Productos Notables 5q101c

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se tratara una rama muy importante del algebra (Los productos y cocientes notables), se aprenderá a hacer reconocimiento por simple inspección de algunas expresiones algebraicas especiales que se conocen como producto y cociente notable, a tener ciertas nociones de factorización. Existen casos en los que se puede hacer la división o el producto de una expresión algebraica ya está un monomio, un binomio o un polinomio; solo con observarla. Los productos y cocientes notables son los siguientes:

1. El cuadrado de un binomio compuesto por la suma de sus términos.

2. El cuadrado de un binomio compuesto por la diferencia del primer termino menos el segundo. 3. El producto de un binomio compuesto por la suma de sus términos multiplicado por el binomio compuesto por la diferencia del primer término menos el segundo. . 4. El cubo de un binomio compuesto por la suma de sus términos. . 5. El producto de dos binomios constituidos por la suma de sus términos, donde el primer termino de los dos es igual y el segundo es diferente. . 6. El cociente de un binomio donde el primer término esta elevado al cuadrado menos el segundo término que también esta elevado al cuadrado, divido por el binomio constituido por la suma de sus términos.

. 7. El cociente del binomio conformado por la suma de sus términos los cuales están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la suma de sus términos.

8. El cociente del binomio conformado por la diferencia de sus términos los cuales están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la diferencia de del primer término menos el segundo.

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1. FACTORIZACIÓN Factorizar un polinomio: Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales. Caso I - Factor común Factor común polinomio: Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso II - Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Un ejemplo numérico puede ser:

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

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Aplicamos el caso I (Factor común)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

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2. PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A continuación se describen los más importantes.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (X + A )(X + B) Procedimiento: 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos). 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis. 4. El tercer término será el producto de los términos independientes (x+a)(x+b)= x2 + (a+b)x + ab . Escribir por simple inspección, el resultado de:

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3. CUADRADO DE UN BINOMIO El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo del cuadrado del binomio a +b se puede obtener multiplicando término a término:

“El cuadrado de un binomio a +b es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a -b , también multiplicando término a término, se obtiene:

“El cuadrado de un binomio a -b es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Porlo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que:

EJEMPLOS

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8. COCIENTES NOTABLES: Son aquellos que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo. Se caracterizan por ser cocientes exactos. FORMA GENERAL:

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9. CONCLUSIONES Los productos y cocientes notables son como su nombre lo indica, productos y cocientes que deben sobresalir de la generalidad con el propósito de agilizar operaciones, de tal manera se puede afirmar que es una herramienta fundamental para la simplificación y reducción de polinomios, reduciendo su complejidad al igual que los métodos de factorización, los interminables teoremas del algebra, los logaritmos, y tantas otras herramientas matemáticas.

10. SUGERENCIAS Es muy conveniente realizar un abundante entrenamiento con expresiones algebraicas y particularizar el trabajo con polinomios, con los que se debe prestar atención a la multiplicación y a la división, además de las operaciones elementales con polinomios, se deben introducir los productos notables de mayor relevancia y simplicidad. Estos productos deben ser memorizados por los alumnos para que sean capaces de reconocerlos, tanto para utilizarlos como para la simplificación del cálculo, para ello es importante tener conocimientos en cuanto a factorización de polinomios.

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11. BIBLIOGRAFIA 

ALGEBRA A. BALDOR . PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES. PAG. 97-111.

12. WEBGRAFIA     

http://algebra10.blogspot.com/ http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-24.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables http://www.vitutor.net/1/6.html http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/06.%20Productos%2 0Notables.pdf

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