Prueba De Hiptesis[1] 332e28

INTERVALOS DE CONFIANZA Primer bloque EJERCICIO 1. De 50000 válvulas fabricadas por una compañía, se retira una muestra aleatoria de 400 válvulas, y se obtiene una media de 800 horas y una desviación estándar de 100 horas. SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es intervalo de confianza de 99% para la media población. ( ̅

̅

√

)

√

√

√

b) ¿con que coeficiente de confianza se diría que la vida media está en <799,11:800,98> Rpta 16%. c) ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que el intervalo de la media<792,16;807,84> sea 95% de confianza? ̅

√

√

̅

√

√

EJERCICIO 2. Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esta variable tiene una distribución normal con una desviación estándar de 2 unidades ̅ √ √ a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9. Determinar el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90%: 4.9; 7.0; 8.1; 4.5; 5.6; 6.8; 7.2; 5.7; 6.2 unidades. ̅

̅

̂

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

(

)

b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el erro cometido. Al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90? e=0.1 σ=2 γ=0.9 z=1.64485 .

/

n=1082.217 EJERCICIO 3. Fueron retiradas 25 piezas de la producción diaria de una maquina; se encontró para una cierta medida una media de 5,2 mm.se sabe que las medidas tienen distribución normal con desviación estándar de 1,2 mm. Construir el intervalo de confianza para la media con coeficiente de confianza de 99%. SOLUCIÓN ̅

(

)

Formula: ̅

√

[Escribir texto]

√

̅

√

√

Página 2


EJERCICIO 4. Suponga que las alturas de los alumnos de la facultad de economía tienen distribución normal con f=15cm.fue retirada una muestra de 100 alumnos obteniéndose x=175cm.construir el intervalo de confianza para la verdadera altura media de los alumnos con 95% de confianza? SOLUCIÓN ̅ ̅

̅

√

√

√

√

EJERCICIO 5.Extraída una muestra de 30 piezas, dio los siguientes pesos: 250,265,267,269,271,277,281,283,284,287,289,291,293,293,293,298,301,303,306,307,307,309,31 1,315,319,322,324,328,335,339,275.Por medio de la construcción del intervalo de confianza, responder si esta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300 kg.use α=5%. SOLUCIÓN n=30,

x

x

i

n

=296.633

s =22.2299632 Hallamos z0 : α=5% (

)

El intervalo está determinado por: ̅

√

̅

√

√

√

Rpta: Si satisface por la cual el peso medio debe de ser 300kg

[Escribir texto]

Página 3


EJERCICIO 6. En una fabrica al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes medias para los diámetros: 10,11,11,11,12,12,12,12,13,15,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,15,16,16. a) Estimar la media y la varianza. SOLUCION:

x

x

 ( x  x)

s2 

i

n x

i

n 1

394  13.133 30

s  1.432

b) Construir el intervalo de confianza para la media. SOLUCIÓN: Hallamos z0 : (

)

n=30 ̅

√

̅

√

√

√

12.621;13.645 2 2 EJERCICIO 7. Sea X una tal que X~N (µ, σ ), donde µ y σ son desconocidas .Una muestra de tamaño 15, dio los valores

∑

∑

Determine un intervalo de confianza de 95% para σ 2 .

S2  =>

[Escribir texto]

X

2 i

 ( X i ) 2 /n

n 1 27.3  (8.7)2 / 15 S2  14 2 S 1.5896

Página 4


(

(

)

)(

(

)

) (

)(

)

EJERCICIO 8. Diez lotes de siembra son tratados con fertilizante “A” y 12 con el fertilizante “B”. El rendimiento de los primeros lotes fue de 8 con una desviación estándar de 0.4. El rendimiento de Los segundos lotes fue de 6 con una desviación estándar de 0.2.Construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias al 95% y 98%. A B

n 1 10

n1  12





X1 8

X1 6

S1 0,4

S1 0,2

gl 

(S12 /n1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n1 ) 2 /(n1  1)  (S22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(0,016  0,003)2 (0,0000284)  (0,0000008) 0,000361 gl  0,0000292 gl 12,3612 gl 

PARA

(

)

(̅

̅ )

(

[Escribir texto]

√

)(

)

Página 5


PARA

(̅

̅ ) (

√ )(

)

EJERCICIO 9. Un curso de inglés fue dado a 18 estudiantes por medio del método tradicional obteniéndose una media de 75 y una desviación estándar de 5. Para otro grupo de 15 estudiantes dio el mismo curso por medio de un método más moderno obteniéndose una media de 70 y una desviación estándar de 6. Construir el intervalo para la diferencia de las medias, use . I grupo

II grupo

n 1 18

n1  15





X1 75

X1 70

S1 5

S1 6

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 gl  2 (S1 /n 1 ) 2 /(n1  1)  (S22 /n 2 ) 2 /(n 2  1) (1,3888  2,4)2 (0,11347131)  (0,41428571) 14,35567901 gl  0,52775702 gl 27,327 gl 

(

)

(̅

̅ ) (

[Escribir texto]

√ )(

)

Página 6


EJERCICIO 10. La Gerencia Comercial Moderno ha comercializado una nueva pila para las unidades "flash" de cámaras de 35mm con el lema. ¿Por que no usar lo mejor? En promedio muestras baterías producen 20000 destellos. El gerente de comercialización se criticaba el reclamo publicitario de la compañía al día para refutar las críticas, el gerente seleccionó al azar 23 unidades de destellos diferentes y comprobó con ellos la pila, los resultados fueron: Número de destellos (en miles) 15 19 14 16 12 17 16 18 17 22 18 9

Número de destellos (en miles) 16 18 17 20 16 15 17 16 13 15 17

a) Obtener un estimador puntual de la media verdadera ̅

El estimado puntual para la media es:

̅

b) Obtener un Intervalo de confianza de 95% para la media verdadera. Con base a estos resultados, ¿podría el gerente de comercialización refutar las críticas al anuncio que hace el lema de la compañía?

S (

)

2

 (X 

 i

- X)2

n 1 (15  16,22) 2  (19  16,22)  ...  (17  16,22) S2  22 2 S  7,178





S 2,679

[Escribir texto]

Página 7


̅

√ (

)

R: No, porque 20000 no está en el intervalo de confianza EJERCICIO 11. Los alumnos de la fac8ultad de Ingeniería Industrial puede escoger entre dos cursos de física, uno de 3 horas semanales sin laboratorio. El examen final es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4 y 18 del curso sin laboratorio obtienen una calificación promedio de 77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio para los 2 cursos. Suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales.

Lab

Sin Lab n 1  18

n 1 12 



X 1 84

X 1 77

S1  4

S1 6

(

)

gl 

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n 1 ) 2 /(n1  1)  (S22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(1,3333333 2) 2 (0,1616161)  (0,2352941) 11,11111 gl  0,3969102 gl 27,927 gl 

(̅

̅ ) (

[Escribir texto]

√ )(

) Página 8


EJERCICIO 12. Un agente de compras de una compañía se vio confrontado con dos tipos de máquinas para realizar cierta operación. Se le permitió probar ambas máquinas a lo largo de cierto periodo de pruebas. Es deseo del agente comprar la máquina que tiene mayor rendimiento. Se le asignaron aleatoriamente 40 tareas, 20 a cada máquina con los siguientes resultados:

̅ ̅

n1=n2=20 a) ¿Qué máquina decidirá comprar el agente?

̅̅̅

̅̅̅

√

√

Como ambos límites son positivos entonces R: El agente deberá comprar la máquina 1 EJERCICIO 13. Una compañía de automóviles de alquiler está tratando de decidir la compra de neumáticos, entre las marcas A y B, para su flota de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se efectúa un experimento, empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se desgastan. Los resultados para la marca A son: ̅ = 36300 km y = 5000 km. Y para la marca B; ̅ =38100 Km y = 6100 km. Calcule un intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 (suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales) r. 6522 < µ1-µ2 < 2922 SOLUCIÓN: 1. n<30, m<30, n=12 , m=12, γ=0.95 2. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.074 3. el intervalo está determinado por :

[( x  y )  t 0 S c

[Escribir texto]

1 1 1 1   ( x  y)  ( x  y)  t 0 S c  ] n m n m

Página 9


Sc  Sc =

(n  1) S x2  (m  1) S y2 nm2

11* 5002  11* 61002 =5577.186 22

1 1  =2.074*5577.186* 1 / 12  1 / 12 =4722.24 n m Θ1= (36300-38100)-4722.24 Θ2= (36300-38100)+4722.24 4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-6522.24; 2922.24] Hallamos t0 S c

EJERCICIO 14. Una compañía de café está probando dos nuevos envases para su café instantáneo. Se eligieron 200 tiendas de abarrotes: en 100 de ellas se colocó un tipo de envases y en los 100 restantes el otro. El volumen mensual de ventas de los envases nuevos se expresó en forma de porcentaje de las ventas mensuales de los meses anteriores. Se llevó un registro para cada tienda. Para el envase A, el aumento del promedio de ventas fue del 3% con una desviación estándar del 20%. Para el envase B, el aumento del promedio de ventas fue de 8% con una desviación estándar de 24%. ¿Aumentó el promedio de ventas del envase B en forma significativa con respecto a A ? R. -0.0112324 < µ B - µ A < 0,11124 El promedio de ventas de B no ha aumentado en forma significativa con respecto a A. SOLUCIÓN: 1. n=100 , m=100, γ=0.95 (opcional) 2. Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576 3. el intervalo está determinado por :

 x2

[(x  y)  Z 0

n

Hallamos Z 0

 x2 n





 y2 m

 y2 m

 ( x  y)  ( x  y)  Z 0

 x2 n



 y2 m

]

y Θ1 y Θ2

Para Z0 =2.576

1.960

0.2 2 100



0.24 2 100

=0.061

Θ1= (0.08-0.03)- 0.061 Θ2= (0.08-0.03)+ 0.061 4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-0.011;0.11] El promedio de ventas de B no ha aumentado en forma significativa con respecto a A.

[Escribir texto]

Página 10


EJERCICIO 15. Se desea estimar el gasto promedio diario por turista extranjero en Lima y con dicho fin, se elige una muestra de 120 turistas supuestamente representativa, encontrándose un promedio de $800 diarios. Si por estudios anteriores se conoce que la desviación estándar del gasto diario por turista extranjero en Lima es de $ 100 diarios. a) Determine un intervalo de confianza al 99% para la media real de los gastos diarios. SOLUCIÓN: n=120, γ=0.99, x =800, σ=100 Hallamos Z0 para P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.5758 el intervalo está determinado por :

[x 

Z 0 n

Hallamos

   x Z 0 n

Z 0 n

]

=2.5758*100*/ 120 =23.51

Θ1= 120-23.51 Θ2= 120+23.51 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [96.49; 143.51] b)

Si quisiéramos disminuir el error de estimación a $10, aceptando una probabilidad del 5% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera del intervalo, ¿Cuántas observaciones adicionales se deben tomar?

σ=100, E=10, γ =1-α=1-0.05=0.95 Hallamos Z0 para P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960

SOLUCIÓN:

la muestra está determinado por:

n [

Z 0 2 ] E = (1.960*100/10)2=384

Como la muestra que tenemos es 120, entonces faltarían 384-120=264 observaciones adicionales. EJERCICIO 16. Dos universidades nacionales de Lima Metropolitana tienen métodos distintos para inscribir a sus postulantes para el examen de isión. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estándares muéstrales son las siguientes: ̅ =50,2 ̅ =52,9 = 4,8 = 5,4 Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblaciones distribuidas normalmente e independientes, obtener los intervalos de confianza del 90, 95 y 99% para la diferencia entre las [Escribir texto]

Página 11


medias de tiempo de inscripción para las dos universidades. Con base a esta evidencia, ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre los tiempos medios para cada universidad? R. -3,89 < µ1-µ2 <-1,51, <-4,12;-1,28 >, <-4,58;-0,82 > SOLUCIÓN: n=100, m=100, γ=0.90 , γ=0.95 , γ=0.99 Hallamos Z0 , γ=0.90 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.90+1)/2=0.95 Z0= 1.645 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576 El intervalo está determinado por :

[( x  y )  Z 0 Hallamos Z 0

2 2  x2  y  x2  y   ( x  y)  ( x  y)  Z 0  ] n m n m

 x2 n



 y2 m

y Θ1 y Θ2

Para Z0 =1.645

1.645

4.8 2 100



5.4 2 100

=1.185

Θ1= (50,2 - 52,9)-1.185 Θ2= (50,2 - 52,9)-1.185 Para Z0 =1.960

1.960

4.8 2 100



5.4 2 100

=1.416

Θ1= (50,2 - 52,9)- 1.416 Θ2= (50,2 - 52,9)+1.416 Para Z0 =2.576

2.576

4.8 2 100



5.4 2 100

=1.861

Θ1= (50,2 - 52,9)- 1.861 Θ2= (50,2 - 52,9)+ 1.861 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 90% es: [-3.89; -1.51] El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [4,12;-1,28] El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-4,58;-0,82]

[Escribir texto]

Página 12


EJERCICIO 17. Una compañía que vende maquinaria a una planta pretende que una nueva máquina, costosa, desarrollada recientemente duplicara la producción respecto a las máquinas antiguas. La planta instala una de estas nuevas maquinas y la pone a producir al lado de las antiguas por un período de seis semanas consecutivas. Se obtiene los siguientes resultados (en unidades redondeadas a un millón). Producción promedio de máq. Antigua

2 2 3

4 54

Producción promedio de máq. Nuevas

4 4 8 6 86

Con base a estos datos, ¿se estaría inclinando a justificar a la gerencia que declara que la nueva máquina no tuvo el desempeño que se pretendía? SOLUCIÓN: ̅ =3.33 = 1.21

̅ =6 = 1.63

1. n<30, m<30, n=6 , m=6, γ=0.95 2. hallamos t0 para n+m-2=10 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.228 3. el intervalo está determinado por :

[( x  y )  t 0 S c

Sc  Sc =

1 1 1 1   ( x  y)  ( x  y)  t 0 S c  ] n m n m

(n  1) S x2  (m  1) S y2 nm2

6 *1.212  6 *1.632 =1.572 10

Hallamos t0 S c

1 1  =2.228*1.572* 1 / 6  1 / 6 =2.022 n m

Θ1= (6-3.33)-2.022 Θ2= (6-3.33)+2.022 4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [0.648;4.692] Existe una diferencia significativa entre la producción de maquinas nuevas con respecto las maquinas antiguas. EJERCICIO 18. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se selecciona 12 especímenes y cada uno de estos se somete a una tensión hasta que se rompa. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los especímenes en kilogramos por centímetro cuadrado. Proc. Estándar

[Escribir texto]

428 419 458 439 441 456 463 429

438

445

441

463

Página 13


Proc. Nuevo

462 448 435 465 429 472 453 459

427

468

452

447

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90; 95 y 99% para µ s y µ N. Con base a los resultados ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre µ s y µ N? R. <-18,3262; 2,1594 >, < -20,4559; 4,2891 >, <-24,9003; 8,7335 >, NO SOLUCIÓN: ̅ =443.333333 = 14.278613

̅ =451.416667 = 14.9390175

1. n<30, m<30, n=12 , m=12, γ=0.95, γ=0.90, γ=0.99 2. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , γ=0.90 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.90+1)/2=0.95 t0=1.717 3. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , γ=0.95 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.074 4. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , γ=0.99 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 t0=2.819 5. el intervalo está determinado por :

[( x  y )  t 0 S c

Sc  Sc =

1 1 1 1   ( x  y)  ( x  y)  t 0 S c  ] n m n m

(n  1) S x2  (m  1) S y2 nm2

11*14.282  11*14.94 2 =14.614 22

Luego: Para t0=1.717 hallamos t0 S c

1 1  =1.717*14.614* 1 / 12  1 / 12 =10.24 n m

Θ1= (443.33-451.42)-10.24 Θ2= = (443.33-451.42)+10.24 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 90% es: [-18.09; 2.15] Para t0=2.074 hallamos t0 S c

1 1  =2.074 *14.614* 1 / 12  1 / 12 =12.37 n m

Θ1= (443.33-451.42)- 12.37 Θ2= = (443.33-451.42)+ 12.37 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-20,46; 4,29]

[Escribir texto]

Página 14


1 1  =2.819 *14.614* 1 / 12  1 / 12 =16.816 n m

Para t0=2.819 hallamos t0 S c

Θ1= (443.33-451.42)- 16.816 Θ2= = (443.33-451.42)+16.816 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-24,90; 8,73] 6.

No diferencia una diferencia real entre µ s y µ N

EJERCICIO 19. Un fabricante de TV esta desarrollando un nuevo modelo de televisor a color, y para este fin se pueden utilizar dos tipos de esquemas transistorizados. El fabricante selecciona una m.a de esquemas transistorizados del primer tipo de tamaño 12, y otra del segundo tipo de tamaño 11. Los datos muestrales con respecto a la vida de cada esquema son los siguientes: , , Con base a estos datos ¿se estaría inclinando a concluir que la vida media del esquema del primer tipo es mayor que la del segundo? use Solución , Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero construiremos el intervalo de confianza para . Para

buscamos en la tabla de distribución F, y se encuentra: (

) (

( )

) (

)

(

Luego el intervalo de confianza del 90% para ( (

)

(

. Entonces el intervalo de confianza a utilizar para el análisis es:

(

)

[Escribir texto]

(

)

)

)

Como , concluimos que de la diferencia de medias

Donde: (

es:

(

)

)

(

)

(

)

)√

(

(

)

)

Página 15


Ahora para (

en la tabla de distribución T encontramos:

)

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias (

√

) ( (

) )

( √ (

es: )

)

Se observa que el intervalo no incluye al cero, luego del hecho de que ambos intervalos son negativos, concluimos que la vida media del esquema del primer tipo es menor que la del segundo tipo. EJERCICIO 20. En las ciudades de Arequipa y Ayacucho se llevo a cabo una encuesta sobre el costo de la vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por 4 personas. De cada ciudad se selecciono aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alimentación. Las medias y las desviaciones estándares muestrales fueron las siguientes: (

) ,

(

),

Si se supone que las dos poblaciones son independientes con distribución normal cada uno, obtener el intervalo de confianza de 99% para ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre . Solución , Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero construiremos el intervalo de confianza para . Para


) (

( )

)

(

)

Luego el intervalo de confianza del 99% para ( (

[Escribir texto]

(

) )

(

(

)

es: )

)

Página 16


Como , concluimos que de la diferencia de medias

. Entonces el intervalo de confianza a utilizar para el análisis es:

( Donde: (

)

(

(

)

)

(

)

(

Ahora para (

)√

(

)

)

en la tabla de distribución T encontramos:

)

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias (

√

)

(

( )

)

(

es:

)

√ (

)

Se observa que el intervalo no incluye al cero y con el hecho de que ambos límites de confianza sean positivos, se puede concluir que . Por lo tanto existe una diferencia real entre EJERCICIO 21. Una agencia estatal tiene la responsabilidad de vigilar la cantidad del agua para la cría de peces con fines comerciales. Esta agencia se encuentra interesada en comprar la variación de cierta sustancia toxica en dos estuarios cuyas aguas se encuentran contaminadas por desperdicios industriales provenientes de una zona industrial cercana. En el primer estuario se seleccionaron 11 muestras y en el segundo 8, las cuales se enviaron a un laboratorio para su análisis. Las mediciones en ppm que se observaron en cada muestra se exponen en la siguiente tabla. Si se supone que el muestreo se hizo sobre dos poblaciones independientes con distribución normal. ¿se podría concluir que las dos varianzas son diferentes al 95% de confianza? Estuario 1

10

10

12

13

9

8

12

12

Estuario 2

11

8

9

7

10

8

8

10

0

14

8

Solución (

)

,

,

( ) , , Para saber si las varianzas son diferentes construimos el intervalo de confianza para Para

.


[Escribir texto]

)

(

) Página 17


(

)

(

)

Luego el intervalo de confianza del 95% para (

)

es:

(

) (

(

) (

)

)

Como el intervalo no incluye a la unidad, entonces, las varianzas poblacionales son distintas, es decir , al 95% de confianza. EJERCICIO 22. La compañía A produce focos pequeños de 1.5 voltios y se desea analizar la variabilidad del proceso de producción, se tomo una m.a de 16 focos y se obtuvo una media de duración igual a 120 horas, y un coeficiente de variabilidad a 25%. Halle el intervalo de confianza del 98% para la desviación estándar poblacional. Solución

Del coeficiente de variabilidad deducimos:

Para

, buscamos en la tabla de distribución

CHI-CUADRADO y obtenemos: (

)

(

)

(

)

(

Habiendo deducido el valor de

) , hallamos entonces el

intervalo de confianza al 98% para la desviación estándar: ( √ ( √

)

)

√

√

(

(

)

)

EJERCICIO 23. Se planea una encuesta para medir la cantidad de tiempo que los niños miran la televisión. Un chequeo preliminar indica que el tiempo promedio por semana es cerca de 15 horas con una desviación estándar de 5 horas. Se desea estimar el tiempo promedio por semana con una precisión de media hora, al nivel de confianza del 99%. a) Si el costo de istración de la encuesta es de S/50000, más S/100 por entrevista, ¿Cuál es el costo total que se debe presupuestar para la encuesta? [Escribir texto]

Página 18


b) Después de completar la encuesta, se encuentra que la media es de 18 horas y la desviación estándar es de 6 horas. ¿Qué costo adicional (si es que hay alguno) debe presupuestarse, excluyendo la istración para conseguir una estimación revisada del tiempo promedio, a la luz de esta nueva información? EJERCICIO 24. Se sospecha que un laboratorio de medidas de viscosidad obtenidas en la mañana eran menores que en la tarde. Para confirmar esta sospecha se toman dos muestras una por la mañana y otra por la tarde. Viscosidad

n

∑(

)

mañana

tarde

10

9

56.8

58

1273.6

284

¿Existe evidencia estadística para afirmar que la variabilidad de la viscosidad difiere en ambos turnos? Solución

∑

(

)

∑

(

)

Suponiendo que trabajamos con un nivel de confianza del 95% para hallar la variabilidad de la viscosidad, para encuentra: ( (

buscamos en la tabla de distribución F, y se )

( )

) (

Luego el intervalo de confianza del 95% para

[Escribir texto]

)

(

)

es:

Página 19


(

) (

)

(

)

(

)

Como el intervalo incluye a la unidad, entonces, la variabilidad de las viscosidades son iguales ( ), al 95% de confianza. EJERCICIO 25. Un gran fabricante de aparatos eléctricos necesita una estimación actualizada y precisa de las ventas al por menor de sus productos, como información auxiliar para la planeación de la producción. Para ello el fabricante piensa tomar una m.a. de sus distribuidores al por menor y estimar las ventas mensuales. Para ayudarse en la planeación de la investigación, seleccionar una muestra preliminar de 60 distribuidores de su producto. Los resultados fueron

Donde X representa las ventas de aparatos (en unidades) por distribuidor, en el mes pasado. a) El fabricante desea que la estimación muestral de la media de las ventas mensuales por distribuidor sea precisa con un margen de 1 aparato, con un nivel de 95% de confianza ¿Qué tamaño debe tener la muestra para obtener esta precisión? b) El costo de la investigación se estima en S/. 200000 más S/. 4000 por distribuidor muestreado ¿Cuál será el costo total de la encuesta en base a la respuesta dada en a).? SOLUCIÓN a) Haciendo uso de los datos dados obtenemos lo siguiente: m.a. = 60 Varianza (²) = 29.159 Nivel de confianza ( = 95%)

Error de estimación (E = 1) P [Z < Z0] = (1+ 0.95)/2 Z0 = 1.96

Para hallar el tamaño muestral usamos la siguiente fórmula:

n = [Z0*/E]² = [1.96]²*[29.159]/1 = 112 El tamaño muestral es 112 c) Costo total = S/. 200000 + S/. 4000*112 = S/. 648000

[Escribir texto]

Página 20


EJERCICIO 26.Un analista económico realiza un estudio y decide proponer al gobierno que apoye las exportaciones de algodón y hierro, mediante préstamos promocionales tomados de un fondo de dinero que el gobierno de Canadá tiene intención de donar al Perú. El analista resuelve tomar aleatoriamente los promedios mensuales de exportaciones de ambos productos correspondientes a 10 meses del gobierno, con la intención de observar cuál de los dos productos han generado una mayor cantidad de divisas al país en los últimos años. Si el promedio mensual de uno de los productos es mayor que el otro, este producto obtendrá las dos terceras partes de los fondos, en caso contrario el fondo se repartirá en partes iguales. En la siguiente tabla aparecen las exportaciones en millones de dólares de algodón y hierro. Meses de Gobierno

Exportaciones en millones de dólares Algodón

Hierro

Enero 1986

0.01

0.01

Marzo 1986

0.17

0.44

Junio 1986

0.31

0.55

Julio 1986

0.36

1.03

Setiembre 1986

0.98

0.81

Febrero 1987

0.98

1.51

Junio 1987

1.03

0.79

Julio 1987

0.26

0.97

Agosto 1987

0.22

2.63

Setiembre 1987

0.1

2.77

En base a los datos, ¿Qué recomendaría el analista al gobierno? Use =99% SOLUCIÓN Intervalo de confianza para el algodón y también para el hierro usando la siguiente fórmula:

n = 10 Promedio = 0.442 Desv. Est. (s) = 0.396 Grado libertad (gl) = n - 1 = 9 =99% t0 = 3.25 IC (Algodón) = (0.035, 0.849)

[Escribir texto]

n = 10 Promedio = 1.151 Desv. Est. = 0.907 gl = n – 1 = 9 =99% t0 = 3.25 IC (Hierro) = (0.219, 2.083)

Página 21


Observando el promedio de algodón y hierro se deduce que el promedio de hierro es mayor que del algodón y analizando los intervalos de confianza de ambos se deduce que el hierro ha generado mayor cantidad de divisas para el país, por lo tanto el analista recomendará al gobierno prestar los 2/3 de fondos para exportaciones de hierro. EJERCICIO 27. El desarrollo económico debe ser entendido a partir de sus dos premisas fundamentales; el crecimiento económico y luego la mejor distribución del ingreso. No se puede distribuir mejor la riqueza si es que no se logran adecuadas tasas de crecimiento, porque sino sería como repartir la pobreza entre los pobres. Con esta idea, un grupo de economistas decide realizar un estudio respecto a la situación económica del Perú desde la década de los sesenta. Para este fin, se presenta una de las principales variables utilizadas en el estudio. TASA DE CRECIMIENTO DEL PBI (%)

AÑOS

PBI

AÑOS

PBI

AÑOS

PBI

1960

9.19

1970

7.31

1980

2.88

1961

8.42

1971

5.13

1981

3.06

1962

9.03

1972

5.84

1982

0.89

1963

4.07

1973

6.2

1983

-11.98

1964

1974

6.86

1984

4.73

1965

7.14 4.88

1975

2.39

1985

1.95

1966

7.05

1976

3.33

1986

8.6

1967

3.51

1977

0.26

1987

6.87

1968

0.03

1978

-1.77

1988

-8

1969

4.14

1979

4.31

1989

1.95

Considerando los datos aquí presentados. Que podría afirmar respecto de las siguientes conclusiones elaboradas por este grupo de economistas a) Se puede afirmar que el Perú ha alcanzado el promedio mínimo de crecimiento necesario para lograr el desarrollo, es decir, que históricamente ha crecido como mínimo en promedio 6% SOLUCIÓN: Para responder esta pregunta es necesario hacer una prueba de hipótesis y se usará la siguiente fórmula y el siguiente gráfico:

Z Hipótesis: Ho:

o

x  o s n

>

0.06 (Perú alcanzo el

promedio mínimo

de 0.06)

[Escribir texto]

Página 22


H1:

 o < 0.06 (Perú no alcanzó el promedio mínimo de 0.06)

Datos calculados de la tabla: n = 30 Promedio = 3.61 Desv. Est. = 4.667 Asumiendo  = 95% Zo = 1.96 (se tomará -1.96 para comparar con Z) Calculando Z, tenemos que Z = 4.165, se tomara el negativo Z = -4.165 Observamos que Z < Zo (-4.165 < -1.96), Z se encuentra en la zona de rechazo, por lo tanto NO se puede afirmar que el Perú ha crecido como mínimo en promedio 6%

b) Tratando a nivel de lo observado en los dos últimos gobiernos democráticos (1980 1985) y (1986 - 1989), es posible aseverar que existe diferencias en las tasas promedio de crecimiento alcanzadas por uno y por otro, siendo esta diferencia favorable al régimen de (1986 – 1989), y se espera que la diferencia observada crezca cada vez más en el mismo sentido. SOLUCIÓN: Como en el caso anterior se hace una prueba de hipótesis y se usa las siguientes fórmulas y el siguiente gráfico:

t

xy s12 s22  m n

(c1  c2 ) 2 gl  2 c1 c22  m 1 n 1

s12 c1  m

s22 c2  n

Hipótesis:

 o (desfavorable al gobierno 1986 – 1989)

Ho:

1

H1:

 1 >  o (favorable al gobierno 1986 – 1989)

<

Datos calculados de la tabla: n0 = 6 (periodo 80 – 85), n1 = 4 (periodo 86 – 89) Promedio0 = 0.26 Desv. Est. = 6.128 Promedio1 = 2.36 Desv. Est. = 7.456 Asumiendo  = 95% gl = 6 aprox. To = 2.447

[Escribir texto]

Página 23


Calculando T = 0.467, entonces 0.467 < 2.447, se acepta Ho y se rechaza H1, por lo cual quiere decir que la tasa promedio de crecimiento del periodo (1986 – 1989) no es favorable.

EJERCICIO 28. Considere Ud. El problema de un inversionista nacional que desea colocar su capital dentro del sector industrial. Dicho agente se guiará, para tomar la decisión respecto de donde invertir sus recursos, del criterio de maximizar la rentabilidad promedio derivada de la operación realizada. Con este fin se selecciona 10 observaciones de la industria textil y 15 de la industria papelera, encontrándose una rentabilidad promedio de 3% y 8% respectivamente, con desviaciones típicas de 20% y 24% en cada caso. ¿En que sector le recomendaría invertir al agente en cuestión? (=97%) SOLUCIÓN: Haciendo uso del Minitab obtenemos lo siguiente: T de una muestra (industria textil) Media del Error N Media Desv.Est. estándar IC de 97% 10 0.0300 0.2000 0.0632 (-0.1328, 0.1928) T de una muestra (industria papelera) Media del Error N Media Desv.Est. estándar IC de 97% 15 0.0800 0.2400 0.0620 (-0.0696, 0.2296) Observando los intervalos de confianza y analizando se llega a la conclusión que el agente debe invertir en cualquiera de los dos sectores, ya que en ambas se pierde y se gana.

EJERCICIO 29. Al tomar una m.a. de 50 focos se registró la vida útil de cada una de ellos en una tabla de frecuencias de cinco intervalos con Xmin = 600, Xmax = 1100h, además f1 = 12, F2 = 25, h3 = 0.18 y F4 = 46. Con estos datos construir e interpretar un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional. SOLUCIÓN: Construir el cuadro de frecuencias Intervalo

Marca clase

fi

Fi

600 - 700

650

12

12

700 - 800

750

13

25

800 - 900

850

9

34

900 - 1000

950

12

46

1000 - 1100

1050

4

50

Haciendo los cálculos tenemos lo siguiente: N = 50   Promedio = 816 x  Z 2  Desv.Est. = 129.0116 n  Zo = 1.96

   x  Z 2

[Escribir texto]

   n Página 24


Hacemos uso de la siguiente fórmula: Haciendo los cálculos el IC = (780.24, 851.76) Interpretación: Al 95% de confianza la vida útil de los focos se encuentra entre 780.24 y 851.76.

EJERCICIO 30. Debido a la escasez de agua producida por el calor severo en las ciudades de Lima, Trujillo, Piura y Chiclayo, el gobierno observa el consumo mensual promedio por vivienda. Si ui representa el consumo mensual promedio por vivienda, de la i - ésima ciudad, siendo i = 1, 2, 3, 4, entonces el costo mensual esperado debido al consumo en estas cuatro ciudades es: C=5u1 + 7u2 + 8u3 + 2u4 Con base a estudios previos, se cree que el costo mensual esperado es S/. 257. El gobierno lleva a cabo una encuesta a través del INEI en la que seleccionando m.a. independientes de cada una de las ciudades se obtuvo lo siguiente: n1 = 50

x1 = 15

S1² = 4

n2 = 50

x2 = 10

S2² = 10

n3 = 50

x3 = 13

S3² = 8

n4 = 50

x4 = 12

S4² = 7

Empleando un intervalo de confianza del 99.8% para C, ¿se podrá afirmar que la evidencia apoya al estudio previo? SOLUCIÓN: Hallamos C = 5*15 + 7*10 + 8*13 + 2*12 = 273 Varianza = 5²S1²/n1 + 7²S2²/n2 + 8²S3²/n3 + 2²S4²/n4 Varianza = 25*4/50 + 49*10/50 + 64*8/50 + 4*7/50 Varianza = 25 Des.Est. = 5 Zo = 3.09 IC = <273 - 3.09*5 , 273 + 3.09*5> = <257.55, 288.45> Se observa en el intervalo de confianza que el costo mensual esperado de S/. 257 no se encuentra entre (257.55; 288.45), por lo tanto la evidencia no apoya al estudio previo.

EJERCICIO 32. Una empresa importadora de automóviles tiene cuatro puntos de venta, dos de ellos ubicados en lima y los otros dos en el interior del país (provincias). Cada uno de estos puntos de venta cuenta con un determinado número de vendedores a los cuales se les paga un porcentaje de comisión sobre el nivel de ventas realizadas. Las comisiones son de 4% den lima y



de 6% en provincias. Si i representa el nivel de ventas semanal promedio, en miles de soles del i- ésimo punto de venta (i= 1, 2, 3, 4) y de acuerdo a la información histórica registrada, se sabe que la desviación estándar del nivel de ventas asciende a 50 miles de soles y es la misma

[Escribir texto]

Página 25


para todos los puntos de venta. Por lo anterior, el costo semanal esperado por la empresa importadora por concepto de comisiones pagadas a los vendedores de Lima y provincias es:

C  0.04 1  0.04  2  0.06  3  0.06  4 Se cuenta con información sobre el nivel de ventas promedio, en miles de soles, efectuadas por la empresa durante las últimas semanas en los distintos puntos de ventas que son:

n1  50 , n2  50 , n3  50 , n4  50 X 1  50 , X 2  50 , X 3  60 , X 4  70 a) Estime en forma puntual el costo semanal esperado C de la empresa importadora por concepto de pago de comisiones a los vendedores de lima y provincias. Para la solución de este problema utilizaremos la siguiente fórmula:





u  X  Z 0 ; X  Z 0  n n Además tomaremos un intervalo de confianza al 90%, entonces:

P ( Z , z 0) 

1  0.9 De donde 2

z

0

=1. 64(utilizando tabla)

Ahora trabajaremos por cada punto de venta con sus respectivos datos. PUNTO DE VENTA 1

u

1

 50 

1.64 x50 1.64 x50 ;50   50 50

u =<38.40;61.60> 1

PUNTO DE VENTA 2

u u

2

2

 50 

1.64 x50 1.64 x50 ;50   50 50

=<38.40;61.60>

PUNTO DE VENTA 3

u u

3

3

 60 

1.64 x50 1.64 x50 ;60   50 50

=<48.40;71.60>

PUNTO DE VENTA 4

u u

4

4

 70 

1.64 x50 1.64 x50 ;70   50 50

=<58.40;81.60>

Luego según la fórmula C  0.04 1  0.04  2  0.06  3  0.06  4 [Escribir texto]

Página 26


C C C C

 0.04x38.4  0.04x38.4 + 0.06x48.4 + 0.06 * 58.4

min

min

=9.48

max max

C

 0.04x61.6+ 0.04x61.6 0.06x71.6+ 0.06x81.6 =14.12

c

m in

 cm ax 2

C = 11.80 b) Estime el costo semanal esperado C de la empresa importadora por concepto de pago de comisiones a los vendedores de lima y provincias, con un intervalo de confianza al 95% asumiendo que el nivel de ventas tiene una distribución normal.

P ( Z , z 0) 

1  0.95 2

De donde

z

0

=1. 96(utilizando tabla)

PUNTO DE VENTA 1

 50 

u

1

1.96 x50 1.96 x50 ;50   50 50

u = <36.14;63.86> 1

PUNTO DE VENTA 2

u

 50 

2

u

2

1.96 x50 1.96 x50 ;50   50 50

= <36.14;63.86>

PUNTO DE VENTA 3

u

 60 

3

u

3

1.96 x50 1.96 x50 ;60   50 50

= <46.14;73.86>

PUNTO DE VENTA 4

u

 70 

4

u

4

1.96 x50 1.96 x50 ;70   50 50

= <56.14;83.86>

Luego según la fórmula

C  0.04 1  0.04  2  0.06  3  0.06  4

C  0.04x36.14 0.04x36.14+ 0.06x46.14+ 0.06x56.14 C =9.038 C  0.04x63.86+ 0.04x63.86 0.06x73.86+ 0.06x83.86 C =14.572 u =<9.038;14.572> min

min

max

max

4

[Escribir texto]

Página 27


c) ¿Qué sucedería con el error de estimación si se cuenta con una muestra constituida por un numero mayor de datos para cada uno de los puntos de venta de la componía importadora? Puesto que el error es inversamente proporcional a la cantidad de datos de la muestra, este error será menor si es que la cantidad de datos es mayor. EJERCICIO 34. Por definición, el concepto elasticidad-precio de la demanda nos mide el grado de sensibilidad de la demanda ante una variación de precios. Asimismo se define también que la demanda es menos elástica cuanto menor sea ese grado de sensibilidad. Por ello, la demanda puede ser clásica, inelástica o clásica unitaria. Al respecto cuantificaremos el promedio mensual de la elasticidad-precio de la demanda de arroz del país ZZZ, para ello contamos con los siguientes datos: Se sabe que la demanda total de arroz esta conformada por la demanda de arroz en el norte y la demanda en el sur. Según datos históricos la demanda en el norte representa un 20% de la demanda total y el resto se destina al sur de la región, esta participación se mantiene invariable durante un año. Se cuenta con una muestra de 12 meses representativos de un año en el cual el mercado no Presentó perturbaciones graves, los datos que se obtuvieron son los siguientes: Elasticidad-precio en el NORTE

Elasticidad-precio en el SUR

X 1  1.320

X 2  0.50

S1  0.335

S 2  0.212

Para calcular la elasticidad-precio de la demanda total de arroz, emplearemos el concepto de elasticidad total: ET  a1 E N  a 2 E S participación) y

EN

y

ES

donde a1 y a 2 son las respectivas ponderaciones (o

clasificación del Norte y del Sur.

a) Por lo general se espera que las elasticidades mensuales en las regiones sean homogéneas, sin embargo, no siempre es la misma en las dos regiones. Se pide: determinar si existe una diferencia significativa entre la homogeneidad de las elasticidades existente en el norte y el sur de la región, presente los supuestos del caso.





i  X  t 0 ; X  t 0  n n 1  0.9 P(T , t 0)  de donde t =1.769 0 2 En la región NORTE

[Escribir texto]

Página 28


u

norte

u

norte

 1.320 

1.769 x0.335 1.769 x0.335 ;1.320   12 12

 -1.49;-1.15 

En la región SUR

u

sur

u

sur

 0.5 

1.769 x0.212 1.769 x0.212 ;0.5   12 12

 -0.61;-0.39 

Luego

ET min  0.2(1.49 )  0.8(0.61)

ET min  0.786

ET  m ax  0.2(1.45 )  0.8(0.39 ) ET max  0.542 Por tanto entre ambas elasticidades totales (máxima significativa

y mínima) no existe una diferencia

b) Suponga que después de revisar varios años representativos se encontró que la variabilidad de las elasticidades debe ser de 0.12 (unidades al cuadrado) para el norte y 0.05 (unidades al cuadrado) para el sur. Se pide: con esta nueva información determine el intervalo de confianza para la elasticidad total del país ZZZ conformado por las regiones Note y Sur. Con los resultados identifique el tipo de elasticidad-precio hallado (elástica, inelástica, unitaria) y determine si se puede afirmar que la demanda total es altamente sensible a la variación de precios. Presente los supuestos estadísticos necesarios.

s s

2

 0.12

s 2  0.05 Entonces s sur norte

Entonces

norte

sur

 0.346

 0.224

Con estos nuevos datos calculamos de manera similar a la parte “a” de donde:

u

norte

 -1.5;-1.14

y

u

sur

 -0.616;-0.384 

Luego

ET min  0.2(1.5)  0.8(0.616 ) ET min  0.793

ET  m ax  0.2(1.4)  0.8(0.384 ) ET max  0.535 De acuerdo a los datos obtenidos estamos ante una elasticidad-precio tipo INELASTICA

[Escribir texto]

Página 29


EJERCICIO 35. Un circuito eléctrico tiene 3 resistencias de diferente tipo. Las pruebas en 100 piezas del tipo 1 mostraron una resistencia promedio de 9.1 ohmios, con desviación de 0.2 ohmios, las pruebas de 80 resistencias de tipo 2 dieron una resistencia promedio de 14.3 ohmios con desviación estándar de 0.4 ohmios, las pruebas de 120 resistencias del tipo 3 dieron un promedio de 5.6 ohmios con desviación igual a 0.1 ohmios. Determinar un intervalo de confianza del 95% para

1   2   3 .¿ Bajo qué condiciones resuelve usted este problema? SOLUCIÓN

Resistencia

n

X



1

100

9.1

0.2

2

80

14.3

0.4

3

120

5.6

0.1

Utilizaremos en todos los caso la siguiente formula:





u  X  Z 0 ; X  Z 0  , n n 1  0.95 P ( Z , z 0)  De donde z 0 =1. 96(utilizando tabla) 2 1.96 x0.2 1.96 x0.2 ;9.1   100 100

u

 9.1 

u

 9.0608;9.1392 

1

1

u

2

 14 .3 

1.96 x0.4 1.96 x0.4 ;14 .3   80 80

u

 14.2123;14.3877 

u

 5.6 

2

3

u

3

1.96 x0.4 1.96 x0.4 ;5.6   120 120

 5.5821;5.6179 

Luego:

1   2   3  28 .8552 ;29 .1448 

[Escribir texto]

Página 30


SEGUNDO BLOQUE EJERCICIO 1.Se quiere probar la efectividad de un antigripal en reducir la fiebre, con tal fin se tomo la temperatura a 10 niños de dos años afectados de gripe, antes o inmediatamente después de la istración del antigripal y los resultados fueron: Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temperatura antes Temperatura después 38,8 37,8 39,6 38 39,8 38,1 39,4 38,2 40,1 37,9 39,7 37,6 39,3 38,3 40,0 37,0 39,9 38,5 39,5 38,7

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, obtener el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias de temperaturas. Con base en los resultados. ¿Se estaría inclinando a concluir que el antigripal reduce la fiebre? SOLUCIÓN: D =temperatura antes-temperatura después ̅ ̅ Para y tα/2 (n-1) t0.025 (9) 2,262

/2 0.025

Luego el intervalo de confianza del 95% para µD µV- µN ̅ ̅ (

) √

√

(

) √

√

Se puede concluir que el antigripal reduce la fiebre, ya que ambos límites del intervalo son positivos

[Escribir texto]

Página 31


EJERCICIO 2.Veinte estudiantes de matemática I de la facultad de ingeniería industrial de la universidad de lima fueron divididos en 10 parejas, teniendo cada miembro de la pareja aproximadamente el mismo coeficiente de inteligencia. Uno de cada pareja se selecciona al azar y se asigna a una sección que utiliza videos. El otro miembro se asigna a una sección que cuenta con un profesor. Al finalizar el ciclo ambos grupos se presentan al mismo examen, obteniéndose los resultados. Pareja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Con video 15 12 17 11 18 15 16 13 14 10

Con profesor 16 10 17 14 17 16 18 12 15 11

Suponiendo que la característica en estudio tiene, distribución normal, obtener el intervalo del 98%, para la diferencia real en el promedio de calificación de los productos de enseñanza con base en los resultados. ¿Se puede concluir que el procedimiento de enseñanza con profesor es mejor que con el de video? SOLUCIÓN:

D =Con Video-con profesor ̅ -0.5 ̅ 1.509 Para =1-α=0.98 y /2 0.01 t /2 (n-1) t0.01( 9) 2.821 Luego el intervalo de confianza del 95% para µD µV- µN ̅

(

Como el intervalo incluye al cero, entonces profesor no es mejor que con el de video.

[Escribir texto]

)

√

̅

(

)

√

, y se concluye que la enseñanza con

Página 32


EJERCICIO 3.Se desea comparar dos nuevas líneas de trigo, para esto se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas, y en dos parcelas distintas, ambas líneas. La producción en las 10 fincas fue (en fanegadas por hectárea)

línea A: 57 ; 49 ; 60 ; 55 ; 57 ; 48 ; 50 ; 61 ; 52 ; 56 línea B: 55 ; 48 ; 58 ; 56 ; 54 ; 48 ; 52 ; 56 ; 50 ; 58 Suponiendo que la característica en estudio tiene una distribución normal, ¿podemos aceptar que la producción en las fincas fue (en fanegadas por hectárea) : 2 ; 1 ; 2 ; -1 ; 3 ; 0 ; -2 ; 5 ; 2 ; -2 ̅

∑

=̅ ∑

̅

(

̅)

=

̅̅̅

(

(

)

=

)

√

Como en el intervalo incluye el 0 =>

, por lo tanto la producción es la misma

EJERCICIO 4.Se dice que una nueva dieta reduce el peso de una persona un promedio de 4,5 Kg en un periodo de 2 semanas. Los pesos de 7 Mujeres que siguieron esa dieta, fueron anotados antes y después de un período de 2 semanas.

Mujer 1 Peso 58.5 anterior Peso 60 posterior

[Escribir texto]

2 60.3

3 61.7

4 69

5 64

6 62.6

7 56.7

54.9

58.1

62.1

58.5

59.9

54.4

Página 33


Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿podemos concluir que la dieta es eficaz al 95% de confianza?

: -1.5, 5.4, 3.6, 6.9, 5.5 2.7 2.3 ̅

∑

̅ 7

SD 2   ( Di  D ) 2 i 1

SD  2.7768

  0.05  / 2  0.025 t / 2 (n  1)  (0.51)(3.0852) I  D  t / 2 (n  1)(SD / n )  I  3.557  3.2369  I  0.3201;6.7939  Como el intervalo, los límites son positivos, decimos que la dieta es eficaz. EJERCICIO 5.Un banco se especializa en préstamos a industrias pequeñas, para lo cual debe hacer una evaluación minuciosa de la situación financiera de cada una de ellas. Con este propósito, un agente de crédito analiza los estados financieros y las solicitudes e inclusive entrevista al solicitante si así lo desea; así se forma una opinión respecto a la tasa de crédito del mismo. El resultado de su análisis se evalúa mediante un número entero comprendido entre 0 y 9, usando el 9 para una tasa excelente y el 0 para una tasa mala. El agente del banco, deseaba estar seguro de que ambos agentes de crédito, el señor Alcalá y el señor Meza, estaban usando el mismo estándar al evaluar las tasas de crédito. Se escogieron 25 clientes al azar y ambos agentes fueron enviados por separado con cada uno de ellos, siendo los resultados de sus respectivas investigaciones lo siguiente:

[Escribir texto]

Página 34


Número de Solicitud de crédito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2.1 24 25

Evaluación del

Evaluación del

Sr. Alcalá 8 5 6 9 1 4 5 8 7 5 2 2 1 6 5 3 6 6 4 3 6 5 4 5 4

Sr. Meza 7 3 7 9 2 2 5 6 4 6 1 2 0 7 4 3 6 5 5 1 6 4 4 5 3

La gerencia sabia que habría diferencias entre ambas evaluaciones, pero deseaba que los agentes de crédito diesen la misma evaluación en promedio. ¿Los resultados muestran una diferencia significativa?

[Escribir texto]

Página 35


SOLUCIÓN: 1. Con los datos anteriores hallamos di: Número de Solicitud de crédito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2.1 24 25

Evaluación del Sr. Alcalá Xi 8 5 6 9 1 4 5 8 7 5 2 2 1 6 5 3 6 6 4 3 6 5 4 5 4

Evaluación del Sr. Meza Yi 7 3 7 9 2 2 5 6 4 6 1 2 0 7 4 3 6 5 5 1 6 4 4 5 3 promedio Di Desv. Típica

[Escribir texto]

Di=Xi- Yi -1 -2 1 0 1 -2 0 -2 -3 1 -1 0 -1 1 -1 0 0 -1 1 -2 0 -1 0 0 -1 -0.52 1.1224

Página 36


2. n=120 , γ=0.99, D =-0.52, σ=1.124 Hallamos t0 para n-1= 24 grados de libertad, γ=0.95 (opcional) P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.064 3. el intervalo para datos pareados está determinado por :

[D 

t0 S n

Hallamos

   D

t0 S n

t0 S n

]

=2.064*1.1224/

25 =0.4633

Θ1= -0.52-0.4633 Θ2= -0.52+0.4633 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-0.983;-0.057] Como ambos límites son negativos, Los resultados no muestran una diferencia significativa EJERCICIO 6.Se selecciona al azar 5 secretarias de la Universidad de Lima y se procede a registrar la velocidad en mecanografiar un texto (palabras por minuto) para cada secretaria. Luego, se les envía a un curso de perfeccionamiento y se vuelve a realizar la misma prueba. Los resultados obtenidos en ambos casos son los siguientes: Secretaria

Antes

1 2 3 4 5

80 70 85 62 82

Después del curso de perf. 82 77 79 68 84

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95% de confianza, que la velocidad de mecanografiado es superior luego de haber realizado el curso? SOLUCIÓN: 1. Con los datos anteriores hallamos di: Secretaria

Antes (Xi)

1 2 3 4 5

80 70 85 62 82

Después del curso de perfeccionam. (Yi) 82 77 79 68 84

Di=Xi-Yi 2 7 -6 6 2

promedio Di

2.2

Desv. Típica

4.57820926

1. n=5 , γ=0.99, D =2.2 , σ=4.5782 Hallamos t0 para n-1= 4 grados de libertad, γ=0.95 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 37


P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.776 2. el intervalo para datos pareados está determinado por :

[D 

t0 S n

  D

Hallamos

t0 S n

]

t0 S =2.776*4.5782/ 4 =6.35 n

θ1= 2.2-6.35 θ 2=2.2+6.35 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-4.15; 8.55] El intervalo incluye el cero µ1=u2 no hay diferencias en la velocidad de mecanografiado después de haber realizado el curso.

EJERCICIO 7. Un equipo de investigación medica esta interesado en ver si una nueva droga reduce el colesterol en la sangre. Con tal fin toma una muestra de diez pacientes y determina el contenido del colesterol en la sangre ante y después del tratamiento. Los datos muestrales expresados en miligramos por 100 mililitros son los siguientes: Paciente Antes(xi)

1 217

2 252

3 229

4 200

5 209

6 213

7 215

8 260

9 232

10 216

Después(yi)

209

241

230

208

206

211

209

228

224

203

Di= yi- xi

-8

-11

1

8

-3

-2

-6

-32

-8

-13

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95%de confianza que la nueva droga reduce el colesterol en la sangre? Solución

Como el contenido del colesterol en la sangre, se determina en los dos casos (antes y después), y es en el mismo paciente, estamos frente a un caso de datos pareados.

∑

∑

∑ √

(

∑ )

(

∑ √

Para (

) (

)

buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra: )

( )

Luego el intervalo de confianza al 95% para ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

es: Página 38


(

)

√

(

√

)

√ √

Como el intervalo incluye al cero, entonces reduce el colesterol en la sangre.

, y se concluye que la nueva droga no

EJERCICIO 8. El año 1986 se vio caracterizado por el auge de la bolsa de valores producto de las medias de política económica aplicadas por el gobierno las cuales promovieron un incremento de rentabilidad relativa de los valores transados en bolsa respecto de otras alternativas de inversión. Este fenómeno observado llega a ser cúspide en el mes de abril de dicho año periodo en el cual se transan 576.4 millones de soles de acciones u obligaciones. A continuación se presenta un cuadro resumen del movimiento bursátil para 1986, en los meses de abril y diciembre, respectivamente. Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal ¿será cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre en cuanto al movimiento bursátil promedio se refiere?

SECTORES Bancos Financieras Industriales Mobiliarias Mineras Seguros Servicios Públicos Diversas Industria laborales Mineras laborales

ABRIL(Xi) 10.8 2.4 267.8 0.0 10.7 2.6 0.1 4.1 113.6 14.0

DICIEMBRE(Yi) 35.0 9.5 31.1 0.0 6.9 14.8 0.1 27.6 196.2 11.6

Yi - Xi 24.2 7.1 -236.7 0 -3.8 12.2 0 23.5 82.6 -2.4

Solución Como el movimiento bursátil se dio en el mismo sector, tanto en el mes de abril como en el mes de diciembre, estamos frente a un caso de datos pareados:

∑ ∑ √

∑ (

∑ )

(

∑ √

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

) (

)

Página 39


Para (

buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra: )

( )

Luego el intervalo de confianza al 95% para (

es: )

√

(

)

√

√

√

Nótese que ambos límites de confianza del intervalo son positivos, en consecuencia , es decir que el movimiento bursátil promedio del mes de abril es menor que del mes de diciembre, por lo tanto no es cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre. EJERCICIO 9.A fin de medir el efecto de una campaña de ventas sobre artículos “quedados”, el director de investigación tomó una m.a. de 13 pares de tiendas que se hicieron concordar según el volumen semanal promedio de ventas. Una tienda de cada par (el grupo experimenta) fue expuesta a la campaña de ventas, la otra tienda del par no lo fue. Los siguientes datos indican los resultados en un periodo semanal. VENTA (EN MILES) DE ARTICULOS QUEDADOS TIENDA 1

CON CAMPAÑA DE VENTA 67.2

SIN CAMPAÑA DE VENTA 65.3

2

59.4

54.7

3

80.1

81.3

4

47.6

39.8

5

97.8

92.5

6

38.4

37.9

7

57.3

52.4

8

75.2

69.9

9

94.7

89.0

10

54.3

58.4

11

31.7

33.0

12

49.3

41.7

13

54.0

53.6

¿Puede el director de investigaciones llegar a la conclusión de que la campaña de ventas ha aumentado la venta de los artículos? SOLUCIÓN: Promedio (Con campaña de venta) = 62.08 Promedio (Sin campaña de venta) = 59.19


Página 40


Sólo analizando los promedios se puede concluir que haciendo campaña de ventas la venta de artículos ha aumentado.

EJERCICIO 10.Un empresario desea invertir parte de las utilidades de su empresa en la compra de bonos tipo (C de COFIDE). Para lo cual contrata los servicios de una compañía consultora para que investigue si la rentabilidad promedio de las cotizaciones de los Bonos ha sufrido una variación significativa de un periodo a otro o no. La compañía consultora toma una muestra aleatoria de 12 meses de los años 87 y 88 respectivamente. En la siguiente tabla aparecen las rentabilidades promedio de las cotizaciones de los Bonos Tipo C de Cofide de los años 1987 y 1988.

1987

49%

51%

51.9% 48.5% 56% 44.9% 50.2% 50.2%

50.8%

49.7% 50.3%

53.1%

1988 53.9% 54.3% 69.3% 70.8% 66% 51.2% 90.2% 87.8% 124.5% 95.3% 65.4% 125.5%

La compañía consultora afirma que si las rentabilidades promedio de las cotizaciones de los Bonos tipo C de Cofide del periodo 1988 es mayor que la del periodo 1987 aconsejará invertir. En base a los datos, ¿qué le sugiere la empresa consultora al empresario? SOLUCIÓN: Promedio (1987) = 50.467% Promedio (1988) = 79.517% Sólo analizando los promedios se deduce que Promedio (1988) > Promedio (1987), por lo que la empresa consultora va a sugerir invertir al empresario.

EJERCICIO 11.Para planear una estrategia de política económica en el futuro, el gobierno realiza un estudio con el fin de determinar los niveles de producción industrial en el país. Durante el año 1998 el gobierno consideró prudente no intervenir en el sector de bienes de consumo. Resultando si de importancia el potenciar en el sector de bienes de capital por encima de la producción de consumos. Los resultados en estos últimos sectores fueron lo siguientes: Producción Industrial 1998 (en miles de nuevos soles) Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre


Producción de Consumos 0,14 0,15 0,18 0,20 0,17 0,18 0.19 0.20 0.26 0,26 0,33 0,32

Producción de Bienes de Capital 0,12 0,14 0,17 0,19 0,17 0,19 0.20 0,19 0,25 0,25 0,31 0,31

Página 41


¿Los resultados estadísticos evidencian que la política empleada por el gobierno fue efectiva? SOLUCIÓN

Meses

insumos

bienes

diferencia

enero

0.14

0.12

-0.02

febrero

0.15

0.14

-0.01

marzo

0.18

0.17

-0.01

abril

0.20

0.19

-0.01

mayo

0.17

0.17

0.00

junio

0.18

0.19

0.01

julio

0.19

0.20

0.01

agosto

0.20

0.19

-0.01

septiembre

0.26

0.25

-0.01

octubre

0.26

0.25

-0.01

noviembre

0.33

0.31

-0.02

diciembre

0.32

0.31

-0.01

n  12 De la tabla:

D  0.01 ; S D  0.01 Utilizaremos la siguiente formula

P ( Z , z 0) 

1  0.9 2

,

gl  n  1  11

Entonces

z

0

 1.796

0.01 0.01 ;0.01  1.769 12 12 l  0.013;0.002  l  0.01  1.769

El hecho que ambos límites de confianza sean negativos indica que la producción de los bienes de insumo es mayor que la producción de los bines de capital; por tanto la política no fue efectiva ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 42


EJERCICIO 12.Considere usted el siguiente caso. En el país Omega (el cual se ha distinguido por la estabilidad en materia de política económica y social) una empresa dedicada a la importación y comercialización de productos de consumo masivo SUPERMER, que además posee una cadena de tiendas a nivel nacional; con el propósito de incrementar sus ventas, aplicó dos diferentes mecanismos de promoción de ventas durante un periodo determinado (A: mecanismo conservador, B: mecanismo innovador). Estos mecanismos de promoción fueron adoptados e implementados con éxito en países con similares características socioeconómicas.Después de un tiempo, con la finalidad de medir el impacto de los mecanismos de promoción adoptados por SUPERMER, se registró el nivel de ventas de 34 de las tiendas de la empresa ubicadas en la capital y provincias durante un mes típico del año antes de que la empresa implementará algún mecanismo de promoción y durante un mes típico del año correspondiente al periodo de tiempo en el cual estuvo vigente cada uno de los mecanismos de promoción adoptados por la Cia. Los datos se presentan en las tablas siguientes VENTAS CIA. SUPERMER (en unidades monetarias u.m)

TIENDA

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. DE PROM.

DESPES DE LA APLICACIÓN MEC. CONSERVADOR

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. INNOVADOR

1

100

205

230

2

134

205

300

3

132

204

250

4

145

206

230

5

156

208

250

6

135

199

250

7

140

198

220

8

140

179

230

9

122

180

260

10

145

160

160

11

176

203

190

12

187

203

180

13

197

201

220

14

150

240

230

15

170

233

240

16

146

244

250

17

154

233

215

MEDIA

148.76

206.24

229.71

DESV. ESTANDAR

23.05

21.36

31.55


Página 43


VENTAS CIA. SUPERMER (en unidades monetarias u.m)

TIENDA

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. DE PROM.

DESPES DE LA APLICACIÓN MEC .CONSERVADOR

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. INNOVADOR

1

111

120

180

2

124

130

150

3

126

140

240

4

204

144

250

5

210

155

220

6

240

166

230

7

230

170

215

8

180

150

218

9

190

160

260

10

199

153

250

11

187

123

250

12

179

165

260

13

167

174

235

14

164

180

302

15

150

164

307

16

170

165

170

17

150

180

189

MEDIA

175.35

155.24

230.94

DESV. ESTANDAR

35.03

18.00

41.21

TOTAL MEDIA

162.06

180.74

230.91

DESV. ESTANDAR

32.98

32.74

32.22


Página 44


Con la información presentida . verifique usted la verdad o falsedad de los siguientes enunciados empleando intervalos de confianza del 95% "A nivel de la totalidad de las tiendas de la empresa (capital y provincias) separadamente los mecanismos de promoción de ventas (conservador e innovador) dieron resultados positivos, en términos del nivel de ventas promedio, en comparación con la situación que se registraba antes de que la empresa decidiera implementar algún mecanismo de promoción de ventas; sin embargo, cabe señalar que el efecto positivo del mecanismo innovador fue mayor".

TIENDA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

ANTES DE LA APLICACIÓN

DESPUES DE LA APLICACIÓN ANTES DE LA DIFERENCIA MEC. DE APLICACIÓN CONSERV.

100

205

134

210

132

204

145

206

156

208

135

199

140

198

140

179

122

180

145

160

176

203

187

203

197

201

150

240

170

233

146

244

154

233

111

120

124

130

126

140

204

144

210

155

240

166

230

170

180

150

190

160

199

153

187

123

179

165

167

174

164

180

150

164

170

165

150

180


105 76 72 61 52 64 58 39 58 15 27 16 4 90 63 98 79 9 6 14 -60 -55 -74 -60 -30 -30 -46 -64 -14 7 16 14 -5 30

DESPUES DE LA APLICACIÓN MEC. INNOV

100

230

134

300

132

250

145

230

156

250

135

250

140

220

140

230

122

260

145

160

176

190

187

180

197

220

150

230

170

240

146

250

154

215

111

180

124

150

126

240

204

250

210

220

240

230

230

215

180

218

190

260

199

250

187

250

179

260

167

235

164

302

150

307

170

170

150

189

DIFERENCIA

130 166 118 85 94 115 80 90 138 15 14 -7 23 80 70 104 61 69 26 114 46 10 -10 -15 38 70 51 63 81 68 138 157 0 39

Página 45


MECANISMO DE CONSERVADOR

D s

PROM

D

 18.68

 50.36

50 .36 50 .36 ;18 .68  1.64 34 34 l  4.51;32.84  l  18 .68  1.64

MECANISMO INNOVADOR

D s

INNOV

D

 68.26

 49.20

49 .20 49 .20 ;68 .26  1.64 34 34 l  54.43;82.10  l  68 .26  1.64

Verdadero. Ambos mecanismos dieron efectos positivos. En temimos del nivel de ventas promedio, fue mayor en el caso del mecanismo innovador

TERCER BLOQUE EJERCICIO 1.Una m.a. de 400 domicilios mostro que 25% de ellos son casas de alquiler hallar un intervalo de confianza del 98% para la proporción p. SOLUCION: n=400, γ=0.98,

Hallamos Z0, γ=0.98 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.98+1)/2=0.99 Z0= 2.33

EJERCICIO 2.En 50 lanzamientos de una moneda, fueron obtenidas 30 caras. A partir de una intervalo de confianza del 95%, ¿Se puede decir que la moneda no esta cargada?


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EJERCICIO 3.Una muestra de 300 habitantes de una ciudad mostro que 180 deseaban agua filtrada. Encontrar los límites de confianza de 90% y 95% para la proporción de la población favorable a la filtración. Solución Agua f 180 α 90% y 95%

Para

EJERCICIO 4.Una determinada comunidad esta compuesta de 1200 unidades habitacionales de una muestra elegida al azar de 200 unidades resulto que 50 necesitaban reparaciones urgentes, construir el intervalo de confianza del 90% para la proporción real de las unidades que necesitan reparación. SOLUCION: n=400, γ=0.98,

Hallamos Z0, γ=1-α=0.90 , α/2=0.05 e n la tabla I

=1.645

Por tanto , el intervalo de confianza del 90%. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 47


EJERCICIO 5.Supongamos que estamos interesados en estimar el porcentaje de consumidores de cierto producto. si una muestra de tamaño de 300 dio 100 individuos que consumían dicho producto, determine: Solución a) El intervalo de confianza par p, con coeficiente de confianza del 95%.

Para

y

/2

0.025

Z α/2=1,960

b) El tamaño de la muestra para que el error de estimación no exceda a 0.02 unidades con probabilidad de 95%. SOLUCION: Para y /2 0.025 Z α/2=1,960

n=(1.960)( 1.960)(0.333)(0.667)/(0.02)( 0.02)=2134

EJERCICIO 6.En una encuesta para verificar las actitudes de los empleados ante el boletín mensual, se les pidió a 500 empleados de una organización nacional que indicaran con que frecuencia leían el boletín de noticias.de los 500; 75 informaron que leían todas las ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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ediciones. construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que leen todas las ediciones. Solución: n =500, x=75,

Hallamos Z0, γ=1-α=0.95 , α/2=0.025 e n la tabla I

=1.96

EJERCICIO 7.Se recibe un lote muy grande provenientes de un fabricante que asegura que el porcentaje de artículos defectuosos en la producción es de 1% .Al seleccionar una m.a de 200 artículos y después de inspeccionarlos, se descubre 8 defectuosos. Obtener un intervalo de confianza aproximando del 99% para la verdadera proporción de artículos defectuosos en el proceso de manufactura del fabricante. Con base a estos resultados. ¿Qué se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante?

n=200

  0.99 p  8 / 200  0.04 P ( Z  z 0 )  0.995 z 0  2.576

I  p  z 0

0.04(1  0.04)  200

0.04(1  0.04)  200 I  0.0043    0.0757  Existe razón para creer que existen artículos defectuosos. I  0.04  (2.276)

EJERCICIO 8.En una investigación de mercado para estudiar la preferencia de la población de una población de una cuidad en relación a un determinado producto , se selecciona una muestra de 300 individuos , de los cuales 180 prefieren ese producto.

a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de la población que prefieren el producto en estudio.


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n  300   0.95

I  p  z 0

p  180 / 300  0.6 P ( Z  z 0 )  0.975

p (1  p )  n

0.6(1  0.6)  300 I  0.54456    0.655437  I  0.6  (1.96)

z 0  1.96

b) ¿es posible obtener un estimador puntual de esa proporción que no difiera del valor verdadero en mas de 0.0005 con probabilidad de 0.95? caso contrario , determine que es lo que debe hacerse?

̅

̅

(

)

EJERCICIO 9.Un medico investigador desea estimar la proporción de mujeres, en edad madura , que fuman en exceso y que desarrollaran cáncer pulmonar en los siguientes 5 años . El investigador desea seleccionar un acierta cantidad de mujeres que ayan fumado por lo menos dos cajetillas de cigarros al día durante 20 años y observarlos durante los próximos 5 años para saber cuantos desarrollaran cáncer pulmonar ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra que el investigador debe seleccionar de manera que con una probabilidad de 0.95 la proporción maestral se encuentre a no más de 0,02 unidades de la proporción verdadera.

(

)

( ( (


)

) )

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EJERCICIO 10.Una muestra de 10000 piezas de un lote de producción fue inspeccionada, y el número de defectuosos por cada pieza fue registrado en la siguiente tabla. No. 0 1 2 3 4 defectuosos Cantidad de 6000 3200 600 150 50 piezas Determine los límites de confianza para la proporción de piezas defectuosos en la población, con coeficientes de confianza del 98 %. Solución: Para productos con cero defectos: pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  6000 pˆ  600 / 10000  0.6   0.02 Z 0  2.33 0.4 x0.6 0.4 x0.4  p  0.6  2.33  10000 10000 I  0.59;0.61 

 0.6  2.33

Para productos con 1 defecto: pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  3200 pˆ  3200 / 10000  0.32

  0.02 Z 0  2.33 0.32 x0.68 0.32 x0.68  p  0.32  2.33  10000 10000 I  0.30;0.33 

 0.32  2.33

Para productos con 2 defectos pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

pˆ  600 / 10000  0.06   0.02 Z 0  2.33 0.06 * 0.94 0.06 x0.94  p  0.06  2.33  10000 10000 I  0.054;0.066 

 0.06  2.33

Para productos con 3 defectos:


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pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  150 pˆ  150 / 10000  0.015   0.02 Z 0  2.33 0.015x0.985 0.015x0.985  p  0.015  2.33  10000 10000 I  0.012;0.017 

 0.015  2.33

Para productos con 4 defectos: pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  50 pˆ  50 / 10000  0.005   0.02 Z 0  2.33 0.005 * 0.995 0.005 * 0.995  p  0.005  2.33  10000 10000 I  0.0033;0.0064 

 0.005  2.33

EJERCICIO 11. Antes de una elección en que existan 2 candidatos A y B se hizo una encuesta con 400 electores seleccionados al azar, y se verifico que 208 de ellos pretendían votar por el candidato A. Construya un intervalo de confianza del 95 %, para la proporción de electores favorables al candidato A en la época de las elecciones.

n  900 208 PA   0,52 400 γ  95% (

 p  z0

)

P(1  P)  n

0,52(1 0,52)  400  0.47  π  0.569   0.52  (1,96)

EJERCICIO 12.Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de un banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, ¿cuántas cuentas deberán


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seleccionarse de manera tal que con una confiabilidad del 99% la proporción muestral se encuentre a no más de 0,02 unidades de la proporción real? R. 4147 Solución: 1. γ=0.99 , E=0.02 Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576 El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por (si no se conoce la proporción): Z2 n  0 2 =2.5762/(4*0.022)=4147.36 4E Respuesta: El total de cuentas seria 4147 EJERCICIO 13.Una compañía de TV quería estimar la proporción de sus suscriptores que comprarían su revista con la programación. La compañía quería tener 95% de confianza de que su estimación está correcta con aproximación de +0,05 de la proporción real. La experiencia previa en otras áreas indica que el 30% de los suscriptores comprarían la revista. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? R. 323 Solución: 1. γ=0.99, E=0.05, pˆ =0.3 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por: Z 02 pˆ (1  pˆ ) =1.9602*0.3*(0.7)/(0.05)2=322.69 n E2 Respuesta: necesita un tamaño de muestra de 323 suscriptores. EJERCICIO 14.Se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporción de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. Asimismo, se desea que el error al estimar la proporción no sea mayor que 2% con un coeficiente de confianza de 95.45%. El departamento de ventas hace la hipótesis preliminar de que cerca del 25% de las amas de casa podrían preferir el producto. Si cuesta S/. 500000 poner en marcha la encuesta y S/. 5000 por entrevista, ¿cuánto debería costar toda la encuesta? R. 9375000 Solución: 1. γ=0.9545 , E=0.02 , pˆ =0.25 Hallamos Z0, γ=0.9545 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2= (0. 9545+1)/2=0.97725 Z0= 2.00000244

2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por: Z 2 pˆ (1  pˆ ) =2.000002442*0.25*(0.75)/(0.02)2=1875 n 0 2 E Respuesta: El total de amas de casa son 1875, y el gasto en encuestas es ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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1875* 5000=9375000 soles. EJERCICIO 15.se planea una encuesta para estimar la proporción de los profesores de la Universidad de San Marcos que desean tener seguro médico familiar. También, se desea que el error de estimación no sea mayor que 6%, con un coeficiente de confianza de 0,96844. El director de personal hace la hipótesis preliminar de que cerca del 70% de los profesores podrían preferir el seguro médico familiar. Si la Universidad debe pagar S/. 10000 por cada entrevista, ¿cuánto debería costar toda la encuesta? R. 2700000 Solución: 1. γ=0.96844 , E=0.06 , pˆ =0.70 Hallamos Z0, γ=0. 96844 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2= (0. 96844 +1)/2=0.98422 Z0= 2.14993951 2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por: Z 2 pˆ (1  pˆ ) =2.149939512*0.70*(0.30)/(0.06)2=269.63 n 0 2 E Respuesta: El total de profesores son 270, y el gasto en encuestas es 270* 100000=2700000 soles. EJERCICIO 16.Debe obtenerse una estimación de la proporción de artículos útiles en el inventario de excedentes almacenados en condiciones desfavorables. La estimación deberá ser correcta dentro de un margen de tolerancia de +0,05 y confiable al 95%. El inventario total consta de 10000 artículos y se cree que la proporción de artículos utilizables todavía es 0.30. ¿Qué tamaño de muestra es necesario para obtener un estimador con la exactitud requerida? R. 323 Solución: 1. γ=0.95 , E=0.05, pˆ =0.30 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por: Z 2 pˆ (1  pˆ ) =1.9602*0.70*(0.30)/(0.05)2=322.69 n 0 2 E Respuesta: artículos útiles=223 de un total de 10000 artículos. EJERCICIO 17. El director de la biblioteca de la universidad de Lima quiere calcular el porcentaje de libros de que dispone con fechas de publicación de 1980 o anteriores ¿De que tamaño debe tomar la m.a para que se tenga un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real? Para

se encuentra: (


)

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( (

) )

La muestra debe de ser de 736 libros para tener un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real. EJERCICIO 18. Una librería recibe un embarque de cierta marca de bolígrafos baratos del fabricante. El propietario desea estimar la proporción de bolígrafos que están defectuosos. Se prueba con una m.a de 400 bolígrafos y se encuentra 40 defectuosos. Hallar el intervalo de confianza del 97% para la proporción de bolígrafos defectuosos en el embarque. Si el embarque se puede devolver en caso de que aparezcan más de 6% de defectuosos, entonces con base en los resultados de la muestra, ¿puede el dueño devolver el embarque? SOLUCIÓN Para

se encuentra:

El estimador de p es: ̂ ̂ Luego, intervalo de confianza del 97% pedido es:

√ ̂

̂(

̂)

(

√

√ ̂

)

̂(

√

̂)

(

)

Como el intervalo no incluye 0.06, entonces, el dueño si puede devolver el embarque. EJERCICIO 19. Para determinar cuantas en un pueblo joven de 1000 familias califican para recibir canastas alimentarias del ministerio de agricultura, se tomo una muestra aleatoria de 360 familias. Se encontró que 98 de esas 360 familias calificaron. Calcular límites de confianza del 90% para el número total de familias de este pueblo joven que califican para las canastas alimentarias. SOLUCIÓN Para El estimador de p es:

se encuentra: ̂

Luego, intervalo de confianza del 90% pedido es: ̂


√

̂(

̂) ̂

√

̂(

̂)

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(

√

)

√

(

)

EJERCICIO 20. Un departamento de mercadotecnia se interesa en determinar el tamaño de un mercado para un nuevo producto que tiene poco atractivo para el público, pero cuya utilidad unitaria es especialmente alta. Una encuesta de consumidores sobre 2000 familias indico que 30 de ellas comprarían el nuevo producto. El área de mercado considerado comprende 5000000 de familias. Estímese el numero de familias que comprarían el producto. Use los resultados de la encuesta para determinar el intervalo de confianza del 97% para el número de familias que comprarían el nuevo producto. SOLUCIÓN Para

se encuentra:

El estimador de p es: ̂ Luego, intervalo de confianza del 97% pedido es: ̂(

√ ̂ √

(

̂)

)

EJERCICIO 21. Se afirma que tan solo 700 de 2000 proyectos serán llevados a cabo por el gobierno, debido a un recorte presupuestal. Sin embargo, es muy importante que se prevea esto, en tal sentido. a) Construya un intervalo de confianza para la proporción de proyectos que se llevaran a cabo, con una probabilidad del 10% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera de los límites. b) Supóngase ahora, que de 4000 posibles proyectos, se extrae una muestra de 2300, determinándose que de tales solo podrían llevarse a cabo 600 (debido al recorte presupuestario). ¿Cuál seria el intervalo de confianza para la proporción de proyectos que no se podrán llevar a cabo? SOLUCIÓN a)

Para El estimador de p es:

se encuentra: ̂

Luego, intervalo de confianza del 90% pedido es:


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√

√

(

)

(

)

√

√

(

)

(

)

b) Para

se encuentra:

El estimador de p es: ̂ Luego, intervalo de confianza del 10%, es decir para la proporción de proyectos que no se podrán llevar a cabo es: ̂

√

̂(

̂)

(

√

)

√ (

)

EJERCICIO 23. Una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. En una m.a. de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el artículo indicado. Construya el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. Con base en los resultados, ¿Se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia significativa entre las dos proporciones? Solución: P1 = 20/100 = 0.2 P2 = 60/200 = 0.3 Zo = 1.96 Para hallar el intervalo de confianza se hace el uso de la siguiente fórmula:

   p1  p2  z1 / 2 

pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2      1   2  p1  p2  z1 / 2 m n

pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2    m n 

Haciendo el cálculo respectivo IC = (-0.20089, 0.000897)


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Como el intervalo de confianza incluye al cero, no hay una diferencia significativa entre hombres y mujeres que conocen un producto.

EJERCICIO 24. Una compañía tabacalera afirma que sus cigarrillos marca A se venden un 9% más que sus cigarrillos marcan B. Si se encuentra que 45 de 200 fumadores prefieren los cigarrillos marca A, y 21 de 150 fumadores prefieren los cigarrillos marca B, calcule un intervalo de confianza del 97% para la diferencia entre las proporciones de ventas de las dos marcas de cigarrillos y decida si la diferencia del 9% es una afirmación valida Solución: P1 = 45/200 = 0.225 P2 = 21/150 = 0.14 Zo = 2.17 IC = (-0.00379; 0.17379) Como el intervalo de confianza incluye al cero, no hay una diferencia significativa entre ambas marcas

EJERCICIO 25. Una muestra de tamaño de 600 seleccionado entre los alumnos que habían consultado al Servicio Médico de la Universidad Mayor de San Marcos durante el año pasado indicó que 160 tenían una enfermedad de naturaleza psicosomática. ¿Con qué grado de confianza se puede afirmar que de 20% a 28% de todos los alumnos que consultaron el Servicio médico el año pasado tenían una enfermedad psicosomática? Solución: P1 = 160/600 = 0.26 Limite inferior = 0.20 Límite superior = 0.28 0.26 – Zo*S(0.26*0.74/600) = 0.20 0.26 + Zo*S(0.26*0.74/600) = 0.28 Haciendo los cálculos Zo = 2.233 F (z) = 0.98713 = (1+)/2 Grado de confianza () = 0.97426

EJERCICIO 26. De una m.a. de 150 universitarios, 105 dijeron que en alguna parte del universo tenía que haber vida. De otra m.a. de 200 jóvenes de la misma edad pero que no eran universitarios, 120 dijeron lo mismo. Construir el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dos proporciones poblacionales. Solución: P1 = 105/150 = 0.7 P2 = 120/200 = 0.6 Zo = 1.96 Haciendo uso de la fórmula del problema 23 para el intervalo de confianza para dos proporciones: IC = (0.00004; 0.19996)

EJERCICIO 27. La empresa de muebles Sancos S.A. ofrece a sus clientes dos opciones de pago: la opción A consiste en pagar a 30 días con un descuento de 5% y la opción B consiste en pagar a 60 días sin que se otorgue ningún tipo de descuento. La gerencia de la empresa desea recopilar información acerca de cada opción de pago y estudiar las diferencias entre ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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ellas. Le interesa el monto promedio de las facturas de los clientes y el porcentaje de facturas superiores a S/. 10000. Si se seleccionó una m.a. de 15 facturas de la opción A y de 14 facturas de la opinión B con los siguientes resultados. OPCION A

n1 =15 x1 = .S/. 9500 S 1 = .S/.1500

OPCION B n 2 =14 X 2 = S I . 12000

5 facturas mayores a S/. 10000

S 2 =S7.1250 7 facturas mayores a S I . 10000

¿Cuáles son sus conclusiones acerca de: a) La proporción de facturas de la opción A mayores a S/. 10000? 

5  0.33 15   0.05 GL=14 T0=2.145 p

I=< 0.33  2.145

0.33(0.67 ) 0.33(0.67 ) > ;0.33  2.145 15 15

I=<0,0947; 0,5719> b) ¿Es la media de todas las facturas de la opción A igual a S/. 10500?









I  X  Z 0 ; X  Z 0  n n

I  X  Z 0 ; X  Z 0  n n I=<8669.24,10330.75> R. Es diferente

c) ¡Es la proporción de facturas superior a S/. 10000 de la opción B igual a 0.45? 

p

7  0.5 14   0.05

GL=13

T0=2.16 I=< 0.5  2.16 I=<0.21; 0.758>

0.5(0.5) 0.5(0.5) > ;0.5  2.16 14 14 0.45 está dentro del intervalo


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d) ¿Existe una diferencia en el monto promedio de las facturas entre las dos opciones de pago? Si

i  ( x  y)  t 0

2 2 S x2 S y S x2 S y   ( x  y)  ( x  y)  t 0   n m n m

i  (9500  12000)  2.048

15002 12502 15002 12502   (9500  12000)  2.048   15 14 15 14

I=<-3547.50;-1452.49> si existe una diferencia

e) ¿Hay alguna diferencia entre la opción A y la B en la proporción de facturas con un monto mayor a S/. 10000? 



( p1  p 2 )  t 0

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  t 0 n1 n2

(0.33  0.5)  2.048

p1q1 p2 q 2  n1 n2

0.33(0.67 ) 0.5(0.5) 0.33(0.67 ) 0.5(0.5)  ; (0.33  0.5)  2.048  15 14 15 14

I=<-0.54; 0.20> este intervalo incluye al valor cero (0) por tanto no existe ninguna diferencia

EJERCICIO 28. Una compañía tabacalera desea determinar la efectividad de su nuevo proceso de producción, entendida esta como la consecución de mayores clientes de su marca dentro de los hombres y no de las mujeres. De 600 mujeres encuestadas, 300 indicaron que fumaban dicha marca; de 400 hombres fumadores encuestados. 200 indicaron que estaban fumando esa marca. ¿A qué conclusiones podría llegar Ud.? Solución Utilizaremos: 



( p1  p 2 )  t 0

I= (0.5  0.5)  1.96

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  t 0 n1 n2

p1q1 p2 q 2  n1 n2

n

x

proporción

mujeres

600

300

0.5

hombres

400

200

0.5

0.5 x0.5 0.5 x0.5 0.5 x0.5 0.5 x0.5  ; (0.5  0.5)  1.96  600 400 600 400

I=<-0.06; 0.06> este intervalo incluye el valor cero por tanto no se ha logrado los resultados esperados.

EJERCICIO 29. El sindicato de los empleados de la Universidad de Lima sospecha que hay más hombres que mujeres que trabajan horas extras en las distintas oficinas de la universidad. El sindicato plantea su queja a la Oficina de Personal sobre la discriminación de las mujeres al asignar el tiempo extra. El Sindicato y la Oficina de Personal acuerdan usar una muestra aleatoria de 175 mujeres y una muestra aleatoria de 250 hombres usando los registros del año anterior para decidir sobre el asunto. En las ¡nuestras aleatorias se encontraron que 23 mujeres y 32 hombres trabajaron tiempo extra. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 60


Con un coeficiente de confianza de 97%. ¿se puede concluir que las mujeres están trabajando menos horas extras que los hombres? R. No

a)





n

x

proporción

mujeres

175

23

0.131

hombres

250

32

0.128

 p1q1 p 2 q2   ; ( p1  p 2 )  z 0 n1 n2

( p1  p 2 )  z 0

p1q1 p 2 q2  n1 n2

I=< (0.131  0.128 )  2.17 0.131 (0.869 )  0.128 (0.872 ) ; (0.131  0.128 )  2.17 0.131 (0.869 )  0.128 (0.872 ) > 175 250 175 250 I=<-0.069; 0.075> este intervalo incluye al cero entonces no existe diferencia entre las horas extras de hombres y mujeres

b) Determine mediante un intervalo de confianza, el porcentaje total de empleados de la Universidad de Lima que trabajaron tiempo extra. ¿Puede afirmarse que el porcentaje total de empleados que trabajaron horas extras supera la tercera parte de los empleados n

x

proporción

mujeres

175

23

0.131

hombres

250

32

0.128

|

Total

55 425





p t0

p (1  p )  ; p t0 n

0.129  2.17

I=

0.129



p (1  p ) n

0.129 (0.871 ) 0.129 (0.871 ) ;0.129  2.17 425 425

<0,0975013; 0,161322185>; No supera la tercera parte

EJERCICIO 30. En un estudio para evaluar los efectos de incluir una modelo en los anuncios de automóviles, se mostró a 100 hombres las fotografías de dos automóviles de precio, color y tamaño similares, pero de distintas marcas. A 50 de los 100 hombres (grupo A) se les mostró uno de los autos con una modelo y el otro sin la modelo, mientras que a los restantes 50 hombres (grupo B) los dos autos se les presentaron sin la modelo. En el grupo A. el auto mostrado con la modelo fue considerado más caro por 37 personas, mientras que en el grupo B el misino auto fue considerado más caro por 23 personas. ¿Indican éstos resultados que incluir una modelo influye en la percepción del cosió por automóvil? Use y =98,172% n ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

x

proporción Página 61




Grupo A

50

37

0.74

Grupo B

50

23

0.46



i  ( p1  p 2 )  z 0 i  0.74  0.46 )  2.36

 p1q1 p 2 q 2   ; ( p1  p 2 )  z 0 n1 n2

p1q1 p2 q 2  n1 n2

0.74 (0.26 ) 0.46 (0.54 ) 0.74 (0.26 ) 0.46 (0.54 )  ; (0.74  0.46 )  2.36   50 50 50 50

i  0.05841;0.501887  Si influye

EJERCICIO 31. La empresa Cepsi S.A.. el año pasado inició una campaña intensiva de publicidad basada en el "reto Cepsi". donde cada consumidor decidía su preferencia entre esta bebida y la de la competencia. Al final de la promoción la empresa Cepsi S.A. en su publicidad afirmó lo siguiente: "Se ha demostrado con un error máximo de 1% y con 95% de con Habilidad, en una muestra de 5000 entrevistados, el 51% de las personas sometidas a la prueba de degustación prefirieron la bebida Cepsi, por lo tanto, se verificó la preferencia de más de la mitad de las personas en la población". Revisando los cálculos necesarios, el INDECOPI acusó a Cepsi S.A. de emplear una falsa publicidad que ocasiona competencia desleal entre ambas marcas. a) ¿Cuáles fueron los argumentos estadísticos que empleó el INDECOP1 para presentar la acusación contra la Cepsi S.A.?

n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) E2

Reemplazando datos: 1.96 2 x0.51(0.49 ) 5000  E2 E  0.0139 ; El error no fue de 1% sino del 1.39% b) Si la proporción muestral se mantiene, ¿con que tamaño de muestra como mínimo, la firma se hubiese librado de la acusación?

n n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) E2

1.96 2 x0.51(0.49 ) 0.01 2

n  9601 se necesita una población mínima de 9601 personas EJERCICIO 32. En una encuesta de opinión pública se invita a 100 personas de 1000 a expresar su preferencia por los productos A y B. 30 personas prefieren A: de esto se


Página 62


concluyó que entre 210 y 390 personas de la población prefieren el producto A ¿Qué coeficiente de confianza se usó en este informe? El intervalo es <0.21; 0.39> despejando La proporción es 0.3 



p (1  p )  ; p t0 n



p z0

p (1  p) n

0.3(0.7) 100 0.21  0.3  z 0 0.046

0.21  0.3  z 0

z 0  1.960 De donde   0.95

CUARTO BLOQUE EJERCICIO 1. Sea x1…..x una m.a. extraída de una población Bernoulli B1;p),supongamos que se conoce que p <=¼ √

̅

a) Probar que

√

̅

√

es una aproximación del intervalo de

√

confianza para p al (1-α) 100% de confianza. SOLUCIÓN: √ ̅

̅)

̅(

√ ̅

√ ̅

̅

̅

√ √

̅

̅)

̅(

(

)

√

)

√ ̅

√

(

√ ̅

√

√ √

b) Cuál es el tamaño de la muestra necesario para garantizar que este intervalo tenga longitud a lo mas de 0.02 SOLUCIÓN:

̅

√

̅)

̅(

√

̅(


( ̅ ̅)

√

̅)

̅(

√

)=0.02

̅(

̅)

(

) (

) Página 63


̅)

̅(

(

)(

)

Respuesta: n=1875 EJERCICIO 5. Una compañía productora de combustible asegura que más de la quinta parte de los hogares en la ciudad X se calientan con petróleo y por ello estima que será necesario incrementar sus gastos operacionales. Si en una m.a. de 1000 hogares de esta ciudad, se encuentran que 236 se calientan con petróleo. a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañía llegue a incrementar sus gastos operacionales? Presente los supuestos empleados. Solución: pˆ =236/1000=0.236 1- pˆ =0.764 Utilizaremos: ( pˆ 1 )  Z 0

( pˆ 1 )  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  ( pˆ 1 )  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  1 / 5 n1

Reemplazando y resolviendo la ecuación: la probabilidad Z 0 se aproxima casi a 1. b) La compañía también abastece a la ciudad W, de la cual se sabe que el 21% de los 1200 hogares encuestados en otra muestra se calientan con petróleo. Suponiendo que la compañía productora de combustible sólo abastece a las ciudades X y W se pide: Estimar por intervalo de confianza de longitud mínima, el porcentaje total de hogares que se calientan con petróleo en la ciudades X y W. ¿Puede decirse que ahora el porcentaje total de hogares que se calientan con petróleo supera la tercera parte de todos los hogares a los que se puede abastecer entre las ciudades X y W? Solución: El intervalo para la diferencia de proporciones es: El promedio de proporciones es: (0.236+0.21)/2=0.223 para un n=2200 ( pˆ 1 )  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  ( pˆ 1 )  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

Reemplazando tenemos (α=0.05):

 0.223  1.960

0.223 x0.777 0.223 x0.777 ;0.223  1.960 2200 2200



El intervalo es:

 0.20;0.24 

Por lo tanto el porcentaje total de hogares que se calientan con petróleo no supera la tercera parte de todos los hogares de las ciudades X y W.

EJERCICIO 6. Un grupo de 20 empresas recibe una propuesta de fusión de 5 empresas que pretenden agregarse al grupo inicial.


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PARTE I: ANALISIS INICIAL Dicha propuesta es analizada en base a los datos o resultados económicos obtenidos el año pasado, siendo estos los siguientes. GRUPO DE 20

GRUPO DE 5

EL CONJUNTO DE

EMPRESAS

EMPRESAS

LAS EMPRESAS

1380,714 376,0658

1290,796 199,3835

1360,9304 283,3392

2028,95 155,96653

1456,36 119,06072

1914,432 147,08353

VENTAS

̅ S PRODUCCION

̅ S

(Las ventas y la producción se encuentran en unidades monetarias) Luego, para el grupo de 20 empresas esta propuesta resultada conveniente en Los siguientes casos: 1ero. Si existe eficiencia en los niveles de la producción cuantificada en términos de similar variabilidad de dicha variable. 2do.Si existe similar rendimiento de ventas por grupos de empresas, expresándose Esto en el ratio:

De acuerdo con este estudio, si los rubros anteriores son favorables para el grupo de 20 empresas, entonces debe fusionarse con las otras 5 empresas. a) Al verificar el primer rubro (eficiencia) a1) ¿Puede usted explicar la asociación entre eficiencia y variabilidad? Solución: La unión solo se hará si existe eficiencia e igual variabilidad, esto se refiere a que la producción y las ventas de las 5 empresas son constantes y no han sufrido cambios como bajas y altas en su producción. a2) Con los resultados de la tabla, ¿puede usted afirmar que un grupo de empresas tiene mayor eficiencia en los niveles de producción que el otro grupo? Solución:

S A2 155 .96653 2  1.72 = S B2 119 .06072 2 α=0.05, α /2=0.025 con n1=20 y n2=5 F α /2 (n1-1; n2-1)=F2.5%(19; 4)=8.58 F 1-α /2 (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(19; 4) =1/8.58=0.12 El intervalo está determinado por:

S 2  S2 1 I   A2 . ; A2 .F (n1 1 ; n2  1) 2  S B F (n1  1; n2  1) S B  2   I  1.72 x0.12;1.72 x8.58  I  0.20;14 .76  Puesto que el intervalo incluye al 1, Tienen similar eficiencia.


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b) Al verificar el segundo rubro (rendimiento de ventas) b1) Con los resultados de la tabla, ¿puede usted afirmar que las empresas tienen similar rendimiento de ventas Solución:

S A2 (376,0658/155.96653)2  2.07 = S B2 (199,3835/119.06072)2 α=0.05, α /2=0.025 con n1=20 y n2=5 F α /2 (n1-1; n2-1)=F2.5%(19; 4)=8.58 F 1-α /2 (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(19; 4) =1/8.58=0.12 El intervalo está determinado por:

S 2  S2 1 I   A2 . ; A2 .F (n1 1 ; n2  1) 2  S B F (n1  1; n2  1) S B  2   I  2.07 x0.12;2.07 x8.58  I  0.24;17 .76  Puesto que el intervalo incluye al 1, Según su variabilidad, Tienen similar Rendimiento de ventas. b2) ¿Puede usted confiar en la precisión de su estimador obtenido en b1?, ¿por qué? Sustente cuantitativamente. Solución: No, puesto que el grupo de las 20 empresas, tiene un promedio de ventas= 1380,714 y mucho mayor que el promedio de ventas de las 5 empresas. c) En base a los resultados obtenidos en a) y b), ¿deben fusionarse las empresas? Solución: Deben fusionarse. PARTE II: ANALISIS FINAL Posteriormente, un análisis acerca del mercado reconoció que el año pasado fue un "año normal" en el comportamiento de la demanda de los productos que ofertan las empresas, y por ello tomaron los datos del año pasado como representativos del nivel de demanda del siguiente año. Lo mismo se puede decir EL nivel de producción. Con esta información se puede realizar un ejercicio de simulación cómo se comportarían los dos grupos de empresas ya unidas y tomar una. Decisión definitiva a fin de fusionarse o no las empresas. Luego, la decisión definitiva sería: “Los grupos de empresas deben unirse si la demanda es mayor a la producción", en caso contrario no le conviene fusionarse. d) Explique el criterio de decisión en términos económicos Solución: Deben fusionarse cuando las ventas son mayores que la producción. e) ¿Tiene datos suficientes para cuantificar estadísticamente si deben o no fusionarse el grupo de empresas? Si son afirmativos, presentes los supuestos y explíquelos y tome la decisión. Si es negativa, plantee, cuáles serían los datos faltantes y de tenerlos, ¿cómo obtendría los respectivos intervalos de confianza? Solución: Los datos no son suficientes, puesto que no hay las del año pasado Las ventas promedio de las 5 empresas=1290,796 La producción de las 5 empresas=1456,36 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 66


Promedio de ventas menor que promedio de producción, luego no deben fusionarse. EJERCICIO 7. El objetivo de esta pregunta es analizar el efecto que tienen los impuestos sobre el ahorro de las familias. La teoría económica dice lo siguiente: “…Cuanto mas baja sea la tasa de interés real después de impuestos, mayor será el numero de personas que desearan sustituir consumo presente por consumo futuro y menor será la posibilidad de ahorro con un determinado nivel de ingresos. En consecuencia las altas tasas de impuestos (a los activos financieros) desestimulan el ahorro.” …Sin embargo, puede considerarse que, “la gente ahorra para afrontar las necesidades económicas futuras” (retiro por ejemplo). Una tasa de retorno mas baja después de impuestos podría presionarlos a ahorrar mas, dado un mismo nivel de ingresos. Por tanto, no es posible decidir en forma teórica cual será el efecto neto de tasas de tributación más altas sobre el ahorro personal. Con el fin de probar lo anterior, analizaremos lo que sucede en dos países, realizando una comparación entre el ahorro de un país durante 31 meses antes y 31 meses después de aplicarse un incremento de la tasa de impuestos que afectan a la tasa de interés real. Para ello tomaremos dos países: el país 1 caracterizado por tener el mismo entorno económico, social y político estable antes y después de aplicado el incremento de impuestos, mientras que el país 2 presenta un contexto económico, social y político igualmente inestables antes y después de la aplicación de dicho cambio. NO OLVIDAR: En las siguientes preguntas establezca los supuestos económicos y estadísticos adecuados para plantear la evidencia empírica por medio de los correspondientes intervalos de confianza. a) Según la información anterior y los cuadros que a continuación se presentan, ¿Los datos muestrales en términos promedio, sustentan la afirmación anterior en cada uno de los países? b) Después de aplicarse los impuestos, ¿puede afirmarse que la política económica fue más eficiente en el país 1 con respecto al país 2 en términos de estabilidad y nivel de ahorro promedio? c) Si los niveles de ahorro se consideran bajos cuando estos son menores o iguales a 11000 dolares ¿Es cierto que el porcentaje de meses en el que el ahorro estuvo bajo el país 2 antes de impuestos supera ampliamente al similar porcentaje calculado en el país 1 en las mismas condiciones?

AHORRO MENSUAL DEL PAIS 1 (En dólares) MESES 1

ANTES DE IMPUESTOS(X) 11000


MESES 1

DESPUES DE IMPUESTOS(Y) 12000

DIFERENCIA Y-X 1000 Página 67


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 MEDIAS DESV ESTANDAR

10500 10900 10900 10950 10990 10985 11800 11800 12005 12600 13000 14000 14500 14300 15500 16000 16000 16000 17400 18000 17500 18100 18200 18500 18000 18050 18000 19500 19300 19200 14951 3159

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

15000 16000 16500 17000 16000 15000 12002 13000 11005 11300 10000 9000 9000 8500 8400 8400 8350 8300 8200 8100 8000 8000 7900 7800 7800 7500 7445 7500 7400 7350 10250 3203

4500 5100 5600 6050 5010 4015 202 1200 -1000 -1300 -3000 -5000 -5500 -5800 -7100 -7600 -7650 -7700 -9200 -9900 -9500 -10100 -10300 -10700 -10200 -10550 -10555 -12000 -11900 -11850 -4701 6185

SOLUCIÓN Como el ahorro se da en el mismo país 1 antes y después del incremento de la tasa de impuestos, estamos frente a un caso de datos pareados. De los datos de la tabla obtenemos:

Para

buscamos en la tabla, y se encuentra:

Luego el intervalo de confianza al 95% para

es: √

(


√

√ )

(

√

)

Página 68


Como ambos límites de confianza del intervalo son negativos concluimos que:

AHORRO MENSUAL DEL PAIS 2 (En dólares) MESES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 MEDIAS DESV ESTANDAR

ANTES DE IMPUESTOS(X) 9000 8500 10550 10600 9500 10500 10985 11001 10500 12005 12600 12000 14000 14500 12500 15500 16000 17000 15000 17400 18000 15000 18100 18200 17500 21000 19100 19000 19500 18000 20000 14614 3724

MESES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

DESPUES DE IMPUESTOS(Y) 10000 10500 11000 12000 13000 12000 13000 12002 13000 11005 11300 10000 9000 9000 8500 8400 8400 8350 8300 8200 8100 8000 8000 7900 7800 7800 7500 7445 7500 7400 7350 9411 1906

DIFERENCIA Y-X 1000 4500 5100 5600 6050 5010 4015 202 1200 -1000 -1300 -3000 -5000 -5500 -5800 -7100 -7600 -7650 -7700 -9200 -9900 -9500 -10100 -10300 -10700 -10200 -10550 -10555 -12000 -11900 -11850 -5202.903226 5453.31547

SOLUCIÓN Como el ahorro se da en el mismo país 2 antes y después del incremento de la tasa de impuestos, estamos frente a un caso de datos pareados. De los datos de la tabla obtenemos:


Página 69


Para



es: √

(

√ )

√

(

√

)

Como ambos límites de confianza del intervalo son negativos concluimos que:

a) Después del incremento de la tasa de impuestos, la gente del país 1 y del país 2 tiene un promedio de ahorro mensual más bajo. b) Debido a la anchura del intervalo de confianza tanto en el análisis del país 1 como en el país 2, podemos afirmar que la política económica es mas eficiente en el país 1, que en el país 2. c)

Entonces podemos concluir que el porcentaje de meses en el que el ahorro estuvo bajo en el país 2, supera al del país 1. EJERCICIO 8. Se cree que la vitamina C puede ser útil para reducir la cantidad de colesterol de las arterias. Se observo el nivel de colesterol de 50 personas antes y después de un tratamiento de un mes, bajo un régimen de 500 mg de vitamina C por día. Los datos obtenidos produjeron una media y una desviación estándar de la disminución del nivel de colesterol de 64.3 mg y 18.9 mg respectivamente. Estime la disminución promedio por persona del nivel de colesterol, usando una confianza del 95%. SOLUCIÓN Como la observación del nivel de colesterol se hizo en la misma persona antes y después del tratamiento, estamos frente a un caso de datos pareados. De los datos de la tabla obtenemos:

Para



es: √


√ Página 70


(

√

)

(

√

)

La disminución promedio por persona de colesterol se encuentra al 95% dentro del intervalo:

EJERCICIO 9. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del mismo es de 0.05 segundos. ¿Cuál será el número de medidas que deberá hacer para tener una confianza del 99% que el error de su estimación no excederá los 0.01 segundos? Solución: Zo = 2.576,  = 0.05, E = 0.01 n = (2.576*0.05/0.01)² n = 166 (número de medidas)

EJERCICIO 10. 50 familias de un total de 500 que habitan en un conjunto residencial fueron seleccionadas para hacer un estudio sobre ingresos mensuales. Los datos obtenidos fueron tabulados en un cuadro de frecuencias de 5 intervalos de ancho constante, observándose un ingreso mínimo de S/. 1000 y un ingreso máximo de S/. 3500, Las frecuencias absolutas simples de los intervalos son: 6, 8, 16, 12, 8, respectivamente. a) Estime con 95% de confianza el total de ingresos mensuales del conjunto.

Intervalo

Marca clase

fi

1000 - 1500

1250

6

1500 - 2000

1750

8

2000 - 2500

2250

16

2500 - 3000

2750

12

3000 - 3500

3250

8

Promedio = 2330 Desv. Est. = 617.4337 Zo = 1.96 IC = (2167.47;2492.52), para la población total de 500 IC = (1083738;1246260)

EJERCICIO 11.Una compañía de TV por cable desea estimar la proporción de familias de un sector de Lima que desearían tener este servicio. a) Si en un estudio similar en otro sector de la ciudad encontró que 1 de cada 5 familias, desean tener TV por cable. ¿Que tamaño de muestra necesita para la estimación empleando 95% de confianza y un margen de error de ±4 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 71

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS 

p

1  0.2 5

Z 02 pˆ (1  pˆ ) n E2 1.96 2 x0.2(0.8) n 0.04 2

n  385 b) Si la compañía no dispone de información previa sobre la verdadera proporción, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra de a)?

Z 02 4E 2 1.96 2 n 4 x4 2 n  600 n

c) Si en el sector habitan 50000 familias, usando el tamaño de muestra obtenido en a) se encontró que el 22% respondió afirmativamente. Con esta información, estime el total de familias que desearían tener TV por cable en el sector usando un nivel de confianza del 98%.





p (1  p )  p (1  p) p z0 ; p t0 n n 0.22 (0.78 ) 0.22 (0.78 ) i  0.22  2.33 ;0.22  2.33  385 385 

i  0.17,0.26  multiplicando por la población total obtenemos

Prueba de Hipótesis Primer bloque


Página 72


EJERCICIO 1.Una m.a. de 25 elemento dio una media de 13,5 y una desviación estándar de 4,4.efectuar una constante de la hipótesis :μ=16 vs :µ≠16 al nivel del 5%.suponga que la muestra fue extraída de una población N(μ;..)donde .. es conocida. SOLUCION: n = 25,

S=4.4 X=13.5 i. Hipótesis H0 : µ = 16 H1 : µ≠ 16 i. El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=25

̅

̅

√

√

√ ,

-

√

EJERCICIO 2.Las estaturas de 20 recién nacidos fueron tomadas en el departamento de Pediatría de Hospital Loayza. Cuyos resultados en cm. son: 41 50

50 52

52 50

49 47

54 49

50 51

49 46

47 50

52 49

49 50

̅

a) Suponga que inicialmente la población de las estaturas es normal con varianza 2cm; constante las hipótesis . ̅ √ (

)


Página 73


EJERCICIO 3.La asociación de los propietarios de industrias, metalurgias; están muy preocupados por el tiempo perdido en accidentes de trabajo, cuya media en los últimos tiempos. ha sido del orden de 60 horas/ hombre, por año y desviación estándar de 20 horas / hombre.se probo un programa de prevención de accidentes y, después del mismo, se tomo una m.a. de 9 industrias y se termino el número de horas por hombre perdidas por accidente que fue de 50 horas ¿usted diría al nivel del 5% que hay evidencia de mejoría?. SOLUCIÓN: n =9, x=50,α=5% y s=20 1) Hipótesis H0 : µ = 60 H1 : µ < 60 2) El estadígrafo de prueba para n≤30 es :

̅

√ 3) La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=8 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975

t0=2.306

Respuesta: No hay evidencia de mejoría, se acepta EJERCICIO 4.Los errores aleatorios cometidos en las pesadas de una cierta balanza sigue una distribución normal de media cero y desviación estándar 1 m gr. después de 9 pesadas se ha comprobado los siguientes errores(en m gr):-0.07;0.3;1,8;-0,1;2,0;2,3;0,62;0,12;1,4 a) Demostrar que existe una región critica U.M.P, para contrastar las hipótesis de que la balanza funciona correctamente frente a la alternativa de que tiene Un error sistemático positivo. SOLUCIÓN: Hipótesis H0 : µ = 0 Ha : µ ≠0 n=9, x=0.93,s=1,α=95%

̅ √

=2.79 √


Página 74


Para la región critica: α=95%, gl=9-1=8 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975

t0=2.306

b) ¿Cuál de las dos hipotisis, puede aceptarse con un nivel de significancia α=0,1? SOLUCIÓN:

Para la región critica: α=95%, gl=9-1=8 (

)

Rpta: se acepto la Ha EJERCICIO 5.Un investigador agrícola creía que el numero medio de acres que los hacendados de un determinado departamento dedicaban a cierto cultivo era inferior a 6.el investigador envió por correo un cuestionario a una m.a. simple de 25 hacendados de ese departamento, en que les solicitaba información sobre el números de acres sembrados.la media es la desviación típica de la muestra fue de 5 y 1,5 respectivamente. ¿al nivel de 5% sirven estos datos de apoyo a la opinión del investigador? SOLUCIÓN: 1) Hipótesis H0 : µ ≥ 6 H1 : µ < 6 2) El estadígrafo de prueba para n<30 es :

n=25, x=5, s=1,5 x  c 56 = =-3.33 Tc   / n 1.5 / 5 3) Para la región critica: gl =25-1=24


Página 75


(

)

EJERCICIO 6.El salario promedio de los empleados de las industrias siderúrgicas es de 2,5 salarios mínimos, con una desviación estándar de 0,5 salarios mínimos. si una firma particular tiene 49 empleados con una salario mínimos podemos afirmar que esta industria paga salarios inferiores ? SOLUCIÓN: 1) Hipótesis H0 : µ = 2.5 H1 : µ < 2.5 2) El estadígrafo de prueba para n<30 es : n=49, x=2.3

zc 

x  0

/ n

=

2.3  2.5 =-2.8 0.5 / 49

3) Para la región critica γ=0.90 P [z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.90+1)/2=0.95=

Rta: se acepta EJERCICIO 7.La precipitación pluviométrica anual en la sierra tiene desviación estándar conocida =3,1 y media desconocida para los últimos 9 años fueron obtenidos los siguientes resultados:30,5;34,1;27,9;35;26,9;30,2;28,3;31,7;25,8 a) Construya una prueba de hipótesis para saber si la media de la precipitación pluviométrica anual es menor o igual que 30 unidades. utilice un nivel de significancia de 5% SOLUCIÓN: Hipótesis: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 76


H0 : μ 30 H1 : μ>30 El estadígrafo de prueba para n 30 es : n=9, ̅ =30.044, s=3.1 ̅ √

√

Hallamos T0, γ=0.95, gl=9-1=8 (

)

Se acepta H1 b) Discuta el mismo problema desconocido: Rpta se rechaza H0 c) Suponiendo que, µ=33 ¿Cuál es la probabilidad de llegar a una conclusión errada en el caso a. Hipótesis: H0 : μ 30 H1 : μ>30 El estadígrafo de prueba para n 30 es : n=9, ̅ =30.044, s=3.1 ̅ √

√

Hallamos T0, γ=0.95, gl=9-1=8 (

)

EJERCICIO 8. La cantidad promedio que se coloca en un recipiente en un proceso de llenado se supone que es de 20 onzas. En forma periódica, se escogen al azar 25 recipientes y el contenido de cada uno de estos se pesa. Se juzga el proceso como fuera de control cuando la ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 77


media maestral es menor o igual a 19.8 o mayor o igual a 20.2 onzas. Se supone que la cantidad que se vacía en cada recipiente se encuentra aproximada, en forma adecuada, por una distribución normal con una desviación estándar de 0.5 onzas.

̅

̅

a) Enuncie las hipótesis nula y alternativa que son propias para esta situación.

b) Obtener la probabilidad del error tipo I. ̅ √ (

)

c) Graficar la función potencia de esta prueba.

EJERCICIO 13. Un fabricante de un cierto tipo de acero especial afirma que su producto tiene un severo servicio de control de calidad, que es traducido en la desviación estándar de la resistencia a la tensión, el cual no es mayor que 5 kg por cm2. Un comprador, deseando verificar la veracidad de la afirmación, tomo una muestra de 11 varillas y los sometió a una prueba de tensión. Los resultados fueron los siguientes: x = 263 y S2 = 48. Estos resultados traen alguna evidencia contra la afirmación del fabricante?

Solución: i) Planteamos las hipótesis: H0 : σ2 <= 25 H1 : σ2 > 25 ii) Nivel de significancia α = 0.05 iii) Estadígrafo de contraste: dado que S2 = 48 y σ2 = 25, entonces el valor de la estadística de prueba resulta: ( ) ( ) σ iv) Región critica: para α = 0.05 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 78


(

)

(

)

Conclusión: Se rechaza H0, pues y concluimos que de que los datos si proporciona evidencia contra la información del fabricante EJERCICIO 14. Un analista de sistemas esta probando la posibilidad de usar un nuevo sistema de computadora. El analista cambiara el procesamiento al nuevo sistema solo si hay pruebas de que el nuevo sistema usa menos tiempo en el procesamiento que el sistema antiguo. A fin de tomar una decisión, se seleccionó una muestra de siete trabajos y se registró el tiempo de procesamiento, en segundos, en los dos sistemas, con los siguientes resultados: Trabajos 1 2 3 4 5 6 7

Viejo 7 3 9 8 7 6 11

Nuevo 5 2 6 7 4 7 8

Al nivel de 0.01. ¿Usa el nuevo sistema menos tiempo para el procesamiento? ¿Qué suposición es necesaria para efectuar esta prueba?

Trabajos

1

2

3

4

5

6

7

D

-2

-1

-3

-1

-3

1

-3

̅

̅ √

(

)


Página 79


EJERCICIO 18. Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus productos con un método propuesto que supuestamente reduce el tiempo de armado. Se seleccionaron 8 trabajadores de la planta de armado y se les pidió que armaran las unidades con ambos procesos. Los siguientes son los tiempos observados en minutos. Trabajador

Proceso actual

1 2 3 4 5 6 7 8

38 32 41 35 42 32 45 37

Proceso propuesto 30 32 34 37 35 26 38 32

¿Existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el proceso actual es mayor que el del método propuesto por más por 2 minutos? ¿Qué supociones son necesarias para probar la hipótesis? Solución: Trabajador Proceso actual 1 2 3 4 5 6 7 8

i.

ii.

38 32 41 35 42 32 45 37

30 32 34 37 35 26 38 32

Di=Xi-Yi 8 0 7 -2 7 6 7 5

Promedio

4.75

Desv. Típica

3.69

Hipótesis H0 : µD≤2 (tiempo de armado del proceso actual no es mayor que el método propuesto por más por 2 minutos) H1: µD >2 (tiempo de armado del proceso actual es mayor que el método propuesto por más por 2 minutos) El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=8

Tc  iii.

Proceso propuesto

D  0

SD / n

=

4.75  2 3.69 / 8

=2.1079

La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=7 grados de libertad P *T≤ t0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.306


Página 80


iv.

Conclusión: puesto que T c < t0, aceptamos H0, al nivel de 5%, es decir tiempo de armado del proceso actual no es mayor que el método propuesto por más por 2 minutos.

EJERCICIO 19. Un medico desea saber si una cierta droga reduce la presión arterial media. El midió la presión arterial en 5 voluntarios antes y después de la aplicación de la droga, obteniendo los resultados que se dan en la siguiente tabla. Voluntario A B C D E Antes 68 80 90 72 80 Después 60 71 88 74 76 ¿Usted cree que existe evidencia estadística de que la droga realmente reduce la presión arterial media? R. Al nivel de 5% no hay evidencia estadística de que la droga reduce la presión. Solución: Voluntario

A

B

C

D

E

Antes

68

80

90

72

80

Después

60

71

88

74

76

Di=Xi-Yi

8

9

2

-2

4

promedio

4.2 4.49

Desv. Típica ii.

iii.

Hipótesis H0 : µD = 0 (la droga reduce la presión arterial media) H1 : µD ≠0 (la droga no reduce la presión arterial media) El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=5

Tc  iv.

D  0

SD / n

=

4.2  0 4.49 / 5

=2.09

La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=4 grados de libertad P *T≤ t0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.776 R.A R.R

R.R

-2.776

2.776 TC=2.0 9


Página 81


v.

Conclusión: puesto que T c pertenece a la región de aceptación, al nivel de 5% aceptamos H0, la droga reduce la presión arterial media.

EJERCICIO 20.Se llevó a cabo un estudio para determinar el grado en el cual el alcohol entorpece la habilidad del pensamiento para llevar a cabo determinada tarea. Se seleccionaron al azar 10 personas de distinta características y se les pidió que participaran en el experimento. Después de proporcionarles la información pertinente, cada persona llevó a cabo la tarea sin nada de alcohol en su organismo. Entonces, la tarea volvió a llevarse a cabo, después de que cada persona había consumido una cantidad suficiente de alcohol para tener un contenido en su organismo de 0.1%. Supóngase que los tiempos '"antes" y "después" (en minutos) de los 10 participantes son los siguientes. Participante

Antes

Después

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 22 55 45 32 35 40 25 37 20

39 45 67 61 46 58 51 34 48 30

¿Puede concluirse a un nivel de 5% que el tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos? R. Si Solución: Participante

Antes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 22 55 45 32 35 40 25 37 20

Después 39 45 67 61 46 58 51 34 48 30 Promedio Desv. Típica

i.

ii.

Di=Xi-Yi 11 23 12 16 14 23 11 9 11 10 14 5.14

Hipótesis H0 : µD≤0 (tiempo promedio "antes" no es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos) H1: µD >10 (tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos) El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=10


Página 82


Tc  iii.

D  0

=

14  10

=2.46

S D / n 5.14 / 10

La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=9 grados de libertad P *T≤ t0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.262

R.R

R.A

t0=2.2 62

iv.

Tc=2.4 6

Conclusión: puesto que T c > t0, rechazamos H0, a un nivel de 5% el tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos.

EJERCICIO 21. Un inversionista desea comparar los riegos asociados con dos diferentes mercados A y B. El riego de un mercado dado se mide por la variación en los cambios diarios de precio. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que el del mercado A. Se obtienen muestras aleatorias de 21 cambios de precio diarios para el mercado A y de 16 para el mercado B. Se obtienen los siguientes resultados. Mercado A

Mercado B

̅A =0,3

̅B =0,4

SA =0,25

SB = 0.45

a) Si se supone que las muestras provienen de dos poblaciones normales e independientes, ¿a un nivel de 5%, encuentra apoyo la creencia del inversionista? R. Se rechaza H0, luego el inversionista encuentra apoyo. Solución: a. i. Hipótesis H0 : µ1 = µ2 (encuentra apoyo la creencia del inversionista) H1 : µ1 ≠ µ2 (no encuentra apoyo la creencia del inversionista) ii. Nivel de significancia α = 0.05

iii.

El estadígrafo de prueba para n+m≥30 es :

Zc 

( x1  x 2 )  ( 1   2 ) S12 S 22  n1 n2


=

(0.3  0.4)  (0) =-0.8 0.0625 0.2025  21 16 Página 83


iv.

La región critica para α=0.05, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0=1.960 R.A R.R

R.R

-1.960

1.960 ZC=-0.8

v.

Conclusión: puesto que Zc se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, encuentra apoyo la creencia del inversionista.

EJERCICIO 22. Considere Ud. los siguientes datos referidos a la cotización de la plata en $ por onza: Mes E

F

M

A

M

85

14,7

13,0

12,3

11.6

86

8,0

8,3

7,2

87

12.4

14.0

10,6

J

J

A

S

10,8 10,0 8,6

8,9

7,3

6,7

5,6

N

D

10,1 9,1

8,6

8,4

7,1

8,7

9,5

9,8

10,6

11,7

13

11.8 12.1 12,1 11,9 9,9

8,8

9,1

6,5

O

Se plantean las siguientes hipótesis: "Puede observarse que, pese al irregular comportamiento cronológico de la cotización de la plata, este mineral no ha diferido significativamente de su cotización de equilibrio en los mercados internacionales, la cual es de $ 10 por onza, con una desviación estándar de $ 1,5 por onza". Pruebe la veracidad o falsedad de esta hipótesis, a la luz de los datos muéstrales presentados. R. n =36, ZC = -0,133. No se rechaza H0. Solución: 14,7 8,0

13,0 8,3

12.4

14

12,3 7,2

12 10,8 10,0 8,6 7,3 6,7 5,6 6,5

10,6 11,7

13

12

8,9 10,1 9,1 8,6 8,4 7,1 8,7 9,5 9,8 10,6

12 12,1 11,9 9,9 8,8 9,1

Promedio 10.03 Des. Típica 1.50 i.

Hipótesis


Página 84


ii. iii.

iv.

H0 : µ = 10 (El mineral no ha diferido significativamente) H1 : µ ≠ 10 (El mineral ha diferido significativamente) Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n≥30 es : n=36 x   0 10 .03  10 = =-0.13 Zc   / n 1.50 / 36 La región critica para α=0.05, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0=1.960

R.A R.R

R.R

-1.960

1.960 ZC=-0.13

v.

Conclusión: puesto que Zc se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, El mineral no ha diferido significativamente

EJERCICIO 23. El gerente de una planta sospecha que el número de piezas que produce un trabajador en particular por día, fluctúa más allá del valor normal esperado. El gerente decide observar el número de piezas que produce este trabajador durante 12 días, seleccionadas éstos al azar. Los resultados son: 14, 12, 9, 13, 12, 14, 15, 8, 7, 15, 11 y 9. Si se sabe que la desviación estándar para todos los trabajadores es de dos unidades y si el número de éstas que se produce diariamente, se encuentra modelado en forma adecuada por una distribución normal, a un nivel de 5%, ¿tiene apoyo la sospecha del gerente? Solución: De los datos obtenemos: x =11.58, σ=2 i.

Hipótesis: H0 : µ = 0 (no fluctúa más allá del valor normal esperado) H1 : µ > 0 (fluctúa más allá del valor normal esperado)

ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=12 x   0 11 .58  0 = =20.05 Tc  S/ n 2 / 12

iv.

La región critica para α=0.05, γ=0.95 con (n-1)=11 grados de libertad


Página 85


v.

P *T≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.201 Conclusión: puesto que T c > t0, rechazamos H0, a un nivel de 5% el número de piezas fluctúa más allá del valor normal esperado, tiene apoyo la sospecha del gerente.

EJERCICIO 24. Una compañía está tratando de decidir cuál de dos tipos de neumáticos va a comprar. Es deseo del directorio de la compañía, comprar los neumáticos a menos que haya alguna evidencia de que la marca B resultó mejor. Se hace un experimento en el que se utilizaron 14 neumáticos de cada marca. Se prueba bajo condiciones semejantes hasta que se desgasten totalmente. Los resultados obtenidos fueron:

̅1 =35000 km. ̅2 = 32000 km.

Marca B: Marca A:

S1= 4200 km. S2 = 2800 km

a) ¿Bajo qué supuestos se puede resolver este problema? b) ¿Que marca de neumáticos decidirá comprar la compañía? R. Se rechaza H0: Tc = 2,302. La compañía decidirá comprar la marca B. Solución: a. Necesitamos comprobar si σ1 y σ2 son iguales o diferentes(puesto que son desconocidas): i. Hipótesis H0 : σ1= σ2 H1 : σ1≠ σ2 ii. Nivel de significancia α = 0.05 iii. El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es :

S A2 4200 Fc  2 =  1.5 S B 2800 iv.

La región critica para α=0.05, α /2=0.025 con n1=14 y n2=14 F α /2 (n1-1; n2-1)=F2.5%(13; 13)=3.12 F 1-α /2 (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(13; 13) =1/3.12=0.32v. Luego la región critica C= {Fc: Fc>0.32 ó Fc<3.12}

v.

Conclusión: puesto que F=1.5 se encuentra Є C, asumimos que las varianzas poblacionales son iguales.

b. Analizamos las medias: i. Hipótesis H0 : µ1 = µ2 (no hay evidencia de que B es mejor que A) H1 : µ1 ≠ µ2 (hay evidencia de que B es mejor que A) ii. Nivel de significancia α = 0.05 iii. El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es (σ1=σ2):

Tc 

( x1  x 2 )  ( 1   2 ) (n1  1) S12  (n2  1) S 22 ) 1 1 (  ) n1  n2  2 n1 n2

=

(35000  32000)  (0) (13)42002  (13)28002 1 1 (  ) 14  14  2 14 14

=2.30 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 86


iv.

La región critica para α=0.05, γ=0.95 con (n1+n2-2)=26 grados de libertad P *T≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.056

R.A R.R

R.R

-2.056

2.056

TC=2.30

v.

Conclusión: Tc se encuentra en la región de rechazo, rechazamos H0, a un nivel de 5%, hay evidencia de que B es mejor que A.

EJERCICIO 25.A continuación se presenta la tabla de cotizaciones del plomo y cobre para los años 1086 y 1987. Meses

1986

1987

E F M A M J J A S 0 N D E F

Cobre

73,1 72,4 68.5 69,0 69,4 59,1 65,3 65,9 64,8 66,4 65,5 66,8 71,1 74,7

Plomo

29,4 28,0 27,8 26,1 26,1 23,7 25,1 23,7 23,4 22,6 20,8 20,3 21,5 20,6

a) Respecto a la inestabilidad observada y a las variaciones irregulares en los precios internacionales del cobre y plomo, ¿se puede afirmar que existen diferencias significativas? R. No, FC =1,8949747 b) Algunos economistas sostienen que los precios promedio de equilibrio de ambos metales son de $ 60/lb en el caso del cobre y $ 30/lb en el caso del plomo. Compruebe la veracidad o falsedad de estas afirmaciones. R. El precio promedio de equilibrio del cobre no es $ 60; el precio promedio de equilibrio del plomo no es $ 30. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 87


Solución: Cobre X1=68 S1=3.91

Plomo X2=24.22 S2=2.95

a. Comprobamos si σ1 y σ2 son iguales o diferentes(puesto que son desconocidas): i. Hipótesis H0 : σ1= σ2 (no existen diferencias significativas) H1 : σ1≠ σ2 (existen diferencias significativas) ii. Nivel de significancia α = 0.05 vi. El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es :

Fc 

S A2 3.91 2  1 .8 = S B2 2.95 2

iii.

La región critica para α=0.05, α /2=0.025 con n1=14 y n2=14 F α /2 (n1-1; n2-1)=F2.5%(13; 13)=3.12 F 1-α /2 (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(13; 13) =1/3.12=0.32 Luego la región critica C= {Fc: Fc>0.32 ó Fc<3.12}

iv.

Conclusión: puesto que F=1.8 se encuentra Є C, aceptamos H0, asumimos que las varianzas poblacionales no son iguales, no existen diferencias significativas en los precios internacionales del cobre y plomo.

b. Analizamos las medias: i. Hipótesis Para el cobre: H0 : µc =60 (precio promedio es 60) H1 : µc ≠ 60 (precio promedio no es 60) Para el plomo: H0 : µp =30 (precio promedio es 30) H1 : µp ≠30 (precio promedio no es 30) ii. Nivel de significancia α = 0.05 iii. El estadígrafo de prueba para n ≤30 y m≤30 es (σ1=σ2): Para el cobre:

Tc 

x  c

=

68  60 =7.65 3.91 / 14

/ n Para el plomo: x   p 24 .22  30 = =-2.33 Tc   / n 2.95 / 14


Página 88


iv.

La región critica para α=0.05, γ=0.95 con n1=14 y n2=14 grados de libertad. P *T≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.145 R.A R.R

R.R

-2.145

2.145 Tplomo=-7.33

v.

Tcobre=7.65

Conclusión: Tplomo y Tcobre se encuentra en la región de rechazo, rechazamos H0, a un nivel de 5%, El precio promedio de equilibrio del cobre no es $ 60; el precio promedio de equilibrio del plomo no es $ 30.

EJERCICIO 26. El Departamento Estadístico de un conocido banco nacional desea realizar un estimado preliminar de la importancia relativa de dos de sus principales sucursales en la venta de moneda extranjera. Para tal efecto se decide tomar como datos los montos vendidos de moneda extranjera durante dos semanas de operación en ambas sucursales y se obtienen los siguientes datos: L 3800 4220

Sucursal A Sucursal B

M 3805 4180

M 1880 1650

J 3740 3950

V 3810 3990

L 3930 4210

M 3820 4170

M 3515 3950

J 4010 4020

V 3810 4200

¿Existirá diferencia relativa de ambas sucursales en operaciones de moneda extranjera? Solución: Sucursal A Promedio=3612 Desv. Típica= 621.7725558 i.

ii. iii.

Tc 

Sucursal B Promedio=3854 Desv. Típica= 782.349737

Hipótesis H0 : µ1 = µ2 (no hay diferencia relativa) H1 : µ1 ≠ µ2 (hay diferencia relativa) Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es (σ1=σ2):

( x1  x 2 )  ( 1   2 ) (n1  1) S12  (n2  1) S 22 ) 1 1 (  ) n1  n2  2 n1 n2

=

(3854  3612)  (0) (9)621.77 2  (9)782.352 1 1 (  ) 10  10  2 10 10

=0.76 iv.

La región crítica para α=0.05, γ=0.95 con (n1+n2-2)=18 grados de libertad


Página 89


P *T≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.101

R.A R.R

R.R

-2.101

2.101

TC=0.76

v.

Conclusión: Tc se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, no existe diferencia relativa en operaciones de moneda extranjera.

EJERCICIO 27. Una empresa estaba considerando establecer un servicio de reparto de tamales los domingos en la mañana en un distrito de Lima. Con base en el costo de este servicio y las utilidades que se pueden lograr, ha llegado a la siguiente conclusión: si hay prueba de que el pedido promedio será más de 10 tamales por casa en ese distrito, entonces se instituirá el servicio de reparto. Si no se puede demostrar con pruebas, no se instituirá el servicio. Con base en la experiencia previa en otros distritos, se estimo que la desviación estándar era de 3 tamales. Se va a hacer una encuesta en una m.a de 35 residencias. La empresa esta dispuesta a tener un riesgo de 1% de que se instituirá el servicio cuando la demanda promedio es menor de 10 tamales por casa. a. Calcule la probabilidad de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio es de 13 tamales por casa. SOLUCION En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño (

{

)

es:

}

√

Donde para i. Hipótesis: ( (

) )

ii. La región de la prueba resulta: {

(

) {


√ √

(

(

)}

)}

Página 90


{

}

La probabilidad es: ,

-

[ [

] √ -

,

√

,

-

b. Calcule la probabilidad de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio es de 11 tamales por casa. SOLUCION En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño (

{

)

es:

}

√

Donde para Hipótesis: ( (

) )

La región de la prueba resulta: (

{

)

(

√

{

√

(

{

)}

)} }


-

[ [ ,

] √ -

,

√

-

c. Si la empresa quiere tener una posibilidad del 90% de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio de población es de 13 tamales ¿Qué tamaño de muestra se debe seleccionar? SOLUCION Dado que


Página 91


Para hallar el tamaño de la muestra: (

) (

)

( (

) )

La muestra que se debe seleccionar para teber un 90% de posibilidad de instituir el servicio de reparto es: d. Si la empresa selecciono una m.a de 64 casas y esta dispuesta a tener un riesgo de 1% calcule la probabilidad de establecer el servicio de reparto cuando la demanda promedio es 12 tamales por casa. SOLUCION En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño (

{

)

√

es:

}


) )

La región de la prueba resulta: {

(

)

( (

{ {

)}

)} }


-

[ [ ,

-

] √

,

-

EJERCICIO 28. Una maquina que llena bolsas de café pone 400 gramos de café en cada bolsa, cuando funciona correctamente. La cantidad colocada en la bolsa tiene distribución normal, con una desviación estándar de 30 gramos. El gerente de producción dejara de llenar bolsas si hay pruebas de que la cantidad promedio de café puesta en cada bolsa es menor de 400 gr. Si se selecciona una m.a de 25 bolsas y el gerente de producción esta dispuesta a tener un error tipo I de 5%: Calcule la potencia de la prueba y la probabilidad de un error tipo II si la cantidad promedio de café puesta en la bolsa es 395 gramos. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 92


SOLUCION

En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño (

{

)

es:

}

√


) )

La región de la prueba resulta: {

(

)

}

√ (

{

)}

{ } La probabilidad de un error tipo II si la cantidad promedio de café puesta en la bolsa es 395 gramos es: ,

-

[ ,

-

[

] -

√

,

-

Y la potencia prueba será

EJERCICIO 29. Un analista financiero desea saber si ha habido o no un cambio significativo en las utilidades por acción de un periodo a otro entre las empresas industriales mas grandes del Perú. Una muestra aleatoria de 15 empresas seleccionadas entre 150 arrojo los siguientes resultados:

COMPAÑIA 1 2 3 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

UTILIDADESPOR ACCION (S) AÑO 1(y) AÑO 2(x) 4.12 4.79 2.85 3.20 2.81 3.34

Y-X -0.67 -0.35 -0.53 Página 93


4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3.39 2.03 4.91 2.28 4.10 6.39 0.52 2.44 -2.25 5.01 1.85 1.95

1.94 -2.86 3.69 2.50 4.30 7.16 1.78 0.80 -1.31 5.06 2.15 2.07

1.45 4.89 1.22 -0.22 -0.2 -0.77 -1.26 1.64 -0.94 -0.05 -0.3 -0.12

Con un nivel de significancia de 0.01, ¿hay una diferencia en las utilidades por acción entre los dos años? ¿Que suposiciones son necesarias para efectuar estas pruebas? SOLUCIÓN

Hipótesis: ( (

Para (

)

) )

buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra: ( )

Estadígrafo de contraste:

, como √

Región critica: *

(

)

(

Como 2.455708 > -2.624 y 2.455708 < 2.624, no se rechaza la entre las utilidades.

)+ , es decir hay diferencia

EJERCICIO 30. La productividad en el trabajo depende fuertemente de muchos y muy variados factores, tales como el salario, la complejidad de la operación y el ambiente de trabajo. Pero es a menudo el diseño de la operación(es decir, la secuencia ordenada de movimientos del trabajador y de utilización del material), el factor mas importante en la productividad. Dos diseños de operación se someten a consideración para ser implantados en una fábrica. De un estudio de tiempo y movimientos se tiene que 12 trabajadores usando el diseño A, obtiene una media de 304 segundos y una desviación estándar de 18 segundos y 15 trabajadores usando el diseño B, obtiene una media de 335 segundos con una desviación estándar de 24 segundos. ¿Presentan estos datos evidencia suficiente de una diferencia en la tasa de productividad para los dos diseños? Use ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 94


SOLUCIÓN

Para

Analizamos la igualdad de las varianzas:

(

) (

(

)

)

( ) Como En cuanto al contraste de promedio de la tasa de productividad tenemos:

( ( √

)

(

) (

Sabemos que ( Luego la región critica es:

)

(

)

√

) (

*

)

) (

)

(

)+

( ) ( ) Dado que: Entonces se rechaza , es decir los datos no evidencian una diferencia suficiente en la tasa de productividad para los dos diseños. EJERCICIO 31. Un fabricante anuncia que la resistencia a la tensión promedio de las cuerdas A excede a las de las cuerdas B en 12 Kg como mínimo. Para demostrarlo, se prueba bajo condiciones similares 50 piezas de cada tipo de cuerda.las cuerdas A tienen una resistencia a la tensión 86.7 Kg con una desviación estándar de 6.28 Kg, mientras que las cuerdas B tienen una resistencia a la tensión promedio de 77.8 Kg, con una desviación estándar de 5.61 Kg. Pruebe lo enunciado por el fabricante utilizando un nivel de significancia de 5%.

Teniendo en cuenta que

SOLUCIÓN , son muestras grandes:

Hipótesis:


Página 95


Nivel de significancia: (

Estadígrafo de prueba:

(

)

) √

√

√

*

Región crítica para

+

Conclusión: puesto que , se rechaza , es decir, el promedio de la tensión de las cuerdas A, no excede a las de las cuerdas B en 12 Kg como mínimo EJERCICIO 32. Un inversionista desea decidir entre dos tipos de valores. Para su decisión cuenta con la siguiente información acerca del rendimiento, expresado como porcentaje del precio. VALOR A 7.8 10.3 7.9 8.7 9.2 VALOR B 9.2 9.1 11.1 8.8 9.6 ¿Sugieren estos datos que el valor B produce mayor utilidad que el valor A? SOLUCIÓN Teniendo en cuenta que , son muestras pequeñas:

8.9

PARA SABER SI LAS VARIANZAS SON DISTINTAS O IGUALES: Hipótesis:

Estadígrafo de prueba: Para: (

) (

( )

) (

)

Dado que En cuanto a las medias tenemos: Hipótesis: ( (

) )

Nivel de significancia: Estadígrafo de prueba:

.

/

donde

√

(

)

(

)

√

√

(

)

(


)

Página 96


(

) √

Sabemos que Región crítica

(

)

( )

*

+ *

Luego la región crítica es: Dado que: Entonces no se rechaza

) +|

(

( ) , es decir el valor B no produce mayor utilidad que el valor A.

EJERCICIO 33. Una industria lechera desea adquirir una maquina embotelladora y somete a consideración dos modelos distintos, el modelo A y el modelo B. Suponga que las maquinas resultan bastante parecidas y aproximadamente con el mismo costo, por lo que el factor decisivo será la variabilidad en la cantidad embotellada. (Se preferirá el modelo con menor variabilidad en la cantidad embotellada). Para demostrar que la variabilidad de su maquina es menor que la del modelo B un vendedor de la compañía A consigue una muestra de 30 registros de embotellado del modelo A y una muestra de 10 registros del modelo B. las varianzas muestrales fueron apoyo estadístico para la suposición del vendedor? SOLUCIÓN Para analizar la variabilidad.

. ¿Proporcionan estos datos

Hipótesis:

Nivel de significancia: Estadígrafo de prueba: Para: (

) (

Región critica:

( )

) (

*

Dado que suposición dl vendedor

)

(

)

(

)+ , se rechaza

, es decir los datos apoyan a la

EJERCICIO 34. Un editor afirma que los estudiantes que reciben instrucción en matemáticas usando un texto que acaba de publicar, obtendrán una calificación final cinco puntos mayores por lo menos que la de los estudiantes que emplearon el texto anterior. Se eligen al azar 36 estudiantes para asignarles 18 a cada clase, el grupo experimental, que emplea el nuevo texto para su aprendizaje; y el grupo de control, que utiliza el texto anterior. En el examen final, para el grupo experimental se obtiene grupo de control ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

y para el

; para plantear la hipótesis nula usando Página 97


SOLUCIÓN Teniendo en cuenta que son muestras grandes:

Hipótesis:

Nivel de significancia: (

Estadígrafo de prueba:

)

(

) √

√

*

Región crítica para

+

Conclusión: puesto que , no se rechaza , es decir, los estudiantes que reciben una instrucción en matemáticas usando el texto nuevo obtendrán una calificación final cinco puntos mayores por lo menos que los que emplearon el texto anterior EJERCICIO 35. En un estudio sobre el tiempo de reacción humana a una estimulo, unos psicólogos emplearon dos muestras independientes de sujetos. Una muestra estaba compuesta por 11 hombres entre 25 y 45 años de edad y la otra constaba de 13 mujeres de las mismas edades. Las varianzas de los tiempos de reacción fueron de 12 milisegundos cuadrados para los hombres y de 4 milisegundos cuadrados para las mujeres. Con base en estos datos, ¿Debería el psicólogo sacar como conclusión que la población representada por los tiempos de reacción de los hombres es más variable que la representada por las mujeres? SOLUCIÓN Para analizar la variabilidad.

Hipótesis:

Nivel de significancia: Estadígrafo de prueba: Para: (

)

(

Región critica:

{

(

) )}

Dado que , se rechaza , es decir la población representada por los tiempos de reacción de los hombres es más variable que la representada por las mujeres.


Página 98


EJERCICIO 36. Una empresa ganadera desea comprar dos marcas de alimentos: A y B, y decide experimentar con ellos antes de realizar la compra definitiva. El alimento A fue proporcionado a 10 animales seleccionado aleatoriamente, mientras que el alimento B a 6 animales obteniéndose los siguientes resultados de incrementos de pesos:

a) Probar si existe diferencia significativa entre los incrementos medios de pesos producidos por los alimentos a un nivel de  = 0.02 Solución: Se hace uso de la siguiente fórmula y el siguiente gráfico:

t

xy

s12 s 22  m n

Hipótesis: Ho:  A =  B H1:  A K  B : 0.02 XA = 4, SA² = 6.6 XB = 5, SB² = 6.4 gl = 11 aprox. To = 2.718 T = - 0.761,

-2.718<-0.761<2.718

Observando en el grafico T se encuentra en la zona de aceptación, por lo que se acepta Ho y se rechaza H1, de esta manera no hay una diferencia significativa entre los pesos de los alimentos. EJERCICIO 37. Midiendo muestras de fibras de nylon tomadas de dos máquinas de hilar se encontró que 8 de la primera máquina tenía una media en diners de 9.67 con una desviación estándar de 1.81 diners, mientras que 10 de la segunda máquina tiene una media de 7.43 diners y una desviación estándar de 1.48 diners. a) ¿Podría usted afirmar a un nivel de 5% de que la media de hilado de la primera máquina es mayor en 1.5 diners que de la segunda máquina? ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 99


Solución: Hipótesis: Ho: u1 – u2 < 1.5 H1: u1 – u2 > 1.5 : 0.05 X1 = 9.67 S1 = 1.81 X2 = 7.43 S2 = 1.48 gl = 14 aprox. To = 2.145 T = 0.933 0.933 < 2.145 Se acepta Ho y se rechaza H1, por lo cual se concluye que la primera maquina no es mayor en 1.5 diners EJERCICIO 38. En un estudio sobre la presión arterial, se consideran las presiones sistólicas de un grupo de niños con uno de sus padres hipertensos y otro grupo de niños cuyos padres tienen presión normal. Los datos han sido los siguientes: X1 = 105.8 X2 = 97.2

S1² = 50.51 S2² = 50.41

n1 = 10 n2 = 9

Se quiere comprobar estadísticamente, si el tener progenitores hipertensos influye en la presión sistólica. Use  = 0,10 Solución: Hipótesis: Ho: u1 < u2 H1: u1 > u2  = 0.10 gl = 17 aprox. To = 1.74 T = 2.638 2.638 > 1.74 Se rechaza Ho y se acepta H1 luego el tener progenitores hipertensos si influye en la presión sistólica del individuo. EJERCICIO 40. Una empresa desea invertir parte de sus utilidades en la compra de Bonos. El gerente financiero de la empresa afirma que la cotización promedio de los Bonos de Desarrollo es mayor que la de los Bonos tipo C de Cofide clase 12va. Recomendando invertir en los Bonos de Desarrollo. Se toma una m.a. de la cotización promedio de los bonos en 10 meses consecutivos, obteniéndose los siguientes resultados Bonos de Desarrollo

Bonos Tipo C

104

71


Página 100


112.3

72.6

121

71.8

120.1

72.6

119

71.2

123.6

72.5

128

67.8

131.4

67.2

132.8

66.5

133.6

65

¿Existe alguna diferencia significativa en las cotizaciones promedio? ¿Qué alternativa de inversión decide tomar la empresa? Solución: Xd = 122.58 Xc = 69.82

Sd² = 89.61 Sc² = 8.34

nd = 10 nc = 10

Hipótesis: Ho: ud = uc H1: ud K uc  = 0.05 gl = 11 To = 2.201 T = 16.857 Se rechaza Ho y se acepta H1, por lo tanto si existe una diferencia significativa en las cotizaciones promedio, la empresa debería aceptar la propuesta del gerente en invertir en los bonos de desarrollo. EJERCICIO 41. Se mide la humedad de cierto producto químico enviado por dos proveedores. Del primer proveedor se miden 41 muestras obteniéndose X1= 9,8%. Y S1²= 10,95; del segundo proveedor se miden 31muestras obteniéndose X2= 8,5% y S2²= 6,60. ¿Se puede afirmar que existe una diferencia de por lo menos 5% de humedad entre el producto enviado por el primer proveedor y el segundo? Solución: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 101


Hipótesis: Ho: u1 – u2 = 0.05 H1: u1 – u2 K 0.05  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 0.18 Se acepta Ho y se rechaza H1, no existe una diferencia entre el producto enviado por el primer proveedor y el segundo EJERCICIO 42. Se desea comparar dos tipos de ampolletas que difieran en el material de sus filamentos. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaño 49 para el material 1 y 60 para el material 2 y se mide el tiempo de duración de cada ampolleta. Supongamos que el tiempo de duración del material 1 tiene distribución exponencial con parámetro Material

Tamaño de la muestra

Promedio

Varianza

1

49

10

120

2

60

15

240

¿Puede concluirse que el material 2 es mejor que el1? Solución: Hipótesis: Ho: u2 < u1 H1: u2 > u1  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 1.968 1.968> 1.96 Se rechaza Ho y se acepta H1 luego se concluye que el material 2 es mejor que el 1 EJERCICIO 43. Se realiza un estudio para determinar si la dieta alimenticia afecta la producción en vacas lecheras. Para ello se seleccionan 25 vacas al azar dividiéndolas en dos grupo, el primero con 12, a las cuales se les asigna una dieta con alfalfa deshidratada y las restantes 13 continúan con la dieta estándar. Al cabo de tres semanas se mide la producción de leche obteniéndose (en libras).

Dieta

N

Media

Desv. Est.

Alfalfa deshidratada

12

42.25

8.740

Estándar

13

45.15

7.998


Página 102


¿Hay evidencia de que las vacas producen menos leche con la dieta de alfalfa deshidratada que con la estándar? Use =0,10 Solución: Hipótesis: Ho: uA > uE H1: uA < uE  = 0.10 To = 1.717 T = -0.86 -0.86>-1.717 Se acepta Ho y se rechaza H1 luego se concluye que las vacas no producen menos leche con la dieta alfalfa deshidratada EJERCICIO 44. Suponga que la SUNAT está contemplando implementar un nuevo programa que tendría por objetivo grabar las utilidades de las empresas más grandes, correspondientes a una de las siguientes actividades económicas que se consideran como potencialmente generadoras de ingresos para el Fisco: 1) Comercio al por menor, restaurantes y hoteles, y 2) Transportes, Almacenamiento y Comunicaciones. Para decidir la orientación del nuevo impuesto, se le encomienda a Ud. analizar y sustentar al interior de cuál actividad económica se han generado mayores niveles de eficiencia en términos de utilidad promedio y variabilidad (existen sospechas de que el sector comercio al por menor, restaurantes y hoteles se ha venido comportando en forma menos eficiente que el sector transporte, almacenamiento y comunicaciones). Se cuenta con la información de 5 de las empresas más grandes según actividad económica en 1998 (se espera que el comportamiento de la actividad económica en dicho año se repita para el en curso).

UTILIDAD DE EMPRESAS SEGÚN ACTIVIDAD ECONÓMICA (en miles de soles) COMERCIO AL POR MENOR, RESTAURANTES Y HOTELES 1.- Tiendas Limatambo S.A. -2800.0 2.-Rosales Diesel S.A. 191,2 3.-Cía. Operadora de Grifos S.A. 266.3 4.- Productores del Norte 2780.0 5.- J.B. Alhajas S.A. 16,0

TRANSPORTE, ALMACENAMIENTO Y COMUNICACIONES 1.-Transerv S.A. 1400,0 2.- Naviera Humbolt S.A. 1508,0 3.- Cía. Peruana de Teléfonos S.A. 700,0 4.- Consorcio Naviero Peruano S.A. -2100,0 5.- Iberia Línea Aérea de España -1862,2


Página 103


¿Qué diría usted a la SUNAT sobre la eficiencia de dichas actividades económicas en términos de utilidad promedio y variabilidad?. ¿Cuál sería su recomendación? R. El comercio al por menor, restaurante y hoteles es más suficiente en términos de utilidad promedio y variabilidad que el sector transporte, almacenamiento y comunicaciones EJERCICIO 45. Un empresario está interesado en lanzar un nuevo producto al mercado, pero está indeciso respecto al sector al cual se dirigirá. Su asesor le indicó que la variable decisiva para la toma de decisión es el ingreso familiar y por ende sugirió que el producto sea dirigido al sector A, puesto que el ingreso promedio del mismo, excede al de B por lo menos en US$ 1500 El empresario ordenó a una Cía. especializada en estudios de mercado, la ejecución de un estudio de mercado en cada sector, del cual se supo que los ingresos promedios eran de US$ 15000 y $ 14600; respectivamente, con desviaciones iguales a US$ 1800 en el caso de A y US$ 2400 para B, siendo los tamaños muéstrales considerados de 15 y 10 familias en cada sector, respectivamente. ¿Cree usted, que los datos presentados le dan la razón al asesor del empresario?

X A  15000

X B  14600

 A  1800

 B  2400

n A  15

n B  10

H 0 : X A  X B  1500 H 1 : X A  X B  1500 TC 

( X A  X B )  do 1 1 sp  n A nB

sp 2 

(n A  1) A2  (nB  1) B2 (n A  nB  2)

Reemplazando valores y haciendo los cálculos respectivos

sp 2  4226086 .957

sp  2055.7449 TC 

(15000  14600 )  1500  1100   1.3108 2055 .4749 (0.4082 ) 1 1 2055 .4749  15 10

t (n A  n B  2)  t 0.05 (23)  1.714

por tanto los datos presentados no darán razón al

asesor Tc = -1,3108

EJERCICIO 46 Un grupo de economistas, en un estudio especializado, llegan a la siguiente conclusión: "En el Perú no se ha logrado alcanzar un considerable saldo positivo en la balanza comercial ya que históricamente el saldo promedio de la Balanza Comercial ha sido como máximo 38,58 millones de dólares". Suponga que se le encomienda a Ud. juzgar la validez o falsedad de dicha conclusión y que cuenta pira ello con información mensual del saldo de la Balanza Comercial FOB ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 104


correspondiente a 1998 (Período representativo de comportamiento a largo plazo de la variable objeto de estudio) 1998 E Saldo 63. Balanza 10 Comercia l FOB

F 109. 10

M 123. 50

Media 103. = 8333

A 56

M J J A S O 154 133 132.8 157. 76. 8 182..5 9

N D 32. 2 24. 10

Desviación Estándar = 51. 997314

a) ¿Qué diría Ud. acerca de la validez o falsedad de la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado al que se hace referencia?

H 0 : u  38.58 H 1 : u  38.58 X  u 0 103 .8333  38 .58   4.3472 S 51 .997314 n 12 t (n  1)  t 0.05 (11)  1.976

TC 

Por tanto se rechaza H 0 es decir la conclusión a la que llegó el estudio es falsa b) Determine, a nivel teórico, los errores tipo I y IIError tipo I: EL saldo promedio de la balanza comercial es mayor que 38.58 Error tipo II: EL saldo promedio de la balanza comercial es como máximo 38.58 c) Calcule la probabilidad de que la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado sea falsa, considerando un saldo promedio de la Balanza Comercial en el Largo Plazo igual a 100 millones de dólares. Región de la prueba

C  {X / X  u0 



t } n 51 .997314 X  38 .58  12 X  65.5385 P[ H 1 / u  100 | P[ X  65.5385 | u  100 ]]

P[

X  100

 n



65 .5385  100 ] 51 .997314 12

P[T  2.29] P[T  2.29]  1  P[T  2.29] P[T  2.29] =1-0.0212 Entonces la probabilidad de que dicha conclusión sea falsa es 0.9788


Página 105


d) Calcule la probabilidad de que la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado sea verdadera, considerando un saldo promedio de la Balanza Comercial en el Largo Plazo igual a 100 millones de dólares Esta parte se calculará de forma análoga pues las condiciones son las mismas, se puede notar que esta pregunta es el complemento de la anterior, por tanto la probabilidad de que la conclusión del estudio sea verdadera será 0.0212

e) Calcule la probabilidad de que la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado sea verdadera cuando el saldo de la Balanza Comercial haya sido igual a 85 millones de dólares.  C  {X / X  u0  t } n 51 .997314 X  85  12 X  100.0103 P[ H 1 / u  103 .8333 | P[ X  133.4937 | u  103 .8333 ]] X  103 .8333 100 .0103  103 .8333 P[  ]  51 .997314 n 12

P[T  2.2547] P[T  1.2320647] Entonces la probabilidad de que dicha conclusión sea verdadera será 0,11145 EJERCICIO 47. Una Cía. está probando dos nuevos envases para su té filtrante. Se eligieron 30 tiendas de abarrotes; en 15 de ellas se colocó un tipo de envase y en las 15 restantes otro. El volumen mensual de ventas de los envases nuevos se expresó en forma de porcentaje de las ventas mensuales de los meses anteriores. Se llevó a cabo un registro para cada tienda. Para el envase A, el aumento del promedio de ventas fue de 8% con una desviación estándar de 24%. Para el envase B. el aumento del promedio de ventas fue de 3% con una desviación estándar de 20%. a. ¿Existe prueba significativa de que el incremento en el promedio de ventas del envase A sea mayor de 2%?

X A  8%

X B  3%

S A  24%

S B  20%

n A  15

n B  15

H 0 : u A  2% H 1 : u A  2% TC 

X A  uA 8  2   0.96825 S 24 n 15

t (n A  1)  t 0.05 (14 )  1.761


Página 106


TC  t b.

No existe prueba significativa

¿Dan estos datos prueba suficiente de que la diferencia entre el incremento en el promedio de ventas del envase A y de B sea mayor del 3%?

H 0 : u A  u B  3% H 1 : u A  u B  3% TC 

( X A  X B )  do



2 A

nA





2 B

nB



(8  3)  3 24 2 20 2  15 15

 0.24794

Z  (n A  n B  2)  Z 0.05 (28 )  1.701 Estos datos no son prueba suficiente para afirmar dicha conclusión

EJERCICIO 48. Un inversionista extranjero desea invertir en nuestro país, incentivado por las perspectivas favorables de la economía y la elevada rentabilidad ofrecida por diversas modalidades de inversión. Este inversionista contrata a una empresa consultora para que evalúe las diversas modalidades de inversión existentes, presentándole únicamente las dos mejores alternativas que ofrecen una rentabilidad inedia mensual mayor a la mejor alternativa dejada de lado por el inversionista en su país de origen La Cía. consultora presenta al inversionista la siguiente información sobre la rentabilidad media mensual y desviación estándar correspondiente a los últimos 13 meses para ambas alternativas de inversión (periodo representativo del mediano plazo):

Con la información presentada, responda usted lo siguiente: a) ¿Cuál de las dos alternativas de inversión calificaría usted como la más eficiente en el mediano plazo, en términos de variabilidad y rentabilidad media en comparación con lo que ha dejado en su país de origen? Para la variabilidad

H 0 :  A2   B2 H 1 :  A2   B2

S A2 0.552 FC  2   0.8402 S B 0.60 2 f1 / 2 (n  1)  f 0.975 (11)  2.01 Se acepta H 0 por tanto ambas alternativas califica b) ¿Las mejores alternativas de inversión presentadas, le permitirán al inversionista cumplir con su objetivo de rentabilidad mínima (mejor alternativa dejada de lado en su país de origen o costo de oportunidad)? ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 107


H 0 : u A  uB H1 : u A  u B ZC 

gl 

(X A  X B )  0 S A2 S B2  n A nB

 S A2 S B2      n A nB 



(3.90  3.40)  0 0.55 2 0.60 2  13 13

2

 2.21

 0.55 2 0.60 2     13   13

2

2  2  25.079 2 2 2 2  S A2   S B2   0.55 2   0.60 2           13    13   n A    nB  14 14 n A  1 nB  1 f  ( gl )  f 0.05 (25 )  1.78

Se rechaza H 0

La rentabilidad promedio de A es más eficiente que la de B

c) Sustente usted la verdad o falsedad de la siguiente afirmación hecha por la Cía. consultora:"En el mediano plazo, la alternativa de inversión B implica un riesgo mínimo debido a que la variabilidad asociada a dicha modalidad de inversión ha sido como máximo igual a 0,45% (menor a la que se registra tradicionalmente en el caso de otras alternativas de inversión de mínimo riesgo)".

H 0 : u A  u B  0.45 H1 : u A  u  0.45 TC 

( X A  X B )  do



2 A

nA





2 B



(3.90  3.40)  0.45 0.55 2 0.60 2  13 13

nB

 0.2148

Z  (n A  n B  2)  Z 0.05 (24 )  1.711 Por tanto se acepta

H0

La afirmación es verdadera

EJERCICIO 51. Catalina Oviedo, analista de la compañía petrolera Petro Peni, ha sido asignada para investigar la afirmación de que los distribuidores de Petro Perú cobran más por La gasolina sin plomo que los distribuidores independientes. Catalina teme que si elige dos muestras aleatorias independientes de estaciones de servicio para cada tipo de distribuidor, la variabilidad en el precio debida a la localización geográfica puede ser un factor que altere los resultados del estudio. Para eliminar esta fuente de variabilidad, elige un par de grifos - una de Móvil y una de Petro Peni - con proximidad geográfica. Los resultados del muestreo de Catalina son: REGION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

PETRO PERÚ

7.05 7.19 7.27 7.19 7.36 6.99 7.09 6.98 6.87 6.79 7.27

MOVIL

6.99 7.09 7.09 7.09 7.18 7.09 7.09 6.89 6.89 6.86 7.19


Página 108


Con un nivel de significancia de 0,01, ¿cuál deberá ser la conclusión de Catalina? . REGION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

PETRO PERÚ

7.05

7.19

7.27

7.19

7.36

6.99

7.09

6.98

6.87

6.79

7.27

MOVIL

6.99

7.09

7.09

7.09

7.18

7.09

7.09

6.89

6.89

6.86

7.19

diferencia

0.06

0.10

0.18

0.10

0.18 -0.10 0.00

0.09 -0.02 -0.07

0.08

De donde

D  0.05 y S D  0.0925

H 0 : uD  0 H1 : u A  0 D  0 0.05  0 TC    1.7928 SD 0.0925 11 n

  0.01 t (n  1)  t 0.01 (10 )  2.764

Para

Se acepta

H0

Te = 17928. Petro Perú no cobra más que Móvil

Segundo bloque EJERCICIO 1. Las condiciones de mortalidad de un país es tal que la proporción de nacimientos que sobreviven hasta 60 años es de 0,6. contrastar esa hipótesis al nivel de 5% si 1000 nacimientos muestreados aleatoriamente, se verifico 530 sobrevivientes hasta 60 años. SOLUCIÓN: i. Hipótesis: H0 : π =0.6 (sobreviven hasta 60 años) H1 : π ≠ 0.6 ii. El estadígrafo de prueba para n>30 es :

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

n=1000, x=530 ̅

Z

̅

0.53  0.6  4.52 0 .6 ( 0 .4 ) 1000


Página 109


iii.

Hallamos Z0, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.96

Respuesta: se rechaza H0

EJERCICIO 2.Un fabricante afirma que al menos 90% del equipo que ha surtido para cierta fabrica cumple con las esopecificaciones.se examina una muestra de 60piezas de equipo y se encuentra que 48 de ellas son defectuosas, puede decirse que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar la afirmación del fabricante? SOLUCIÓN: Hipótesis: H0 : π ≥0.9 (sobreviven hasta 60 años) H1 : π < 0.9 El estadígrafo de prueba para n>30 es :

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

n=60 , x=48

̅

Z

̅

pˆ   0

 0 (1   0 )

n 0 .8  0 . 9 Z  2. 5 0.8(0.1) 60 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 110


i.


Respuesta: se rechaza H0

EJERCICIO 3.Con base a la siguiente tabla. No fuman cigarros s/filtro cigarros c/filtro total Hombres 12 64 14 Mujeres 8 26 16 total 20 90 30

90 50 140

a) contrastar la hipótesis de que la proporción de fumantes es 80%. Use α=0.04 SOLUCIÓN: i. Hipótesis H0 : π = 0.8 H1 : π ≠ 0.8 ii. Para la prueba para n>30 es:

̅

̅

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

ii.

=

0.786  0.8 =-0.42 0.8(1  0.8) 140

Hallamos Z0, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.96+1)/2=0.98 Z0=2.06


Página 111


R. se acepta H0 z0 =-0.42 b) contrastar la hipótesis de que la proporción de los que fuman cigarros con filtro es 70% use a=0.02 SOLUCIÓN: i) Hipótesis H0 : π = 0.7 (cigarrillos c/filtro) H1 : π ≠ 0.7 (cigarrillos c/filtro) ii) Para la prueba para n>30 es:

̅

Z

̅

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iii.

=

0.643  0.7 =-1.472 0.7(1  0.7) 140

Hallamos Z0, α=0.02γ=0.98 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.98+1)/2=0.99 Z0=2.33

Rpta: se acepta H0


Página 112


EJERCICIO 4. Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 60 caras. Contrastar al nivel de 5% la hipótesis de que la moneda está cargada. SOLUCIÓN: i) Hipótesis H0 : π = 0.7 H1 : π ≠ 0.7 ii)

Para la prueba para n>30 es:

̅

Z

iii)

̅

0.6  0 .5 pˆ   = =2 0.5(1  0.5)  0 (1   0 ) n 100

La región critica para α=0.05, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0=1.96

Rpta: se acepta H0

EJERCICIO 5. Los productos de un determinado programa de televisión pretenden modificar si, por lo menos, un cuarto de los que tienen televisor no ven el programa regularmente. Una investigación encomendada a una empresa especializada mostro que de 400 familias entrevistadas, 80 ven el programa regularmente. En base a estos datos. ¿Cuál debe ser la decisión de los productores? SOLUCIÓN: i) Hipótesis

ii)

Para la prueba para n>30 es:


Página 113


̂

̂ √ ( iii)

)

La región critica para α=0.01, γ=0.99

(

)

Rpta: se rechaza H0,se debe modificar el programa . EJERCICIO 6. Un fabricante de lavadoras afirma que solo el 5% de todas las unidades que venden sufren una falla durante el primer año de operación normal. Una organización de consumidores ha pedido a 20 familias de igual número de que han adquirido estas lavadoras. Que reporten cualquier mal funcionamientos durante el primer año. Al final de este, solo tres familias reportaron mal funcionamiento. Si la organización de consumidores cree que la proporción de lavadoras que sufrirán alguna falla es más alta que el valor afirmado por el fabricante, determine si se puede rechazar la afirmación del fabricante al nivel de 10%. SOLUCIÓN: i)

ii)

Hipótesis H0 : p = 0.7 H1 : p ≠ 0.7 El estadígrafo de prueba para n≤30:

̅

T


̅

pˆ  p 0.15  0.05 = =2.053 0.05 (1  0.05 ) p(1  p) 140 n Página 114


iii) (

La región critica para α=0.1, γ=0.9 y gl=20-1=19 )

Rpta: se rechaza el H0 EJERCICIO 11. Una compañía productora de combustibles asegura que una quinta parte de los hogares en una cierta ciudad se calientan con petróleo. a) ¿hay alguna razón para dudar de esta afirmación si, en una m.a. de 1000 hogares de esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan son petróleo? Use

̂

̂ √ (

(

)

)


Página 115


EJERCICIO 13. El responsable de la campaña política del candidato A piensa en el ambiente de las últimas semanas previas a las elecciones. El piensa que su candidato se encuentra en igual posición que su oponente, el candidato B. pero han ocurrido algunos reveses en los años anteriores. El responsable lleva a cabo una encuesta en 1500 ciudadanos. Si de los 1500, 720 indican una preferencia por el candidato A. ¿existe alguna razón para creer que el candidato A se encuentra en desventaja con relación al candidato B? Solución:

pˆ  i.

720  0.48 1500

Hipótesis: H0 : π = 0.50 (preferencia por el candidato A) H1 : π ≠ 0.50 (no hay preferencia por el candidato A)

ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n>30 es : n=720

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.48  0.50 =-0.011 50 (1  50 ) 720

Hallamos Z0, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 R.A R.R

R.R

-1.960

1.960 Z=-0.011

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, sigue habiendo preferencia por el candidato A. EJERCICIO 14. Se cree que al menos el 65% de los habitantes de cierta ciudad favorecen un nuevo provecto. ¿Qué conclusión se puede sacar si sólo 120 de una muestra de 200 residentes apoyan dicho proyecto? Use a =0,03 R. No se rechaza H0 : ZC =-1.4825


Página 116


Solución:

pˆ 

120  0.6 200

iv.

v. vi.

Hipótesis: H0 : π ≥0.65 (la ciudad favorecen un nuevo provecto) H1 : π < 0.65 (la ciudad no favorecen un nuevo provecto)


Z

pˆ   0

 0 (1   0 )

=

n vii.

0.6  0.65 =-1.36 0.65 (0.25 ) 120

Hallamos Z0, γ=0.97 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.97+1)/2=0.985 Z0= 2.17 R.A

R.R

-2.17

Z=-1.36

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, la ciudad favorecen un nuevo provecto. EJERCICIO 15. Un fabricante afirma que al menos el 25% del público prefiere su producto. Se toma una muestra de 200 personas para verificar su afirmación. Con α=0.05. ¿Qué tan pequeño debe ser el porcentaje en la muestra para poder refutar su afirmación de manera correcta? R. Debe ser menor que 0,19%. Solución: x pˆ  200 i. Hipótesis: H0 : π ≥0.25 (prefiere el producto) H1 : π < 0.25 (no prefiere el producto) ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 Hallamos Z0, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.96

R.A


Página 117


R.R

-1.96 Z > -1.960

iv.

Para poder rechazar ,H0 debe ser mayor que -1.960, asumimos Z=-1.960 : n=200

 1.960 

x  0.25 x 200 , desarrollando la ecuación obtenemos que 200 0.25(1  0.25) 200

=0.1942 Conclusión: Para poder refutar H0 debe ser menor a 0.1942, por lo tanto a un nivel de 5%, el porcentaje en la muestra=19%. EJERCICIO 16. El propietario de una firma de mayoreo quería saber la proporción de cuentas por cobrar con más de 60 días de vencidas. El propietario estima que a lo más 20% de las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas. Una muestra aleatoria de 150 cuentas por cobrar revela que 36 tenían más de 60 días de vencidas. Al nivel de 5% ¿es válida la estimación del propietario? Solución: 36 pˆ   0.24 150 i. Hipótesis: H0 : π ≤0.20 (las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas) H1 : π > 0.20 (las cuentas por cobrar no tienen más de 60 días de vencidas) ii. iii.


Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.24  0.20 =1.22 0.20 (0.80 ) 150

Hallamos Z0, γ=0.95 P *Z≤ z0+= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 R.A


Página 118


R.R

1.960 Z=1.22

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas.

EJERCICIO 17. Los "ratings" del público televidente han vuelto a los productos y patrocinadores muy sensibles a las afirmaciones acerca del auditorio que ve mi programa dado. Una estación de televisión afirma que su noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del auditorio en su área de cobertura. Una empresa que desea comprar tiempo de publicidad durante el noticiero desea validar la afirmación de la transmisora. Para tal fin toma una m.a. de 100 televidentes potenciales y 38 indican que ven el noticiero de las 10 de la noche. ¿Es esta evidencia suficiente de que la afirmación de la estación transmisora es falsa? Use α = 0.01 R. Si. YC =-2.4 Solución: 38 pˆ   0.38 100 i. Hipótesis: H0 : π =0.50 (el noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del auditorio) H1 : π ≠ 0.50 (noticiero de las 10 de la noche no es visto por el 50% del auditorio) ii. iii.


Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.38  0.50 =-2.4 0.50 (0.50 ) 100



Página 119

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS R.A R.R

R.R

-2.56

-2.56 Z=-2.4

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, el noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del auditorio. EJERCICIO 18. El fabricante afirma que la vida media de cierto tubo electrónico es de 600 horas. Se extrae una m.a. de 100 de un embarque de esos tubos y se encuentra que sólo 23 duraron más de 600 horas. ¿Cree usted en la aseveración del fabricante? Solución:

23  0.23 100 i. Hipótesis: (asumimos que la mitad tiene un promedio de 600 horas de vida) H0 : π =0.50 (la vida media de los tubos electrónicos es de 600 horas) H1 : π ≠ 0.50 (la vida media de los tubos electrónicos no es de 600 horas)

pˆ 

ii. iii.


Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.23  0.50 =-5.4 0.50 (0.50 ) 100


R.A R.R

R.R

-2.56

-2.56

Z=-5.4


Página 120


Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de rechazo, rechazamos H0, a un de 5%, la vida media de los tubos electrónicos no es de 600 horas

nivel

EJERCICIO 19. El representante de mercadotecnia de una compañía desea determinar la aceptabilidad de un nuevo producto en una comunidad. Si pudiera afirmarse que alrededor del50% de los residentes de la comunidad comprarían el producto, el representante sugeriría a la compañía que lo ponga a la venta en la comunidad. De una muestra de 64 residentes seleccionados al azar en la comunidad, 24 de ellos afirmar que comprarían el producto. ¿Qué conclusión puede usted obtener acerca de la aceptación del producto en esa comunidad? SOLUCIÓN Hipótesis:

Proporción muestral:

Estadígrafo de la prueba:

(̂ √

) (

( )

) √

(

*

Región critica para

)

+

Dado que , NO se rechaza , es decir, el representante de mercadotecnia debe sugerir a la compañía que ponga en venta en la comunidad el nuevo producto.

EJERCICIO 20. En un estudio reciente que abarco 25 años, se investigo la posible protección que proporciona la ingestión de una forma de vitamina A, llamada caroteno, contra el desarrollo de cáncer pulmonar, se encontró que 500 hombres que habían ingerido una baja cantidad de estas sustancias durante un tiempo, 15 desarrollaron cáncer pulmonar, pero un grupo del mismo tamaño en que el consumo de caroteno era mayor, solo 4 personas desarrollaron cáncer, bajo las suposiciones apropiadas. ¿Puede concluirse que la ingestión de caroteno, reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres? Use α=0.01 SOLUCIÓN Hipótesis:

Proporciones muestrales: ̂

̂



(̂ √ ̂(

̂ ) ̂)(

) Página 121

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS ̂

Donde ̂

̂

(

( √

)

(

)

) (

)(

)

* + Región critica para Dado que , se rechaza , es decir, puede concluirse que la ingestión de caroteno, reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres. EJERCICIO 21. Un líder sindical, piensa que la proporción p1 de obreros a favor de control de precios y salarios es mayor que la proporción p2 de ejecutivos a favor del control. Se toman muestras aleatorias independientes de 200 obreros y 200 ejecutivos y se encuentran 45 obreros y 35 ejecutivos a favor del control. ¿Proporcionara esta evidencia apoyo estadístico a la suposición del líder sindical? SOLUCIÓN ̂ ̂ Hipótesis:


̂


Donde

̂

(

̂

̂

(̂ √ ̂( (

̂ ) ̂)(

)

) (

)

)

) √ ( )( * + Región critica para Dado que , se acepta , es decir, la evidencia no proporciona apoyo estadístico a la suposición del líder sindical, y por ende la proporción de obreros a favor del control de precios y salarios no es mayor que la proporción de ejecutivos a favor del control. EJERCICIO 22. Un economista al servicio de una agencia estatal desea determinar si la frecuencia de desempleo en las grandes áreas urbanas del estado es diferente. Con base en muestras aleatorias de cada ciudad, cada una de 500 personas, el economista encuentra 35 personas en un área y 25 en la otra. Bajo las suposiciones adecuadas y con nivel de 5% ¿existe alguna razón para creer que las frecuencias de desempleo en las dos áreas son diferentes? SOLUCIÓN Hipótesis: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 122



̂

(̂

Estadígrafo de la prueba: ̂

̂

Donde

̂

( √

√ ̂( (

̂ ) ̂)(

)

(

) )

) (

)(

)

Región critica para * + Dado que , se acepta , es decir, no existe razón alguna para creer que las frecuencias de desempleo en las dos áreas son diferentes. EJERCICIO 24 Un de grandes cantidades de componentes eléctricos adquieren estos principalmente de los proveedores a y b debido a una mejor estructura con precios, el hará negocios únicamente con el proveedor b si la proporción de artículos defectuosos para A y B es la misma.de los grandes lotes el selecciona al azar 150 de A y 120 unidades de B, inspecciona las unidades y encuentra 9 y 9 unidades defectuosas respectivamente. Bajo las suposiciones adecuadas y con base en esta información ¿Existe alguna para no comprar en forma única las componentes del proveedor B? use α=0.02 SOLUCIÓN ̂ ̂ Proporciones muestrales: Proveedores A: ̂ Proveedores B: ̂ Hipótesis:

(̂

Estadígrafo de la prueba: ̂

Donde ̂

̂

( √

√ ̂( (

)

̂ ) ̂)(

(

)

)

) (

)(


) Página 123


Región critica para * + Dado que , se acepta , es decir, no existe razón alguna para no comprar en forma única las componentes del proveedor B. EJERCICIO 25. Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente lucha en televisión, supera en mucho a un segundo grupo de hombres (grupo B) que también ven lucha. Muestras aleatorias simples de los grupos arrojaron los siguientes resultados.

Grupo A: n = 150 Nº hombres: 98 Grupo B: n = 200 Nº hombres: 80 ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la tesis del sociólogo? Solución: Hipótesis: Ho: uA < uB H1: uA > uB pA = 0.65 qA = 0.35 pB = 0.4 qB = 0.6  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 4 4 > 1.96 Se rechaza Ho y se acepta H1 luego se concluye que los datos si tienen evidencia suficiente que apoyan la tesis del sociólogo EJERCICIO 26. Dos grupos de 50 pacientes cada uno, tomaron parte en un experimento en el cual un grupo recibió píldoras que contenían una droga antialérgica, y el otro grupo recibió píldoras que no contienen la droga. En el grupo que recibió la droga, 15 pacientes mostraron síntomas alérgicos, mientras que, en el grupo que recibió la píldora sin droga, hubo 24 con ese síntoma. ¿Es esto evidencia suficiente para concluir que la droga es eficaz para reducir los síntomas? Solución: Hipótesis: Ho: u1 < u2 H1: u1 > u2 P1 = 0.3 P2 = 0.48  = 0.05 Zo = 1.96 Z = -1.894 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la droga no es eficaz para reducir los síntomas.


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EJERCICIO 27. Se va a efectuar una encuesta sobre habitación en San Isidro y en Miraflores, para determinar la proporción de unidades habitacionales ocupadas por familiar de ingresos altos. Una muestra aleatoria de 600 unidades habitacionales en San Isidro reveló 150 unidades ocupadas por familias de ingresos altos. Una muestra de 300 unidades en Miraflores reveló 120 unidades ocupadas por familias de ingresos altos. ¿Existe alguna diferencia entre San Isidro y Miraflores en la proporción de unidades habitacionales ocupadas por familias de ingresos altos? Solución: Hipótesis: Ho: uS = uM H1: uS K uM PS = 0.25 PM = 0.4  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 4.5 Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que si existe una diferencia de unidades habitaciones entre San Isidro y Miraflores

EJERCICIO 28. Una empresa que se especializa en publicidad por correo ideó un cuestionario nuevo que, en su conjunto, va a obtener más respuestas que el cuestionario normal. El nuevo cuestionario se envía a una muestra de 200 posibles encuestados. El número de respuestas es 120. Cuando se utilizó el cuestionario normal con 250 posibles encuestado, contestaron 115. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el nuevo cuestionario es mejor que el usual? Solución: Hipótesis: Ho: uNu < uNo H1: uNu > uNo PNu = 0.6 PNo = 0.46  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 2.95 Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que el nuevo cuestionario será mejor que el usual. EJERCICIO 29. Una institución bancaria contrató los servicios de una compañía de publicidad para averiguar cuál de sus dos modalidades de ahorro A ó B prefiere el público no bancario. En una encuesta se encuentra que 56 de 200 ahorristas encuestados prefieren la modalidad ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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de ahorro A y 29 de 150 ahorristas prefieren la modalidad B. ¿Se puede concluir que la modalidad de ahorro A tiene mayor aceptación que la modalidad B? Use  = 6% Solución: Hipótesis: Ho: uA < uB H1: uA > uB PA = 0.28 PB = 0.19 P (estadígrafo) =(0.28+0.19)/350 = 0.24  = 0.06 Zo = 1.89 Trabajando con el estadígrafo tenemos Z = 1.52 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la modalidad A no tiene mayor aceptación que la modalidad B

EJERCICIO 30. Un grupo de investigadores del Ministerio de Educación afirman que en Lima, la proporción de hombres que recibieron educación primaria es igual al de las mujeres. Para probar su afirmación los investigadores tomaron una muestra de 1722 hombres, de los cuales 411 recibieron educación primaria. En base a esos datos. ¿Se puede decir que los investigadores tenían la razón? Solución: Hipótesis: Ho: uh = um H1: uh K um Ph = 0.24 Pm = 0.25 P (estadígrafo) = 0.244  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 0.667 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que los investigadores tenian la razón EJERCICIO 31. Cierto fabricante pretende que no más del 5% de sus artículos son defectuosos. El jefe de departamento de producción decide ejecutar un proceso de control sobre los artículos fabricados, para lo cual se seleccionan dos muestras aleatorias de 200 artículos cada una con un intervalo intermedio de un mes en los envíos. Y se inspeccionan ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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cuidadosamente los artículos. La muestra del primer surtido contenía 12 artículos defectuosos y la segunda 180 artículos buenos. (Q= 1%) a) ¿Cree usted que la afirmación hecha por el fabricante es verdadera luego de examinar la primera muestra? Hipótesis: Ho: u1 – u2 < 0.05 H1: u1 - u2 > 0.05 P1 = 0.06 P2 = 0.9  = 0.01 Zo = 2.576 Z = -32.962 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la afirmación hecha por el fabricante si es verdadera b) ¿Existieron diferencias significativas en la proporción de artículos defectuosos al comparar los resultados de ambas muestras? Hipótesis: Ho: u1 = u2 H1: u1 K u2 P1 = 0.06 P2 = 0.9  = 0.01 Zo = 2.576 Z = 36 Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que si hay diferencias significativas en ambas proporciones. EJERCICIO 32 En el pasado, el 10% de las solicitudes para cierta caridad, enviadas por correo, dieron como resultado ayuda financiera. Se afirma que debido a la buena situación económica actual, más del 10% de las solicitudes de este año darán como resultado ayuda monetaria. Para probar esta afirmación, se selecciona aleatoriamente a 100 personas y se les hace una solicitud, 15 responden donativos. ¿Puede llegarse a la conclusión de que las personas se han vuelto significativamente mas generosos con ? SOLUCIÓN Hipótesis:



(̂ √


) (

( )

) √

(

)

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* + Región critica para Dado que , se acepta , es decir, no puede concluirse que las personas se han vuelto significativamente más generosas. EJERCICIO 33. Se ha insinuado que los profesores se han vuelto más despreocupados al calificar a sus estudiantes. En el pasado. 80% de todos los estudiantes universitarios de primer año obtenían 14 ó calificaciones superiores. Una encuesta de la clase más reciente de estudiantes universitarios de primer año muestra que 8100 de 10000 estudiantes universitarios de primer año de la muestra recibieron calificaciones de 14 o mayores. ¿Es verdadero de que los profesores de han vuelto más despreocupados? Use   0.01. SOLUCIÓN Hipótesis:


(̂


√

Región critica para Dado que despreocupados.

) (

( )

, se rechaza

) √

(

)

* + , es decir, los profesores se han vuelto mas

EJERCICIO 34. Con el fin de decidir cuál de los productos A ó B se lanzará al mercado, el departamento de marketing de una empresa realiza una promoción con el fin de dar a conocer ambos productos. El jefe de departamento, conoce que la inversión en el producto A es mayor que en la de B y también tiene información que la utilidad de salir el producto A a la venta será mayor que la de B, por lo cual, el jefe de departamento preferiría que sea el producto A que salga al mercado. Para tal fin, establece la siguiente regla: "Si la diferencia entre el porcentaje de ventas potenciales de A y de B derivadas de la promoción hecha es menor o igual a 3%. Entonces el jefe del departamento de marketing, objetará la salida al mercado del producto A". El porcentaje de ventas potenciales de A fue de 74%. Sobre el total de hogares en las que se promocionaron este producto en calidad de prueba, y el porcentaje de ventas potenciales de B. fue de 70%. Se ofrecieron cada producto aproximadamente a 12000 hogares. En base a estos datos, ¿el jefe del departamento de marketing objetará la salida al mercado del producto A? SOLUCIÓN Hipótesis: ( ( Proporciones muestrales:


) )

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Estadígrafo de la prueba: (̂ ̂ )

√

̂ (

(

̂ ) ̂ (

) (

√

̂ )

Región critica para Dado que , se rechaza objetara la salida al mercado del producto A.

)

*

(

)

+ , es decir, el jefe de departamento no

EJERCICIO 35. Un especialista en política de una universidad, cree que la proporción de votantes del área A que va a votar en las próximas elecciones excede en más de 5% a la proporción de votantes del área B que volarán en las mismas elecciones. Con el fin de ver si los hechos corroboran esta hipótesis, el profesor hace una encuesta entre los votantes del área A y del área B, con los siguientes resultados. AREA

TAMAÑO DE MUESTRA

A B

150 160

NUMERO DE PERSONAS QUE VOTARAN EN LAS ELECCIONES 113 104

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para fundamentar la opinión del especialista al nivel de significancia del 5%?

SOLUCIÓN

Hipótesis: (

) )

( Proporciones muestrales: Votantes de área A: ̂ Votantes de área B: ̂ Estadígrafo de la prueba: (̂ √

̂ (

̂ ) ̂ ) ̂ (

( ̂ )

Región critica para Dado que


√

) (

)

(

)

* , no se rechaza

.

+

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