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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Juan Carlos Vega Charris – Alfredo Figueroa Pastrana – Andrés Felipe Seña – Jefferson Salgado – Angie Paola Rodríguez Bolaño Departamento Ingeniería Industrial Universidad de Córdoba, Montería RESUMEN El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección. Como la velocidad, hay aceleración, a esta aceleración se le llama Aceleración Centrípeta o Radial, este tipo de aceleración es también el que permite que un automóvil no derrape a la hora de tomar una curva. 1. TEORIA RELACIONADA En el movimiento circular uniforme (MCU) el móvil describe una trayectoria circular con rapidez constante. Es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales. La unidad de medida en el SI es el radian. Existe una relación matemática sencilla entre los arcos descritos y los ángulos que sustentan: "el ángulo es la relación entre el arco y el radio con que ha sido trazado". Angulo y velocidad angular El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene radianes. La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio

recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático. Posición

El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

Donde s es la longitud del arco de circunferencia Según esta definición:

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes . La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio res en un sistema de referencia cartesiano xy:



1 vuelta = 360° = 2 π radianes



½ vuelta = 180° = π radianes



¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

En donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

Siendo: : es el vector de posición de la partícula. : es el radio de la trayectoria. Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar y comprobando que es nulo. Aceleración La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

De modo que

Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. Por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta. El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad de la partícula, ya que, en virtud de la relación , resulta

Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período:

RESUMEN DE ECUACIONES Las ecuaciones usadas para esta clase de movimiento son: Frecuencia

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

o hertz: Periodo

Velocidad Angular

PERIODO Y FRECUENCIA El periodo representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

ω = velocidad angular en rad/seg. θ = desplazamiento angular en rad. t = tiempo en segundos en que se efectuó el desplazamiento angular. La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa o periodo (T):

Velocidad Tangencial

Pero como

entonces

motor experimental y a la barrera óptica para medir los tiempos, haciendo pasar el disco circular con la cinta unida de manera constante por las 4 barreras ópticas. Una vez hecho esto se procede a tomar los datos de ángulo y tiempo. RESULTADOS

Aceleración Centrípeta

rad θ = 1.57 0.050 0.050 0.049 0.049

T =Seg

2. MATERIALES Placa giratoria con escala angular

T1 T2 T3 T prom

θ = π θ= π 3,14 4,16 0.100 0.127 0.100 0.127 0.100 0.126 0.100 0.126

θ= π 5.29 0.166 0.167 0.166 0.166

4. EVALUACIÓN 4.1 Con los datos tomados construya una gráfica de θ vs t en cada caso.

θ vs t

θ(rad) 6 4

Figura 1 3. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Para el estudio del movimiento circular uniforme, el montaje experimental se hizo como se indica en la figura1; teniendo en cuenta que el disco circular este graduado a 72° 0 1.25Πrad de distancia a cada fibra óptica, unido a este una cinta que pasa por cada fibra. Para tomar los datos de ángulo y tiempo, se unió la placa giratoria al

2 0 0

0.049

0.1

0.126

0.166

t(seg) 4.2 A partir de la gráfica obtenida,

deduzca la relación funcional entre las variables teta y t en los dos movimientos estudiados. Calcule la pendiente de la gráfica anterior. ¿A qué magnitud física corresponde? R/

La

pendiente

es

igual

a

La relación funcional que se puede deducir a partir de las gráficas entre las variables y t es que al ser la rapidez constante a medida que pasa el tiempo el ángulo o la dirección de la partícula aumenta de un modo constante y se puede comprobar que el movimiento presenta proporcionalidad, a medida que pasa el tiempo la partícula va tomando una posición dentro del círculo que forma en su movimiento o trayectoria.

PDT: no se encuentra la velocidad lineal de un punto de la periferia del disco porque no se conoce su radio.

4.4 ¿Cuánto tardara el punto de la periferia y el ubicado a 3 cm del centro del disco en girar 120 grados? Compare los resultados. Recorre la misma distancia cada punto. Calcúlelas. Explique. R/

Por lo tanto la pendiente corresponde a la velocidad angular. Así 0.06

ω = velocidad angular en rad/s. θ = desplazamiento angular en rad. t = tiempo en segundos en que se efectuó el desplazamiento angular. 4.3 Usando los datos calculados en el punto anterior determine la velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro situado a 3cm del centro ¿Que concluye? Explique.

PDT: se encuentra el tiempo en el que tarda en girar el disco 120° sin tener en cuenta un punto la de periferia ya que se desconoce el radio del disco. 4.5 A partir del dato calculado en el punto 2, calcule el periodo (T) y la frecuencia del movimiento R/ El periodo se define como

R/ Velocidad lineal = ω .r Donde

Por tanto

ω = velocidad angular en rad/s r = radio en m (metros) Por lo tanto para el punto ubicado a 3cm del centro su velocidad lineal es (

) (

)

La frecuencia es definida como:

Por tanto

la velocidad tangencial (al igual que la angular) son constantes => A = Ac

4.6 Compare el periodo calculado en el punto anterior con el valor medido en el laboratorio, calcule el error entre ambas medidas

Esta aceleración se conoce como aceleración centrípeta y su magnitud está dada por: = w2.r

Ac =

( R/

(

)

4.8 Calcule el ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento en dos puntos

Al comparar los datos teóricos con el experimentar se pudo llegar a la conclusión que hay un margen de error muy pequeño y los datos son muy parecidos. 4.7 ¿Qué tipo de aceleración tiene este movimiento? Determínela para un punto de su periferia y de otro situado a 3cm del centro ¿Que concluye? Explique R/ El movimiento circular uniforme está compuesta por dos aceleraciones: aceleración centrípeta (va hacia el centro y es la que hace que la trayectoria sea circular) y la aceleración tangencial (es la que varía la velocidad). Ac para aceleración centrípeta. At

)

para

aceleración

Así Para (

)

Para (

) (

)

5. CONCLUSIONES 



tangencial.

En el movimiento circular uniforme, la Ac es distinta de 0 por ser una trayectoria circular, la At es 0 porque

) (



El movimiento circular se caracteriza por un movimiento circular en el que un móvil se desplaza alrededor de un punto central La velocidad no es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido Podemos decir que el movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad es constante, es



decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales. El módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

6. BIBLIOGRAFIA  Física conceptual, Paul G. Hewitt (3ª edición)  Física general, Alvarenga Máximo (4ª edición)  www.altavista.com  www.terra.cl  www.brujula.