Vectores 66j2l

INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA CIENCIA, VIRTUD Y LABOR 2010 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR GUIA DE FÍSICA 10 INTRODUCCIÓN Es frecuente en Física encontrar cantidades que tienen dirección y magnitud, tales como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, etc. Para poder trabajar con facilidad y fluidez con estas cantidades, es necesario involucrar nuevos conceptos, como la idea de vector, y definir ciertas operaciones matemáticas que permitan generalizar su uso. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES. ➢ Un escalar depende solamente de un número(puede ser positivo o negativo); tiempo, temperatura, masa, densidad, carga eléctrica, energía, son ejemplos de cantidades escalares. ➢ Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y una dirección. Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores

Una cantidad vectorial se escribe con una letra o número, con una pequeña letra horizontal trazada en la parte superior, como

. En los libros los vectores están escritos en letras más

φ

→

V

negras, como V. La magnitud de un vector se escribirá como V o →

V

IGUALDAD DE VECTORES

A

➢ Dos vectores son iguales si tienen igual magnitud y dirección A = B

Fig. 2

➢ Dos vectores son opuestos si tienen igual magnitud y direcciones opuestas Fig. 3

B

M

M =-N

N

SUMA DE VECTORES La suma de de los vectores A y B se define aplicando la regla del paralelogramo, la cual consiste en que: en un punto cualquiera 0 del espacio se dibujan dos vectores iguales a A y B y de origen 0.

A

A

S

Se completa el paralelogramo, cuyos lados adyacentes son dichos vectores. El vector suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen Entonces

o →

→

S = A + B

S = A+ B

Fig. 4

B

B

→

Esta regla es equivalente a la del triángulo, la cual consiste en que: ➢ En el extremo de A se dibuja un vector igual a B , coincidiendo el origen de B con el extremo de A. ➢ El vector suma es aquel cuyo origen coincide con el origen de A, y cuyo extremo coincide con el extremo de B. Analizando la figura, notamos que →

→

→

A

A

; así, la suma vectorial es →

B S

Fig. 5

B

→

S = A+ B = B + A

conmutativa EJEMPLOS:

A

Dados los vectores de la figura ( 6 ) a. Halla la magnitud del vector Suma Aplicando el método del triángulo

A S

B B

Las características del vector suma : S = 1 unidad; dirección= horizontal, sentido= positivo Fig. 7 b. Dados los vectores de la figura: Halla el vector suma por: 1. Método analítico 2. Por el método gráfico Solución: 1. Completamos un paralelogramo y unimos el origen con el Punto de intersección Observe que el vector suma me divide al paralelogramo en dos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras:

S 2 = A2 + B 2

S 2 = 4 2 + 32 S

=

5 Unidades

S = 16 + 9 2

2. Si mides la longitud del vector suma, puedes comprobar que su magnitud es 5 unidades DIFERENCIA DE VECTORES Queremos efectuar la operación A - B = D, que podemos reemplazar por: A + ( -B) = D Así, nuestra diferencia fue reemplazada por la suma de A y el opuesto de B Ejemplo: Halla la magnitud del vector diferencia D = A – B, en la figura

6

Fig. 8

Fig. 6

Solución

Características del vector Diferencia : Sentido= positivo

D = 7 unidades;

dirección= horizontal;

Ten en cuenta la figura 8 y halle el vector D = B – A

D = 5 unidades. COMPONENTES DE UN VECTOR Las componentes de un vector se obtienen trazando las perpendiculares de los extremos del vector hacia los ejes de coordenadas. Por definición de la suma, vemos que

Ax

+

Ay

=

A

Ay

α

Para hallar el módulo de las componentes aplicaremos las siguientes fórmulas

Ax

Ay = Asenα

Ax = A cosα

Y puede aplicar el teorema de Pitágoras 2

A 2 = Ax + A y

2

Ejemplo: Dado el vector A ( de magnitud 5) de la figura

¿Cuánto vale la componente

?

Ax ¿Cuánto vale la componente

?

Ay ¿Cuánto vale la magnitud de A? (por componentes) Solución:

Ax = A cosα = 5. cos 45 = 5(0,7) = 3,5

Ax

Ay 450

0

Ay = Asenα = 5 cos 45 = 5(0,7) = 3,5 0

Ax

A 2 = ( 3,5) + ( 3,5) = 12,25 2

2

A = 12,25 Ejercicios

1. Un estudiante se mueve 8 km al norte y 6 km al este. ¿Cuál es la suma vectorial de estos dos trayectos? Rta: 10 km 2.

Una persona se desplaza 700 m desde un punto de partida, ¿se podrá establecer donde está? ¿por qué?

3. ¿Es posible que una persona habiendo caminado 260 m se encuentre en la posición inicial?. ¿ Po qué? 4.

Para establecer donde se encuentra una persona después de caminar 310 m, ¿qué información se requiere? A

5. Dado el vector a.

el vector - A es: b.

c.

d.

1. La gráfica muestra un vector: 40o a. B = 3 unidades, en la dirección 40 grados al este del sur. b. B = 3 unidades, en la dirección 60 grados al sur del este. c. B = 3 unidades , en la dirección 40 grados al sur del este. d. B = 3 unidades, en la dirección 40 grados al sur del oeste. 1. Te piden que compres 10 m de caucho, ¿es necesario alguna otra información? 2. Un excursionista inicia un recorrido caminando primero 20 km hacia el norte, partiendo desde su campamento, el siguiente día camina 30 km en una dirección de 30 grados al sur del este llegando a su destino. a. Determina las componentes rectangulares del desplazamiento del excursionista en los dos días. b. Determina la magnitud y la dirección del desplazamiento total. 1. De acuerdo con la gráfica, la componente del vector A sobre el eje x es igual a: a. 3 unidades. b. 1,5 unidades c. 2,58 unidades d. 2 unidades Resuelva los ejercicios 10, 11 y 12 con la siguiente información: Dados los vectores de la figura: 1. La magnitud del vector suma es: a. 3 unidades b. 4 unidades c. 5 unidades d. 3 unidades 1. La magnitud del vector diferencia de la forma D=A–B a.3 unidades b.4 unidades c.5 unidades d.3 unidades 12. La magnitud del vector diferencia de la forma D = B - A a. 3 unidades

b. 4 unidades

c. 5 unidades

d. 3 unidades

13. Un vector de 10 unidades y otro de 12 unidades pueden sumarse de manera que la magnitud de su Resultante es: a. 0 b. 1 c. 10 d. 120 14. Un vector A de magnitud 2 y un vector B de magnitud 3 son perpendiculares. Encontrar la magnitud del vector C

F1

tal que C = 3A – 2B 15. En la figura los vectores

actúan sobre

F1

y

F2

un cuerpo A, se desea aplicar una fuerza

de modo que sea nula la

F3 resultante de las tres fuerzas. ¿Cuál de los vectores que se muestran a continuación es el corresponde a

F3 A

B

C

D

ÉXITOS.

F2