+1 xnn+−11 L xn +1 1  i ≠ j Det ( X ) = (x n +1 - x n ).(x n +1 - x n -1 )................(x n +1 - x1 ).

.(x n - x n −1 ).(x n - x n - 2 )...(x n - x1 ). .(x 3 - x 2 ).(x3 - x1 ). .(x 2 - x1 ). Percebe-se que o Determinante de X é não nulo, sempre que os pontos xi forem diferentes entre si, ou seja, (x i - x j ) será sempre diferente de zero para pontos xi não repetidos e desta forma a solução do sistema (*) terá solução única. Assim, o polinômio gerado será único para valores de xi não repetidos, independentemente do método utilizado para a sua determinação. 5.1.b). Determinação eficiente do interpolador Como consequência da unicidade do interpolador, pode-se tentar determiná-lo sem a geração de sistemas lineares. Para a função tabelada abaixo: xi x1 x2 ... xn+1 yi = f(xi) y1 y2 ... yn+1 propõe-se as seguintes alternativas: 1a). Reescrever o interpolador polinomial Pn(x) via polinômios de Lagrange: 129

Neste caso o interpolador Pn(x) de grau n é expresso na forma de Lagrange (combinação linear de polinômios de Lagrange): n +1

n +1

i =1

j =1 j ≠i

Pn( x) = ∑ yi ∏

Pn( x) = y1 + y2

(x − x ) (x − x ) j

i

j

( x − x2 )( x − x3 ) ... ( x − xn +1 ) + ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ... ( x1 − xn +1 ) ( x − x1 )( x − x3 ) ... ( x − xn +1 ) + ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ... ( x2 − xn +1 )

+ L + yn +1

( x − x1 )( x − x2 ) ... ( x − xn ) + ( xn +1 − x1 )( xn +1 − x2 ) ... ( xn +1 − xn )

 Pn ( x1 ) = y1  Pn ( x ) = y  2 2 Note que,  , portanto Pn(x) a sobre todos os pontos tabelados. M   Pn ( xn +1 ) = yn +1 Assim, como o interpolador Pn(x) de grau n a sobre todos os n+1 pontos, ele será o mesmo que o obtido anteriormente, e sem a necessidade de se resolver o sistema (*) U a = y. Esta é uma consequência da unicidade do interpolador polinomial. Ex.: Determine o interpolador de Lagrange da função: x 0 y = f(x) 2 Estime f(2)e f(5).

1 4

Solução: Temos n + 1 = 4 pontos

Pn ( x ) = y1

3 0

4 1

⇒

n=3

( x − x2 )( x − x3 ) . ( x − x4 ) + ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) . ( x1 − x4 )

+ y2

( x − x1 )( x − x3 ) . ( x − x4 ) + ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) . ( x2 − x4 )

+ y3

( x − x1 )( x − x2 ) . ( x − x4 ) + ( x3 − x1 )( x3 − x2 ) . ( x3 − x4 )

+ y4

( x − x1 )( x − x2 ) . ( x − x3 ) ( x4 − x1 )( x4 − x2 ) . ( x4 − x3 )

130

( x − 1)( x − 3)( x − 4) ( x − 0)( x − 3)( x − 4) +4 + ( 0 − 1)( 0 − 3)( 0 − 4) (1 − 0)(1 − 3)(1 − 4) ( x − 0)( x − 1)( x − 3) ( x − 0)( x − 1)( x − 3) +0 +1 (3 − 0)( 3 − 1)( 3 − 4) ( 4 − 0)( 4 − 1)(4 − 3) f(2) ≅ P3(2) = 2,167 f(5) ≅ P3(5) = 8,667 P3 ( x) = 2

Algoritmo do interpolador de Lagrange: %Interpolação polinomial de Lagrange a = 1; b = 2; n = 7; %7 determinado atraves do erro exato h = (b-a)/n; x = a : h : b; y = log(x); np = 100; %N. de pontos para plotar os resultados hp = (b-a)/np; xp = a:hp:b; yep = log(xp); for i = 1 : np+1 yip(i) = lagrange(xp(i), n, x, y); endfor plot(x,y,"x;f(x) = ln(x);",xp,yep,"r;F(x)exata;", xp,yip,"b;Pn(x) interpolador;")

function f = lagrange(xp, n, x, y) f = 0; for i=1:n+1 prod = 1; for j=1:n+1 if (j != i) prod=prod*(xp-x(j))/(x(i)-x(j));endif endfor f=f+ y(i)*prod; endfor endfunction 2a). Interpolador de Gregory-Newton com diferenças: Definição 1: Para a função tabelada i 1 2 xi x1 x2 yi = f(xi) y1 y2

... ... ...

n+1 xn+1 yn+1

defini-se Diferença Dividida (∆yi), no sentido ascendente, por:

∆1 yi =

yi +1 − yi xi +1 − xi

⇒

diferença de primeira ordem.

131

∆2 y i = ∆ ( ∆y i ) =

∆k yi =

∆y i +1 − ∆y i x i +2 − x i

∆k −1 yi +1 − ∆k −1 yi xi +k − xi

⇒

diferença de segunda ordem.

⇒

diferença de k-ésima ordem.

Ex.: Determine todas as diferenças divididas da função i 1 x 1 y = f(x) 2 aplicando a definição 1.

2 3 0

3 4 1

4 7 3

2 0

∆1 yi -1 1

∆2 yi 2/3 -1/12

∆3 yi -1/8 -

1 3

2/3 -

-

-

i

xi

yi

1 2

1 3

3 4

4 7

Definição 2: Para a função tabelada x1 x2 xi yi = f(xi) y1 y2

... ...

⇒

[(-1/12) - (2/3)] 1 =− (7 - 1) 8

xn+1 yn+1

o polinômio de grau n expresso na forma de Gregory-Newton pode ser definido como segue: n  k  Pn( x ) = y1 + ∑ ∆k y1 ∏ ( x − x j )  k =1  j =1 

Pn( x) = y1 + ∆y1 ( x − x1 ) + ∆2 y1 ( x − x1 )( x − x2 ) + ... + ∆n y1 ( x − x1 )...(x − xn ) Analisando os pontos tabelados temos que:  Pn( x1 ) = y1   Pn( x2 ) = y1 + ( y2 − y1 ) ( x2 − x1 ) = y2 ( x2 − x1 )    Pn( x3 ) = y3  M   Pn( xn +1 ) = yn +1  

(demais termos se anulam, pois (x - x 2 ) = 0, para x = x 2 )

Logo, Pn(x) é o único interpolador de grau n que a sobre todos os pontos tabelados. Ex.: Determine o interpolador para 132

x y = f(x)

1 2

3 0

4 1

7 3

Estime f(5) e f(7,5). Solução: Temos n+1 = 4 ⇒ n = 3

P3 ( x) = y1 + ∆y1 ( x − x1 ) + ∆2 y1 ( x − x1 )(x − x2 ) + ∆3 y1 ( x − x1 ).(x − x2 ).(x − x3 ) Usando as diferenças divididas obtidas no exemplo anterior, temos: P3 ( x ) = 2 + ( − 1)( x − 1) + ( 2 / 3)( x − 1)( x − 3) + ( − 1 / 8)( x − 1)( x − 3)( x − 4 )

f(5) ≅ P3(5) = 2,233 f(7,5) ≅ P3(7,5) = 2,203 Obs.: O armazenamento das diferenças divididas pode ser feito na forma de um vetor, haja vista que apenas as diferenças no ponto i = 0 são utilizadas na forma final, portanto não se deve utilizar uma matriz para este fim. Algoritmo de Gregory-Newton: %Interpolação polinomial de Gregory Newton a = 1; b = 2; n = 7; %7 determinado atraves do erro exato h = (b-a)/n; x = a : h : b; y = log(x); tsis = n+1; %diferencas divididas k = 1; %diferenças de 1ª ordem for i = 1:n difdiv(i,1)= (y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i)); end for k = 2:n %diferenças de kª ordem for i = 1:tsis-k difdiv(i,k) = (difdiv(i+1,k-1) - difdiv(i,k-1))/(x(i+k)-x(i)); end end %difdiv np = 100; hp = (b-a)/np; xp = a:hp:b; yep = log(xp); for i = 1 : np+1 yip(i) = gregnew(xp(i), n, x, y, difdiv); end plot(x,y,"x;f(x) = ln(x);",xp,yep,"r;F(x)exata;", xp,yip,"b;Pn(x) interpolador;")

function f = gregnew(xp, n, x, y, difdiv) f = y(1); for k=1:n prod = 1; for j = 1:k

133

prod = prod* (xp-x(j)); end f = f + difdiv(1, k)*prod; end end

Considerações: (i). As estimativas das diferenças divididas também podem ser efetuadas no sentido descendente:

∆k y i =

∆k −1 y i − ∆k −1 y i −1 x i − x i−k

conferir

permitindo a utilização do interpolador de Gregory-Newton na seguinte forma alternativa: n  k  Pn( x) = y1 + ∑ ∆k y1 ∏ ( x − x j ) k =1  j =1 

(ii). Devido às características das expressões algébricas, Gregory-Newton é mais eficiente quando temos que efetuar muitas estimativas em uma mesma tabela, pois o cálculo das diferenças divididas pode ser avaliado previamente e reutilizado quantas vezes forem necessárias. Já o método de Lagrange é mais eficiente quando temos que efetuar estimativas em várias tabelas com os mesmos valores da variável independente.

(iii). No método de Gregory-Newton é possível acrescentar um ponto qualquer (mesmo que a sequência de pontos fique desordenada) no final de uma tabela existente e avaliar o novo interpolador correspondente através de mais uma parcela de diferenças divididas. Por exemplo, se for necessário acrescentar o ponto (9;5) a tabela do exemplo anterior procede-se da seguinte forma: i 1 2 3 4 5

xi 1 3 4 7 9

yi 2 0 1 3 5

∆ -1 1 2/3 1 -

∆2 2/3 -1/12 1/15 -

∆3 -1/8 1/40 -

∆4 3/160 -

E assim, acrescenta-se apenas o termo ∆4 y1 ( x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) ao interpolador existente:

P3 ( x) = 2 + ( −1)( x − 1) + (2 / 3)( x − 1)( x − 3) + ( −1 / 8)( x − 1)( x − 3)( x − 4) + + (3 / 160)(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 7) (iv). No método de Lagrange também é possível acrescentar um ponto qualquer a uma tabela existente, mas é necessário utilizar o método de Neville que se utiliza de relações de recorrência para avaliar o novo interpolador; 134

(v). Para tabelas (xi,yi) (i = 1,2,...,n+1) com xi+1 > xi e espaçamentos iguais (xi+1 - xi = h), os k cálculos das diferenças divididas ∆ y i podem ser simplificados. Para tanto, definem-se as k chamadas diferenças finitas ∆ y i , no caso ascendentes, por:

∆y i = y i +1 − y i

⇒

diferença de primeira ordem.

∆k y i = ∆k −1 y i +1 − ∆k −1 y i

⇒

diferença de k-ésima ordem.

cuja relação com as diferenças divididas é a seguinte:

∆k y i ∆ yi = k h k! k

gerando a seguinte fórmula simplificada:

 ∆k y1  k Pn( x) = y1 + ∑ k ∏ ( x − x j ) k =1 h k!  j =1  n

(vi). Nas estimativas de valores na tabela (xi,yi) (i=0,1,2,...,n) quando se quer avaliar f(β) com: β ∈ ( x 0 , x n ) tem-se uma interpolação β ∉ ( x 0 , x n ) tem-se uma extrapolação caso se queira obter o valor de β correspondente ao valor γ da função tabelada f (β ) = γ

⇒

β=?

procede-se uma interpolação inversa. Ex.: Determinar quando (t = ?) o consumo atingirá o limite de 15 KW na tabela abaixo: t(ano) Consumo(KW)

85 5

89 5,7

93 6,2

95 6,7

96 7

...

? 15

Se ∀ xi ∃ yi distinto é só inverter a função. (vii). O processo de interpolação polinomial também pode ser estendido a funções com várias variáveis independentes, como veremos mais adiante. 5.1.c). Avaliação do erro na interpolação polinomial Quando se aproxima uma função y = f(x) por um interpolador polinomial Pn(x) com x ∈ [x1,xn+1], comete-se erros de truncamento dado por:

E( x ) = f ( x ) − Pn( x) , ∀ x ∈ [ x1 , xn +1 ] e x ≠ x i .

135

A delimitação do erro de truncamento E ( x ) , para qualquer x ∈ [ x1 , xn + 1] , indicará o grau de confiança dos resultados fornecidos por Pn( x ) ≅ f ( x) . Teorema: Se Pn(x) é o interpolador de xi yi = f(xi)

x1 y1

x2 y2

... ...

xn+1 yn+1

com f(x) continuamente diferenciável em [x1,xn+1], então ∀ x ∈ [ x1 , xn +1 ] , ∃ ξ ∈ [x0 , xn ] / n +1

E( x ) = f ( x ) − Pn( x) =

f n +1 (ξ )∏ ( x − xi ) i =1

(n + 1)!

.

Note-se que a operacionalização do teorema acima é muito difícil pois: n+1 (i). Pode ser muito dificil obter f (ξ) (derivada n+1-ésima de f(x));

(ii). É impossível saber quem é exatamente o valor de ξ ; (iii). Para cada valor x a ser estimado tem-se que reavaliar o E ( x ) . Tal teorema tem grande valia teórica, uma vez que: Corolário 1 - "Sob as hipóteses do teorema anterior, se M = max f n +1 ( x) então x ∈[ x 0 , x n ]

E(x) ≤

n +1

M ∏ ( x − xi ) ". ( n + 1)! i =1

Trata-se da majorante do erro, que é o limite superior do mesmo. Ex.: Delimite o erro de truncamento cometido ao se aproximar f(x) = ln(x) por um interpolador polinomial em x = 0,65, considerando x ∈ [ 0, 4;0,7 ] e com n=3 subdivisões. 136

Solução: Para n = 3 , então h=(0,7-0,4)/3=0,1 i

1 2 xi 0,4 0,5 yi= f(xi) -0,916290732 -0,693147181

3 0,6 -0,510825624

4 0,7 -0,356674944

Aplicando o corolário 1 vem:

f (x) = ln(x) ⇒ f ′(x) = 1/ x ⇒ f ′′(x) = - 1/ x 2 ⇒ f ′′′(x) = 2 / x 3 ⇒ f iv (x) = - 6 / x 4 iv Como f (x) é uma função decrescente em [0,4;0,7], o valor de M é obtido em x = 0,4

M = max f iv ( x) = f iv (0,4) = 234 ,375 x ∈[ 0.4 ;0.8 ]

Então, E (0,65) ≤

234,375 (3 + 1)!

E (0,65) ≤=

3

∏ (0,65 − x ) = i

i =0

234,375 (0,65 − x0 )(0,65 − x1 )(0,65 − x2 )(0,65 − x3 ) (3 + 1)!

234,375 (0,65 − 0,4)(0,65 − 0,5)(0,65 − 0,6)(0,65 − 0,7) = 9,15 . 10−4 (3 + 1)!

Comparando com o valor exato de ln(x) tem-se: f(x=0,65)=ln(0,65) = -0.430782916 P3(x=0,65) = -0.431019619 por Lagrange. Erro exato E ( x) = f ( x) − Pn( x) é 2,36703.10-4. Portanto, o erro exato 2,36703.10-4 é menor que o erro de truncamento máximo E (0,65) ≤ 9,15 . 10−4 . Corolário 2 - "Se na tabela ocorrer xi+1 > xi (pontos ordenados) e xi+1 - xi = h (igualmente M h n+1 espaçados ∀i), então E ( x ) ≤ com M = max f n +1 ( x) ". x ∈[ x 0 , x n ] ( n + 1) Ex.: Obtenha o erro de truncamento máximo cometido ao se aproximar f(x) = ex com x ∈[2; 2,4] via Pn(x) com os xi ordenados e igualmente espaçados em n=4 intervalos. Avalie o erro exato em x=2,33. Solução: n=4

⇒ h=

2 ,4 − 2 = 0,1 4

Temos f(x) = ex ⇒ f'(x) = ex

⇒ f''(x) = ex ⇒ ... ⇒ f(v)(x) = ex 137

M = max f ( v ) ( x) = f ( v ) (2,4) = e2,4 x ∈[ 2 ; 2 , 4 ]

Então, E ( x ) ≤

e 2 ,4 ( 0,1) 5 5

= 0,000022

Verificação: P4(2,33) = 10,2779587404 e2,33 = 10,2779411764 Erro(real) = |10,2779587404 - 10,2779411764| = 0,000017564 < 0,000022 Ex.: Delimitar o erro máximo cometido ao se aproximar y = ln(x), x ∈[2;2.15], através do interpolador P3(x), dividindo o intervalo [2;2.15] em 3 partes iguais. Solução: n=3

⇒ h=

2,15 − 2 = 0,05 3

Temos f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = x-1 ⇒ f''(x) = -1.x-2 ⇒ ... ⇒ f(4)(x) = 3! x-4 (f(n+1)(x) = n! x)

(n+1)

M = max f x∈[ 2 ; 2 ,15]

Então, E ( x ) ≤

(4)

( x) = 3! 2-4 = 0,375

0,375.(0,05) 4 = 5,859.10-7 4

Ex.: Delimitar o erro máximo cometido ao se aproximar y = ln(x), x ∈[1,2], através do interpolador P20(x), dividindo [1,2] em 20 partes iguais. Solução: n = 20

⇒ h=

2 −1 = 0,05 20

Temos f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = x-1 ⇒ f''(x) = -1.x-2 ⇒ ... ⇒ f(21)(x) = 20! x-21

M = max f ( 21) ( x) = 20! (1)-21 = 20! x ∈[ 1, 2 ]

20! (0,05) 21 Então, E ( x ) ≤ = 5,5 . 10-11 21 Ex.: Calcular o grau 'n' mínimo do interpolador polinomial Pn(x) necessário para que o Erro máximo entre f(x) e o interpolador Pn(x) seja menor que 1.10-6, ao se aproximar f(x)=ln(x) através de Pn(x), em x∈[1;2], dividindo o intervalo [1,2] em n partes iguais.

Solução: Nesse caso, pode-se estabelecer valores de 'n' (INTEIROS) para calcular o valor do Erro máximo de truncamento, facilitando a obtenção das derivadas f(n+1)(x), pois os 'n' são números inteiros: 1a. tentativa: n=3 138

⇒ h=

n=3

2 −1 = 0,333333333 ... 3


(n+1)

M = max f ( 4 ) ( x) = 3! 1-4 = 6 x∈[1, 2 ]

6.(0,33333333) 4 = 1,8519.10-2 precisamos aumentar o 'n', vamos tentar n=6 4 2a. tentativa: n=6

Então, E ( x) ≤

⇒ h=

n=6

2 −1 = 0,16666666 ... 6

Temos f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = x-1 ⇒ f''(x) = -1.x-2 ⇒ ... ⇒ f(7)(x) = 6! x-7 (f(n+1)(x) = n! x(n+1) )

M = max f

(7)

x∈[1, 2 ]

( x) = 6! 1-7 = 720

720.(0,1666667) 7 Então, E ( x ) ≤ 7

3a. tentativa: n=8 n=8

⇒ h=

= 3,6743.10-4 precisamos aumentar o 'n', vamos tentar n=8

2 −1 = 0,125 8


(n+1)

M = max f (9) ( x) = 8! 1-9 = 40320 x∈[1, 2 ]

40320.(0,125) 9 9 6a. tentativa: n=10

Então, E ( x ) ≤

⇒ h=

n = 10


2 −1 = 0,1 10

Temos f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = x-1 ⇒ f''(x) = -1.x-2 ... ⇒ f(11)(x) = 10! x-11 (f(n+1)(x) = n! x)

(n+1)

M = max f

(11)

x∈[1, 2 ]

Então, E ( x ) ≤

( x ) = 10! 1-11 = 3.628.800 3628800.(0,1)11 11


7a. tentativa: n=11 139

n = 11

⇒ h=

2 −1 = 0,09090909 ... 11

Temos f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = x-1 ⇒ f''(x) = -1.x-2 ... ⇒ f(12)(x) = 11! x-12 (f(n+1)(x) = n! x)

(n+1)

M = max f (12) ( x) = 11! 1-12 = 29.916.800 x∈[1, 2 ]

29916800 .(0,0909090909 )12 = 1,0599.10-6 que é da ordem de 1.10-6. 12 Logo, usaremos grau n=11 para calcular o polinômio interpolador Pn(x) representativo de f(x)=ln(x) em x∈[1;2] com erro máximo de truncamento pode ser da ordem de 1.10-6, mas os erros exatos devem ficar abaixo de 1.10-6.

Então, E ( x ) ≤

Sobre Ordem de grandeza de um número em Ponto Flutuante, temos que considerar se o número multiplicador ‘x’ da potência de 10n está entre 100 e 101/2 ou entre 101/2 e 101, ou seja, se está entre 1 e 3,1622..., ou entre 3,1622... e 10. Se o multiplicador ‘x’ está abaixo de 3.1622 o número é de ordem 10n e se estiver acima, terá ordem 10n+1. http://www.matematicamuitofacil.com/notacaocientifica.html Exercícios: Repita o exemplo anterior para f(x) = x3+2; f(x) = sen(x); f(x) = x.ln(x) ; f(x) = 1/(1+x) com x ∈ [1,2] e calcule o n mínimo necessário para que o Erro Máximo em cada função seja menor que 1.10-6.

5.3 - Aproximação por Interpolação SLINE Splines são réguas flexíveis, de madeira ou plástico, que podem ser curvadas de forma a ar por um dado conjunto de pontos (xi,fi) chamados nós. Foram muito utilizadas em desenhos de engenharia, nos tempos em que não se tinha recursos gráficos disponíveis para computadores. Apesar de ser usada desde o século ado, só no fim da década de 60 foi desenvolvida a formulação matemática deste problema. Tal formalização possibilitou o desenvolvimento de vários sistemas computadorizados que utilizam aproximações gráficas de funções como CAD/CAM e TURBO GRAFIX.

140

Figura: Spline Física e pesos (ducks) que são fixados nas áreas de interesse causando a deformação da estrutura de madeira ou plástico resultando assim na curva. Uma das maiores dificuldades encontradas ao se trabalhar com a interpolação polinomial convencional (Lagrange, Gregory-Newton, Gregory Newton, etc.) ocorre quando se toma um polinômio interpolante de grau pequeno, cometendo-se cometendo se elevados erros de truncamento, enquanto que tomando-se se polinômio interpolador de grau elevado, os gráficos tendem a ser altamente sinuosos nuosos (vide figura abaixo). Em certas aplicações em que a função interpolante precisa ser diferenciada, é importante obter uma aproximação tão suave quanto possível. Uma possibilidade é através de splines cúbicos, que permite interpolar com muita suavidade, suavidad como no desenho abaixo:

Ex.: Desenho com splines cúbicas. Uma técnica de aproximação possível consiste em se dividir o intervalo de interesse em vários subintervalos e interpolar separadamente, da forma mais suave possível, em cada subintervalo com polinômios de grau pequeno. 141

Definição 1: Interpolação Spline é uma técnica de aproximação que consiste em se dividir [a,b] de interesse e interpolar separadamente em cada intervalo com as funções mais suaves possíveis. Definição 2: Sejam a = x0 < x1 <... < xm = b , com ‘m’ subdivisões do intervalo [a,b]. Uma função spline de grau k com ‘nós’ nos pontos (xi ,yi) com (i = 0,m) é uma função pk(x) com as seguintes propriedades: a) em cada subintervalo [xi,xi+1] (i=0,m-1), pk(x) é um polinômio de grau k. b) pk(x) é contínuo em [a,b] e tem derivada contínua em [a,b] até ordem k. A spline interpolante é a função pk(x) tal que pk(xi)=f(xi)=yi (i=0,m).

p1

pm-1 pi

po y1

xo=a

x1

x2

...

xi

xi+1 ... xm-1 xm=b

5.3.1 - Spline Linear A função interpolante spline linear de f(x) nos ‘nós’ x0, x1, ..., xm pode ser escrita, em cada um dos ‘m’ subintervalos [xi, xi+1] com (i=0,m-1), segundo o interpolador de Lagrange local, como

s1i ( x) = f ( x i )

( x − x i +1 ) (x − x i ) , + f ( x i +1 ) ( x i − x i +1 ) ( x i +1 − x i )

∀ x ∈[ x i , x i +1 ]

Exemplo. Achar a spline linear em i x y

0 1 1

1 2 2

2 5 3

3 7 2,5

Calculando s1i, temos: ( x − x1 ) (x − x 0 ) ( x − 2) ( x − 1) s10 ( x) = f ( x 0 ) + f ( x1 ) =1 +2 = − x + 2 + 2 x − 2 = x, x ∈[1,2] ( x 0 − x1 ) ( x1 − x 0 ) (1 − 2) (2 − 1)

( x − 5) ( x − 2) 1 +3 = ( x + 4), (2 − 5) (5 − 2) 3 ( x − 7) ( x − 5) 1 s12 ( x) = 3 + 2,5 = (− x + 17), (5 − 7) (7 − 5) 4

s11 ( x) = 2

x ∈ [2,5] x ∈[5,7]

142

Para obter f(3) utiliza-se a spline válida no intervalo x ∈[2,5] , portanto calcula-se s12(3) = 1/3(3+4) = 7/3. Por conveniência teórica e prática, e por questões de otimização, são utilizados interpoladores polinomiais cúbicos spi(x), com grau igual a 3 (três) fixo (Splines cúbicas). Esta técnica, e suas variantes, constituem um dos fundamentos da computação gráfica (CAD,...). 5.3.2 - Aproximação por Splines cúbicas Para aproximar y = f(x) , x ∈ [a,b] por splines cúbicas procede-se da seguinte maneira: 1o). Dividir [a,b] em ‘m’ subintervalos [xi,xi+1], tal que xi+1 > xi e xi+1 - xi = hi; 2o). Obter um polinômio spi(x), de grau 3, para cada um dos ‘m’ subintervalos [xi,xi+1],

spi ( x) = ai ( x − xi ) 3 + bi ( x − xi ) 2 + ci ( x − xi ) + d i

⇒ i = 0,1,2,...m-1

(1)

satisfazendo as seguintes condições: 2a). spi(xi) = yi , para todo i = 0,1,2,...,m-1 e spm-1(xm) = ym (spi(xi) a sobre (xi,yi)) 2b). sp i −1 ( x i ) = sp i ( x i ) = y i para todo i = 1,2,...,m-1 ⇒ Condição de Continuidade Note que cada polinômio spi(x), relativo ao intervalo [xi,xi+1], deve ar pelos seus dois pontos extremos (xi,yi) e (xi+1,yi+1). 2c). sp ′i−1 ( x i ) = sp ′i ( x i )

para todo i = 1,2,...,m-1 ⇒ Condição de Suavidade

Ou seja, em cada ponto xi, a INCLINAÇÃO dos dois polinômios que nele incidem devem ser iguais. 2d). sp ′i −1′ ( x i ) = sp ′′ i (x i )

para todo i = 1,2,...,m-1 ⇒ Velocidade de encurvamento

Em cada ponto, a velocidade de encurvamento (CURVATURA) dos dois polinômios que nele incidem devem ser iguais. Obs.: Num spline mecânico estas propriedades correspondem a: - o spline deve ar através dos ‘nós’. - o spline não quebra ou não forma ângulos agudos. - a teoria das barras flexíveis diz que, entre os ‘nós’, o spline cúbico se aproxima a um polinômio cúbico. - o spline assume a forma que minimiza a energia potencial. 3o). Para estimar f(u) com u ∈ [a;b]: - localizar o intervalo em que u está ⇒ Se u ∈ [xi,xi+1] então - f(u) ≅ spi(u)

143

Tomando spi(x) para cada subintervalo [xi, xi+1] com i = 0,1,2,...,m-1, através da eq.(1), e aplicando as condições estabelecidas nos itens 2a, 2b, 2c e 2d resulta que: Aplicando a condição 2a) e 2b) na eq. (1) tem-se: (i).

sp i ( x i ) = d i = y i

(2)

sp i (x i+1 ) = a i h + bi h + c i h i + d i = y i +1 3 i

2 i

(3)

Avaliando a primeira e segunda derivadas de spi(x), tem-se:

sp′i (x) = 3a i (x − x i ) 2 + 2b i (x − x i ) + c i

(4)

sp ′i ′( x ) = 6a i ( x − x i ) + 2 b i

(5)

Na eq. (5) considera-se que: e S i = sp ′′ i (x i ) S i + 1 = sp ′i +′1 ( x i + 1 ) = sp ′i ′( x i + 1 ) Aplicando a condição 2d) tem-se: (ii).

sp ′i ′( x i ) = 2 b i = S i

⇒ bi = Si / 2

sp ′′ i ( x i + 1 ) = 6a i h i + 2 b i = S i + 1

Substituindo a eq. (6) na eq. (7) tem-se (S i +1 − S i ) ⇒ ai = 6h i

(6) (7)

(8)

Substituindo as eqs. (8), (6) e (2) em (3) tem-se que

144

y i +1 =

(S i +1 − S i ) h i3 S i h 2i + + c i h i + y i então 6h i 2

y i +1 − y i Si +1 h i + 2Si h i − hi 6 Agrupando tem-se: ci =

a i b  i  c i d i

(9)

= (S i +1 − S i ) / 6h i = Si / 2

(10)

= ( y i +1 − y i ) / h i − (S i +1 h i + 2S i h i ) / 6 = yi

Assim, tem-se os coeficientes das splines cúbicas em função dos valores de Si e Si+1. Para obter estes valores, utiliza-se a condição 2c, sp ′i ( x i ) = sp i′−1 ( x i ) sp ′i ( x i ) = c i

⇒

e

sp′i −1 (xi ) = 3a i−1h 2i−1 + 2bi−1hi−1 + ci−1 c i = 3a i−1 h 2i −1 + 2b i −1 h i−1 + c i−1

(11)

Substituindo as expressões da eq. (10) na eq. (11), tem-se h i −1S i −1 + ( 2 h i −1 + 2 h i )S i + h i S i +1 = 6[( y i +1 − y i ) / h i − ( y i − y i −1 ) / h i −1 ]

(12)

para i = 1,2,3,...,m-1 (‘m-1’ equações) De forma explícita tem-se:

  h1 h0 2( h0 + h1 )      h1 2( h1 + h2 ) h2               hm− 2 2(hm− 2 + hm−1 ) hm−1  

S 0      S1   y 2 − y 1 y 1 − y 0  −     h1 h0     S 2   y 3 − y 2 y 2 − y 1  −     h2 h1     M  = 6  .     M    .        y m − y m −1 − y m −1 − y m − 2  S m−1   h m−1  h m− 2     S m 

Como tem-se m+1 pontos com m+1 incógnitas Si, e da eq.(12) tem-se apenas m-1 equações (i=1,2,3,...,m-1), então este é um sistema linear com m-1 equações a m+1 incógnitas. Para que se tenha solução única é necessário impor mais duas condições especiais, 145

de preferência, nos pontos extremos de [a,b] envolvendo S0 e Sm. Dependendo de tais condições pode-se ter vários tipos de Splines: 1) Supor que as splines cúbicas se aproximam de forma linear nos extremos, em x0=a e xm=b, isto é, S0 = Sm = 0 ⇒ spline natural            

2( h0 + h1 )

h1

h1

2( h1 + h2 )

           

h2

hm−2 2(hm−2 + hm−1)

S1   y 2 − y 1 y 1 − y 0  −     h1 h0      S2   y 3 − y 2 − y 2 − y 1     h2 h1   =   M  6 .      M   .        y m − y m −1 − y m −1 − y m − 2   S m −1   h m−1 h m− 2

2) Supor que as splines aproximam-se de forma quadrática nos extremos, isto é, S0 = S1 e Sm=Sm-1.            

(3h0 + 2h1 )

h1

h1

2( h1 + h2 )

h2

hm−2 (2hm−2 + 3hm−1 )

           

S1   y 2 − y 1 y 1 − y 0  −     h1 h0      S2   y 3 − y 2 − y 2 − y 1     h2 h1   =    6 M .      M   .   y − y  y m −1 − y m − 2  m −1   m  −  S m −1   h m−1 h m− 2

3) Assumir um valor para os extremos S0 = u e Sm = v.            

2( h0 + h1 )

h1

h1

2( h1 + h2 )

h2

hm−2 2(hm−2 + hm−1 )

           

S1      S2     =  M   M      S m −1 

146

y − y1 y1 − y 0   − h0u + 2 −   h1 h0   y 3 − y 2 y 2 − y1   −   h2 h1   6  .     .    − h v + y m − y m −1 − y m −1 − y m − 2   m −1  h m −1 h m− 2

Se for assumido um valor para os extremos a partir da extrapolação linear dos valores internos tem-se duas equações adicionais para S0 e para Sm.

S1 − S0 S2 − S1 = h0 h1

S m − S m−1 S m−1 − S m− 2 = h m−1 h m− 2

e

Que geram equações adicionais que podem ser adicionadas ao sistema dado pela eq. (12),

( h 0 + h1 )S1 − h 0S 2 ( h m− 2 + h m−1 )S m−1 − h m−1S m−2 e Sm = h1 h m− 2 Note-se que o sistema linear resultante (com qualquer das condições apresentadas) é um sistema tridiagonal, que após resolvido fornece S1, S2, S3,...,Sm-1, juntamente com a respectiva condição de extremos S0 e Sm. Substituindo os valores de Si nas eqs. (10) fornecem os coeficientes ai, bi, ci, di das splines cúbicas de f(x) em [a,b]. S0 =

Exemplo1. Aproximar a função tabelada abaixo por splines cúbicas, em [0,4] com h = 1, e estime f(2,5). x y

0 -3

1 -2

2 5

3 24

4 61

Solução: Então hi = 1 e m = 4 intervalos. a). Com Splines de extremos naturais (forma linear nos extremos): 2( h 0 + h 1 )  h1 0   h1 h2 2( h 1 + h 2 )    0 h2 2( h 2 + h 3 ) 

S 1   [( y 2 − y 1 ) / h 1 − ( y 1 − y 0 ) / h 0      S 2  = 6 [( y 3 − y 2 ) / h 2 − ( y 2 − y 1 ) / h 1  S 3  [( y 4 − y 3 ) / h 3 − ( y 3 − y 2 ) / h 2 

Calculando os valores, obtém-se o sistema 4 1 0  S1   36        1 4 1 S 2  =  72  Sendo a solução S= {S1, S2,S3} = { 6,42857; 10,2857; 24,4285} 0 1 4  S 3  108 Assim, para i = 0: com S0 = S4 = 0. 147

a 0 = (S 1 − S 0 ) / 6h 0 = 1,0714 b = S / 2 = 0  0 0  c 0 = ( y 1 − y 0 ) / h 0 − (S1 + 2S 0 ) / 6h 0 = −0,0714 d 0 = y 0 = −3

sp 0 ( x) = 1,0714( x − 0) + 0 − 0,0714( x − 0) − 3 para x∈[0,1] 3

As demais splines são as seguintes:

sp 1 ( x) = 0( x − 1) + 0( x − 1) 2 − 0, ( x − 0) − 2 para x∈[1,2] 3

sp 2 ( x) = 2,3571( x − 2) + 51428 , ( x − 2) 2 − 11,5( x − 2) + 5 para x∈[2,3] 3

sp 3 ( x) = 0( x − 1) + 0( x − 1) 2 − 0, ( x − 0) − 2 para x∈[3,4] 3

Uma aproximação de f(2,5) pode ser obtida de sp2 (2,5) = 12,33037. b). Com Splines de extremos quadráticos: (3h 0 + 2 h 1 )  h1 0   h1 2( h 1 + h 2 ) h2    0 h2 (2 h 2 + 3h 3 ) 

S 1   [( y 2 − y 1 ) / h 1 − ( y 1 − y 0 ) / h 0      S 2  = 6 [( y 3 − y 2 ) / h 2 − ( y 2 − y 1 ) / h 1  S 3  [( y 4 − y 3 ) / h 3 − ( y 3 − y 2 ) / h 2 

Calculando os valores, obtém-se o sistema  5 1 0  S 1   36        1 4 1 S 2  =  72  Sendo a solução S = {S1, S2,S3} = { 24,8; 12; 19,2} 0 1 5 S 3  108 com S0 = S1 = 24,8 e com Sm = Sm-1 = 19,2. Assim,

sp 0 ( x) = 2,4( x − 0) − 1,4( x − 0) − 3 para x∈[0,1] 3

sp 1 ( x) = 0( x − 1) + 0( x − 1) 2 − 0, ( x − 0) − 2 para x∈[1,2] 3

sp 2 ( x) = 1,2( x − 2) + 6( x − 2) 2 + 11,8( x − 2) + 5 para x∈[2,3] 3

sp 3 ( x) = 0( x − 1) + 0( x − 1) 2 − 0, ( x − 0) − 2 para x∈[3,4] 3

Aproximação de f(2,5) pode ser obtida por sp2 (2,5) = 12,55. Para efeito de comparação tem-se que f(x) tabelada corresponde a f(x) = x3-3, e cujo valor exato de f(2,5) = 12,625. Portanto com spline de extremos quadráticos tem-se um resultado mais realístico. Algoritmo Splines cúbicas: % Represente a funçao sen(x) com x entre -π 7 π , de forma continua e suave % Neste caso usaremos a interpolação por splines cúbicas, que representam relações entre % variáveis, que NÃO são funçoes. a=-pi %valor inicial do intervalo

148

b=+pi %valor final do intervalo m=16 %numero de subdivisões do intervalo [a ; b] para m+1 pontos tx=a:(b-a)/m:b; %variavel auxiliar x=tx y=f1(tx) % valores exatos da função f2 = sen(tx) para os m+1 pontos tabelados for i=1:m h(i)=x(i+1)-x(i); end h %teremos 'm' splines cúbicas, uma para cada intervalo, formando um sistema tridiagonal de 'm-1' equacoes para S (derivadas de segunda ordem) t(2)=0; r(2)=3*h(1)+2*h(2); d(2)=h(2); b(2)=6*((y(3)-y(2))/h(2)-(y(2)-y(1))/h(1)); %para S1 for i=3:m-1 t(i)=h(i-1); r(i)=2*(h(i-1)+h(i)); d(i)=h(i); b(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1)); %para Si endfor t(m)=h(m-1); r(m)=(2*h(m-1)+3*h(m)); d(m)=0; b(m)=6*((y(m+1)-y(m))/h(m)-(y(m)-y(m-1))/h(m-1)); %para Sm t r d b for i=3:m aux=t(i)/r(i-1);t(i)=0; r(i)=r(i)-aux*d(i-1); b(i)=b(i)-aux*b(i-1); end S(m)=b(m)/r(m); for i=m-1:-1:2 S(i)=(b(i)-d(i)*S(i+1))/r(i); end % Splines quadráticas NAS PONTAS da figura S1=S2 e Sm+1=Sm % Calcula-se cada conjunto de coeficientes a, b, c, d dos polinimois de 3o. grau S(1)=S(2); S(m+1)=S(m); S for i=1:m a(i)=(S(i+1)-S(i))/(6*h(i)); b(i)= S(i)/2; c(i)=(y(i+1)-y(i))/h(i)-(S(i+1)+2*S(i))*h(i)/6; d(i)= y(i); end np=4; %4 sub-divisões para cada sub-intervalo entre xi e xi+1 xpp=[];ypp=[]; for i=1:m xp=x(i):(x(i+1)-x(i))/np:x(i+1); for k=1:np+1 yp(k)=a(i)*(xp(k)-x(i))*(xp(k)-x(i))*(xp(k)-x(i))+b(i)*(xp(k)-x(i))*(xp(k)-x(i))+c(i)*(xp(k)-x(i))+d(i); end xpp=[xpp xp];ypp=[ypp yp]; end xpp ypp plot(x,y,'*',xpp,ypp,'k') function f=f1(x) f=sin(x); endfunction

149

Exemplo: função sen(x).

Algoritmo para tratamento do Fenômeno de Runge Em matemática,, em particular no campo específico da análise numérica, o fenômeno fenôme de Runge é um problema de oscilação nas bordas de um intervalo, que ocorre quando se usa interpolação polinomial com polinômios de ordem elevada. Foi F descoberto por Carl Runge quando investigava erros na interpolação polinomial para aproximar certas funções, como f(x)=1/(25*x2+1):

A curva vermelha é a Função EXATA de Runge. A curva cu azul é uma interpolação polinomial de 5ª ordem (usando seis pontos de interpolação igualmente espaçados). A curva verde é uma interpolação polinomial de 9ª ordem (usando dez pontos de interpolação igualmente espaçados). A oscilação pode ser minimizada usando-se os nós de Chebyshev em vez de nós eqüidistantes para ancorar o polinômio interpolador. Neste caso, caso, o erro máximo diminui quando a ordem do polinômio aumenta.

% Neste exemplo usaremos a interpolação: %1.Polinomial com m pontos equidistantes; %2. Polinomial com mk pontos definidos pelas raízes do polinomio de grau mk=nk+1 de Chebyshev; %3. por splines cubicas, que representam relaçoes entre variaveis. clear a=-1 1 %valor inicial do intervalo (NÃO PODE GERAR DERIVADA NULA) b=+1 %valor final do intervalo n=8 %numero de subdivicoes do intervalo [a ; b] para m+1 pontos m=n+1;

150

%1.Polinomial com pontos equidistantes; x=a:((b-a)/n):b %variavel auxiliar y=1./(1.+25.*x.*x) % valores exatos da função f(x) para os m+1 pontos tabelados % Cálculo por interpolação polinomial for i=1:m a1(i,1)=1; for j=2:m a1(i,j)=a1(i,j-1)*x(i); endfor a1(i,m+1)=y(i); endfor a1 coef=fgauss(m,a1) np=20*n % numero de subdivicoes para serem plotados xp= a:((b-a)/np):b; % (np+1) pontos x a serem plotados for i=1:np+1 yp(i)=Pn(n,coef,xp(i)); % (np+1) pontos y a serem plotados ye(i)=1/(1+25*xp(i)*xp(i)); endfor

%2. Polinomial com m pontos definidos pelas raízes do polinomio de grau m=n+1 de Chebyshev; nk=16;mk=nk+1; % 17 nós de Chebychev, polinomio de grau nk=16 for i=1:mk tk(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*mk)); yaux(i)=1/(1+25*tk(i)*tk(i)); endfor yk=1./(1.+25.*tk.*tk) % valores exatos da função f(t) para m ponto % Cálculo por interpolação polinomial for i=1:mk a1(i,1)=1; for j=2:mk a1(i,j)=a1(i,j-1)*tk(i); endfor a1(i,mk+1)=yk(i); endfor a1 coef=fgauss(mk,a1) for i=1:np+1 ypk(i)=Pn(nk,coef,xp(i)); % (np+1) pontos y a serem plotados endfor

%3. Cálculo por n Splines for i=1:n h(i)=x(i+1)-x(i); end h %teremos 'n' splines cubicas, uma para cada intervalo, formando um sistema tridiagonal de 'm-1' equacoes para S (derivadas de segunda ordem) t(2)=0; r(2)=3*h(1)+2*h(2); d(2)=h(2);b(2)=6*((y(3)-y(2))/h(2)-(y(2)-y(1))/h(1)); %para S1 for i=3:n-1 t(i)=h(i-1);r(i)=2*(h(i-1)+h(i)); d(i)=h(i);b(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1)); %para Si endfor t(n)=h(n-1); r(n)=(2*h(n-1)+3*h(n));d(n)=0; b(n)=6*((y(n+1)-y(n))/h(n)-(y(n)-y(n-1))/h(n-1)); %para Sm t r d b for i=3:n aux=t(i)/r(i-1);t(i)=0; r(i)=r(i)-aux*d(i-1); b(i)=b(i)-aux*b(i-1); end S(n)=b(n)/r(n); for i=n-1:-1:2 S(i)=(b(i)-d(i)*S(i+1))/r(i);

151

end % Splines quadraticas S1=S2 e Sm+1=Sm % Calcula-se cada conjunto de coeficientes a, b, c, d dos polinimois de 3o. grau S(1)=S(2); S(n+1)=S(n); S for i=1:n a(i)=(S(i+1)-S(i))/(6*h(i)); b(i)= S(i)/2; c(i)=(y(i+1)-y(i))/h(i)-(S(i+1)+2*S(i))*h(i)/6;; d(i)= y(i); end np=4; %4 sub-divisões internas em cada sub-intervalo entre xi e xi+1 xpp=[];ypp=[]; for i=1:n xs=x(i):(x(i+1)-x(i))/np:x(i+1); for k=1:np+1 ys(k)=a(i)*(xs(k)-x(i))*(xs(k)-x(i))*(xs(k)-x(i))+b(i)*(xs(k)-x(i))*(xs(k)-x(i))+c(i)*(xs(k)-x(i))+d(i); end xpp=[xpp xs];ypp=[ypp ys]; end xpp; ypp; plot(x,y,'*',xp,yp,"r;interpolação equidistante;",tk,yaux,'x',xp,ypk,"k;interpolacao com m=16 'nos' de Chebyshev;",xpp,ypp,"g;Splines Cubicas;",xp,ye,"b;Funcao exata f(x)=1/(1+25*x^2);") %plot(x,y,'*',tk,yaux,'x',xp,ypk,"k;interpolação nos de Chebyshev;",xpp,ypp,"g;Splines Cubicas;",xp,ye,"b;Funcao exata f(x)=1/(1+25*x^2);")

152

Mas as Splines são essencialmente funções polinomiais, aplicadas em cada subsub intervalo, logo tem-se se instabilidades numéricas em regiões onde a curva fica muito vertical, ical, ou seja, onde a derivada tende ao infinito, como na curva circular abaixo:

Nestes casos, as curvas propostas por Pierre Bezier são adequadas, por que separam uma função y=f(x) ou mesmo uma relação não funcional, em outras duas, de modo parametrizado,, x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro independente. Desta forma, x=x(t) e y=y(t), sempre serão funções bem comportadas, sem derivadas tendendo ao infinito. Interpolações por Curvas de Bezier: Este assunto é a base matemática de sistemas de computação computação gráfica, como o corel draw. Foi desenvolvido pelo engenheiro Pierre Bezier (funcionário da Renault) na década de 1960 (sistema Unisurf) para simulação de layout de automóveis. Questão preliminar:: Como seguir um caminho, não funcional (com mais de um valor val de y para cada x), do tipo esboçado?

153

Somente usando o conceito de parametrização da curva (=caminho), via: a). tomar (n+1) pontos amostrais pi=(xi,yi), i=0,...,n, definidos na base de dados da curva (do caminho): xi

x0

x1

...

xn-11

xn

yi

y0

y1

...

yn-11

yn

b). adotar uma nova variável independente t∈[0;1], t [0;1], variável de controle, e dividir o intervalo [0;1] em ‘n’ partes iguais de comprimento h=(1-0)/n h=(1 0)/n e gerar ti, com t0=0 e ti+1=ti+h para i=0,... n-1. ti

t0

t1

...

tn-1

tn

pi

p0

p1

...

pn-11

pn

Separando ndo cada ponto pi=(xi,yi), i=0,...,n, em seus componentes xi e yi como funções de ti: ti

t0

t1

...

tn-1

tn

xi

x0

x1

...

xn-11

xn

ti

t0

t1

...

tn-1

tn

yi

y0

y1

...

yn-11

yn

c). aproximar as duas tabelas, que agora são funções, e gerar os pontos novos do caminho usando estes dois aproximadores (interpoladores, por exemplo). Aproximação unidimensional de Bezier: c1). tomar (n+1) pontos referenciais do desenho desejado => pi=(xi,yi), i=0,...,n e expressá-los los na forma parametrizada => pi=(xi(t),yi(t)), com t∈[0;1]; [0;1]; Por exemplo para n=3 (n+1=4 pontos).

c2). subdividir os (n+1) pontos referenciais e subconjuntos com (k+1) pontos, 2<=k
89 : =

9

4

Onde ;9 =

;9 . 1 − :

9

9!

.: .

9

!. !

89 : = @;94 .

4 ;9 .

8 : = 1. 1 − :

k=2 => Bezier quadrática. +2. 1 − :

+1. 1 − :

4

.: .

.: .

.: .

4

1−: 1−: 1−: 1−:

=>

. :4. .: . .: . # # .: .

# 4 # # #

4 #

8

4

+ + +

4

9

4

dx=

;9 . 1 − :

9

.: .

;9 . 1 − :

9

.: .>

H G G G G F

: = 1. 1 − : 4 . : 4 . + 2. 1 − : + 1. 1 − :

4

.: . .: .

8> : = 1. 1 − : 4 . : 4 . >4 + 2. 1 − : .: .> + 1. 1 − : .: .>

8

k=3 Bezier cúbica 1. 3. 3. 1.

: =

1−: 9 E 9 .: D 1−: 9 . … ;9 . 9 B D . D D . C :9

Exemplos:

8# : =

9

8>9 : =

Forma matricial de 89 : :

=>

8

9

4,

#

: = 1. 1 − : +3. 1 − : 8

cx=3.(

#

: =

# 4

#

. :4.

.: .

+3. 1 − :

# 4

#

+ 3. 1 − :

+ 1. 1 − :

#

# #

.: .

. :#.

.: + K .: + L .: + M .: #

- 4 ), bx=3.(

8># : = 1. 1 − :

4

#

4

- )-cx, ax=( # - 4 )(cx+bx)

. : 4 . >4 + 3. 1 − :

. : . > + 1. 1 − :

#

# #

.: .>

. : # . >#

8># : = >. : # + K>. : + L>. : + M>. : 4

dy= >4 , cy=3.(> ->4 ), by=3.(> -> )-cy, ay=(># ->4 )(cy+by)

Essa última forma de se expresser um polinômio 89 : é a mais adequada para implementação em computador.

A plotagem de uma polinomial 89 : , com t∈[0;1], gera uma curva com as seguintes propriedades. 155

8 0 P1: “ N 9 8>9 0

4O

>4

e N

8 9 1 8>9 1

9O

>9

89 : incia em p0 e termina em pk. “

P2: “A reta definida por {p0,p1} é a reta tangente a 89 : em p0, e a reta definida por {pk-1, pk} é tangente a 89 : em pk”.

P3: “A curva gerada pela pel 89 : {8 9 : , 8>9 : }, t∈[0;1], [0;1], está contida sempre no menor polígono convexo que contém os k+1 pontos de referência da mesma.” Exemplos:

Algoritmo: %Curvas de Bezier clear n=4 %pontos %y=[0 0 4 4];x=[0 4 4 0]; %parabola %parab horizontal %y=[0 9 9 0];x=[4 4 0 0]; %parabola vertical %y=[3 6 0 -3];x=[0 3];x=[0 5 6 1]; %parabola inclinada %y=[3 1 5 -3];x=[0 3];x=[0 2 2 3]; %parabola distorcida %y=[0 4 4 0];x=[0 5 0 5]; %cuspide y=[0 -100 -100 0]; x=[0 1 -1 0]; %Gota x(n+1)=x(1);y(n+1)=y(1); =y(1); n=1000 h=1/n %Espaçamento do parametro t t=0 cx=3*(x(2)-x(1));bx=3*(x(3) x(1));bx=3*(x(3)-x(2))-cx;ax=(x(4)-x(1))-(cx+bx); cy=3*(y(2)-y(1));by=3*(y(3) y(1));by=3*(y(3)-y(2))-cy;ay=(y(4)-y(1))-(cy+by); xmax=0;ymax=0; for i=1:n+1 xx(i)=x(1)+t*(cx+t*(bx+t*ax)); yy(i)=y(1)+t*(cy+t*(by+t*ay)); *(by+t*ay)); t=t+h; 156

endfor plot(x,y,'g',x,y,'x',xx,yy,'r')

Exemplo de uma gota:

Exemplo de um perfil: Exemplo no Corel Draw (ferramenta ‘Forma (F10), Converter em curvas (crtl Q)’):

https://www.youtube.com/watch?v=qCk0C1QO4HY 157

Capítulo 6 - Aproximações por Séries e por Funções Racionais: 6.2 - Aproximação de y=f(x) por séries: Aqui será abordada aproximação de y = f(x), x∈[a,b] com expressão conhecida, através de outra função z = g(x). Este é um problema central da elaboração de bibliotecas de funções pré-definidas para os sistemas dedicados. Para fins de padronização e facilidade de avaliação da qualidade de g(x) vamos normalizar o intervalo [a; b] fazendo-o operar no intervalo [-1;+1]. Isto é sempre possível através de transformações lineares: Para y = f(x), x∈[a,b]:

b−a b+a t+ então, 2 2 Se t = -1 ⇒ x = a Se t = +1 ⇒ x = b

Fazemos x =

b + a b−a f (x ) = f  t+   2 2  Após determinar a aproximadora f(x(t)), toda em função de t, voltamos a expressar a forma original da função de x, substituindo t por t(x):

t=

b+a 2x − b−a b−a

Uma transformação generalizada de [a,b] → [c,d] é efetuada por:

x=

b−a ad − bc t+ d−c d−c

Outra questão fundamental a ser considerada é a definição do que é uma aproximadora de qualidade: i). g(x) deve ter erro de truncamento E ( x ) = f ( x ) − g ( x ) mínimo, ∀ x∈[a,b]; Se E(x) fosse zero, g(x) seria a própria função f(x), o que não é interessante na prática, pois o que se quer é substituir f(x) por uma função mais simples. ii). O tempo de resposta nas chamadas de z = g(x) deve ser mínimo; iii). A demanda de memória para armazenar a função g(x) deve ser mínimo. 6.2.1 - Aproximação polinomial de y = f(x) usando séries: A aproximação polinomial de y = f(x) com x∈[a,b] pode ser obtido através de: 1º). Interpolação Polinomial: Consiste em dividir o intervalo [a; b] em n partes iguais e obter o interpolador polinomial f(x) ≅ Pn(x) (resolvendo um sistema, ou por Lagrange, ou Gregory-Newton, por 158

h n +1 M . n+1 Infelizmente o tempo de resposta e a demanda de memória requerida são grandes, pois para se ter um erro de truncamento pequeno é necessário usar um grau ‘n’ elevado em polinômios. Esta técnica apesar de tentadoramente simples não satisfaz aos quesitos ii) e iii) de boa aproximação, a não ser em intervalos curtos para aplicações específicas.

exemplo), com erro de truncamento da ordem de E ( x) <

2º). Aproximação por séries de Taylor: Para y = f(x), continuamente diferenciável dentro de [a; b], segundo o teorema de Taylor f(x) pode ser escrita exatamente, a partir de qualquer ponto β (x>β), como:

f ′ (β)( x − β) f ′′(β)( x − β) 2 f n (β)( x − β) n f ( x) = f (β) + + + L + + L 1! 2! n! onde β ∈[ a ; b ] . Pelo teorema do resto da série de Taylor:

f ′(β)( x − β) f n (β)( x − β) n f n +1 (ξ)( x − β) n +1 f ( x) = f (β) + + L + + 1! n ! 3 144 (4 n2 + 144 )! 4 14444444 4244444444 3 Pn ( x )

f(x) = Pn(x) + Rn(x) truncamento da série).

ou

ξ ∈[β; x]

Rn ( x )

f(x) ≅ Pn(x)

(Aproximação Polinomial, assumindo

f ′( 0) x f ′′( 0) x 2 f n ( 0) x n + + L + + Rn(x) 1! 2! n! tem-se a série de Maclaurin.

Obs.: Se β = 0 ⇒ f ( x) = f ( 0) +

Exemplos: Expandir em série de Taylor/Maclaurin as funções (a partir de x=0): (i). e x = 1 + x +

x2 x3 xn + + L + + L 2 ! 3! n!

x2 x4 x6 (-1) n x 2n (ii). cos( x ) = 1 − + − + L + + L 2 ! 4 ! 6! (2n)!

(-1)n +1 x n x2 x3 x 4 +L (iii). ln(1 + x) = 0 + 1.x − + − + L + 2 3 4 n x x2 x3 (-1) n+1 x n (iv). ln( 1 + x ) = − + + L + + L 2.1 2.2 2.3 2n! x

(v).

∫e 0

− y2

x3 x5 x7 (-1) n x 2n+1 =x− + − + L + + L 1! 3 2 ! 5 3! 7 n!(2n + 1) 159

Uma das grandes dificuldades existentes na aproximação de funções é a determinação do valor de ξ ∈[β; x] que gere o resto Rn(x) correto. Por isso, avalia-se a majorante do resto Rn(x), dada por Emax, estimando um limite máximo para o erro de truncamento: Emax =

( x − β ) n +1 M (n + 1)!

onde M = max f n +1 ( x) x ∈[ β , x ]

Exemplos: a). Delimitar o erro máximo cometido ao se aproximar f ( x) = e x , x ∈ [-1;+1] por Maclaurin com n = 5. Solução:

f 6 (ξ) x 6 Pelo resto ⇒ R 5 ( x) = 6! Tomando M = max f 6 ( x) x∈[ −1;+1]

R 5 ( x) ≤

⇒ M = max e x = e +1 então x ∈[ −1; +1]

M x6 e 1 16 ⇒ R 5 ( x) ≤ ⇒ R5 ( x) ≤ 0,003775 6! 6!

b). Determine o grau n para não se obter erro superior a ε = 10-8 ao se aproximar f(x) = ex, x ∈ [-1;+1] por Taylor/Maclaurin. Solução: M x n +1 R n ( x) ≤ ( n + 1)!

com M = max e x = e +1

e +1 1n +1 R n ( x) ≤ ≤ 10 − 8 ⇒ ( n + 1)!

x ∈[ −1; +1]

( n + 1)! ≥ 2 ,7.10 8

Para n ≥11 → Rn ( x) ≤ 0,567.10−8 Teorema: ''Se a série de Taylor de y=f(x) for convergente com lim termon = 0 e alternada nos n →∞

sinais, então, o resto Rn(x) é aproximadamente o valor máximo do primeiro termo abandonado''.

Ex.: Determine o grau n para aproximar f(x) = ln(1+x), x ∈ [0;+1] por Maclaurin com ε = 10-5. Pela série de Maclaurin:

160

ln(1 + x) = x −

x 2 x3 x 4 (-1)n +1 x n (-1)n + 2 x n +1 + − +L+ + 2 3 4 n n2 +4 13 14 Rn ( x )

Pelo teorema anterior, do primeiro termo abandonado': Rn( x) ≤

(-1) n+2 x n +1 ≤ 10 − 5 ⇒ este 1º termo abandonado (sinais alternados) é máximo, em x n +1

= 1.

(+1) n+1 ≤ 10 −5 ⇒ n +1

n ≥ 100000

Note que nesta série a convergência é muito lenta, pois não tem fatorial no denominador, e isto implica em grande número de termos na série. Pelo teorema do resto da série de Taylor, temos o erro de truncamento exato: f n +1 (ξ )( x − β ) n +1 ξ ∈[β; x] (n + 1)! com ( x − β ) n +1 M Emax = (n + 1)! ou pelo seu valor máximo, teremos Rn ( x) =

M = max f n +1 ( x)

onde

x ∈[ β , x ]

, para β=0,

−2 −3 f ( x ) = ln(1 + x ) , f ' ( x ) = 1 /(1 + x ) , f ' ' ( x) = (−1).(1 + x) , f ' ' ' ( x) = (+1).1.2.(1 + x) ,

f ( 4) ( x) = (−1).1.2.3.(1 + x)−4 ,..., f ( n ) ( x) = (−1)( n +1) .1.2.3....(n − 1).(1 + x) − n , f ( n +1) ( x) = (−1)( n ) .1.2.3....(n).(1 + x) −( n +1) = (−1)( n ) .n!.(1 + x) − ( n +1) M = max (−1)( n ) .n!.(1 + x) − ( n +1)

M é máximo em x=0 => M = n! ( x − 0) M (1 − 0) n +1 n! 1 este erro é máximo, em x = 1, e Emax = Emax = = ( n + 1)! ( n + 1).n! n + 1 (mesmo resultado anterior, n≥100000, para que Erro(x)≤10-5). x∈[ 0 ,1]

n +1

Consideração: Deve-se notar (ver avaliação a seguir) que a aproximação por Taylor/Maclaurin não distribui uniformemente os erros, o que exige grande número de termos na série para minimizar os erros máximos (localizados nos extremos). Assim, o tempo de resposta pode ficar muito alto, mesmo com custo de armazenamento zero. Por exemplo: Erro ( x) = e x − P4 ( x )

(P4(x) obtido por Maclaurin: e x = 1 + x +

x Erro(x)

-0,5 0,00024

-1,0 0,0071

0 0

0,5 0,00028

x 2 x3 x 4 + + ) 2! 3! 4!

1,0 0,0099 161

Observe que os erros são crescentes a partir do ponto β = 0 de expansão da série e então não são uniformente distribuídos no intervalo de trabalho. 6.2.b - Aproximação por Polinômios de Chebyschev Definição: Um polinômio de Chebyschev de grau ‘n’ é toda expressão do tipo

Tn ( x) = cos(n arcos(x)) Se arcos( x ) = θ

⇒ cos( θ ) = x então

Tn ( x ) = cos( n θ)

em x ∈ [-1;+1]

Assim, T0 ( x ) = cos( 0) = 1 T1 ( x ) = cos( θ) = x

T2 ( x) = cos( 2θ) = 2cos 2 (θ) - 1 = 2x 2 − 1 T3 ( x) = cos( 3θ) = 4x 3 - 3x T4 ( x) = cos( 4θ) = 8x 4 − 8x 2 + 1 T5 ( x) = cos(5θ) = 16x 5 - 20x 3 + 5x

T6 ( x) = cos(6θ ) = 32x 6 - 48x 4 + 18x 2 - 1 T7 ( x) = cos(7θ ) = 64x 7 - 112x5 + 56x 3 - 7x T8 ( x) = cos(8θ ) = 128x8 - 256x 6 + 160x 4 - 32x 2 + 1 T9 ( x) = cos(9θ ) = 256x 9 - 576x 7 + 432x 5 -120x 3 + 9x Tn +1 ( x) = 2.x.Tn ( x) − Tn −1 ( x)

162

Figura 1 – Polinômios de Chebyschev de grau n=0, 1, 2, 3, 4 e 5. Potências de x em função dos polinômios de Chebyshev: x 0 = T0

x 1 = T1 x 2 = (T2 + T0 ) 2 x 3 = (T3 + 3T1 ) 4 x 4 = (T4 + 4T2 + 3T0 ) 8

x5 = (T5 + 5T3 + 10T1 ) 16 x 6 = (T6 + 6T4 + 15T2 + 10T0 ) 32 x 7 = (T7 + 7T5 + 21T3 + 35T1 ) 64 x 8 = (T8 + 8T6 + 28T4 + 56T2 + 35T0 ) 128 x 9 = (T9 + 9T7 + 36T5 + 84T3 + 126T1 ) 256 Os polinômios de Chebyschev possuem as seguintes propriedades: coeficient Prop1: Tn(x) é um polinômio de grau n e só existe um único Tn(x) para cada n. O coeficiente de xn em Tn(x) é 2n-1. Prop2: Tn (x) ≤ 1, ∀ x ∈[-1;+1] então ∈

max Tn ( x ) = 1 e todas as suas raízes (nós) são

x ∈[ −1; +1]

 2k − 1  π ; k = 1,2,...,n. simples e obtidas via α k = cos  2n  Normalizando os polinômios de Chebyshev de forma que que o coeficiente de maior grau seja igual 1, obtém-se se os polinômios de Chebyshev mônicos: 163

~ Prop3: (Mimimax) ''Seja Tn ( x) = Tn ( x) / 2n −1 = 21− n.Tn ( x ) , o monômio (polinômio cujo 1 ~ coeficiente de maior grau é unitário) de Chebyschev de grau n. Então, max Tn ( x) = n −1 x∈[ −1; +1] 2 e ~ ~ ~ ~ ~ max Tn ( x ) ≤ P n( x ) , ∀ monômio Pn( x) . A igualdade só ocorre caso Pn( x) = Tn ( x) ''. x∈[ −1; +1]

Utilizando estas propriedades, vamos descrever a seguinte técnica de aproximação polinomial: 1º). Obter um aproximador Pn(x) (por séries de Taylor/Maclaurin) para y = f(x) com erro ET1 desejado (n obtido pelo erro de truncamento0:

f ( x) = a0 x 0 + a1 x1 + a2 x 2 + L + a n x n + E T1

(1)

2º). Substituir na eq. (1), todas as potências xi pelas respectivas expressões em Ti e agrupa-los:

f ( x) = a0 .T0 + a1.T1 + a2 . (T2 + T0 ) 2 + a 3.(T3 + 3T1 )4/ + a4 . (T4 + 4T2 + 3T0 ) 8 + ... + E T1 f (T ) = b0 + b1T1 + b2 T2 + L + b n Tn + E T1 onde o último termo b n Tn <

(2)

b n .1 2 n−1

3º). Truncar a expressão (2) a partir de b k +1 Tk +1 com k
f (T ) = b0 + b1T1 + b2T2 + L + b k Tk + E T2 + E T1

(3)

4º). Substituir em (3) cada Ti pela sua respectiva expressão em xi, agrupá-los gerando novos coeficientes ci:

f ( x) = c 0 + c 1 x + L + c k x k + E T2 + E T1 Então, f ( x ) ≅ Pk ( x )

f(x) é aproximado por Pk(x), com k < n (aproximação com menos

termos). Ex.: Aproximar f(x) = ex em x ∈[ −1;+1] por Chebyschev de grau k = 3 partindo da expansão em série de Maclaurin de grau n = 4. Solução: 1º). Aproximação de f(x) por Maclaurin (β=0) com grau n = 4: x 2 x 3 x 4 max | f 4 +1 ( x ) | ( x − 0) 4 +1 + + + ex = 1 + x + 2! 3! 4! ( 4 + 1)! 164

e x ≅ 1 + x + 0,5 x 2 + 0,16667 x 3 + 0,041667x 4 + E T1 com ET1 = e 5! = 0,0226523(Pelo teorema do resto) 2º). Substituição pelos polinômios de Chebyschev:

T +T   T + 3T1   T + 4T2 + 3T0  e x ≅ T0 + T1 + 0,5 2 0  + 0,16667 3  + 0,041667 4  + E T1 8  2   4   

e x ≅ 1,265625.T0 + 1,125000.T1 + 0,270833.T2 + 0,0416667.T3 + 0,00520833.T4 + E T1 Sabendo que o valor máximo de qualquer polinômio de Chebyschev é a unidade, podese verificar que o termo 0,00520833.T4 adicionado ao erro de truncamento existente ET1 não altera a ordem da precisão desta aproximação. Assim,

ET ≅ 0,00520833.T4 + ET1 ≅ 0,00520833+ 0,0226523≅ 0,0278607 Então, mesmo desprezando o termo de 4a ordem (k = 4) da série expandida por polinômios de Chebyschev, verifica-se que o erro de truncamento total ET é da mesma ordem de ET1. 3º). Truncando a série em k = 4:

e x ≅ 1,265625.T0 + 1,125000.T1 + 0,270833.T2 + 0,0416667.T3 + ET 4º). Substituindo os polinômios de Chebyschev Ti:

e x ≅ 1,265625.x 0 + 1,125000.x1 + 0,270833.(2 x 2 − 1) + 0,0416667.(4 x 3 − 3x) + E T e x ≅ 0,994792 + x1 + 0,541666.x 2 + 0,166667.x 3 + E T

p3 ( x) ≅ 0,994792 + x1 + 0,541666.x 2 + 0,166667.x3 - Aproximador de Chebyschev. Avaliação de erros: Erro ( x) = e − P4 ( x ) x

x Erro(x)

x 2 x3 x 4 + + (P4(x) obtido por Maclaurin: e = 1 + x + ) 2! 3! 4!

-1,0 0,0071

x

-0,5 0,00024

Erro ( x) = e x − p3 ( x)

0 0

0,5 0,00028

- p 3 ( x ) obtido

1,0 0,0099 por

Chebyschev:

0,994792 + x1 + 0,541666.x 2 + 0,166667.x 3 x E(x)

-1 0,0019

-0,5 0,0028

0 0,0052

0,5 0,0023

1,0 0,0151

Note que os erros estão uniformemente distribuídos e todos se mantém abaixo do erro 165

de truncamento total previsto inicialmente, ET = 0,0278607. Ex: Aproxime por séries de MacLaurin e Chebyschev a função f(x)=sin(x), em x ∈ [ − 1;+ 1] de modo que o erro máximo seja da ordem de 10-6. 1 3 5 7 9 x 2 i −1 x x x x x f ( x ) = sen ( x ) = + + + .... + ( − 1 ) − − ( 2i − 1)! i +1

1! i =1

3!

i=2

5! i =3

7!

9!

i=4

i =5

Erro máximo para séries com termos de sinais alternados (i=1º termo abandonado). Se truncamos a partir do i=5, 5º. termo, que é de grau =9, e mantemos até o 4º termo, i=4, de grau (2*4-1)=7. ErroMaxMac= (−1) i +1

x 2 i −1 = 10 −6 ( 2i − 1)!

p/ i=5 (em x=1)

Rn( x) =

Ou pelo resto da série geral de Maclaurin, próximo termo geral não nulo, depois do grau n=7: R7 ( x) =

f

7+2

( −1) i +1

x 2i −1 x9 = = 2,755.10 −6 ( 2i − 1)! 9!

f n+2 (ξ )( x − β ) n+2 (n + 2)!

, tomando o máximo do

(ξ )( x − β ) 7 + 2 f 9 (ξ )( x − β ) 9 cos(ξ )( x − 0) 9 cos( 0)(1 − 0) 9 ≤ Max = Max = = 2.7557.10 - 6 (7 + 2)! (9)! (9)! (9)!

Então, fMac ( x ) ≅ x −

x3 x5 x7 + − 3! 5! 7!

Observe que o erro de truncamento máximo da série de grau 'n' pode ser obtido pelo máximo Rn( x) =

f n+2 (ξ )( x − β ) n+2 (n + 2)!

do próximo termo geral não nulo da série de Maclaurin, dado por , ou no caso, de séries com termos de sinais alternados (termo nulo não tem sinal), pelo máximo do ±

próximo termo abandonado, neste caso,

x n+2 ( n + 2 )! .

Substituindo xi pelos polinômios de Chebyschev em Ti, temos: (T3 + 3T1 ) 4 (T5 + 5T3 + 10T1 ) 16 (T7 + 7T5 + 21T3 + 35T1 ) 64 + − 3! 5! 7! 8111 601 23 1 fMac ( x ) ≅ .T1 .T3 + .T5 .T7 9216 15360 46080 322560 fMac ( x ) ≅ T1 −

1 .T7 < 3,100.10-6 −6 322560 Podemos truncar o termo , que é da mesma ordem de 2,755.10 , mas esses erros somados podem ultraar, na prática, o limite da ordem de 10 −6 , pois na -6 −6 −6 estimativa de erros máximos temos ET = 3,100.10 + 2,755.10 = 5,855.10 Logo, fCheb ( x ) ≅

8111 601 23 .T1 .T3 + .T5 9216 15360 46080

Substituindo Ti pelos polinômios de Chebyschev em xi, temos: 166

fCheb ( x ) ≅

8111 1 601 23 .x .(4x 3 - 3x) + .(16x 5 - 20x 3 + 5x) 9216 15360 46080

fCheb ( x ) ≅

46079 1 959 3 23 .x .x + .x 5 46080 5760 2880

Se quisermos manter o erro máximo na mesma ordem de Maclaurin (O(10-6)), precisamos partir da série de Maclaurin de grau maior, n=9, e depois reduzir para grau n=7. Neste caso não termos o efeito telescópico de redução de grau, mas teremos uma distribuição dos erros ao longo do intervalo. Avaliados pelo algoritmo: clc clear %f(x)=sen(x);

com x entre [a=-1;b=+1]

N=7 a = -1 b = +1 h = (b - a)/N; % o t = a:h:b; y = sin(t); %met1 det pelo sistema, pol na base canonica for i= 1:N+1 A(i,1) = 1; for j=2:N+1 A(i,j) = A(i,j-1)*t(i); end %for A(i, N+2) = y(i); end %for neq = N + 1; % numero de equacoes c = fgauss(neq, A); 'coeficientes de Pn(x):' [c] %plot func original np = N*20; hp = (b - a)/np; tp = a:hp:b; yp = sin(tp); %plot pol da base canonica ti = tp; yi = resto(N, c, ti); erroInter = abs(yp .- yi); erroInterMax = max(erroInter) 167

%Serie de Maclaurin 'coeficientes da serie de MacLaurim:' temp=[1 0 -1/factorial(3) 0 1/factorial(5) 0 -1/factorial(7)] tM = tp; for j=1:np+1 yM(j) = 0; for i=N:-2:1 yM(j) += temp(i)*(tM(j))î; end %for end %for erroMac = abs(yp .- yM); erroMacMax = max(erroMac) #series de Chebyschev 'coeficientes da serie de Chebyschev:' temp=[46079./46080 0 -959./5760. 0 +23./2880.] tC = tM; yC=(23.*tC.^5)./2880.-(959.*tC.^3)./5760.+(46079.*tC)./46080; erroCheb = abs(yp .- yC); erroChebMax = max(erroCheb) plot(tp, erroInter, "k;erro(x)=|f(x) - Pn(x)|;", tM, erroMac, "m;erro(x)=|f(x) - Mac(x)|;", tC, erroCheb, "g;erro(x)=|f(x) - Cheb(x)|;" ); %plot(t, y, '*',tp, yp, "b;f(x)=sen(x);", ti, yi,"k;Pn(x)basecanonica;", % tM, yM, "m;sen(x) Maclaurin;", tC, yC, "g;sen(x)Cheb;"); grid(); Resultados: N= 7 a = -1 b= 1 coeficientes de Pn(x)= [1.1102e-016 1.0000e+000 1.1475e-015 -1.6667e-001 -2.8499e-015 8.3311e-003 1.7717e-015 -1.9374e-004] erroInterMax = 6.9981e-008 coeficientes da serie de MacLaurim=[1.00000 0.00000 -0.00020] erroMacMax = 2.7308e-006

0.00000 -0.16667

0.00000

0.00833

Com N=5: coeficientes da serie de Chebyschev=[0.99998 0.00000 -0.16649 0.00000 0.00799] erroChebMax = 4.2449e-006 (ERRO EXATO), mas ultraou o limite da ordem 10-6. -6 −6 −6 Observe que o erro máximo estimado era ET = 3,100.10 + 2,755.10 = 5,855.10

168

Ex.: Aproximar f(x) = ln(x+1) em x ∈ [0;+ 1] por Chebyschev com erro máximo ε = 1,5.10-6. Solução: 1º). Tomando a série de Maclaurin de ln(x+1) tem-se:

x2 x3 x4 ln( x + 1) = x − + − + ... 2 3 4 Verifica-se que a série acima é convergente e alternada, e assim pode-se tomar o erro de truncamento como o primeiro termo abandonado na série: E T1

x n+1 = (-1) . −6 ≤ 1,510 n +1 n

Avaliando o n para que o erro máximo de truncamento não ultrae o valor de ε estabelecido, tem-se:

n ≥ 666666 Como a série é de convergência lenta é necessário um alto valor de n para satisfazer a precisão ε requerida, o que é computacionalmente inviável. 2º). Reavaliando a aproximação de ln(x+1) por polinômios de Chebyschev, chega-se a seguinte aproximação:

ln(x + 1) = 0,99990164x − 0,49787544x 2 + L − 0,01833851x 6 169

Ou seja, houve uma grande economia de memória de tempo de processamento com a aproximação por polinômios de Chebyschev. Só fica em aberto a questão de como obter um aproximador de Chebyschev a partir de uma aproximação de Maclaurin de grau n = 666666. Isto será apresentado mais adiante. Considerações: (i). Chebyschev distribui uniformemente os erros em [-1;+1], reduz o grau n da aproximação em relação a Maclaurin em pelo menos 1 (um) grau, isto é, k < n, grau de Chebyschev é sempre menor que o grau de Maclaurin. O k << n quanto mais lenta for a série (efeito telescópico)(vide exemplo ln(x+1) acima). (ii). A operacionalização do aproximador de Chebyschev demanda um trabalho de manipulação algébrica muito elevado se o n for “grande’’ (vide exemplo ln(x+1)). Existem fórmulas de se obter “diretamente’’ os coeficientes bi do 3º o para obtenção do aproximador de Chebyschev, conforme segue:

n

f ( x) = ∑ b i Ti onde i=0

+1  1 f ( x) = b dx  0 ∫ π −1 1 − x 2   +1 2 f ( x) Ti ( x)  b i = π ∫ 1 − x 2 dx −1 

O problema é que estas integrandas não têm primitivas conhecidas, e devem ser aproximadas por métodos numéricos (vide capítulo Integrações Numéricas). Ex.: Aproxime f(x)=ln(x) em x∈[1;2] com erro máximo na ordem de 10-3. clc clear all close all format short %transformação de x para te[-1;+1] %f(x)=ln(x) x E [1;2] Np = 3 %Erro máximo O(10^-3) a = 1; b = 2; h = (b - a)/Np; # o x = a:h:b; y = log(x); #met1 det pelo sistema, pol na base canonica Neq = Np + 1; # numero de equacoes for i= 1:Neq A(i,1) = 1; for j=2:Neq A(i,j) = A(i,j-1)*x(i); end #for A(i, Neq+1) = y(i); end #for = fgauss(Neq, A) #plot func original np = Np*20; hp = (b - a)/np; 170

xp = a:hp:b; ye = log(xp); #plot pol da base canonica Nx = length(xp);%Nx=np+1; for k=1:Nx yp(k) = fresto(Np, , xp(k)); end #for erroInter = abs(yp .- ye); erroInterMax = max(erroInter) #Serie de Maclaurin %x(t)=0.5*(b-a)*t+0.5*(b+a); %f(x(t))=ln(0.5*t+1.5) com te[-1;+1] Nm=4 %Erro máximo O(10^-3) for k=1:Nx % tM(k)=(2*xp(k)-(b+a))/(b-a);%plota sobre os mesmos pontos xp(k) % yM(k) = 0; for i=Nm:-1:1 cM(i+1)=(-1)^(i+1)*((b-a)/(b+a))î/(i); % yM(k) += cM(i+1)*(tM(k)î); end #for cM(1)=log(0.5*(b+a)); % yM(k)+=cM(1); end #for cM for k=1:Nx tM(k)=(2*xp(k)-(b+a))/(b-a);%plota sobre os mesmos pontos xp(k) yM(k) = fresto(Nm, cM, tM(k)); end #for erroMac = abs(yM .- ye); erroMacMax = max(erroMac) %Séries de Chebyschev %ErroMacMax = 0.00124111056523424 %0.40546510810816438*x^0+ 0.33333333333333331*x^1 0.05555555555555555 *x^2+ 0.01234567901234568*x^3 0.00308641975308642*x^4 %0.40546510810816438*T0+ 0.33333333333333331*(T1) 0.05555555555555555 *(T2+T0)/2 + 0.01234567901234568*(T3+3*T1)/4 0.00308641975308642*(T4+4*T2+3*T0)/8 %0.376529922922979*T0+0.342592592592593*T10.0293209876543210*T2+0.00308641975308642*T3-0.000385802469135802*T4 %erroTn<=0.0003858T4, que é menor que erroMacMax = 0.00124111056523424, entao despreza-se Nc=3 %0.376529922922979*T0+0.342592592592593*T10.0293209876543210*T2+0.00308641975308642*T3 %0.405850910577300 + 0.333333333333334 x - 0.058641975308642 x^2 + 0.0123456790123457 x^3 cC=[0.405850910577300 +0.333333333333334 -0.058641975308642 +0.0123456790123457] %for k=1:Nx % tC(k)=(2*xp(k)-(b+a))/(b-a);%plota sobre os mesmos pontos xp(k) % yC(k) = 0; 171

% for i=Nc:-1:1 % yC(k) += cC(i+1)*(tC(k)î); % end #for % yC(k)+=cC(1); %end #for for k=1:Nx tC(k)=(2*xp(k)-(b+a))/(b-a);%plota sobre os mesmos pontos xp(k) yC(k) = fresto(Nc, cC, tC(k)); end #for erroCheb = abs(yC .- ye); erroChebMax = max(erroCheb) %plot(xp,erroInter,"k;erro(x)=|f(x)Pn(x)|;",xp,erroMac,"m;erro(x)=|f(x)Mac(x)|;",xp,erroCheb,"g;erro(x)=|f(x)-Cheb(x)|;"); plot(x, y, '*',xp, ye, "b;f(x)=ln(x);", xp, yp,"k;Pn(x) basecanonica;", xp, yM, "m;ln(x) Maclaurin;", xp, yC, "g;ln(x) Chebyschev;"); grid(); -------------------------------------------------------------------Np = 3 = -1.487442610353929 2.098039064806764 -0.717320824230757 0.106724369777922 erroInterMax = 8.34309834847877e-004 Nm = 4 cM = 0.40546510810816438 0.33333333333333331 -0.05555555555555555 0.01234567901234568 erroMacMax = 0.00114412045384343 Nc = cC =

3 0.4058509105773000 0.3333333333333340 0.0123456790123457 erroChebMax = 0.00152992292297832

-0.00308641975308642

-0.0586419753086420

172

173

I.V.3 - Aproximação Racional de y = f(x): Apesar de todas as vantagens da aproximação polinomial (Chebychev principalmente) de y = f(x) com expressão conhecida, também existem desvantagens que são inerentes aos próprios polinômios: 1º) Polinômios oscilam com pontos de ancoragem com certos desvios (tipo dados experimentais); 2º) Não aproximam eficientemente funções assintóticas; Ex.: f ( x) =

1 ( x + 1) 2

Def 1 - Uma função racional de grau total M é toda expressão do tipo a 0 + a1x + L + a n x n R M ( x) = , onde M = n + m. b 0 + b1 x + L + b m x m Ex.: f ( x ) =

1 x

⇒ R 1 ( x) =

p o ( x) q 1 ( x)

I.V.4 - Aproximação Racional de Padé:

R nm ( x) =

a 0 + a1x + L + a n x n = R M ( x) , onde M = n + m b 0 + b1 x + L + b m x m

Esta técnica consiste em se aproximar y = f(x) conhecida, x ∈ [-1;+1] através de uma função racional

a 0 + a1x + L + a n x n R nm ( x) = ≅ f ( x) 1 + b1 x + L + b m x m (com b0=1 para obtermos uma única solução) 174

De modo que cada derivada de f(x) deve ser equivalente a derivada da aproximadora racional Rnm(x):  f (0) = Rnm (0)  ′ ( 0)  f ′(0) = Rnm  ′′ (0)  f ′′(0) = Rnm  M  M  f M (0) = Rnm ( 0)

(*)

É uma extensão da série de Maclaurin para funções racionais. Para tanto, procede-se como segue: 1º). Obter uma aproximadora de Maclaurin de grau total M=n+m:

fM ( x) ≅ c0 + c1 x + c2 x 2 + L + c M x M + E T com ET estabelecido previamente. 2º). Tomar

p n ( x) = a 0 + a 1 x + L + a n x n e q m ( x) = 1 + b 1 x + L + b m x m

com

os coeficientes ai e bj a ser

determinados: e fM ( x) ≅ Rnm ( x)

c0 + c1 x + c2 x 2 + L + c M x M =

a0 + a1 x + L + a n x n 1 + b1 x + L + b m x m

(b0=1)

(1 + b1 x + b2 x 2 + L + bm x m ).(c0 + c1 x + c2 x 2 + L + cM x M ) = a0 + a1 x + L + a n x n

(**)

3º). Aplicar as condições (**) e isolar os coeficientes ai, de i=0 até i=n, em função dos valores de bj e ck , para termos de graus i=0 até n ⇒

(1 + b1 x + b2 x 2 + L + bm x m ).(c0 + c1 x + c2 x 2 + L + cM x M ) = a0 + a1 x + L + a n x n a 0 = c0 a = b c + c 1 0 1  1 a2 = b2 c0 + b1c1 + c2  a3 = b3c0 + b2 c1 + b1c2 + c3  a4 = b4 c0 + b3c1 + b2 c2 + b1c3 + c4 a5 = b5 c0 + b4 c1 + b3c2 + b2 c3 + b1c4 + c5  M  a = b c + b c n n −m m −1 n − m +1 + L + c n  n

(**)

(***)

Depois isolam-se os coeficientes bj, com variando j=1 até j=m, em função dos valores de ck, e fazendo todos os termos de graus n+1 até n+m iguais a zero, gerando sistema (****), 175

cn −m+1 cn −m+ 2 L cn   b m  c n +1       cn −m+ 2 cn −m+3 L cn +1   b m-1  = - c n +2    M   M  M      c M  c M-m c M − m+1 L c M −1   b1 

(****)

que é um sistema linear mxm, cuja solução fornece os bj, com j=1 até j=m, que substitídos em (***) fornece os ai. Obs.: Dependendo de n e m pode ocorrer que em (***) ou (****) apareçam ai e bj com i<0 ou j<0. Nestes casos, fazer sempre ai = 0 e bj = 0. Ex1.: Obtenha a aproximação racional R32(x) para f(x) = arctg(x), x ∈ [-1;+1] e avalie o erro exato no final. Solução: Temos n = 3 ; m =2 e M = 5 com f(x) = arctg(x) , tomando a série de Maclaurin

f1 ( x)= x −

x3 x5 x7 x 2n -1 + − + L + (-1)n +1 3 5 14 7 4442444 2n4 -1 3

⇒

n = 1,2,..., N.

ET

Veja que o erro de truncamento máximo é dado por ET = −

x7 7

, pois é uma série x∈[ −1; +1]

alternada nos sinais, o que resulta em ET=1/7=0,14286..., que precisa ser avaliado de forma exata.

1 1 f ( x) = arctg( x) ≅ f1 ( x) = 0 + x + 0 x 2 − x 3 + 0 x 4 + x 5 3 5

⇒

c0 = 0

c 3 = −1 / 3

c1 = 1 c2 = 0

c4 = 0 c5 = 1 / 5

E queremos

p 3 ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , para n = 3, m = 2 e M=5 q 2 ( x) = 1 + b 1 x + b 2 x 2

c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c 4 x 4 + c5 x 5 =

a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 1 + b1 x + b 2 x 2

(b0=1)

(c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 )(1 + b1 x + b 2 x 2 ) = (a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) (c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 )(1) + (c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 )(b1 x) + (c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 )(b 2 x 2 ) = (a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) 176

(c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 ) + (c0b1 x + c1b1 xx + c2 b1 xx 2 + c 3b1 xx 3 + c 4b1 xx 4 + c 5b1 xx 5 ) + (c0 b 2 x 2 + c1b 2 x 2 x + c2 b 2 x 2 x 2 + c 3 b 2 x 2 x 3 + c 4 b 2 x 2 x 4 + c 5 b 2 x 2 x 5 ) = (a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) Agrupando termos:

(c0 ) +

(c0 ) x 0 +

(c0 b1 x + c1 x) +

(c0b1 + c1 ) x1 +

(c0 b 2 x 2 + c1b1 xx + c2 x 2 ) +

(c0 b 2 + c1b1 + c2 ) x 2 +

(c2 b1 xx 2 + c 3 x 3 + c1b 2 x 2 x +) +

(c2b1 + c1b 2 + c3 ) x 3 +

(c2 b 2 x 2 x 2 + c 3b1 xx 3 + c 4 x 4 ) +

(c2 b 2 + c3b1 + c 4 ) x 4 +

(c3 b 2 x 2 x 3 + c 4 b1 xx 4 + c 5 x 5 ) +

(c3 b 2 + c 4b1 + c5 ) x 5 +

(c 4 b 2 x 2 x 4 + c 5b1 xx 5 ) +

(c 4 b 2 + c5b1 ) x 6 +

(c 5 b 2 x 2 x 5 ) = (a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 )

(c5 b 2 )x 7 = (a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 )

(c0 ) x 0 +

(c2 b 2 + c 3b1 + c 4 ) x 4 +

(c0b1 + c1 ) x + 1

(c3 b 2 + c 4b1 + c 5 ) x 5 +

(c0 b 2 + c1b1 + c2 ) x + 2

(c2b1 + c1b 2 + c 3 ) x = (a0 + a1 x + a 2 x + a 3 x ) 3

2

3

(c 4 b 2 + c 5b1 ) x 6 + (c 5 b 2 ) x 7 = 0 x 4 + 0 x 5 + 0 x 6 + 0 x 7

a 0 = c0 a1 = c0 b1 + c1 a 2 = c0 b 2 + c1b1 + c2 a 3 = c2b1 + c1b 2 + c 3 c2 b 2 + c3b1 = -c4

c3b 2 + c 4b1 = -c5 e despreza termos de ordem superior : (c 4 b 2 + c5b1 ) x 6 + (c5 b 2 )x 7 = 0 x 6 + 0 x 7 Ou resolvendo diretamente (****), obtém-se bj: c 2 c  3

c3   b 2  c  = - 4    c 4   b1  c 5 

 0 − 1 / 3 b 2   0 =-    − 1 / 3  0  b1   1/5

⇒

b 1 = 0  b2 = 3 / 5

E depois aplicando bj em (***), obtém-se ai:

177

a 0 = c 0 a = b c + c  1 1 0 1  a2 = b2 c0 + b1c1 + c2 a3 = b3 c0 + b2 c1 + b1c 2 + c3

2 para m = 2 ⇒ b3 = 0 , pois q 2 ( x) = 1 + b 1 x + b 2 x

a 0 = 0 a = (0). 0 + 1 = 1  1  a 2 = (3/5). 0 + 0. 1 + 0 = 0 a3 = 0.0 + (3/5). 1 + 0. 0 - 1/3 = 4/15 Daí,

f ( x) = arctg ( x) ≅ R32 ( x) =

0 + 1.x + 0.x 2 + 4 / 15 .x 3 15x + 4 x 3 = 1 + 0.x + 3 / 5. x 2 15 + 9 x 2

Algoritmo: %Comparativo entre interpolação polinomial e series de taylor %1-Interpolação polinomial para grau n >= 2 a = -1; b = 1; n = 5; h = (b-a)/n; x = a : h : b; y = atan(x); tsis = n+1; for i = 1 : tsis A(i,1) = 1; for j = 2 : tsis A(i,j) = A(i,j-1)*x(i); endfor A(i, tsis+1) = y(i); endfor A C = fgauss(tsis,A) % coeficientes do polinomio interpolador %2-aproximação por serie de maclaurin %f1(x) = 0 + x + 0*x^2/2 - x^3/3 + 0*x^4/4! + x^5/5 ErroTruncamento1 = 1/7 %4-aproximação racional de padé %f1(x) = 0 + x + 0*x^2/2 - x^3/3 + 0*x^4/4! + x^5/5 ErroTruncamento1 = (na real ... visto no grafico) %R32 = (a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3)/(1 + b1x + b2*x^2) npade = 3; mpade = 2; M = npade + mpade; 178

%determinar coeficientes C %C COMEÇA DO 1 c = [0 1 0 -1/3 0 1/5] %calcular os Bs A=[ [c(3) c(4) -c(5)]; %o c(0) foi trocado por c(1) e etc pq o octave começa do 1 [c(4) c(5) -c(6)]; ];

b = fgauss(mpade, A); %B começa de 1, igual a formula do pade b aux=b(1); b(1)=b(2); b(2)=aux; b(3) = 0; %calcular os As a(1) = c(1); %o a(0) foi trocado por a(1) e etc =D a(2) = b(1)*c(1) + c(2); a(3) = b(2)*c(1) + b(1)*c(2) + c(3); a(4) = b(3)*c(1) + b(2)*c(2) + b(1)*c(3) + c(4); b a %R32 = (a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3)/(1 + b1x + b2*x^2)

np = 20*n; ap = -1; bp = 1; hp = (bp-ap)/np; xp = ap:hp:bp; yep = atan(xp); for i = 1 : np+1 yip(i) = resto(n, C, xp(i)); endfor yst = 0 .+ xp .+ 0 .*xp.^2 ./2 .- xp .^3 ./3 .+ 0 .*xp .^4 ./24 .+ xp .^5 ./120; ypade=(a(0+1) + a(1+1) .*xp + a(2+1) .*xp.^2 + a(3+1) .*xp.^3) ./(1 + b(1) .*xp + b(2) .*xp.^2); x=[x 1.2];y=[y 1.2]; xp Et=abs(yep-yst) Ep=abs(yep-ypade) %plot(x,y,'.',xp,yep,"r;f(x) = arctg(x);", xp,yip,"b;Pn(x) interpolador n=5;", xp, yst, "g; Série Maclaurim n=5;", xp, ypade, "c; Racional Pade R32;") plot(xp,Et,"r;Erro=|arctg(x)-f1(x)|, f1(x)=Série Maclaurim n=5;", xp, Ep, "m; Erro=|arctg(x)R32(x)|, R32(x)= Racional Pade;") grid 179

Avaliação de erro exato:

Et ( x) = arctg ( x) − f1 ( x )

(f1(x) obtido por Maclaurin com n=5)

Ep( x) = arctg ( x) − R32 ( x) x Et(x) Ep(x)

-1 0,1104 0.006268

(R32(x) obtido por Padé n=3 e m=2)

-0,5 0.00505 0.0001205

0 0 0,0

0,5 0.00505 0.0001205

1,0 0.1104 0.0062685

Note que os erros não estão uniformemente distribuídos, mantendo as características da série de Maclaurin que gerou a aproximação de Padé. A aproximação racional de Padé não 180

distribui o erro, mas o reduz muito em relação à série geradora. Com a aproximação de Maclaurin com n=5 termos, temos um erro de truncamento máximo estimado de ETmax =1/7=0,14286, que avaliado de forma exata chega a 0,1104, conforme tabela e gráfico acima, enquanto o erro máximo exato obtido com a aproximação de Padé R32 é no máximo 0,0062685. Por Maclaurin, seriam necessários 165 termos na série para se atingir um erro de truncamento da ordem de 0,006, enquanto na aproximação de Padé foi usado apenas M=5 no total. Exemplo: f(x)=exp(x) com n=5 termos na série de Maclaurin, Chebyshev n=4 e Padé R32.

Obtidos com o seguinte algoritmo: clear %Comparativo entre aproximações polinomial, séries de taylor, Chebyschev e Padé %1-Interpolação polinomial para grau n >= 2 a = -1; b = +1; n = 5; %ETmax = M.h^(n+1)/(n+1)=exp(1)*(2/n)^(n+1)/(n+1) => ETmax=0.0018557 para n=5 h = (b-a)/n; x = a : h : b; y = exp(x); tsis = n+1; for i = 1 : tsis A(i,1) = 1; for j = 2 : tsis A(i,j) = A(i,j-1)*x(i); endfor A(i, tsis+1) = y(i); endfor A 181

C = fgauss(tsis,A) % coeficientes do polinomio interpolador %2-aproximação por serie de maclaurin %ETmax = M.(x-0)^(n+1)/(n+1)! => ETmax=exp(1)*(1-0)^(n+1)/factorial(n+1) ETmax=0.0037754 para n=5 %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! %3-aproximação por serie com polinomios de Chebyschev %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! %f1(t) = t0 + t1 + 1/2!*(t2+t0)/2 + 1/3! * (t3 + 3t1)/4 + 1/4! * (t4 +4t2 +3t0)/8 + 1/5! * (t5 + 5t3 +10t1)/16 %f1(t) = (81*t0)/64+(217*t1)/192+(13*t2)/48+(17*t3)/384+t4/192+t5/1920 %f2(t) = (81*t0)/64+(217*t1)/192+(13 t2)/48+(17 t3)/384+t4/192 %f2(x) = (81)/64+(217x)/192+(13*(2x^2-1))/48+(17*(4x^3 - 3x))/384+(8x^4 -8x^2 +1)/192 %f2(x) = 1+(383 x)/384+x^2/2+(17 x^3)/96+x^4/24 %ET(x) ~=0.0037754 para n=5

%4-aproximação racional de padé %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! ErroTruncamento1 = 3.7*10-3 (na real 1.6*10-3 visto no grafico) %R32 = (a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3)/(1 + b1x + b2*x^2) %ET(x) ~=0.0037754 para n=5 npade = 3; mpade = 2; M = npade + mpade; %determinar coeficientes C %C COMEÇA DO 1 c = [1 1 1/2 1/6 1/24 1/120] %calcular os Bs A=[ [c(3) c(4) -c(5)]; %o c(0) foi trocado por c(1) e etc pq o octave começa do 1 [c(4) c(5) -c(6)]; ]; b= fgauss(mpade, A); %b começa em 1 mesmo, igual a formula do pade, pois bo=1 sempre. aux=b(1); b(1)=b(2); b(2)=aux; b(3) = 0; %para m=2 %calcular os As a(1) = c(1); %o a(0) foi trocado por a(1) e etc =D a(2) = b(1)*c(1) + c(2); a(3) = b(2)*c(1) + b(1)*c(2) + c(3); a(4) = b(3)*c(1) + b(2)*c(2) + b(1)*c(3) + c(4); a 182

b %R32 = (a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3)/(1 + b1x + b2*x^2) np = 1*n; ap = -1; bp = 1; hp = (bp-ap)/np; xp = ap:hp:bp; yep = exp(xp); for i = 1 : np+1 yip(i) = resto(n, C, xp(i)); endfor yst = 1 .+ xp .+ xp.^2 ./ factorial(2) .+ xp.^3 ./ factorial(3) .+ xp.^4 ./ factorial(4) .+ xp.^5 ./ factorial(5) ysc = 1 .+(383 .*xp)./384 +xp.^2 ./2 .+(17 .*xp.^3)./96 .+xp.^4 ./24; ypade = (a(0+1) + a(1+1) .*xp + a(2+1) .*xp.^2 + a(3+1) .*xp.^3) ./(1 + b(1) .*xp + b(2) .*xp.^2) Et=abs(yep-yst) Ec=abs(yep-ysc) Ep=abs(yep-ypade) x=[x 1.5]; y=[y 1.5]; %redimensionando os limites do grafico plot(x,y,".",xp,yep,"r;F(x)=exp(x);", xp,yip,"b;Pn(x) interpolador n=5;", xp, yst, "k;Serie Maclaurin n=5;", xp, ysc, "g; Serie Chebyschev n=4;", xp, ypade, "m; Pade R32;")

f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! -> Maclaurin com n=5. f2(x) = 1+(383 x)/384+x^2/2+(17 x^3)/96+x^4/24 -> Chebyschev com n=4 f3(x) = (1 +0.6x+0.15x2+0.16666667x3)/(1-0.4x+0.05x2) -> Padé R32(x) Avaliação de erro exato:

Et ( x) = arctg ( x) − f1 ( x )

x Et(x) Ec(x) Ep(x)

(f1(x) obtido por Maclaurin com n=5)

Ec ( x ) = arctg ( x) − f 2 ( x)

(f2(x) obtido por Chebyschev com n=4)

Ep( x) = arctg ( x) − R32 ( x)

(R32(x) obtido por Padé n=3 e m=2)

-1 1.2128.10

-0.6 -3

5.9636.10

-0,2 -5

8.6411.10

0.2 -8

9.1494.10

0,6 -8

7.0800.10

1,0 -5

1.6152.10-3

6.9194.10-4

9.9136.10-5

4.4008.10-4

4.4026.10-4

3.1300.10-5

2.1360.10-3

6.3349.10-5

4.0049.10-5

7.5450.10-5

1.0510.10-5

1.0831.10-5

3.3311.10-5

183

Para um exemplo com p4 ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 , para n = 4, m = 3 e M=7

q3 ( x) = 1 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3

c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c 4 x 4 + c5 x 5 + c 6 x 6 + c7 x 7 =

a0 + a1 x + a2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 1 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3

(c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 )(1 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4

(c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c 4 x 4 + c5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 )(1) + (c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c 4 x 4 + c5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 )(b1 x) + (c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c 4 x 4 + c5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 )(b2 x 2 ) + (c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c 4 x 4 + c5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 )(b3 x 3 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4

(c0 + c1 x + c2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 ) + (c0b1 x + c1b1 xx + c2b1 xx 2 + c 3b1 xx3 + c 4b1 xx 4 + c 5b1 xx5 + c 6b1 xx 6 + c 7b1 xx 7 ) + (c0b2 x 2 + c1b2 x 2 x + c2b2 x 2 x 2 + c 3b2 x 2 x 3 + c 4b2 x 2 x 4 + c 5b2 x 2 x 5 + c 6b2 x 2 x 6 + c 7b2 x 2 x 7 ) + (c0b3 x 3 + c1b3 x 3 x + c2b3 x 3 x 2 + c 3b3 x 3 x 3 + c 4b3 x 3 x 4 + c 5b3 x 3 x 5 + c 6b3 x 3 x 6 + c 7b3 x 3 x 7 ) = = a0 + a1 x + a2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4

184

(c0 ) + (c1 + c0b1 ) x + (c2 + c1b1 + c0b2 ) x 2 + (c3 + c2b1 + c1b2 + c0b3 ) x 3 + (c 4 + c 3b1 + c2b2 + c1b3 ) x 4 + (c5 + c 4b1 + c 3b2 + c2b3 ) x 5 + (c6 + c 5b1 + c 4b2 + c 3b3 ) x 6 + (c7 + c 6b1 + c 5b2 + c 4b3 ) x 7 + (c 7 b1 + c 6b2 + c 5b3 ) x 8 + (c 7 b2 + c 6b3 ) x 9 + (c 7 b3 ) x10 = a0 + a1 x + a2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 0x10 Resultado em: (c0 ) = a0

(c1 + c0b1 ) = a1 (c2 + c1b1 + c0b2 ) = a2 (c3 + c2b1 + c1b2 + c0b3 ) = a 3 (c 4 + c 3b1 + c2b2 + c1b3 ) = a 4 (c5 + c 4b1 + c3b2 + c2 b3 ) = 0 (c6 + c 5b1 + c 4b2 + c3b3 ) = 0 (c7 + c 6 b1 + c 5b2 + c 4b3 ) = 0 (c 7 b1 + c 6 b2 + c5b3 ) x 8 − despreza − se (c 7 b2 + c 6b3 ) x 9 − despreza − se (c 7 b3 ) x10 − despreza − se

Exercícios: Obtenha as seguintes aproximações de Padé: (i). R54(x) para f(x) = arctg(x). (ii). R33(x) para f(x) = x ln(1+x) (iii). R32(x) para f(x) = e-x Considerações: 1º). Não se tem uma forma prévia de se determinar os valores ideais de n e m para Rnm(x). Trata-se de um processo de tentativa e erro, os autores do método sugerem que se tome n = m ou n = m +1 ou n = m-1. Ex.: Para f(x) = ex tem-se que: 185

12 + 6x + x 2 e ≅ R 22 ( x) = 12 − 6x + x 2 x

e x ≅ R 40 ( x) = 1 + x + e x ≅ R 04 ( x ) =

x2 x3 x4 + + 2 6 24 1 2

x x3 x4 − + 1− x + 2 6 24

⇒ Emax = 0,0039961

⇒ Emax = 0,0099485 ⇒ Emax = 0,051615

Dentre as três aproximações apresentadas, a forma R22 é a que apresenta menor erro de truncamento. 2º). Para se obter uma aproximadora racional com distribuição uniforme de erros é necessário compensar os erros na série geradora. Desta forma se for utilizada previamente a série aproximadora por polinômios de Chebyschev no o (1º), se obtém uma distribuição de erros uniforme na aproximação racional. 3º). Pelos exemplos anteriores, nota-se que Padé não distribuiu uniformemente os erros em [-1;+1], que é um defeito previsível, pois a distribuição de erros é uma extensão de Chebyschev. Para sanar este problema, mescla-se Padé com Chebyschev. Desta forma é utilizada primeiramente a série aproximadora por polinômios de Chebyschev, distribuindo os erros e reduzindo o grau total se for o caso, para depois se obter a aproximadora racional de Padé sobre a série de Chebyschev em função de x. Assim, Obtém-se inicialmente o polinômio aproximador de Chebyshev de grau M (menor que o M usado na série de Mclaurin) para representar f(x) em termos de Ti(x), analogamento à série de Maclaurin : M

f ( x) ≅ t ( x) = ∑ ck Tk ( x) = c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM k =0

E aproximamos o polinômio aproximador de Chebyshev por uma forma Racional: M

∑ b T ( x) ≅ r ( x ) = k =0

k

k

a 0 + a1T1 + L + a n Tn 1 + b1T1 L + b m Tm , com n+m=M (b =1). 0

Fazendo

f ( x) ≅ t ( x) ≅ r ( x) ⇒ t ( x) − r ( x) = 0

a0 + a1T1 + L + a n Tn =0 1 + b1T1 L + b m Tm (c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM )(. 1 + b1T1 L + b m Tm ) − (a0 + a1T1 + L + a nTn ) = 0 1 + b1T1 L + b m Tm Assim, c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM −

(c0 + c1T1 + c2T2 + L+ cMTM )(. 1+ b1T1 L + bmTm ) − (a0 + a1T1 + L+ a nTn ) = 0

186

(c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM ).1 + (c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM ).b1T1 + M

(c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM ).bm Tm = (a0 + a1T1 + L + a nTn ) (c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM ) + (c0 .b1T1 + c1.b1T1T1 + c2 .b1T1T2 + L + c M .b1T1TM ) +

M

(c0 .bm Tm + c1.bm TmT1 + c2 .bm Tm T2 + L + c M .bm Tm TM ) = (a0 + a1T1 + L + a nTn )

Os produtos entre Ti e Tj podem ser simplificados considerando que Ti ( x) = cos(iθ ) : 1 1 Ti ( x).Tj ( x) = cos(iθ ). cos( jθ ) = (cos(i + j )θ + cos(i − j )θ ) = Ti + j ( x) + T|i- j| ( x) 2 2 (c0 .T0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM ) +

(

)

(c0 .b1T1 + c1.b1.(T2 + T0 ) / 2 + c2 .b1 (T3 + T1 )/2 + L + c M .b1 (TM+1 + TM-1 )) +

M

(c0 .bm Tm + c1.bm (Tm+1 + Tm−1 ) / 2 + c2 .bm (Tm+2 + Tm-2 )/2 + L + c M .bm (TM+ m + TM-m ) / 2) = (a0 .T0 + a1T1 + L + a nT

Agrupando termos:

(c0 + c1.b1 / 2 + ... ).T0 + (c1 + c0 .b1 + c2 .b1 / 2 + ...).T1 + (c2 + c1.b1 / 2 + ... ).T2 + M

(c M + c0 .bm + ...

M (....

).TM +

+ c M .bm / 2).TM+m = (a0 .T0 + a1T1 + L + a nTn )

Exemplo: Aproximar f(x)=exp(x) por 1. Série de Maclaurin de f(x)=exp(x) Com ETmax = M.(x-0)^(n+1)/(n+1)! => ETmax=exp(1)*(1-0)^(n+1)/factorial(n+1) ETmax=0.0037754 para n=5 %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! 2. Série com polinomios de Chebyschev de f(x)=exp(x) %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! %f1(T) = t0 + t1 + 1/2!*(t2+t0)/2 + 1/3! * (t3 + 3t1)/4 + 1/4! * (t4 +4t2 +3t0)/8 + 1/5! * (t5 + 5t3 +10t1)/16 %f1(T) = (81*t0)/64+(217*t1)/192+(13*t2)/48+(17*t3)/384+t4/192+t5/1920 Com n=4, mantemos a mesma ordemd e grandeza do erro: 0.0037754+1/1920=0.0042962 %f2(T) = (81*T0)/64+(217*T1)/192+(13 T2)/48+(17 T3)/384+T4/192 3. A partir do polinômio de Chebyshev acima, com M=4, aproxime uma forma Racional, R22(x): 187

M

f ( x) ≅ f 2 ( x) = ∑ c k Tk ( x ) = c0 + c1T1 + c2 T2 + L + c M TM k =0

onde c0=81/64, c1=217/192, c2=13/48, c3=17/384 e c4=1/192. Podemos aproximar o polinômio de Chebyshev acima por uma forma Racional R22(x), n=2 e m=2: a + a T + a 2T2 R22 ( x) = 0 1 1 1 + b1T1 + b 2 T2 , com n+m=M (b =1). 0

Igualando

f ( x) ≅ f 2 ( x) = c0 + c1T1 + c2 T2 + c3T3 + c 4 T4 f ( x) ≅ R22 ( x) =

a0 + a1T1 + a 2T2 1 + b1T1 + b 2 T2

Aproximando Chebyschev por Padé:

f 2 ( x) − R22 ( x) = 0 ⇒ c0 + c1T1 + c 2 T2 + c 3 T3 + c 4 T4 −

a0 + a1T1 + a 2T2 =0 1 + b1T1 + b 2 T2

Multiplicando ambos lados por ( 1 +b1T1 + b2T2 ):

(c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. 1 + b1T1 + b 2 T2 ) − (a0 + a1T1 + a 2T2 ) = 0 (1 + b1T1 + b 2 T2 )

(c0 + c1T1 + c2T2 + c3T3 + c4T4 )(. 1 + b1T1 + b2T2 ) − (a0 + a1T1 + a 2T2 ) = 0 (c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. 1) + (c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. b1T1 ) + (c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. b 2 T2 ) = (a0 + a1T1 + a 2T2 ) (c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. 1) + (c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. b1T1 ) + (c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 )(. b 2 T2 ) = (a0 + a1T1 + a 2T2 )

(c0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 ) + (c0 .b1T1 + c1.b1T1T1 + c2 .b1T1T2 + c 3 .b1T1T3 + c 4 .b1T1T4 ) + (c0 .b 2 T2 + c1.b 2 T2T1 + c2 .b 2 T2 T2 + c 3 .b 2 T2 T3 + c 4 .b 2 T2 T4 ) = (a0 + a1T1 + a 2T2 ) Os produtos entre Ti e Tj podem ser simplificados considerando que Ti ( x) = cos(iθ ) : 1 1 Ti ( x).Tj ( x) = cos(iθ ). cos( jθ ) = (cos(i + j )θ + cos(i − j )θ ) = Ti + j ( x) + T|i- j| ( x) 2 2 (c0 .T0 + c1T1 + c2 T2 + c 3T3 + c 4 T4 ) +

(

)

(c0 .b1T1 + c1.b1 (T2 + T0 ) / 2 + c2 .b1 (T3 + T1 )/2 + c 3 .b1 (T4 + T2 )/2 + c 4 .b1 (T5 + T3 ) / 2) + (c0 .b 2 T2 + c1 .b 2 (T3 + T1 ) / 2 + c2 .b 2 (T4 + T0 )/2 + c 3 .b 2 (T5 + T1 )/2 + c 4 .b 2 (T6 + T2 ) / 2) = (a0 .T0 + a1T1 + a 2T2 ) 188

(c0 + c1 .b1 / 2 + c2 .b 2 /2).T0 + (c1 + c0 .b1 + c2 .b1 /2 + c1 .b 2 / 2 + c 3 .b 2 /2).T1 + (c2 + c0 .b 2 + c1 .b1 / 2 + c3 .b1 /2 + c 4 .b 2 / 2).T2 + (c 3 + c2 .b1 /2 + c 4 .b1 / 2 + c1 .b 2 / 2).T3 + (c 4 + c 3 .b1 /2 + c2 .b 2 /2).T4 + (c 4 .b1 / 2 + c 3 .b 2 )/2).T5 + (c 4 .b 2 / 2).T6 = (a0 .T0 + a1T1 + a 2T2 ) Igualando termos de mesma ordem:

(c0 + c1 .b1 / 2 + c2 .b 2 /2).T0 = (a0 .T0 )  (c1 + c0 .b1 + c 2 .b1 /2 + c1 .b 2 / 2 + c 3 .b 2 /2).T1 = (a1T1 ) (c + c .b + c .b / 2 + c .b /2 + c .b / 2).T = (a T ) 3 1 4 2 2 2 2  2 0 2 1 1 (c 3 + c2 .b1 /2 + c 4 .b1 / 2 + c1 .b 2 / 2).T3 = 0  (c 4 + c 3 .b1 /2 + c2 .b 2 /2).T4 = 0 (c 4 .b1 / 2 + c 3 .b 2 )/2).T5 = 0 ⇒ desprezar

(c 4 .b 2 / 2).T6 = 0

⇒ desprezar

(c 2 /2 + c 4 / 2 ).b1 + c1 .b 2 / 2 = −c 3  c 3 .b1 /2 + c 2 .b 2 /2 = −c 4 a0 . = (c0 + c1 .b1 / 2 + c 2 .b 2 /2)  a1 = (c1 + c0 .b1 + c2 .b1 /2 + c1 .b 2 / 2 + c 3 .b 2 /2) a = (c + c .b + c .b / 2 + c .b /2 + c .b / 2) 2 0 2 1 1 3 1 4 2  2 Resolvendos os sistema acima via algortimo abaixo, temos:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------%Comparativo entre aproximações polinomial, séries de taylor, Chebyschev, Padé e PadéChebyschev %1-Interpolação polinomial para grau n >= 2 a = -1; b = +1; n = 5; %ETmax = M.h^(n+1)/(n+1)=exp(1)*(2/n)^(n+1)/(n+1) => ETmax=0.0018557 para n=5 h = (b-a)/n; x = a : h : b; y = exp(x); tsis = n+1; for i = 1 : tsis A(i,1) = 1; for j = 2 : tsis A(i,j) = A(i,j-1)*x(i); endfor A(i, tsis+1) = y(i); endfor A C = fgauss(tsis,A) % coeficientes do polinomio interpolador 189

%2-aproximação por serie de maclaurin %ETmax = M.(x-0)^(n+1)/(n+1)! => ETmax=exp(1)*(1-0)^(n+1)/factorial(n+1) ETmax=0.0037754 para n=5 %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! %3-aproximação por serie com polinomios de Chebyschev %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! %f1(t) = t0 + t1 + 1/2!*(t2+t0)/2 + 1/3! * (t3 + 3t1)/4 + 1/4! * (t4 +4t2 +3t0)/8 + 1/5! * (t5 + 5t3 +10t1)/16 %f1(t) = (81*t0)/64+(217*t1)/192+(13*t2)/48+(17*t3)/384+t4/192+t5/1920 %f2(t) = (81*t0)/64+(217*t1)/192+(13 t2)/48+(17 t3)/384+t4/192 %f2(x) = (81)/64+(217x)/192+(13*(2x^2-1))/48+(17*(4x^3 - 3x))/384+(8x^4 -8x^2 +1)/192 %f2(x) = 1+(383 x)/384+x^2/2+(17 x^3)/96+x^4/24 %ET(x) ~=0.0037754 para n=5

%4-aproximação racional de padé %f1(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! ErroTruncamento1 = 3.7*10-3 (na real 1.6*10-3 visto no grafico) %R32 = (a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3)/(1 + b1x + b2*x^2) %ET(x) ~=0.0037754 para n=5 npade = 3; mpade = 2; M = npade + mpade; %determinar coeficientes c %c COMEÇA DO 1 c = [1 1 1/2 1/6 1/24 1/120] %o c(0) foi trocado por c(1) e etc =D %calcular os Bs A=[ [c(3) c(4) -c(5)]; %o c(0) foi trocado por c(1) e etc pq o octave começa do 1 [c(4) c(5) -c(6)]; ];

baux= fgauss(mpade, A); %b começa em 1 mesmo, igual a formula do pade, pois bo=1 sempre. b(1)=baux(2) b(2)=baux(1) %o b(0) NÃO foi trocado por b(1), pois só usamos b(1 e b(2) b(3) = 0 %para m=2 %calcular os As a(1) = c(1); %o a(0) foi trocado por a(1) e etc =D a(2) = b(1)*c(1) + c(2); a(3) = b(2)*c(1) + b(1)*c(2) + c(3); a(4) = b(3)*c(1) + b(2)*c(2) + b(1)*c(3) + c(4); %R32 = (a1 + a2x + a3x^2 + a4x^3)/(1 + b1x + b2*x^2) 190

%5-aproximação racional de Padé sobre serie com polinomios de Chebyschev de M=4 termos %f2(t) = (81*t0)/64+(217*t1)/192+(13 t2)/48+(17 t3)/384+t4/192 %R22(x)=(a1.T0 + a2.T1+ a3.T2 )/(1 + b1.T1 + b2.T2) npade2 = 2; mpade2 = 2; M2 = npade2 + mpade2; %determinar coeficientes c %c COMEÇA DO 1 c2 = [81/64 217/192 13/48 17/384 1/192] %calcular os b's A2=[ [(c2(3)/2+c2(5)/2) c2(2)/2 -c2(4)]; %o c(0) foi trocado por c(1) e etc pq o octave começa do 1 [ c2(4)/2 c2(3)/2 -c2(5)]; ]; b2= fgauss(mpade2, A2); %b começa em 1 mesmo, igual a formula do pade, pois bo=1 sempre. a2(1) = c2(1) +c2(2)*b2(1)/2+c2(3)*b2(2)/2; %o a(0) foi trocado por a(1) e etc =D a2(2) = c2(2)+c2(1)*b2(1)+c2(3)*b2(1)/2+c2(2)*b2(2)/2+c2(4)*b2(2)/2; a2(3) = c2(3)+c2(1)*b2(2)+c2(2)*b2(1)/2+c2(4)*b2(1)/2+c2(5)*b2(2)/2; np = 20*n; ap = -1; bp = 1; hp = (bp-ap)/np; xp = ap:hp:bp; yep = exp(xp); for i = 1 : np+1 yip(i) = resto(n, C, xp(i)); endfor yst = 1 .+ xp .+ xp.^2 ./ factorial(2) .+ xp.^3 ./ factorial(3) .+ xp.^4 ./ factorial(4) .+ xp.^5 ./ factorial(5); ysc = 1 .+(383 .*xp)./384 +xp.^2 ./2 .+(17 .*xp.^3)./96 .+xp.^4 ./24; ypade = (a(0+1) + a(1+1) .*xp + a(2+1) .*xp.^2 + a(3+1) .*xp.^3) ./(1 + b(1) .*xp + b(2) .*xp.^2); ypade2 = (a2(0+1)*1 + a2(1+1) .*xp + a2(2+1) .*(2.*xp.^2.-1) ) ./(1 + b2(1) .*xp + b2(2) .*(2.*xp.^2-1)); Et=abs(yep-yst); Ec=abs(yep-ysc); Ep=abs(yep-ypade); Epc=abs(yep-ypade2); plot(xp,Et,"k;Erro=|f(x)-f1(x)|, f1(x)=Serie Maclaurim n=5;",xp,Ec,"g;Erro=|f(x)-f2(x)|, f2(x)=Serie Chebyschev n=4;", xp, Ep, "m; Erro=|f(x)-R32(x)|, R32(x)= Racional Pade 191

M=5;", xp, Epc, "c; Erro=|f(x)-R22(x)|, R22(x)= Racional Pade-Chebyschev M=4;") %plot(xp,yep,"r;F(x)=exp(x);", xp,yip,"b;Pn(x) interpolador n=5;", xp, yst, "k;Serie Maclaurin n=5;", xp, ysc, "g; Serie Chebyschev M=4;", xp, ypade, "m; Pade R32;", xp, ypade2, "c; Pade-Chebyschev R22;") Grid -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Conclusão: os Erros da aproximação racional de Chebyschev-Padé com M=4 se mantém de forma distribuída e na mesma ordem da série de Chebyschev, não traz novas vantagens computacionais. Padé com M=5 é bem superior às demais aproximações de mesmo número de termos. Exercício: Para f(x) = ex determine a). o polinômio aproximador de Chebyshev de grau M=4; b). a aproximação racional R22(x) a partir do aproximador de Chebyshev em x e calcule os 12 + 6x + x 2 erros exatos. Compare com e x ≅ R 22 ( x) = ⇒ Emax = 0,0039961; 12 − 6x + x 2 c). a aproximação racional R40(x) a partir do aproximador de Chebyshev e calcule os erros x2 x3 x4 x exatos. Compare com e ≅ R 40 ( x) = 1 + x + + + ⇒ Emax = 0,0099485; 2 6 24 d). a aproximação racional R04(x) a partir do aproximador de Chebyshev e calcule os erros 1 exatos. Compare com e x ≅ R 04 ( x ) = ⇒ Emax = 0,051615; 2 x x3 x4 1− x + − + 2 6 24

192

Capítulo 7 - Aproximação por Ajuste, com coeficientes linearess e não lineares 7.1). .1). Aproximação por Ajuste de Curvas: No capítulo anterior, abordamos a aproximação da função tabelada (xk,yk), com yk = f(xk), por interpolação polinomial, interpolação por Splines cúbicas e Curvas de Bezier. xk x1 yk = f(xk) y1

... ...

xm ym

Contudo, quando a função tabelada for oriunda de experimentos, coleta de dados ... , desde que não caracterize caminhos, nenhuma das técnicas anteriores é adequada.

m=41 pontos experimentais. figura 1 - Exemplo de distribuição de dados obtidas experimentalmente. Pode-se se observar no exemplo da figura 1 que os 'm' pontos seguem uma tendência, caracterizando o seu comportamento, nestes casos é preferível escolher uma função que represente esta tendência, ao invés de ar uma função interpoladora que e sobre todos os m pontos. Para isto deve-se se observar o seguinte: (1º). Em experimentos tem--se, se, geralmente, uma grande quantidade de pontos coletados; (2º). Alguns pontos coletados podem estar afetados por erros inerentes (de observação, calibragem, etc,...) e que não devem afetar a aproximação; (3º). A plotagem dos pontos pode sugerir uma função com tendência conhecida e que não seja polinomial. Definição 1:: Uma função de ajuste é uma função com tendência previamente previamente conhecida e que mais se aproxima de todos os pontos (xk,yk), k=1,2,...,m, e não, necessariamente, os contém. Para quantificar a curva que "mais se aproxima de todos os pontos", pode-se pode recorrer a minimização dos desvios os pontos tabelados a curva ajustada. Definição 2:: Para uma função experimental tabelada (xk,yk), k=1,2,...,m, e uma representante de sua tendência y = g(x), denomina-se denomina de desvio local dk a seguinte expressão: 193

d k = g( x k ) − y k

figura 2 – Exemplo de desvio local dk em xk. Agora, vamos tentar obter g(x) de modo que: m

(i).

∑d k =1

seja mínima:

k

Nesse critério os valores de dk podem se cancelar, mesmo se tiverem valores altos, se o sinais forem contrários. Então não é uma forma adequada, pois é ambígua, não distingue o bom ajuste do ruim. Existem várias curvas que satisfazem o critério (i). m

(ii).

∑| d k =1

k

| seja mínima:

Também uma forma ambígua, que não distingue dentre os ajustes bom e ruim, e não permite minização. m

(iii).

∑d k =1

2 k

seja mínima:

Com esta soma quadrática dos desvios, tem-se tem se as seguintes características: - Desaparece o sinal - Enfatizam-se se os grandes desvios - Minimizam-se se os pequenos desvios - Não é ambígua, só existe uma função g(x) que satisfaça este critério critério Portanto com este critério se consegue distinguir o bom ajuste do ruim. Por exemplo, se aos casos visualizados na figura 4 tem-se: tem Reportando-se 194

m

(4i)

∑d k =1 m

(4ii)

∑d k =1

= 25

k

k

= 17

6.1.1). Método dos Mínimos Quadrados para Ajuste a Curvas Polinomiais:

Para a função desconhecida tabelada em ‘m’ pontos abaixo: xk x1 yk = f(xk) y1

x2 y2

... ...

xm ym

pode-se propor o ajuste dos pontos a um polinômio Pn(x) de grau n (n<m), ou a uma outra função que melhor represente os m pontos:

Pn ( x) = a1 x n + a2 x n −1 + ... + +an x + an +1 e

dk = Pn ( xk ) − yk = a1 xkn + a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk Então,

∑ d =∑ [a x m

k =1

m

2 k

k =1

n 1 k

+ a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk

]

2

m

E´ necessário agora minimizar

∑d k =1

dada por ϕ (a1 , a2 ,..., an +1 )

2 k

, que é uma função dos coeficientes do polinômio,

ϕ (a1 , a2 ,..., an +1 ) = ∑ d k2 =∑ [a1xkn + a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk ] m

m

k =1

k =1

2

Para minimizar ϕ (a1 , a2 ,..., an +1 ) , primeiramente determinam-se os pontos críticos da seguinte forma:

∂ϕ ∂ϕ = 0, = 0 , ... ∂a 2 ∂a1

∂ϕ =0 ∂an +1

onde

∂ϕ m = ∑ 2[a1 xkn + a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk ].xkn = 0 ∂a1 k =1 m ∂ϕ = ∑ 2[a1 xkn + a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk ].xkn −1 = 0 ∂a2 k =1 M 195

m ∂ϕ = ∑ 2[a1 xkn + a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk ].x1k = 0 ∂an k =1 m ∂ϕ = ∑ 2[a1 xkn + a2 xkn −1 + ... + an xk + an +1 − yk ].1 = 0 ∂an +1 k =1

Dividindo as expressões anteriores por dois e desenvolvendo os 'm' somatórios em cada parcela, tem-se, por exemplo, m m m m ∂ϕ m = ∑ a1 xk2 n + ∑ a1 xk2 n −1 + ... + ∑ an xkn +1 + ∑ an +1 xkn − ∑ xkn yk = 0 ∂a1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 m m m m m ∂ϕ = ∑ a1 xk2 n −1 + ∑ a1 xk2 n − 2 + ... + ∑ an xkn + ∑ an +1 xkn −1 − ∑ xkn −1 yk = 0 ∂a2 k =1 k =1 k =1 k =1 k =1

M

m m m m m ∂ϕ = ∑ a1 xkn +1 + ∑ a1 xkn + ... + ∑ an xk2 + ∑ an +1 x1k − ∑ x1k yk = 0 ∂an k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 m m m m m ∂ϕ = ∑ a1 xkn + ∑ a1 xkn −1 + ... + ∑ an x1k + ∑ an +1 − ∑ yk = 0 ∂an +1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =1

m

Considerando

∑a k =1

n +1

= (an +1 + an +1 + ... + an +1 + an +1 ) = m.an +1 . 14444 4244444 3 m vezes

São geradas neqs=n+1 equações linerares: m

m

m

k =1 m

k =1

m

m

k =1 m

k =1

f1 ( a1 , a2 ,..., an , an +1 , ) = ∑ a1 xk2 n + ∑ a1 xk2 n −1 + ... + ∑ an xkn +1 + ∑ an +1 xkn − ∑ xkn yk = 0 k =1

m

m

k =1

k =1

m

f 2 ( a1 , a2 ,..., an , an +1 , ) = ∑ a1 xk2 n −1 + ∑ a1 xk2 n − 2 + ... + ∑ an xkn + ∑ an +1 xkn −1 − ∑ xkn −1 yk = 0 k =1

k =1

k =1

M m

m

m

m

m

k =1 m

k =1 m

f n ( a1 , a2 ,..., an , an +1 , ) = ∑ a1 xkn +1 + ∑ a1 xkn + ... + ∑ an xk2 + ∑ an +1 x1k − ∑ x1k yk = 0 k =1 m

k =1 m

k =1 m

f n +1 ( a1 , a2 ,..., an , an +1 , ) = ∑ a1 xkn + ∑ a1 xkn −1 + ... + ∑ an x1k + ∑ an +1 − ∑ yk = 0 k =1

k =1

k =1

k =1

k =1

Reescrevendo em forma de sistema linear, tem-se:

      

∑x ∑x

2n k 2 n −1 k

∑x ∑x

2 n −1 k 2 n−2 k

∑x ∑x

L

2 n − ( n −1) k

n k

L

∑x ∑x

2 n −( n ) k

M

∑x

n k

Obs.: Entende-se

∑x ∑x

n −1 k

∑x

L

1 k

m

n −1 k

 a  ∑ xkn y k   1    n −1   a 2  ∑ x k y k   M  =   M      an+1   y  ∑ k  neqs 

(*)

m

k

como

∑x k =1

k

.

A solução deste sistema linear de neqs x neqs = (n+1)x(n+1) equações fornece os n+1

196

m

coeficientes de Pn (x) com o menor desvio quadrátrico

∑d k =1

2 k

.

Faz-se necessário verificar qual é o grau m mais adequado ao ajuste de Pm(x) ao conjunto de pontos tabelados. Ex. Ajuste o conjunto de pontos tabelados abaixo a uma reta e estime f(5) e f(10). xk 1 yk = f(xk) 0

3 1

4 2

6 4

8 5

Solução: Temos m = 5 pontos e o grau do polinômio ajustador n = 1. P1 ( x ) = a1 x + a 2

Aplicando o sistema (*) 22 a1  75 126 22 5  a  = 12     2  

a1 = 0.7603  a 2 = − 0.9458

⇒

P1 ( x ) = 0 .7603 x − 0 .9458

avaliação por divisão sintética ou por Horner f ( 5) ≅ P1 ( 5) = 2 .85 f (10) ≅ P1 (10) = 6.65 Deve-se analisar qual seria a maneira mais eficiente de resolver o sistema (*), neste sentido verifica-se que o sistema (*) é de pequeno porte e formado por uma matriz densa de coeficientes, o que sugere a utilização de um método direto para resolução. Adicionalmente observa-se que o sistema (*) é simétrico ( a ij =

m

∑x k =1

2 n−(i + j −2) k

) e que normalmente este é

considerado um sistema mal condicionado. O mal condicionamento do sistema (*) é acentuado com a proximidade numérica entre os valores de xk. No sistema formado no exemplo anterior o condicionamento da matriz A de coeficientes pode ser dada por:

A =

det(A ) α 1α 2

onde α i =

m

∑a j =1

2 ij

A = 0 ,05

Portanto, o sistema do exemplo anterior é mal condicionado, o que sugere um método específico para sua resolução. No caso de sistemas de equações mal condicionados é recomendado que se utilize um método de decomposição LU. Neste caso o método de Cholesky é particularmente interessante para a resolução destes sistemas com matriz de coeficientes simétricas e positivas definida. 197

Ex.: Para xk 0 yk = f(xk) 1

0,25 1,284

0,5 1,6487

0,75 2,117

1,0 2,7183

Estime f(0,6) através de: a). ajuste linear; b). ajuste parabólico. Decida sobre qual é o resultado mais confiável. Solução: n = 1 e m = 5 ⇒ p1 ( x ) = a1 x + a 2

a). Ajuste Linear:

Montando o sistema (*) de equações tem-se

 1,875 2,5 a1  5,4514 2,5 5  a  = 8,768     2  

⇒

a 1 = 1,70784  a 2 = 0,89968

(Método LU Cholesky)

p1 ( x) = 1,70784x + 0,89968 ⇒ melhor reta possível f (0,6) ≅ p1 (0,6) = 1,9244 b). Ajuste parabólico: n = 2 e m = 5 ⇒ p1 ( x) = a1 x 2 + a2 x + a3 De (*) tem-se

1,3828 1,5625  1,875

1,5625 1,875 2,5

1,875 a1  4,4015 2,5  a2  = 5,4514 5  a3  8,768 

⇒

a 1 = 0,84366  a 2 = 0,86418 a = 1,00514  3

(Método LU

Cholesky)

p2 ( x) = 0,84366 x 2 + 0,86418.x + 1,00514 ⇒ melhor parábola possível

f (0,6) ≅ p2 (0,6) = 1,8274 Via de regra, o resultado mais confiável é o da curva polinomial na qual ocorre o menor m

desvio total D = ∑ d k2 . Para se ter um padrão de comparação, normalmente adota-se o valor k =1

normalizado do desvio total, dado por:

D=

1 m 2 ∑ dk m k =1

Neste exemplo, tem-se ⇒ D = 0,00800 Para a reta e para a parábola ⇒ D = 0,00005 198

Conclusão: O resultado considerado mais confiável é o da parábola, por ter o menor desvio total em relação aos pontos tabelados. Esta conclusão não é válida em casos de polinomiais com grandes variações de curvatura, existentes em polinomiais de grau elevado. O ponto crítico determinado só pode ser um ponto de mínimo desvio, pois por exclusão, não pode ser um ponto de máximo desvio, uma vez que sempre é possível obter-se uma nova função ajustadora mais longe dos pontos experimentais e assim nunca podemos atingir um ponto de máximo desvio quadrático, sempre haverá uma curva mais longe dos pontos experimentais. Por outro lado, pode-se calcular a matriz Hessiana, com as derivadas de 2ª ordem: Q R

P

Q

Q R

,…,

,…,

Q P = VV Q R ,…, V

P# = V

Q R 2

Q R 2

Q 2 VQ R

…

Q

Q

1 , … , W+1 2 Q W+1 1 , … , W+1

W+1 Q 1, … , 2 Q W

W

W+1

+ST,

=U>0

Q R

Q Q R

Q R 2

Q 2 Q R Q R 2

Q

,…,

Q ,…, Q

V V

+ST, ,+S

1 , … , W+1

Q R

1 , … , W+1

Q 2 Q R

W+1 Q W

1 , … , W+1 2 Q W

WQ

W−1

2

Q R 2

V = V

U

∑x

∑ xk

∑x

m

k =1

m

1 , … , W+1 2 V Q W

m

k =1

1 , … , W+1

W Q W−1 1 , … , W+1 2 Q W−1

V =V V

k

k =1

U

V

V

V >0 V 2 k

m

∑ xk k =1

m

m

m

∑x k =1

2 k

m

∑ x ∑x ∑ x k =1 m

k

∑ xk2 k =1

k =1 m

2 k

∑ xk3 k =1

k =1

3 k

m

∑x k =1

4 k

V

V>0 V

E assim por diante, se H1>0, H2>0, ..., Hn>0, então A matriz H é positiva definida e o ponto crítico obtido (a1 , a2 ,..., an+1 ) é um ponto de mínimo. 6.1.2 - Ajuste por Mínimos Quadrados a Funções não Polinomiais: Quando a plotagem, ou outra técnica, sugerir que o conjunto de pontos xk x1 x2 ... xm yk = f(xk) y1 y2 ... ym tem tendência não polinomial ‘conhecida’, o ajuste poderá ser efetuado por: 1°). Dedução direta para a forma não polinomial: A exemplo do efetuado para funções polinomiais pode-se deduzir uma função própria representativa dos pontos tabelados. Exemplos: a). Ajuste de 'm' pontos tabelados a uma curva do tipo:

g( x) = a x 2 + b ln(x)

(exemplo com coeficiente ‘a’ e ‘b’ LINEARES) 199

Note que nenhuma transformação de variáveis gera uma função polinomial, por isso para obter procede-se a minimização do desvio quadrático total D que é uma função dos parâmetros (a,b):

ϕ (a, b) = ∑ d k2 =∑ [axk2 + b ln( xk ) − yk ] m

m

k =1

k =1

2

Minimizando ϕ ( a , b ) em relação a (a, b), tem-se

∂ϕ =0 e ∂a onde

∂ϕ =0 ∂b

∂ϕ m = ∑ 2[axk2 + b ln( xk ) − yk ].xk2 = 0 ∂a k =1 ∂ϕ m = ∑ 2[axk2 + b ln( xk ) − yk ]. ln( xk ) = 0 ∂b k =1

(

) ( ) (

) )

 ∑ xk4 a + ∑ ( xk2 ln xk ) b = ∑ ( y k xk2 )  2 2  ∑ ( xk ln x k ) a + ∑ (ln xk ) b = ∑ ( y k ln x k )

(

Note que o sistema acima é linear, pois a função representativa g( x) = a x 2 + b ln(x) é linear em relação aos coeficientes a e b. b). Ajuste de 'm' pontos tabelados a uma curva do tipo:

h( x) = a x 2 + ln(bx)

(exemplo com coeficientes ‘a’ e ‘b’ NÃO LINEARES)

Note que também nenhuma transformação de variáveis gera uma função polinomial (2o. modo solução), por isso procede-se a minimização do desvio quadrático total D que é uma função dos parâmetros (a,b):

ϕ (a, b) = ∑ d =∑ [axk2 + ln(bxk ) − yk ] m

k =1

m

2 k

2

k =1

Minimizando ϕ ( a , b ) em relação a 'a' e 'b', determina-se as derivadas de ϕ em relação a 'a' e 'b', e gera-se um sistema não linear em relação aos coeficientes (a,b), pois as funções derivadas, f1(a,b) e f2(a,b), são não lineares em relação 'a' e 'b'. m ∂ϕ (a, b) = 2.∑ axk2 + ln(bxk ) − yk . xk2 = 0 ∂a k =1

[

][ ]

[

]. bxx

m ∂ϕ ( a, b) = 2.∑ axk2 + ln(bxk ) − y k ∂b k =1

 =0 k 

k



200

Nesses casos temos que determinar os valores de 'a' e 'b' pelo método de Newton, a partir de um valor inicial (ao,bo): m  f (a, b) = axk2 + ln(bxk ) − y k . xk2 = 0 ∑ 1  k =1  m 1 f (a, b) = axk2 + ln(bxk ) − y k .  = 0 ∑ 2  b  k =1

[

][ ]

[

]

Exercício em computador: A equação de estado de Redlich–Kwong, permite relacionar propriedades termodinâmicas de gases reais, como o ar, por exemplo, com P como variavel depentente de v e T: X Y, Z =

[∗Z

Y ]

−

^

√Z .Y. Y ]

(1)

Onde R é a constante universal dos gases = 8,314 (J)/(mol.K) e os valores de 'a' e 'b' são parâmetros de cada gás, que podem ser determinados a partir de valores de propriedades físicas do gás: P,v,T medidos experimentantalmente. Como toda medição experimental possui erros "inerentes", então procedemos uma série de 'm' medições com o intuito compensar os erros de uma medida para outra. Nesse exemplo, foram efetuadas 20 medições da variável pressão, que é função de outras duas. Foram descartadas 2 medições e serão consideradas m=18 medições efetivas para a determinação dos parâmetros 'a' e 'b' do gás, conforme segue: m=18 % Número de pontos experimentais v=[9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 ] %v(m3/mol) T=[300 310 320 340 360 370 380 390 400 410 420 440 460 470 480 490 500 510 ] % T (K) P=[277.4415 303.5736 332.9762 377.4045 428.1888 473.9876 527.4325 590.6120 666.4529 379.1701 411.2932 457.8422 510.6061 559.0243 614.9029 680.1102 757.1948 849.7274] % P (Pa)

Se tivessemos 2 pontos obtidos com exatidão, poderíamos substitui-los na eq. (1) de Redlich– Kwong, gerando 2 equações não lineares, conforme abaixo: ` a, b =

c∗d

e

f

−

+

√d .e . e

f

− g1 = 0

e

` a, b =

c∗d

e

f

−

+

√d .e . e

− g2 = 0

f

e determinar os 2 valores incógnitas, ‘a’ e ‘b’, usando o Método de Newton, mas ao invés de 2 pontos exatos, temos m=18 experimentais, que podem compensar os seus erros pela repetição do experimento. Assim, vamos usar o método de ajuste dos parâmetros 'a' e 'b' pela minimização do desvio quadrático c∗d + entre a variável Pressão, g h, i = − , calculado em cada ponto (v(k),T(k)) e o valor e f

√d .e. e f

efetivamente medido de P(k), com k=1 a m. Então a função desvio total quadrático fica, como na eq. (2) abaixo: , K = ∑o k 9

R

−

c∗d 9

e 9

f

+

ld 9 .e 9 . e 9

−g m n

f

(2)

Para determinar os parâmetros 'a' e 'b', vamos obter o ponto crítico de D em relação a 'a' e 'b': pq +,f p+

pq +,f pf

= 2. ∑o k 9 = 2. ∑o k 9

c∗d 9

e 9

f

c∗d 9

e 9

f

− −

+

ld 9 .e 9 . e 9 +

ld 9 .e 9 . e 9

f f

− g m n . k−

ld 9 .e 9 e 9

− g m n . kr ∗ i m .

e 9

.

f

f 2

n=0

−

(3) +

ld 9 .e 9

Então, determine 'a' e 'b', resolvendo as duas equações não lineares abaixo:

.

e 9

n f 2

= 0 (4)

201

s1

, K = ∑o k 9

c∗d 9

e 9

f

−

+

ld 9 .e 9 . e 9

Tratando a=x(1) e =x(2), temos:

f

− g m n . k−

ld 9 .e 9 e 9

f

n=0

(5)

function y=f1(m,R,P,v,T,x) y=y+(R*T(k)/(v(k)-x(2))-x(1)/(sqrt(T(k))*v(k)*(v(k)+x(2)))-P(k))*(-1./(sqrt(T(k))*v(k)*(v(k)+x(2)))); end

s2

, K = ∑o k 9

c∗d 9

e 9

f

−

+

ld 9 .e 9 . e 9

Tratando a=x(1) e =x(2), temos:

f

− g m n . kr ∗ i m .

e 9

f 2

+

+

ld 9 .e 9

.

e 9

n f 2

= 0 (6)

function y=f2(m,R,P,v,T,x) y=y+(R*T(k)/(v(k)-x(2))-x(1)/(sqrt(T(k))*v(k)*(v(k)+x(2)))-P(k))*(+R*T(k)/(v(k)-x(2))^2+x(1)/ (sqrt(T(k))*v(k)*(v(k)+x(2))^2)); end

Sugestão: aplique o Método de Newton, com derivadas calculadas numericamente, para resolver as o o equações (5) e (6) acima, a partir do valor inicial nulo (a ;b )=(0;0). Calcule também o desvio quadrático total médio, eq. (7), entre os valores das Pressões P obtidas com a eq. (1), usando Tk, vk e ‘a’, ‘b’,obtidos das eqs. (5) e (6), em relação aos m=18 pontos Pk experimentais: R=

o

∑o t 9

c∗d 9

e 9

f

−

+

ld 9 .e 9 . e 9

f

−g m u

(7)

Respostas: a = 0.0071255, b = 0.0099997, erro = 1.1086e-009, D = 3.1853e-009 % Construindo grafico 3D da superficie P-v-T: % Calculando os: hv=(v(m)-v(1))/100; hT=(T(m)-T(1))/100; % Definindo pontos: vp=v(1):hv:v(m); Tp=T(1):hT:T(m); for i=1:101 for j=1:101 Pp(i,j)=funçãoP(a,b,R,vp(i),Tp(j)); end end % Plotando: surf(vp,Tp,Pp) xlabel('v(m3/mol)') ylabel('T(K)') zlabel('P(Pa)') grid on axis square hold on plot3(v,T,P,'*') hold off --------------xxxxx-------------------Function y=funçãoP(a,b,R,vp,Tp); y=R*Tp/(vp-b)-a/(sqrt(Tp)*vp*(vp+b)); end

202

2ª). Transformação de Variáveis: “Algumas formas não polinomiais”, permitem transformar a forma não polinomial em uma polinomial, através de artifícios algébricos (mudança de variáveis), resolver o Ajuste polinomial transformado, via (*) e posteriormente retornar a forma não polinomial de origem, mas não geram exatametne os mesmos resultados, pois o ajuste é feito sobre uma função transformada, busca-se o menor desvio quadrático da função trasnformada, não da função original. Exemplos: 203

a). Exponenciais: y = a b x ( b = acelerador ou desacelerador exponencial) ln( y ) = ln( a ) + x ln( b ) = ln( b ). x + ln( a )

Fazendo ln( y ) = z ; ln( b ) = a1 ; ln( a ) = a 2 tem-se z = a 2 x + a1

que é um polinômio de 1° grau em ( x k , z k )

Promove-se o ajuste linear ao conjunto de pontos ( x k , z k ) , onde z k = ln( y k ) , para se determinar a1 e a 2 . Obtidos os coeficientes a1 e a 2 do polinômio recuperam-se os valores de a e b através de suas relações: a = e a2 b = e a1

Exemplo: Ajuste a tabela

xk yk

1 3 2,5 13

4 22

6 36

a uma curva exponencial do tipo y = a b x . Estime f(2,5) e avalie o valor de x correspondente a y = 50. Solução:

y = a b x ⇒ ln( y ) = ln(a ) + x ln( b ) Montando o sistema para (xk,ln(yk)) tem-se

 62 14 a1  42,473 14 4  a  = 10,155     2  

⇒

a1 = 0,533  a 2 = 0.673

Retornando aos valores de a e b tem-se:

a = e 0,673 = 1,960 b = e 0 ,533 = 1,704

y = 1,96 (1,704) x f( 2,5) = 1,96 (1,704) 2 ,5 = 7,429 50 = 1,96 (1,704) x ⇒ x = 6,077 b). Geométricas: y = a xb

com b∈ℜ

ln( y ) = ln( a ) + b ln( x )

204

Fazendo ln( y ) = z ; b = a1 ; ln( a ) = a 2 e ln( x ) = t , tem-se z = a1t + a 2

que é um polinômio de 1° grau em ( t k , z k ) .

Promove-se o ajuste linear ao conjunto de pontos ( t k , z k ) , onde t k = ln( x k ) e z k = ln( y k ) , para se determinar a1 e a 2 . Obtidos os coeficientes a1 e a 2 do polinômio recuperam-se os valores de a e b através de suas relações: a = e a2 b = a1

b). Hipérboles: y =

1 a2 + a1 x

1 = a2 + a1 x y Fazendo 1 / y = z ; tem-se z = a 2 + a1 x

que é um polinômio de 1° grau em ( x k , z k ) .

Promove-se o ajuste linear ao conjunto de pontos ( x k , z k ) , onde z k = 1 / y k , para se determinar a 2 e a 1 . Ex.: A tabela abaixo com m=5 pontos, obtidos experimentalmente, relaciona o volume adimensional de álcool gerado V em um reator fictício em função da sua temperatura adimensional T média de reação: T=[ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ]; V=[ 0.04 0.14 0.26 0.39 0.50 ]; Considere que o comportamento do volume de álcool gerado V em função da sua temperatura média 2 -1 de reação T é conhecida e dada por uma função não polinomial V(T)=(a + b/T ) . a). Avalie os parâmetros a e b através de ajuste de curvas, por dedução direta da forma não 2 -1 polinomial V(T)=(a + b/T ) e por transformação parametrizada, transformando para polinomial, de modo a levar em conta todas as m=5 medições experimentais em ambos os casos; (1,0) 2 -1 b). Calcule V(T=0.8), pela função V(T)=(a + b/T ) ajustada e calcule o seu desvio local em T=0.8; (0,5) 2 c). Monte um algoritmo que determine os parâmetros a e b, de V(T)=1/(a + b/T ), através de ajuste de curvas, direto e parametrizado, de modo a considerar as m=5 medições experimentais acima. (2,0).

%Ajuste à funções não lineares e não polinomiais: V(T)=(a+b*T^(-2))^(-1) com TRANSFORMAÇÃO para forma polinomial clear clc m=5; T= [0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ]; V= [0.04 0.14 0.26 0.39 0.50]; %transformando para polinomial: % V =(a+b*T^(-2))^(-1) % V^(-1)= a +b *T^(-2) % y= a0+a1*x x=T.^(-2) y=V.^(-1) 205

n=1; neq=n+1; for i=1:neq for j=1:neq soma=0; for k=1:m soma=soma+x(k)^(i+j-2); end %k A(i,j)=soma; end %j soma=0; for k=1:m soma=soma+x(k)^(i-1)*y(k); end %k A(i,neq+1)=soma; end %i A a=fgauss(neq,A) %Voltando para o Problema não Polinomial aa=a(1) bb=a(2) %V(T)=(aa+bb*T^(-2))^(-1) D=0; for k=1:m D=D+((aa+bb*T(k)^(-2))^(-1)-V(k))^(2); end D Tp=T(1):(T(m)-T(1))/100:T(m); Vp=(aa.+bb.*Tp.^(-2)).^(-1); plot(T,V,"*;Dados experimentais;", Tp,Vp,"g;V(T)=(aa+bb*T^(-2))^(1);") x = 25.0000 y = 25.0000 A = 5.0000 36.5903 a = {1.11383

6.2500 2.7778 1.5625 7.1429 3.8462 2.5641 36.5903 40.5531 675.2200 686.3330 0.95610}

1.0000 2.0000

aa = 1.1138 bb = 0.95610

206

D = 3.5688e-004 (ajuste parametrizado, com mudanças de variáveis, não atinge o MÍNIMO desvio quadrático, como veremos a seguir) % Ajuste DIRETO para determinação de coeficientes não lineares de funções ajustadas clear clc %Metodo de newton com derivadas numericas para resolver o ajuste: V(T)=(a+b*T^(-2))^(-1) m=5; T= [0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; V= [0.04 0.14 0.26 0.39 0.50]; n=2; xi=[0.01 0.01]; dxi=[1.e-6 1.e-6]; erro=1.e-4; cont=0; while (erro>1.e-6 & cont<30) cont=cont+1; A=[ (g1([xi(1)+dxi(1), xi(2)],m,T,V)-g1(xi,m,T,V))/dxi(1), (g1([xi(1), xi(2)+dxi(2)],m,T,V)-g1(xi,m,T,V))/dxi(2), g1(xi,m,T,V); (g2([xi(1)+dxi(1), xi(2)],m,T,V)-g2(xi,m,T,V))/dxi(1), (g2([xi(1), xi(2)+dxi(2)],m,T,V)-g2(xi,m,T,V))/dxi(2), g2(xi,m,T,V);] dx=fgauss(n,A); x=xi+dx; xi=x; dxi=dx; erro=max(abs(dx)); [cont x erro] end %while aa=x(1) bb=x(2) %V(T)=(aa+bb*T^(-2))^(-1) D=0; for k=1:m D=D+((aa+bb*T(k)^(-2))^(-1)-V(k))^(2); end D Tp=T(1):(T(m)-T(1))/100:T(m); Vp=(aa.+bb.*Tp.^(-2)).^(-1); plot(T,V,"*;Dados experimentais;", Tp,Vp,"g;V(T)=(aa+bb*T^(-2))^(1);") function y= g1(x,m,T,V) y=0; for k=1:m y=y+((x(1)+x(2)*T(k)^(-2))^(-1)-V(k))*(x(1)+x(2)*T(k)^(-2))^(-2); end end function y= g2(x,m,T,V) y=0; for k=1:m y=y+((x(1)+x(2)*T(k)^(-2))^(-1)-V(k))*(x(1)+x(2)*T(k)^(-2))^(2)*T(k)^(-2); end end 207

A = -2.7106e+007 -3.4175e+007 -2.0361e+005 -3.4176e+007 -5.1403e+007 -2.8434e+005 iter = 1, aa=0.0133222, bb=0.0133228 , Erro=0.0033228 : A = -9.0449e-002 -1.1392e-001 2.8297e-010 -1.1392e-001 -1.7062e-001 3.4188e-010 iter=21, aa=9.9164e-001, bb=1.0095e+000, Erro=3.8020e-009 aa = 0.99164 bb = 1.0095

D = 2.5234e-005 (o ajuste direto resulta em desvio total menor (MÍNIMO) que o ajuste parametrizado).

208

Capitulo 8 – Integração ntegração Numérica b

Em muitos modelos matemáticos tem-se tem se que efetuar a operação I =

∫ f ( x )dx (ou de a

ordens superiores). No cálculo este problema já foi abordado, como pode ser visto na enciclopédia Wikipédia, http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral#Integral_definida :

A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite do somátório de cada um dos valores que q a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por .O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).

comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo ntervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos onde

são os números

.

Valor ("altura") da função ponto amostral

onde

quando x é igual ao

, definido como um ponto que está

no subintervalo (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Porém, as técnicas vistas são mais exemplos de tratamento algébrico e de simplificações do que de técnicas efetivas de se obter I. Veremos as duas definições de I: 1a) I = A, onde A é a área rea subentendida por y = f(x), x = a, x = b e y = 0. a 2 ) Efetuar I é obter a primitiva ou anti-derivada anti F(x) de f(x). A conexão entre as duas definições é o Teorema Fundamental do Cálculo: b

∫

“ f ( x )dx = A = F(b) − F(a ) ” a b

Contudo, a aplicação do TFC em I =

∫ f (x )dx pode ser difícil ou até impossível, a

uma vez que: a) A integranda y = f(x) é apenas uma tabela do tipo: X x1 ... xn+1 f(x) y1 ... yn+1 b) A y = f(x) pode ter primitiva obtida de maneira ineficiente. 209

c) Existem integrandas com primitivas desconhecidas. 1

Ex:

∫e

5

−x 2

dx e

dx

∫ ln(x) 2

0

7.1 – Integração Numérica de y = f(x) b

Def. – obter I =

∫ f ( x )dx

numericamente significa aplicar o TFC não em y = f(x) mas em

a

aproximadoras de y = f(x). Os métodos de integração numérica podem ser agrupados em duas grandes famílias: 1a) Newton; 2a) tipo Gauss.

210

8.1.1 – Métodos de Newton a) Trapézios b

Para se estimar I =

∫ f ( x )dx , proceder como segue: a

(b − a ) . n

-

Dividir [a,b] em n subintervalos de comprimento h =

-

Obter os n + 1 valores funcionais (xi, yi), onde x1 = a, xi+1 = xi + h e yi = f(xi). Para cada 2 pontos sucessivos (xi, yi) e (xi+1, yi+1) obter o interpolador de grau 1.

p i (x) = y i + x i +1

Daí, Ai =

-

∫ p (x )dx = 2 [y h

i

i

y i +1 − y i (x − x i ) h

+ y i +1 ]

xi

Finalmente,

-

b

n

a

i =1

∫ f (x )dx ≅ ∑ A i =

h [y1 + y 2 ] + h [y 2 + y 3 ] + ... + h [y n + y n+1 ] 2 2 2 h = [y1 + 2 y 2 + 2y 3 + ... + 2y n + y n +1 ] 2 n h  =  y1 + 2.∑ yi + yn+1  = Tn 2 i=2 

=

Teorema: b

∫

“ lim T = f ( x )dx ” n n →∞

a 1

Exemplo: Efetue por Trapézios I =

∫ f ( x )dx , sendo 0

x f(x)

0 3

0,25

0,5

5 8 Solução:

0,75

1

4

2 211

Temos n + 1 = 5 ⇒ n = 4 e xi+1 – xi = 0,25 ⇒ h = 0,25 1

Aplicando (1) ⇒

∫ f ( x)dx ≅ 0

0,25 [3 + 2(5 + 8 + 4) + 2] ≅ 4,875 2

Devemos notar que o teorema quando utilizado em precisão finita pode ser inválido, pois neste caso existe um 'n' ótimo, que não é conhecido previamente. Teorema do Resto: b

Em

∫ f ( x)dx se dividirmos o [a,b] em n partes iguais e aplicarmos Trapézios, então a

− h ( b − a )f ' ' (ζ ) , ξ ∈ [a,b] 12 h 2 (b − a ) M M = max f ' ' (x ) ET ≤ x∈[ a , b ] 12 com , que é um valor limite do erro de truncamento.

ET =

2

Dedução do erro de truncamento:

Para y = f(x), continuamente diferenciável dentro de [a; b], segundo o teorema de Taylor f(x) pode ser escrita exatamente, a partir de qualquer ponto β (x>β), como:

f ′ (β)( x − β) f ′′(β)( x − β) 2 f n (β)( x − β) n f ( x) = f (β) + + + L + + L 1! 2! n! onde β ∈[ a ; b ] . Pelo teorema do resto da série de Taylor:

f ′(β)( x − β) f n (β)( x − β) n f n +1 (ξ)( x − β) n +1 f ( x) = f (β) + + L + + 1 ! n ! (4 n2 + 144 )! 4 14444444 4244444444 3 144 3 Pn ( x )

ξ ∈[β; x]

Rn ( x )

Desse modo que f(x) = Pn(x) + Rn(x) ou f(x) ≅ Pn(x) (Aproximação Polinomial, assumindo truncamento da série a partir de 'n'). Para interpolação polinomial geral de grau n: n

Rn( x) = f ( x) − Pn( x) =

f n +1 (ξ )∏ ( x − xi ) i =0

( n + 1)!

No caso da aproximação por interpolação polinomial com n=1, usada no método dos Trapézios, f(x) = P1(x) + R1(x), onde os 2 pontos utilizados para ancorar P1(x) são xi e xi+1:

f 1+1 (ξ )( x − xi )( x − xi +1 ) f 1+1 (ξ )( x − xi )( x − xi +1 ) R1 ( x) = e f ( x) = P1 ( x) + (1 + 1)! (1 + 1)! Logo, xi +1 xi +1 x  f 1+1 (ξ )( x − xi )( x − xi +1 )  f 2 (ξ ) i+1   ∫ f ( x)dx = x∫  P1 ( x) + dx = Ai + (2)! ∫ (( x − xi )( x − xi +1 ) ).dx (1 + 1)!  xi xi i onde Ai é a aproximação da área de um Trapézio, entre xi e xi+1, dada por Ai =h/2*(yi+yi+1). 212

xi +1

∫

xi xi +1

∫

f 2 (ξ ) f ( x)dx = Ai + (2)!

xi

xi +1

 f 2 (ξ )  x 3 x2  − ( xi + xi +1 ) + xi xi +1 x  x − ( xi + xi +1 ) x + xi xi +1 .dx = Ai + (2)!  3 2 x

∫(

xi +1

)

2

i

xi +1

f ( x)dx = Ai +

xi

 f 2 (ξ )  x3 x2  − ( xi + xi +1 ) + xi xi +1 x  = Ai + = Ai + ETn(ξ ) (2)!  3 2 x i

xi +1

3 3 2 2   f 2 (ξ )  x3 x2 f 2 (ξ )  xi +1 − xi xi +1 − xi   − ( xi + xi +1 ) + xi xi +1 x  = ETn(ξ ) = − ( xi + xi +1 ) + xi xi +1 ( xi +1 − xi )   (2)!  3 2 (2)!  3 2 x  i

f (ξ )  x  ETn(ξ ) = (2)! 

− xi x − ( xi + xi +1 ) 3

3 i +1

2

3

2  − xi + xi xi +1 ( xi +1 − xi )  2 

2 i +1

com xi +1 = xi + h

ETn(ξ ) =

3 2  ( xi + h)2 − xi f 2 (ξ )  ( xi + h)3 − xi   − ( x + x + h ) + x ( x + h )( x + h − x ) i i i i i i  (2)!  3 2 

3 2 3 2 2  ( xi + 2 xi h + h) − xi f 2 (ξ )  ( xi + 3.xi h + 3.xi h2 + h3 ) − xi  − (2 xi + h) + xi ( xi + h)(h)  ETn(ξ ) =  (2)!  3 2  3 2 3  (2 xi h + h) f 2 (ξ )  xi 3.xi h 3.xi h2 h3 xi 2   ( 2 ) . ETn(ξ ) = + + + − − x + h + hx + x h i i i  (2)!  3 3 3 3 3 2  2 2  f 2 (ξ )  3.xi h 3.xi h2 h3 4 xi h 2 xi h 2 xi h2 h2 2   ETn(ξ ) = + + − − − − + hx + x . h i i  (2)!  3 3 3 2 2 2 2 

Esta expressão do erro ETn(ξ) é válida para qualquer xi, então pode-se simplificar esta avaliação tomando um xi=0, logo:

ETn(ξ ) =

f 2 (ξ )  h3 h 2  f 2 (ξ )  2h3 − 3h 2  f 2 (ξ ) h 2 f 2 (ξ ).h 2  −  =   = − =− (2)!  3 2  (2)!  6 (2)! 6 12 

ET (ξ ) = −

f 2 (ξ ).h 2 12

Então, o erro de truncamento em módulo, tomando seu limite superior, máximo, total, no intervalo [a,b], torna-se: b

∫

n

b

i =1

a

f ( x) dx ≅ ∑ Ai + ∫

a

b

ETnMax = ∫ a

ETnMax =

Max | f 2 ( x) | .h 2 dx =Tn + ETnMax 12

Max | f 2 ( x ) | .h 2 Max | f 2 ( x ) | .h 2 dx = (b − a ) 12 12

Max f 2 ( x) 12

.h 2 .(b − a) , com então x∈ [a,b]

Exemplo: Determine o n mínimo para que o erro de truncamento seja menor que ε = 10-6 ao 6

efetuar I =

1

∫ 1 + x dx

pelo método dos Trapézios.

1

Solução: 213

Temos f(x) = (1 + x)-1 ⇒ f’(x) = -(1 + x)-2 ⇒ f’’(x) = 2(1 + x)-3 M = max f ' ' ( x ) = f ' ' (1) = 2 = 0,25 8 x∈[1, 6 ]

h 2 .5.0,25 10 ≅ ⇒ h ≅ 0,0030984 12 −6

→ n = 5 = 1613,7 ⇒ n = 1614 ( recomendad o n = 2048 ) h Ao utilizarmos 'n' como potência de 2, obtemos valores de 'h' exatos, na base decimal e binária, e portanto valores de xi exatos também. A aproximação Tn da integral I obtida pelo método dos trapézios com n=1614 subdivisões do intervalo x∈[1;6] em precisão simples de 8 dígitos significativos é Tn = 1.25276315, Integral Exata = 1.25276297, erro = 1.8.10-7, ou seja, com de Erro de truncamento inferior à ε = 10-6. Para calcular o Erro TOTAL, sobre o valor da integral aproximada Tn, e determinar também a influencia dos Erros de Arredondamento podemos determinar também Tn* em precisão dupla, de 16 dígitos significativos, com o mesmo número n=1614 de subdivisões, portanto com o mesmo Erro de Truncamento. Podemos calcular também o Erro total Exato, subtraindo Tn do valor da Integral Exata Ie, (| Tn - Ie |) e o Erro Estimado (| Tn-T2n |) também. Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn = 1,252763 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*= 1,25276315211032 Erro estimado sobre Tn = 1,3.10-7 (n=1614, comparando com n=2*n). Erro exato total sobre Tn = 1,8.10-7 (arredondamentos não influenciando) Erro exato total sobre Tn*, calculado em precisão dupla = 1,7.10-7 (menor ε = 10-6) Para n=2048: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,252763 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,25276308253485 Erro estimado sobre Tn = 8,5.10-8 (n=2048). Erro exato total sobre Tn = 2,8.10-8 (arredondamentos não influenciando) Cálculos efetuados em C, com variaveis float e double, de 32 e 64 bits: Para n=4096: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,25276327 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,2527629970052434 Erro estimado sobre Tn = 2,7.10-7 (n=4096). Erro exato total sobre Tn = 3,0.10-7(arredondamentos continuam não influenciando Para n=32768: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,252762675 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,2527629689408351 Erro estimado sobre Tn = 2,9.10-7 (n=32768). Erro exato total sobre Tn = 2,9.10-7(arredondamentos continuam não influenciando Para n=65536: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,25275445 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,25276296860674250000 Erro estimado sobre Tn = 8,5.10-6 (n=65536). Erro exato total sobre Tn = 8,5.10-6(arredondamentos influenciam, alterando os resultados) Para n=131072: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,25279605 214

Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,252762968523208 Erro estimado sobre Tn = 3,3.10-5 (n=131072). Erro exato total sobre Tn = 3,3.10-5 (arredondamentos influenciam, alterando mais ainda os resultados) Para n=262144: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,25270736 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,2527629685023201 Erro estimado sobre Tn = 5,6.10-5 (n=131072). Erro exato total sobre Tn = 5,6.10-5 (arredondamentos influenciam, alterando mais ainda os resultados) Erro exato total sobre Tn, calculado em precisão dupla = 6,9.10-12 Para n=4194304: Em precisão simples de 8 dígitos significativos Tn =1,274151683 Em precisão dupla de 16 dígitos significativos Tn*=1,2527629684954742 Erro estimado sobre Tn = 2,1.10-2 (n=4194304). Erro exato total sobre Tn = 2,1.10-2 (arredondamentos influenciam muito, alterando os resultados drasticamente) Erro exato total sobre Tn*, calculado em precisão dupla = 1,1.10-13 Percebe-se que existe um 'n' ótimo, que nesse caso é em torno de n=4096, que gerou os menores erros totais, no caso de cálculos com precisão simples. Note-se que a aplicabilidade do Teorema do erro pode ser muito difícil, pela limitação de n. Se aumentamos o valor de n, além de 1614, reduzimos os erros de truncamento para valores menores que 10-6, mas aumentamos o erro de arredondamento acumulado.

Para se contornar este problema pode-se efetuar algumas tentativas para Tn≅I= b

∫ f ( x )dx

e analisar a tendência de evolução dos resultados, extrapolando limites.

a

Uma forma de análise pode ser efetuada via extrapolação para o limite de Romberg, que consiste em: 1o) Efetuar k tentativas por Trapézios com hnovo =

h velho , obtendo os T1, T2, ..., Tk. 2

0

2o) Considere que Ti = Ti , i = 1, ..., k

4 j Tij+−11 − Tij−1 3 ) Obter Ti = , j = 1, 2, ..., k – 1 4j −1 o

j

Teorema (Romberg): b

∫

“ lim T = f ( x )dx ” k

1 k →∞

a

1

Exemplo: Efetuar

∫e

x

dx por Romberg, com k = 4 iniciando com h = 0,25.

0

Solução: h h h h

2 4 8

1,7272219 1,7205186 1,7188411 1,7184216

1,7182841 1,7182819 1,7182818

1,7182818 1,7182818

1,7182818 215

b) Método de Simpson No método dos Trapézios usamos dois pontos sucessivos para interpolar a integranda com dois pontos sucessivos. No método de Simpson usam-se três pontos sucessivos para interpolar y = f(x) por uma parábola P2(x). b

Para efetuar I =

∫ f ( x )dx

por Simpson procede-se da seguinte maneira:

a

1o) Dividir [a,b] em n (par) partes iguais de comprimento h =

b−a ; n

2o) Para cada três pontos sucessivos, (xi-1, yi-1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1), igualmente espaçados com intervalo h = (xi-xi-1) = (xi+1 - xi), obter seu único polinômio interpolador, por exemplo, pelo Método de Lagrange:

P2 ( x) = yi −1.

( x − xi ).( x − xi +1 ) ( x − xi −1 ).( x − xi +1 ) ( x − xi −1 ).( x − xi ) + yi . + yi +1. ( xi −1 − xi ).( xi −1 − xi +1 ) ( xi − xi −1 ).( xi − xi +1 ) ( xi +1 − xi −1 ).( xi +1 − xi )

P2 ( x) = yi −1.

( x − xi ).( x − xi +1 ) ( x − xi −1 ).( x − xi +1 ) ( x − xi −1 ).( x − xi ) + yi . + yi +1. (−h).(−2h) (h).(−h) (2h).(h)

3o) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, integrando o interpolador polinomial P2(x): x i +1

∫

f ( x)dx ≅

x i −1

x i +1

∫ P ( x)dx = 3 [ y h

i −1

2

b

4o) Daí,

+ 4 yi + yi +1 ]

x i −1

∫ f (x )dx ≅ 3 [y h

1

+ 4y 2 + y 3 ] +

a

b

∫ f ( x)dx ≅ 3 [( y h

1

h [y 3 + 4 y 4 + y 5 ] + L + h [y n −1 + 4 y n + y n +1 ] 3 3

+ y n +1 ) + 4( y 2 + y 4 + L + y n ) + 2( y 3 + y 5 + L + y n −1 )]

a

h [E + 4.P + 2.IP] 3 n ( o 2 ) n −1( o 2 )  h =  y1 + 4 * ∑ yi + 2 * ∑ yi + yn+1  = Sn 3 i =2 i =3  =

ALTERNATIVAMENTE a dedução de P2(x) pode ser: ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Tomemos os dois primeiros intervalos (x0 , x1) e (x1 , x2). Tem-se a tabela a seguir: X x0

Y y0

x1 x2 y1 y2

onde: x1 – x0 = h e

x2 – x1 = h.

Vamos construir a parábola (do segundo grau) que a pelos três pontos dados 216

e, em m seguir, vamos integrar essa parábola, achando a área entre a curva e o eixo de X. Claro que essa área não se altera se deslocamos o eixo de Y para a posição x = x1 . Figura abaixo: ... Ficamos com a tabela: X -h

Y y0

0 +h y1 y2

Seja Y = A X2 + B X + C a parábola que a pelos três pontos dados. y0 = A (-h)2 + B (-h) h) + C = A.h2 – B.h + C

(eq. 1a)

y1 = A (02) + B(0) + C = C

(eq. 1b)

y2 = A (h)2 + B (h) + C = A.h2 + B.h + C

(eq. 1c)

Calculemos culemos a integral da parábola de –h a +h. I1 = 2Ah3/3 + 2Ch = (2Ah2 + 6C) h/3 = (2Ah2 + 2C + 4C ) h/3 I1 = h/3. ((2Ah2 + 2C) + 4C ) Porém, das equações 1a, 1b e 1c acima, somado-se somado se a primeira com a terceira, tem-se: y0 + y2 = 2Ah2 + 2C da segunda nda equação, tem-se: tem y1 = C, logo Logo: I1 = h/3. ((2Ah2 + 2C) + 4C ) I1 = h/3. ((y0 +

y2 )+4.y1) = h/3 (y0 + 4 y1 + y2 )

Esta é uma fórmula simples que permite calcular a integral da parábola que a pelos 3 pontos X -h

Y y0

0 +h y1 y2 217

Se tomarmos esses 3 pontos e deslocarmos o eixo de y, paralelamente, a área sob a parábola não se altera, isto é, a integral da parábola não muda. Assim, dados três pontos X x0 x1 x2 Y y0 y1 y2 onde: x1 – x0 = h e

x2 – x1 = h, tem-se:

Voltando-se se à tabela total original, tem-se: tem X x0 = a x1 x2 ... xn-1 xn = b Y y0 y1 y2 ... yn-1 yn

h

ou S n =  y1 + 4 * 3

n ( o 2 )



∑ yi + 2 *

n −1( o 2 )

i=2

∑y i =3

i

 + y n +1  

Esta é a fórmula de Simpson para cálculo de integral definida. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

Exemplo: Efetue por Simpson

∫ f (x )dx , onde f(x) é dada por um software, conforme tabela: 0

i xi yi=f(xi)

1 0 4

2 0,5 6

3 1 7,5

4 1,5 8

5 2 5

6 2,5 3

7 3 2

Solução: 218

Temos: h = xi+1 – xi = 0,5; n = 6 (par)

Sn = 3

n ( o 2 ) n −1( o 2 )  h + + y 4 * y 2 * yi + y n + 1  ∑ ∑ 1 i  3 i=2 i =3 

∫ f ( x )dx ≅ 0

0,5 [(4 + 2) + 4(6 + 8 + 3) + 2(7,5 + 5)] ≅ 16 ,5 3

Considerações: 1a) Simpson, via de regra, fornece resultados mais precisos que Trapézios para um mesmo esforço. Novamente exige um n ótimo, pelos mesmos motivos do Trapézios. 2a) Para se determinar um n ótimo pode-se: i) Algebricamente, através do erro de truncamento total do Simpson, dado por:

− h 4 (b − a ) f iv (ξ ) , ξ ∈ [a, b] 180 Não é operacional por causa do ξ desconhecido. Operacionalizando: h 4 (b − a )M (* *) E S ≤ , onde M = max f iv (x ) 180 x∈[ a , b ] ES =

Exemplo: Determine o n ótimo para não cometer erro superior à ε = 10-6 ao se 6

efetuar por Simpson

∫ (1 + x)

−1

dx .

1

Solução: f(x) = (1+x) ⇒ f′(x) = -(1+x) ⇒ f′′(x) = 2(1+x)-3 ⇒ f′′′(x) = -6(1+x)-4 -1

-2

fiv(x) = 24(1+x)-5 ⇒ fiv(1) =

24 24 = 5 32 (1 + 1)

h 4 .(5).0,75 ⇒ h = 0,08323 ⇒ n = 60 180 Aplicando em (* *) ⇒ 180.32.10−6 h 4 .5.24 10−6 ≅ ⇒ h4 ≅ ⇒ h 4 ≅ 48.10−6 ⇒ h ≅ 0,0832358 180.32 120 5 n = = 60,07028... ⇒ n = 60 (recomendado n = 64) h

10-6 ≤

ii) Efetuar algumas tentativas sucessivas (hnovo = hvelho/2) e analisar o comportamento dos resultados. Não existe extrapolação para o método de Simpson. Porém, existe e pode ser aplicada a extrapolação de Aitken, que consiste em: b

-

Se Si, Si+1 e Si+2 são três aproximações para I = então: S = Si + 2 −

(Si+ 2 − Si+1 )

∫ f ( x )dx , obtidos por Simpson, a

2

Si + 2 − 2Si +1 + Si

, que é mais precisa que as três que a geram.

6

Exemplo: Para

∫x

1 + x dx temos:

0

S1 = 39,874507 S2 = 39,77751 S3 = 39,77658 Aplicando em S temos: 219

S = 39,77658 -

0,000000864 ⇒ S = 39,77657 0,096067

Onde S exata é 39,77656. 3a) Não fornece resultados de integrais impróprias. ∞

∞

a

−∞

∫

b

∫

∫

-∞

4a) Quadratura Adaptativa b

Até o momento efetuamos I =

∫ f ( x )dx com h, depois

b

h

2

a

⇒ I ≅ ∫ f ( x )dx . Funciona a

bem se f(x) é uma função “bem comportada” em [a,b], já se f(x) não for bem comportada esta técnica pode ser altamente ineficiente.

-

Dividir [a,b] em n subintervalos h1 =

-

Em cada subintervalo fazer: -

-

b−a ; n

hi  hi  f ( x ) + 4 f ( x + ) + f ( x i + h i ) i i  6  2  h Q i = i [f ( x i ) + 4f ( x i + h i 4 ) + 2f ( x i + h i 2 ) + 4f ( x i + 3 h i 4 ) + f ( x i + h )] 12 x i +1 h i .ε.16 se Pi − Q i < ⇒ ∫ f ( x )dx = Q i h−a xi

obter Pi =

senão h 2 =

h1 e retorna para obter Pi e Qi com h2. 2

220

7.1.2 – Integração Numérica Gaussiana a

Considere que deseja-se efetuar I =

∫ f ( x )dx , onde: b

com apenas dois (m=2) pontos de avaliações de y = f(x), ando uma reta pelos extremos dos intervalo, temos um Erro de Truncamento muito elevado, pois no método de Newton usamos um espaçamento ‘h’ constante. Por este motivo, Gauss propôs um método de aproximação, baseada em uma aproximação de f(x) por polinômios ortogonais de Legendre de grau “n=m-1”, que minimizam o erro de truncamento e que integre “de forma exata” polinômios de grau até “2m-1”, calculados sobre “m” pontos escolhidos "adequadamente" de modo a compensar os erros no cálculo da área abaixo da reta: 1o) Transformar x ∈ [a,b] em t ∈ [-1,+1] através de:

x(t ) =

b−a b+a b−a .t + ⇒ dx = dt 2 2 2

b+a b − a b − a b − a I = ∫ f ( x)dx =  f ( x(t ))dt =  .t + ∫ 1 ∫ f  dt 2 3 2 2 2 2      a −1 −1 144 g (t ) 42444 3 b

1

1

g (t )

1

m

∫ f ( x(t ))dt = ∑ C

2o) Calcular

−1 b

I = ∫ f ( x )dx ≅ a

k =1

( m,k )

(b − a ) 1 2

∫

−1

1 1  . f  (b − a)t ( m,k ) + (b + a)  resultando em 2 2 

f ( x (t )) dt =

(b − a ) 2

m

∑C k =1

( m ,k )

1 1  . f  (b − a )t ( m , k ) + (b + a )  2 2 

Onde C e t são parâmetros fixos, independem da integranda y = f(x), e podem ser encontrados na literatura para diversos números ‘m’ de pontos de avaliação de f(x).

221

m 1 2

3

4

5

Cm,k c1 = 2

tm,k t1 = 0

c1 = 1

t1 =-

c2 = 1 c1 = 5 9

t2 = +

3

t1 = t2 = 0

3/ 5

c2 =

8

c3 =

5

9 9

c1 = 0,34785485 c2 = 0,65214515 c3 = 0,65214515 c4 = 0,34785485 c1 = 0.23692689 c2 = 0.47862867 c3 = 0.56888888 c4 = 0.47862867 c5 = 0.23692689

3

−1 −1

t3 = + 3 / 5 t1 = -0,86113631 t2 = -0,33998104 t3 = +0,33998104 t4 = +0,86113631 t1 = -0.90617985 t2 = -0.53846931 t3 = +0.00000000 t4 = +0.53846931 t5 = +0.90617985

Valores de t e C para integração de Gauss-Legendre, Gauss EM PRECISÃO DUPLA: http://minerva.ufpel.edu.br/~rudi/grad/ModComp/MetNum/html/Apostila http://minerva.ufpel.edu.br/~rudi/grad/ModComp/MetNum/html/Apostilach3.html

Cmk

±tmk

m=2 1

1⁄

m=3 8⁄9 5⁄9

0

0.65214515486254614263 0.34785484513745385737

0.3399810435848562648 0.8611363115940525752

128⁄225 0.47862867049936646804 0.23692688505618908751

0.00000000000000000000 0.53846931010568309104 0.90617984593866399280

0.46791393457269104739 0.36076157304813860757 0.17132449237917034504

0.23861918608319690863 0.66120938646626451366 0.93246951420315202781

512⁄1225 0.3818300 0.38183005050511894495 0.27970539148927666790 0.129484966168869693271

0.00000000000000000000 0.40584515137739716691 0.74153118559939443986 0.94910791234275852453

m=4

m=5

m=6

m=7

Estes valores de tmk e Cmk podem calculados considerando que polinômios quaisquer de grau até “2m-1”, 1”, para ”m” pontos de avaliação, podem ser integrados por polinômios de grau “n=m-1”, “de forma exata”: ”:

∫ g (t )dt = ∑ C(m,k ) .g (t (m,k ) ) 1

m

−1

k =1

222

Para m=2 pontos, por exemplo, temos a aplicação de um polinômio de 1º grau “n=2-1=1”, que integra polinômios g(t) de até 3º grau “2m-1=2.2-1=3”, de forma exata, então integra. P. ex., g(t)=t0=1, g(t)=t1, g(t)=t2, g(t)=t3,

∫ g (t )dt = ∑ C(m,k ) .g (t ( m,k ) ):

utilizando

1

m

−1

k =1

g(t) = 1 => ∫ 1.dt = ∑ C ( 2, k ) .g (t ( 2, k ) ) => 2 = C ( 2,1) .1 + C ( 2, 2) .1 g(t) = t =>

1

2

−1 1

k =1

∫ t.dt = ∑ C( 2,k ) .g (t (2,k ) )

g(t) = t3 =>

=>

k =1

−1

g(t) = t2 =>

2

0 = C ( 2,1) .t ( 2,1) + C ( 2, 2) .t ( 2, 2 )

2 2 2 ∫ t .dt = ∑ C(2,k ) .g (t ( 2,k ) ) => 2 / 3 = C (2,1) .(t (2,1) ) + C (2,2) .(t (2,2) ) 1

2

−1 1

k =1

−1

k =1

3 3 3 ∫ t .dt = ∑ C(2,k ) .g (t (2,k ) ) => 0 = C (2,1) .(t ( 2,1) ) + C ( 2,2) .(t (2,2) ) 2

Resolvendo este sistema não linear, pelo método de Newton para x=[C21, C22, t21, t22], conforme segue:

C ( 2,1) + C ( 2, 2 ) = 2  f 1 = x1 + x 2 − 2   f = x .x + x .x − 0 1 3 2 4 C ( 2,1) .t ( 2,1) + C ( 2, 2 ) .t ( 2, 2 ) = 0  2 =>   2 2 2 2  f 3 = x1 .( x3 ) + x 2 .( x 4 ) − 2 / 3 C ( 2,1) .(t ( 2,1) ) + C ( 2, 2 ) .(t ( 2 , 2 ) ) = 2 / 3  f = x . x 3 + x .x 3 − 0 C .(t ) 3 + C .(t ) 3 = 0 1 3 2 4  4 ( 2, 2 ) ( 2, 2 )  ( 2,1) ( 2,1) Temos x=[C21, C22, t21, t22]:

C21 = 1.00000000 e t21 = 0.57735027 C22 = 1.00000000 e t22 = -0.57735027 Pela resolução do sistema de 4 equações não lineares, com f1=0, f2=0, f3=0 e f4=0 no Octave, temos: x = 1.00000 1.00000 0.57735 -0.57735

C21

C22

t21

t22

3o) O erro de truncamento máximo EG m desta integração numérica para ‘m’ pontos de avaliação de f(x) é dada por

E G m ≤ (b − a) 2 m +1

(m!) 4 Max f 2m (x) , 3 (2m + 1)[(2m)!]

x ∈ [a; b]

lim EGm = 0 m→∞

Exemplo: Determine o número de pontos ‘m’ mínimo para que o erro de truncamento máximo entre a

223

6

−1 integral exata I= (1 + x ) dx e a aproximação por Gauss-Legendre seja inferior 10-6.

∫ 1

Solução: Vamos calcular o erro EG m por tentativas, iniciando com: m=6:

f(x) = (1+x)-1 ⇒ f′(x) = -(1+x)-2 ⇒ f′′(x) = 2(1+x)-3 ⇒ f′′′(x) = -6(1+x)-4 fiv(x) = 24(1+x)-5 ⇒ generalizando p derivado de ordem ‘n’ temos fn(x) = (-1)n . n! . (1+x)-(n+1) 12 Max|f2m| = f12(1) = (−1) .

E G m ≤ (6 − 1) 2.6+1

12! = 58472 (1 + 1) (12+1)

(6!) 4 Max f 2m (x) = 0,01342557 3 (2.6 + 1)[(2.6)!]

m=10: 20 Max|f2m| = f20(1) = (−1) .

E G m ≤ (6 − 1)

2.10+1

20! = 1,1601.1012 ( 20 +1) (1 + 1)

(10!) 4 Max f 2m (x) = 0,00031719 3 (2.10 + 1)[(2.10)!]

m=16: Max|f2m| = f32(1) = (−1) 32 .

E G m ≤ (6 − 1) 2.10+1

32! = 3,06325.1025 ( 32+1) (1 + 1)

(10!) 4 Max f 2m (x) = 1,13669.10-06 3 (2.10 + 1)[(2.10)!]

Note que é necessário apenas ‘m’=16 pontos (nossa tabela vai até m=5 pontos) no método de GaussLegendre, que equivale a substituir f(x) por um polinômio de grau ‘n’=15, ou usar 15 subintervalos entre o intervalo [a,b], enquanto nos métodos de Simpson e Trapézios necessitávamos de n= 60 e n=1614 subdivisões do intervalo [a,b], respectivamente. 4

Exemplo: Efetue por Gauss I =

∫ ln(x)dx , com m = 3. 1

Solução: Temos: f(x) = ln(x) dx = 1,5dt Assim, 1

3

−1

i =1

x(t)= ½.(4-1).t+½.(4+1)=1,5.t + 2,5 g(t) =f(x(t)) = ln(1,5.t + 2,5)

I = ∫ g (t )dt = ∑ ci g (ti ) I = c1 g (t1 ) + c2 g (t 2 ) + c3 g (t3 ) I=

5

9

.g (−0.77459667) + 8 9 .g (0) + 5 9 .g (0.77459667)

I = 1,69739 I ≅ ½.(b-a). I = 1,5. 1,69739 = 2,54608 Iexata =

2,545177

224

6

Exemplo: Determine I =

1

∫ 1 + x dx

pelo método de Gauss-Legendre com m=3 pontos:

1

a= 1 b= 6 m= 3

m t(m,k) C(m,k) ____________________________ 3 -0.77459667 0.55555555 0.00000000 0.88888888 0.77459667 0.55555555 b

I =∫

1 ( b − a) f ( x )dx =

2

a

(b − a ) . Gm = 2

∫

f ( x(t ))dt ≅

−1

(b − a ) 2

( m ,k )

1 1  . f  (b − a )t ( m ,k ) + (b + a )  = Gm 2 2 

m

2

k =1

k

∑C k =1

(b − a ) . C . y ∑ C ( m , k ) . f ( xk ) = ∑ ( m,k ) k m

m

t(m,k)

k =1

xk =

b−a b+a .t (m,k) + 2 2

yk = f (xk )

_________________________________________________________ 1 -0.77459667 1.563508325 0.390090404719087 0.222222222222222 2 0. 3.5 3 0.77459667 5.436491675 0.155364140978245

(b − a ) .[C

]

( 3,1) . f ( x1 ) + C ( 3, 2 ) . f ( x2 ) + C ( 3 , 3 ) . f ( x3 ) 2 (6 − 1) .[0,55555555 . 0,39009040 4719087 + 0,88888888 . 0,22222222 2222222 + 0,55555555 . 0,15536414 0978245 ] Gm = 2 ( 6 − 1) Gm = .[0,21671689 1510604 + 0,19753086 4197531 + 0,08631341 1654580545 ] 2 (6 − 1) .[0.50056116 736271645 ] Gm = 2

Gm =

Gm = 1.25140291840679

Se determinarmos o Polinômio de grau n=2, que a sobre os 3 pontos (xk,yk), teremos os 225

seguintes coeficientes: P2(x)=a0+a1.x+a2.x2 a0 = 0.599327, a1 = -0.154882 e a2 = 0.013468 P2(x)= 0.599327 -0.154882.x + 0.013468.x2 e se integrarmos o polinômio P2(x) entre a=1 e b=6, teremos Ip, que é equivalente a Gm: b

6

a

1

Ip = ∫ P2 ( x ).dx = ∫ (0,599327 - 0,154882.x + 0,013468.x 2 ).dx Ip = 1.25140291813203 (Integrar P2(x) é equivalente à aplicar o somatório de Gauss) Gm= 1.25140291840679 (aplicar o somatório de Gauss é equivalente à integrar P2(x)) Ie = 1.25276296849537 (Integral Exata demonstra que Ip e Gm são exatos até 3º dígito) erroe = |Ie-Gm| = 0.00136005008857931 (erro exato acusa alterações após o 3º dígito) errop = |Ie - Ip | = 0.00136005036333797 (erro exato acusa alterações após o 3º dígito) Considerações: 1a) Observando a expressão do EGm se comparado com o ESn nota-se que Gauss é mais preciso; 2a) Pelas suas características, Gauss é mais estável que Newton; 3a) Gauss não é aplicável se a integranda y = f(x) for uma tabela; 4a) Gauss fornece resultados pobres se y = f(x) possuir descontinuidades em [a,b]; 3

ex: I =

2

3

dx dx dx ∫1 2 − x = ∫1 2 − x + ∫2 2 − x

5a) Gauss é de natureza aberta, isto é, a integranda não é avaliada nos extremos a e b. Em decorrência disso: b

Pode-se efetuar I =

-

∫ f ( x )dx com descontinuidades em a e b; a

1

∫ ln(x )dx :

Ex: Efetue I =

0

f(x) = ln(x) g(t) = ln(0,5t + 0,5)

x = 0,5t + 0,5 m=3

1

∫ ln xdx ≅ −0,94767237

(=

∑ c g(t ) ) i

i

0 ∞

Pode-se efetuar integrais impróprias do tipo: I =

-

∫ f ( x )dx , fazendo: a

y = 1/ x ⇒ x = ∞

0

a

1/ a

∫ f ( x)dx = − ∫

1

y ⇒ dx = −

1

[a, ∞) ~ [ 1 a ,0]

dy y2

1

a f ( y) f ( y) dy = dy ∫ 2 2 y 0 y

Obs: Se a for zero a integral pode ser resolvida da seguinte forma: ∞

∫ 0

1

∞

0

1

=∫ +∫

226

Capítulo 9 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

9.1 – Introdução: Equações Diferenciais Ordinárias – EDO´s - ocorrem com muita freqüência na modelação de fenômenos da natureza, como a taxa de variação da posição de um móvel ‘x’ como função do tempo ‘t’ e de sua aceleração ‘a’. No caso de aceleração ‘a‘ constante, temos o movimento uniformemente variado, amplamente conhecido da Física, mas que também pode ser modelado como a seguinte Equação Diferencial Ordinária de 1ª. Ordem e suas condições iniciais:

d 2x (t ) = a , onde a= aceleração dt 2 dx (0) = v0 , valor da velocidade inicial. dt

x(0) = x0 , valor da posição inicial do móvel. Neste caso a solução da EDO acima é obida por integração direta:

dx(t ) d  dx(t )   dx(t )  = a.t + C1   = a => ∫ d   = ∫ a.dt => dt  dt  dt  dt  Integrando novamente teremos:

dx(t ) = (a.t + C1 ).dt =>

∫ dx(t ) = ∫ (a.t + C ).dt

Aplicando as condições iniciais

1

=> x(t ) = a.t / 2 + C1 .t + C2 2

dx (0) = v0 e x(0) = x0 , teremos dt

x(t ) = a.t 2 / 2 + v0 .t + x0 Há vários métodos que resolvem analiticamente uma equação destas, mas nem sempre é possível obter-se esta solução analítica, como a obtida acima. Nestes casos, os métodos numéricos são a saída para se encontrar uma solução aproximada. Por exemplo, mesmo equações diferenciais com aspecto simples como, y’= x²+y²

ou

y”= 6y²+x

não podem ser resolvidas em termos de funções elementares. 9.2 – Problema de Valor Inicial: Do cálculo, se conhece a forma genérica com que se apresenta uma equação diferencial ordinária de ordem n:

(8.1)

Onde

; n= 1,2,...,

227

Associada a eq.(8.1) deve haver um conjunto de condições para a variável y, se tais condições se referirem a um único valor de x, tem-se um problema de valor inicial – PVI. Caso contrário, tem-se um problema de valores de contorno – PVC. Numa primeira etapa do nosso estudo, estudaremos métodos para resolver PVI de 1ª ordem.

9.3 – Métodos baseados na Série de Taylor: Vamos resolver uma EDO de primeira ordem da forma: (8.2) Sujeita à condição inicial

.

Suponhamos que a solução da equação diferencial (8.2) seja dada por y = F(x)= ex conforme figura abaixo,

Como conhecemos

, então temos como calcular

Assim a reta r0(x) a por (x0, y0), com coeficiente angular

.

, e podemos definir

. Onde (x1-x0) é o espaçamento ‘h’ entre dois pontos sucessivos, que permite calcular o próximo ponto x1. O espaçamento uniforme pode ser calculado como h=(b-a)/n, onde x∈[a,b] e ‘n’ é o número total de subdivisões do intervalo.

(8.3) O raciocínio é repetido com assim sucessivamente. Generalizando, temos:

, para calcular o próximo ponto e

228

(8.4) Ou y(k) = y(k-1) + h f(x (k-1), y(k-1)) e x(k) = x(k-1) + h, k=1,2,...n+1

(8.5)

Este é o Método de Euler Simples, que usa aproximações de primeira ordem e toma apenas os 2 primeiros termos da série de Taylor. Exemplo 1: Determine o valor de y em x = 1, com erro estimado inferior considerando que y’ = x – y + 2 e y(0) = 2.

a 10-6 ,

Vamos adotar (conforme (8.5) ) n = 8 – número de subdivisões (valor preliminar). a=0 x(0) = 0 y(0) = 2 e f (x,y) = x – y + 2 b=1 x(8) = 1 h = (1 – 0)/8 = 0,125 Obs.: considere x(n) = xn e y(n) = yn y1 = y0 + h.f (x0,y0) y1 = 2 + 0,125.(0-2+2) = 2 y2 = y1 + h.f (x1,y1) y2 = 2 + 0,125.(0,125-2+2) = 2,015625 (...) ponto inicial

ponto novo

i

x

y

K1=f(xk,yk)

x

y

0

0

2

0,000000000

0,125

2,000000000

1

0,12500

2,000000000

0,125000000

0,250

2,015625000

2

0,25000

2,015625000

0,234375000

0,375

2,044921875

3

0,37500

2,044921875

0,330078125

0,500

2,086181641

4

0,50000

2,086181641

0,413818359

0,625

2,137908936

5

0,62500

2,137908936

0,487091064

0,750

2,198795319

6

0,75000

2,198795319

0,551204681

0,875

2,267695904

7

0,87500

2,267695904

0,607304096

1,000

2,343608916

8

1,00000

2,343608916

y(0) = 2 y(1) ~ 2,34360 Qual o erro associado? Se repetirmos todo o cálculo com o dobro de sub-divisões, n = 16, teremos um valor y(1) com erros de truncamento muito inferiores, que pode ser considerado um valor exato estimado: h = (1-0)/16 = 0,0625 y1 = y0 + h. f(x0,y0) y1 = 2 + 0.0625.(0-2+2) y1 = 2 ponto inicial

y2 = 2 + 0,0625.(0,0625-2+2) y2 = 2,00391

ponto novo

i

x

y

K1=f(xk,yk)

x

y

0

0

2

0,000000000 0,06250 2,000000000

1

0,06250

2,000000000

0,062500000 0,12500 2,003906250

2

0,12500

2,003906250

0,121093750 0,18750 2,011474609

229

3

0,18750

2,011474609

0,176025391 0,25000 2,022476196

4

0,25000

2,022476196

0,227523804 0,31250 2,036696434

5

0,31250

2,036696434

0,275803566 0,37500 2,053934157

6

0,37500

2,053934157

0,321065843 0,43750 2,074000772

7

0,43750

2,074000772

0,363499228 0,50000 2,096719474

8

0,50000

2,096719474

0,403280526 0,56250 2,121924507

9

0,56250

2,121924507

0,440575493 0,62500 2,149460475

10

0,62500

2,149460475

0,475539525 0,68750 2,179181695

11

0,68750

2,179181695

0,508318305 0,75000 2,210951589

12

0,75000

2,210951589

0,539048411 0,81250 2,244642115

13

0,81250

2,244642115

0,567857885 0,87500 2,280133233

14

0,87500

2,280133233

0,594866767 0,93750 2,317312406

15

0,93750

2,317312406

0,620187594 1,00000 2,356074130

16

1,00000

2,356074130

ErroExatoEstimado=

0,012465215

Assim, y(1) é avaliado com duas exatidões diferentes: y(1) ~ 2,35610 (n = 16) – pode ser considerado um valor exato ‘estimado’ y(1) ~ 2,34360 (n = 8) Erro estimado = |y(1) n=16 - y(1)n=8| = 0,01250 > 10-6 Vamos buscar métodos com maior exatidão. 9.4 – Métodos de Runge-Kutta: Os métodos de Runge-Kutta são obtidos tomando mais termos nas séries de Taylor para aproximar as soluções das EDO´s. Nesses métodos, se cancelarmos os termos que contém potências de ordens maiores que p, então esse método é de ordem p. O método de Euler Simples estudado anteriormente é de primeira ordem (p=1), por que despreza os termos de 2 e superiores. Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se caracterizam pelas três propriedades: i) são de o simples (cada o é completo, não necessita de correções ou iterações internas); ii) não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x,y); mas precisam calcular f(x,y) em vários pontos; iii) após expandir f(x,y) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (xk,yk) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem. Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem Exploramos inicialmente um método particular que é o método de Euler Aperfeiçoado, pois ele tem uma interpretação geométrica bastante simples. Conforme o próprio nome indica, este método consiste em fazer mudanças no método de Euler para assim conseguir um método de ordem mais elevada. Graficamente o Método de Euler Aperfeiçoado:

230

Dado o ponto inicial (xn,yn), supomos a situação ideal em que a curva desenhada com linha cheia seja a solução y(x) da nossa equação (isto só acontece mesmo no ponto incial (xn,yn). Por (xn,yn) traçamos a reta L1, definida por z1(x), cujo coeficiente angular é , ou seja,

Assim, dado o o h,

do método de Euler,

que chamamos aqui de . Seja Por P agora, traçamos a reta L2, definida por z2(x), cujo coeficiente angular é

A reta pontilhada Lo a por P e tem por inclinação a média das inclinações da retas L1 e L2, ou seja, sua inclinação é A reta L a por (xn,yn) e é paralela à reta Lo, ou seja, inclinação média no intervalo e é representada por:

O valor fornecido para yn+1 pelo método de Euler Aperfeiçoado é z(xn + h) = z(xn+1), ou seja

Observamos que este método é de o simples e só trabalha com cálculos de f(x,y), não envolvendo suas derivadas. Assim, para verificarmos que ele realmente é um método de Runge-Kutta de 2ª ordem, falta verificar se sua fórmula concorda com a do 231

método de série de Taylor até os termos de 2ª ordem em h:

No método de Euler aperfeiçoado temos de trabalhar com Desenvolvendo f(x,y) por Taylor em torno de (xn,yn), temos:

.

Então o método de Euler Aperfeiçoado fica:

Esta fórmula concorda com a do método de série de Taylor até os termos de ordem h2, provando assim ser um método de Runge-Kutta de 2ª ordem. A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem O método Euler Aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta de 2ª ordem e podemos pensar que ele pertence a uma classe mais geral de métodos do tipo

que pode ser reescrito na forma: 232

Para o método de Euler Aperfeiçoado, a1 = ½

a2 = ½

b1 = 1

b2 = 1

Voltando ao nosso Exemplo 1, considerando agora o Método de Runge-Kutta de 2ª ordem, temos: y’ = x –y +2

y(0) = 2 y(1) = ?

n=8 h = (1-0)/8 = 0,125

ponto inicial

ponto novo

i

x

y

K1=f(xk,yk)

K2=f(xk+h,yk+h*K1)

x

y

0

0

2

0,000000000

0,125000000

0,125

2,007812500

1

0,125

2,007812500

0,117187500

0,227539063

0,250

2,029357910

2

0,250

2,029357910

0,220642090

0,318061829

0,375

2,063026905

3

0,375

2,063026905

0,311973095

0,397976458

0,500

2,107398752

4

0,500

2,107398752

0,392601248

0,468526092

0,625

2,161219211

5

0,625

2,161219211

0,463780789

0,530808190

0,750

2,223381022

6

0,750

2,223381022

0,526618978

0,585791606

0,875

2,292906684

7

0,875

2,292906684

0,582093316

0,634331652

1,000

2,368933244

8

1,000

2,368933244

Agora com n = 16 ponto inicial

ponto novo

i

x

y

K1=f(xk,yk)

K2=f(xk+h,yk+h*K1)

x

y

0

0

2

0,000000000

0,062500000

0,063

2,001953125

1

0,063

2,001953125

0,060546875

0,119262695

0,125

2,007572174

2

0,125

2,007572174

0,117427826

0,172588587

0,188

2,016635187

3

0,188

2,016635187

0,170864813

0,222685762

0,250

2,028933642

4

0,250

2,028933642

0,221066358

0,269749710

0,313

2,044271645

5

0,313

2,044271645

0,268228355

0,313964083

0,375

2,062465158

6

0,375

2,062465158

0,312534842

0,355501414

0,438

2,083341291

7

0,438

2,083341291

0,354158709

0,394523789

0,500

2,106737619

8

0,500

2,106737619

0,393262381

0,431183482

0,563

2,132501553

9

0,563

2,132501553

0,429998447

0,465623544

0,625

2,160489740

10

0,625

2,160489740

0,464510260

0,497978369

0,688

2,190567509

11

0,688

2,190567509

0,496932491

0,528374210

0,750

2,222608344

12

0,750

2,222608344

0,527391656

0,556929678

0,813

2,256493386

13

0,813

2,256493386

0,556006614

0,583756201

0,875

2,292110974

14

0,875

2,292110974

0,582889026

0,608958462

0,938

2,329356208

15

0,938

2,329356208

0,608143792

0,632634805

1,000

2,368130539

16

1,000

2,368130539

233

ErroExatoEstimado=

y(1) ~ 2,36893 y(1) ~ 2,36813

0,000802705

n= 8 n= 16 (valor de referência)

Erro estimando = 8.0 x 10-4 > 10-6 Vamos continuar buscando um método com maior exatidão. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem: Aqui o truncamento da série de Taylor ocorre no termo de 5ª ordem (0(h5)) e também conduz a múltiplas expressões, mas a mais popular é a seguinte,

h yi +1 = yi + .(K1 + 2.K 2 + 2.K 3 + K 4 ) 6 K1 = f ( xi ; yi )

K 2 = f ( xi + h / 2; yi + h / 2 * K1 ) K3 = f ( xi + h / 2; yi + h / 2 * K 2 ) K 4 = f ( xi + h; yi + h * K3 ) Voltando ao nosso Exemplo 1, considerando agora o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem, temos: y’ = x –y +2

y(0) = 2 y(1) = ?

n=8 h = (1-0)/8 = 0,125

ponto inicial

ponto novo

i

x

y

K1=f(xk,yk)

0

0

2

0,000000000

K2=f(xk+h/2, yk+h/2*K1) 0,062500000

K3=f(xk+h/2, yk+h/2*K2) 0,058593750

K4=f(xk+h, x y yk+h*K3) 0,117675781 0,125 2,007497152

1 0,125 2,007497152 0,117502848

0,172658920

0,169211666

0,221351390 0,250 2,028801223

2 0,250 2,028801223 0,221198777

0,269873854

0,266831661

0,312844820 0,375 2,062289861

3 0,375 2,062289861 0,312710139

0,355665755

0,352981029

0,393587511 0,500 2,106531345

4 0,500 2,106531345 0,393468655

0,431376864

0,429007601

0,464842705 0,625 2,160262184

5 0,625 2,160262184 0,464737816

0,498191703

0,496100835

0,527725212 0,750 2,222367353

6 0,750 2,222367353 0,527632647

0,557155607

0,555310422

0,583218845 0,875 2,291862843

7 0,875 2,291862843 0,583137157

0,609191084

0,607562714

0,632191817 1,000 2,367880272

K2=f(xk+h/2, yk+h/2*K1)

K3=f(xk+h/2, yk+h/2*K2)

8 1,000 2,367880272

Agora com n = 16 ponto inicial

ponto novo K4=f(xk+h, yk+h*K3)

i

x

y

K1=f(xk,yk)

x

y

0

0

2

0,000000000

0,031250000

0,030273438

0,060607910 0,063 2,001913071

1

0,0625 2,001913071 0,060586929

0,089943588

0,089026192

0,117522792 0,125 2,007496917

2

0,1250 2,007496917 0,117503083

0,145081111

0,144219298

0,170989377 0,188 2,016529139

3

0,1875 2,016529139 0,170970861

0,196878022

0,196068423

0,221216585 0,250 2,028800809

234

4

0,2500 2,028800809 0,221199191

0,245536716

0,244776168

0,268400680 0,313 2,044115660

5

0,3125 2,044115660 0,268384340

0,291247330

0,290532861

0,312726037 0,375 2,062289313

6

0,3750 2,062289313 0,312710687

0,334188478

0,333517297

0,354365856 0,438 2,083148564

7

0,4375 2,083148564 0,354351436

0,374527953

0,373897437

0,393482846 0,500 2,106530700

8

0,5000 2,106530700 0,393469300

0,412423384

0,411831069

0,430229858 0,563 2,132282868

9

0,5625 2,132282868 0,430217132

0,448022847

0,447466418

0,464750481 0,625 2,160261473

10 0,6250 2,160261473 0,464738527

0,481465448

0,480942731

0,497179606 0,688 2,190331624

11 0,6875 2,190331624 0,497168376

0,512881864

0,512390817

0,527643950 0,750 2,222366600

12 0,7500 2,222366600 0,527633400

0,542394856

0,541933561

0,556262552 0,813 2,256247358

13 0,8125 2,256247358 0,556252642

0,570119747

0,569686400

0,583147242 0,875 2,291862069

14 0,8750 2,291862069 0,583137931

0,596164871

0,595757779

0,608403070 0,938 2,329105676

15 0,9375 2,329105676 0,608394324

0,620632002

0,620249574

0,632128726 1,000 2,367879490

16 1,0000 2,367879490

ErroExatoEstimado =

0,000000781

Os valores da Tabela estão aproximados, mas resolvendo no formato de variável longa no Octave é possível perceber o erro. y(1) ~ 2.36788027192195 y(1) ~ 2.36787949045257

n=8 n = 16 (valor de referência)

Erro estimado = 7.81469380761735 x 10-7 < 10-6 desejada em apenas n=8 sub-divisões.

Problema Resolvido com exatidão

Comparação com a solução exata: y’ = x –y +2 => y’ +y = x +2 ⇒ multiplicando um fator integrante u(x) em ambos os lados temos:

dy dy + y).u(x) = (x + 2).u(x) ⇒ u(x) + u(x).y(x) = (x + 2).u(x) dx dx Gostaríamos que no lado esquerdo tivéssemos apenas a derivada do produto u(x).y(x). Ou seja que (

d(u(x).y(x)) dy(x) du(x) = u(x). + .y(x) fosse igual a dx dx dx dy(x) u(x). + u(x) .y(x) dx Comparando termo a termo, o fator integrante, caso exista, deve satisfazer: du(x) = u(x) dx Resolvendo essa equação acima de variáveis separáveis, temos: du(x) du(x) = dx => ∫ = dx ⇒ ln(u(x))=x+C, escolhendo C=0 teremos => u(x) u(x) ∫

u(x) = ex , 235

Substituindo o nosso fator integrante u(x), temos que dy dy d(ex .y(x)) ( + y).ex = e x . + e x .y = , assim podemos trocar o termo dx dx dx dy d(ex .y(x)) x ( + y).e por e a nossa EDO fica: dx dx

(

dy d(ex .y(x)) d(e x .y(x)) + y).ex = = (x + 2).ex ⇒ = (x + 2).e x dx dx dx

Integrando

∫ d(e .y(x)) = ∫ (x + 2).e .dx ⇒ e .y(x) = ∫ x .e .dx + ∫ 2.e .dx , integrando ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du ⇒ ∫ x .(e .dx) = x.e − ∫ e .1.dx ⇒ ∫ x .e .dx = x.e −e ∫ x .e .dx = ( x − 1).e e então ∫ 2.e .dx = 2.e e .y(x) = ∫ x .e .dx + ∫ 2.e .dx x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

por partes

x

x

x

x

x

ex .y(x) = ( x −1).ex + 2.ex + c = ( x + 1).ex + c , pois verificamos que d ( ( x + 1).e x ) = ((1).e x + ( x + 1).e x ) = (1.e x + x.ex + 1.e-x ) = ( x + 2).e x dx Logo,

ex .y(x) = ( x + 1).ex + c ⇒ y(x) = ( x + 1) + c.e− x , aplicando a condição inicial y(0) = 2 y(x = 0) = (0 +1) + c.e−0 = 2 ⇒ c = 1 y(x) = ( x + 1) + e− x ⇒ Solução exata Assim, −1

ye= y(x = 1) = (1 + 1) + e = 2,36787944117144 ⇒ Valor exato de y em x=1 ye = 2,36787944117144 Valor exato y(1) ~ 2,36788027192195 n = 8 => Erro exato = 8,3075.10-7 y(1) ~ 2,36787949045257 n = 16 => Erro exato = 4,9281.10-8 Observe que com Método de Runge-Kutta de 4ª ordem e n=8 subdivisões, temos Erro estimado = 7.81469380761735 x 10-7 (obtido comparativamente com os resultados de n=16 subdivisões), enquanto o Erro exato = 8,3075.10-7, ou seja, o erro estimado é da mesma ordem do erro exato.

Sistemas de EDO´s: Exemplo: Equação Diferencial Ordinaria (EDO) de 2a. Ordem, reduzida ao um sistema de 2 EDO´s de 1ª ordem; y''-4y'+4y=8t^2-16t+4; y(0)=0; y'(0)=1; Como podemos resolver apenas uma EDO por vez, com a nossa metodologia, podemos transformar uma EDO de 2ª. ordem em 2 sistemas de EDO´s de 1ª. ordem,m com a seguinte mudança de variáveis: y1(t)=y(t) -> y1'(t)=y'(t)=y2(t) 236

y1'(t)=z1(t,y1,y2)=y2; y1(0)=y(0)=0 y2(t)=y'(t) -> y2'(t)=y''(t)=+4y'-4y+8t^2-16t+4 y2'(t)=z2(x,y1,y2)=+4y2-4y1+8x^2-16x+4 ; y2(0)=y'(0)=1 Resultando em 2 EDOs com 2 condições iniciais: y1'(t)=z1(t,y1,y2)=y2; y1(0)=y(0)=0 y2'(t)=z2(x,y1,y2)=+4y2-4y1+8x^2-16x+4 ; y2(0)=y'(0)=1 E resolvemos as 2 EDO´s simultaneamente, pois uma depende da outra, através de uma algoritmo como que segue:

a=0 % Valor inicial de x b=1 % Valor final de x n=8 % Numero de subdivisões do intervalor [a,b] h=(b-a)/n % espacamento em x % Condição Inicial: x(1) =a % Valor inicial de x y1(1)=0; % Valor inicial de y1 y2(1)=1; % Valor inicial de y2 ye(1)=y1(1); %[0 x y1 y2 y1] for k=1:n K1z1=z1(x(k), y1(k), y2(k) ); K1z2=z2(x(k), y1(k), y2(k) ); K2z1=z1(x(k)+0.5*h,y1(k)+0.5*h*K11,y2(k)+0.5*h*K12); K2z2=z2(x(k)+0.5*h,y1(k)+0.5*h*K11,y2(k)+0.5*h*K12); K3z1=z1(x(k)+0.5*h,y1(k)+0.5*h*K21,y2(k)+0.5*h*K22); K3z2=z2(x(k)+0.5*h,y1(k)+0.5*h*K21,y2(k)+0.5*h*K22); K4z1=z1(x(k)+h, K4z2=z2(x(k)+h,

y1(k)+h*K31, y1(k)+h*K31,

y2(k)+h*K32 y2(k)+h*K32

); );

x(k+1)=x(k)+h; y1(k+1)=y1(k)+(h/6)*(K1z1+2*(K2z1+K3z1)+K4z1); y2(k+1)=y2(k)+(h/6)*(K1z2+2*(K2z2+K3z2)+K4z2); ye(k+1)=2*x(k+1)*x(k+1)+x(k+1)*exp(2*x(k+1)); [x(k+1) K1z1 K1z2 K2z1 K2z2 K3z1 K3z2 K4z1 K4z2 y1(k+1) y2(k+1) ye(k+1)] end erroexato=abs(ye(n+1)-y1(n+1)) plot(x,ye,'*',x,y1,'r')

237

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