Livro O Homem Que Calculava 5v3e58

Secretaria Municipal de Educação Unidade de Ensino: Escola Municipal de Vida Nova Coordenadora Pedagógica – Adriana Melo MATERIAL COMPLEMENTAR - O HOMEM QUE CALCULAVA Você sabe quem foi Malba Tahan? Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan) muito fez para estimular o cultivo da arte de resolver problemas e difundir o amor pela Matemática. 1. Acrescente a terça-parte do número de livros que Malba Tahan escreveu a potência 50. Diminua do número de livros escritos o valor encontrado acima. Você achará com quantos anos Malba Tahan morreu. 2. Em que século Malba Tahan completou cinco anos? 3. Se elevarmos o número que representa o total de livros escritos por Malba Tahan ao expoente zero, que resultado encontraremos? 4. Sabendo que Malba Tahan deu aproximadamente duas mil palestras e, supondo que tenha feito em 3 anos, calcule aproximadamente a quantidade de palestras por dia. 5. Levando em consideração a idade de Malba Tahan ao falecer, dê três exemplos de múltiplos desse número. 6. Malba Tahan foi muito criticado enquanto professor. Naquela época, educação se baseava em cansativas exposições orais. Faça uma comparação entre a educação daquela época e a dos nossos dias, justificando sua resposta. "O homem que calculava" é o livro mais famoso de Malba Tahan. Converteu-se em um clássico da recreação matemática e da literatura juvenil. Foi daí que retiramos o intrigante enigma dos 35 camelos, esperando que nossos leitores, percebendo o engenho e a arte do autor, venham a ler a narrativa integral das aventuras matemáticas de Beremiz Samir. A Matemática do livro “O homem que calculava” O livro “O homem que Calculava”, publicado pela primeira vez em 1937, foi traduzido para doze idiomas e atualmente está na quadragésima sexta edição pela Editora Record. A trajetória de Beremiz Samir, personagem principal do livro, é contada pelo narrador Hank-Tade-Maiá, que, encantado com a enorme facilidade do amigo de trabalhar com números astronômicos, convida-o para que juntos possam seguir viagem pelo deserto, e para que Beremiz possa resolver os mais diversos tipos de problemas do cotidiano das pessoas que encontram, utilizando seus extraordinários saberes de matemática para tornar-se um cidadão próspero e respeitado. O objetivo do livro não é a formalização dos modelos matemáticos que resolvam cada uma das inusitadas situações com que se deparam seus divertidos personagens, embora o autor teça, no final, alguns comentários acerca dos problemas. Este material complementar apresenta a modelagem dos problemas do livro e, seguindo a orientação pedagógica do autor, a resolução desses, utilizando além das fórmulas clássicas, recursos educacionais que tornem agradável as aulas de matemática, encantando o aluno e o educador. A metodologia Mediante a leitura e o entendimento de cada problema do livro froram feitas as modelagens dos problemas, adequando-os aos conteúdos da matriz curricular.. Em alguns casos, sugerimos para as classes iniciais a utilização de material concreto para a resolução e/ou compreensão do problema matemático. A tabela a seguir contém a seleção dos exercícios e citações da obra "O Homem que Calculava", de Malba Tahan, com a indicação da série onde podem ser aplicados e o respectivo conteúdo matemático envolvido na sua resolução.

Problemas e Soluções do livro: O Homem que Calculava Problemas elaborados, baseado no livro "O Homem que Calculava" de Malba Tahan. Com nomes fictícios, como qualquer outro problema matemático. Em seguida a solução, baseando-se nos ensinamentos do livro. O problema dos 60 melões

Contexto: Os dois irmãos Harim e Hamed encarregaram-se de vender no mercado duas partidas de melões. Harim entregou a um dos mercadores 30 melões, que deveriam ser vendidos à razão de 3 por 1 dinar; Hamed entregou, também, 30 melões para os quais estipulou preço mais caro, isto é, à razão de 2 por 1 dinar. Problema: Efetuada a venda, é claro que Harim deveria receber 10 e seu irmão, Hamed, 15 dinares. Mas o mercador juntou todos os melões, de forma a vendê-los de uma só vez, sem se fazer distinção entre os mais caros e os mais baratos. Sendo assim, a pergunta é: Como pagar aos dois irmãos se um deve receber 10 e o outro 15 dinares? Resolução: Como o mercador juntou todos os melões antes de vendê-los, ele acabou misturando as partidas de melões dos irmãos Harim e Hamed. Quando o mercante foi entregar os lucros que obteve aos irmãos, surgiu a dúvida de como fazer a partição correta dos lucros, uma vez que Harim estipulou o preço de 1 dinar por 3 melões e Hamed, 1 dinar por 2 melões. Segue uma ilustração da partida de melões dos dois irmãos:

Separadamente, percebemos que Harim deve receber 10 dinares e Hamed 15 dinares. Mas como o mercador juntou todas as duas partidas, como dividir corretamente os lucros? Quando o mercador decidiu juntar as duas partidas, ele imaginou que, a princípio, não haveria problema algum em juntá-las. Sendo assim, ele decidiu vender 5 melões a dois dinares, 3 melões de Harim mais 2 melões de Hamed, com o preço de Harim mais o preço de Hamed.

Veja que esta soma tem 24 como resultado, e não 25 como era de se esperar. Acabamos de perceber que não é correto o pensamento do mercador. Podemos, sim, juntar as duas partidas de modo a facilitar a venda, mas desde que observemos que o valor de cada uma delas é diferente.

Esta parte da partida pode ser vendida à razão de 5 por 2. Note que a outra parte que sobrou não é vendida assim porque pertence à partida de Hamed, cujo preço estipulou a razão 2 por 1. Efetuando-se a soma mostrada acima, encontramos 25. O problema dos 21 vasos

1ª Opção Como pagamento de um pequeno lote de carneiros, 3 muçulmanos receberam uma partida de vinho, composta de 21 vasos iguais, sendo 7cheios, 7 meio-cheios e 7 vazios. Querem, agora, dividir os 21 vasos de modo que cada um deles receba a mesma quantidade de vinho. Solução: Chamemos 2 a porção de vinho de um vaso cheio e 1 a porção de vinho do vaso meio-cheio. 1º) 2+2+2+1 ou 2+1+1+1+1+1 2º) 2+2+1+1+1 ou 2+2+2+1 3 º) 2+2+1+1+1 ou 2+2+2+1 2ª Opção Contexto: Beremiz e seu amigo Hank chegam a uma hospedaria de nome Sete Penas, onde encontram Salém Nassair que lhes apresenta o problema de três criadores de carneiros. Problema: Como pagamento de um lote de carneiros, receberam em Bagdá uma partida de vinho composta de 21 vasos iguais, sendo: 7 cheios, 7 cheios pela metade e 7 vazios. Como dividir esta partida pelos três de forma que recebam a mesma quantidade de vasos e de vinho? OBS: Repartir os vasos é fácil, 7 para cada um, mas como dividir o vinho sem abrir os vasos?

Chamando de 2 a porção de vinho de um vaso cheio e 1 a porção de vinho de um vaso meio cheio, temos:

Este problema também pode ter a seguinte solução:

Este problema não tem uma única solução e pode ser resolvido de forma ilustrativa, como segue abaixo:

Outra solução: A quantidade de vasos que cada um deve receber está clara, 7 vasos cada um, a quantidade de vinho deve ser de 3,5 porções, mas como podemos obter esta quantidade de vasos e porções de vinho, sem mexer no conteúdo dos vasos? Se chamarmos a quantidade de vinho do vaso cheio de x, do meio-cheio de y, e do vazio de z, temos:

Sabendo que z=0, podemos atribuir valores para c, f e i, de modo que: c+f+i=7

Conforme atribuirmos estes valores, o sistema acima representado mudará, mostrando as várias soluções que podem existir acerca deste problema. Ex. Se adotarmos c = 3, então f = i = 2 e uma vez que temos também este outro sistema:

Desta forma, a + b = 4, d + e = 5 e g + h = 5. Sabendo também que x = 2y, então:

Neste caso podemos concluir que e = h, logo teremos d = g. Se atribuirmos para vaso meio-cheio 0,5, teremos y = 0,5,

Se b = 1, então a = 3, e se e = 3, então h = 3, e d = g = 2. Sabendo que cada equação do sistema equivale ao que cada sócio, respectivamente, deve receber de vinhos, a equação ax + by + cz = 3,5, assumindo 3x + y + 3z = 3,5 mostra que o primeiro sócio deve receber 3 vasos cheios, 1 pela metade e 3 vasos vazios, o que equivale a sete vasos com um total de 3,5 porções de vinho. As equações dx + ey + fz = 3,5 e gx + hy + iz = 3,5, assumindo as duas 2x + 3y + 2z = 3,5 mostram que o segundo e o terceiro sócios devem receber 2 vasos cheios, 3 pela metade e 2 vasos vazios, equivalendo da mesma maneira a um total de 7 vasos com 3,5 porções de vinho cada um. Além desse problema, podemos montar outros problemas deste tipo que podem facilmente ser resolvidos em classe: - Dividir 24 vasos por três pessoas, sendo 5 cheios, 8 vazios e 11 meio-cheios. - Um mercador tem um vaso com 24 litros de vinho. Quer repartir esse vinho por três sócios, em três partes iguais, com 8 litros cada uma. O mercador só dispõe de três vasilhas vazias cujas capacidades são, respectivamente: 13 litros, 11 litros e 5 litros. Usando essas três vasilhas, como poderá dividir o vinho em 3 porções de 8 litros cada uma? O problema das moedas falsas 1ª Opção Suponha-se que temos 10 pilhas de moedas. Uma das pilhas é interamente formada de moedas falsas, mas não sabemos qual é essa pilha. Sabemos apenas que as moedas falsas pesam uma grama a menos que as genuínas. Qual o menor número de pesagens necessárias para determinar a pilha de moedas falsas? Solução: Pode ser descoberta por uma única pesada. Se tomarmos uma moeda da primeira pilha, duas da Segunda, três da terceira, e assim por diante, teremos 54 moedas cujo peso total conhecemos. O número de gramas a menos identificará a pilha falsa. Se, por exemplo, a falta de peso for de sete gramas, a pilha falsa deverá ser a sétima, da qual tomamos sete moedas ( cada uma das quais pesa uma grama a menos do que uma moeda legítima. 2ª Opção O problema da divisão do dinheiro Uma mãe deixa um bilhete preso na geladeira para os seus cinco filhos (Pedro, Luíza, Maria, Marta e Paulo), com o seguinte texto: “ Deixei dinheiro para vocês, meus filhos, em cima da mesa. Repartam igualmente essa quantia, que é aquela que lhes prometi dar”. Pedro chegou em casa, leu o bilhete e, contou o dinheiro e pegou sua parte – R$ 10,00, e saiu. Luíza chegou em casa logo depois, leu o bilhete e, pensando que era a primeira, pegou um quinto do dinheiro que tinha ficado, escreveu outro bilhete para os irmãos dizendo que tinha sido a primeira a pegar o dinheiro e que eles deveriam dividir o restante em partes iguais, e também saiu. Maria e Marta chegaram juntas em casa e só leram o bilhete de Luíza. Daí, concluíram que metade do dinheiro que encontraram pertencia a elas duas, pegaram essa quantia e foram embora. Finalmente, Paulo chegou e achou que todos já tinham tirado a sua parte, pegou o dinheiro e também saiu muito feliz. No dia seguinte, alguns filhos reclamaram com a mãe que o dinheiro deixado por ela não fora o prometido, colocando a pobre senhora bem confusa, sem entender o que realmente havia acontecido. TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA - Pesquisa de preços Fazer uma pesquisa de preços de dois artigos, em lojas de sua preferência, e organizar esses dados na tabela abaixo:

Usando os dados das pesquisas de preços realizadas por vocês, formule problemas, observando:   

Em um mesmo artigo, a diferença de preços entre as lojas pesquisadas; Em uma mesma loja, se havia artigos em promoção, o valor do desconto, em porcentagem; A melhor loja para comprar.

O problema dos 8 pães João deseja pagar Pedro e Marcus que durante uma viagem repartiram com ele 8 pães, sendo que Pedro tinha 5 pães e Marcus tinha 3. Se a divisão foi feita de modo uniforme e cada pão custa 1 moeda. Quantas moedas Pedro e Marcus devem receber? Solução : Ora, é simples!!! Cada pão era repartido em três pedaços. Então Pedro deu 15 pedaços e Marcus deu 9 pedaços, dando um total de 24 pedaços. Como a divisão foi feita de modo uniforme cada um comeu 8 pedaços. Conclusão: Pedro comeu 8 pedaços e deu 7; Marcus comeu 8 pedaços e deu 1. Logo, Pedro deve receber 7 moedas e Marcus apenas uma. O problema das 90 maças Um homem entregou 90 maças para suas 3 filhas dizendo: Aqui estão 90 maças que vocês deverão vender no mercado. Fátima, que é a mais velha, levará 50. Paula levará 30 e Tila, a caçula, será encarregada de vender as 10 restantes. Se Fátima vender as maças a 7 por um real, as outras deverão vender, também pelo mesmo preço; se Fátima fizer a venda das maças a três reais cada uma, será esse o preço que Paula e Tila deverão vender as que levam. O negócio deve fazer-se de tal modo que as três apurem, com a venda das respectivas maças, a mesma quantia. Como fazer as vendas? Solução: Fátima Þ 49 maças por 7 reais e 1 restante por 3 reais Paula Þ 28 maças por 4 reais e 2 restantes por 6 reais Tila Þ 7 maças por 1 real e 3 restantes por 9 reais O problema do joalheiro Um homem que veio da Síria vender jóias em Bagdá prometeu ao dono de uma hospedagem que pagaria 20 dinares pela hospedagem se vendesse as jóias por 100 dinares, pagando 35 se as vendesse por 200 dinares. Mas acabou vendendo tudo por 140 dinares. Quanto deve pagar pela hospedagem então?

Solução: Não se verifica proporcionalidade entre o preço cobrado pela hospedagem e a quantia pela qual as jóias seriam vendidas. Para 100 de venda temos 20 de hospedagem; então, para 200 de venda teríamos 40 de hospedagem e não 35. itida esta última relação de valores, impõe-se, no caso, para o cálculo da hospedagem, sendo a venda de 140, um problema denominado interpolação. Se o acréscimo de 100 na venda traria um aumento de 15 na hospedagem, qual será o aumento da hospedagem para o acréscimo de 40 na venda? 100 – 15 Þ x= 6 1. -- x Se a diferença fosse de 20(1/5 de 100) o aumento da hospedagem seria de 3(1/5 de 15). Para a diferença de 40(dobro de 20), o acréscimo da hospedagem deverá ser de 6 (dobro de 3). Logo, o pagamento correto é de 26 dinares. O Problema das pérolas do Rajá (Adaptado de um conto de Malba Tahan, de “O Homem que Calculava”) Beremiz, pela manhã, recebeu inesperadamente a honrosa visita do Príncipe Cluzir Schá. O príncipe Cluzir, ao chegar, com seu porte altamente senhoril, saudou o calculista com amistoso salã e disse-lhe: - O pior sábio é aquele que freqüenta os ricos; o maior dos ricos é o que freqüenta os sábios! - Bem sei, senhor – respondeu Beremiz – que as vossas palavras inspira–as o mais arraigado sentimento de bondade. A pequena e insignificante parcela de ciência que consegui adquirir desaparece diante da infinita generosidade de vosso coração. - A minha visita, ó calculista – atalhou o príncipe – é ditada pela curiosidade em conhecer um complicado problema, que vem dos meus gloriosos anteados. Refiro-me ao chamado problema das pérolas do rajá. Beremiz, para atender à curiosidade do marajá, tomou da palavra e, no seu falar lento e seguro, disse: - Um rajá deixou para suas filhas 36 pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: A filha mais velha tiraria uma pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si duas pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia três pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente, até a última filha. As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que, por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas. O juiz, que era hábil na resolução de problemas, respondeu prontamente que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita. Como, quando e onde você pode encontrar situações em que haja necessidade de usar fração? Consiga esse material através de: jogos e/ou brincadeiras que você mais goste; afazeres diários seus ou de seus familiares (compras, ida ao banco, etc.); coisas que você conheça da profissão de seus pais ou parentes; sugestões de pais, parentes e amigos em conversa com eles; recorte de jornais, revistas, propaganda, etc. Cada aluno irá explicar onde viu a fração e como.

A IDEIA DE FRAÇÃO - NOTÍCIAS ANTIGAS A RESPEITO DE FRAÇÕES As notícias mais antigas a respeito de frações vêm do Egito Antigo. As terras que margeavam o Rio Nilo eram divididas entre os grupos familiares, em troca de pagamento de tributos ao Estado. Como o Rio Nilo sofria inundações periódicas, as terras tinham de ser sempre medidas e remarcadas, já que o tributo era pago proporcionalmente à área a ser cultivada. PARA QUE SERVEM AS FRAÇÕES? Os números fracionários surgiram da necessidade de representar uma medida que não tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da necessidade de se repartir a unidade de medida. Os Egípcios conheciam as frações de numerador 1 e esta era a forma que eles usavam para representá-las. As frações têm servido de inspiração para muitos problemas que são verdadeiros quebracabeças para os alunos e, às vezes, para os professores também. A maioria desses problemas apenas prejudica o aprendizado das crianças, causando confusão e frustração. No entanto, há também problemas criados com tanta engenhosidade que se tornam encantadores e surpreendentes. Esses podem ser apreciados por alunos mais velhos, provavelmente após o 7° ano. Vamos apresentar um desses problemas. Ele tem uma história e esta tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se a na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do século X. .

Problema da herança – 35 camelos (frações) Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança: – Não pode ser! – Isto é um roubo! – Não aceito! O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava: - Somos irmãos e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma Terça parte e ao Harim deve tocar apenas a nona parte. Mas não sabemos como dividir os camelos entre nós porque as divisões de 35 por 2, 3 e 9 não são exatas. – É muito simples – atalhou o Homem que Calculava – Farei esta divisão com justiça, se me permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança, este belo animal que, em boa hora, nos trouxe aqui! Neste ponto, precisei intervir na questão: - Não posso consentir nessa loucura! Como poderíamos concluir a viagem, sem nosso único camelo? - Não te preocupes com o resultado, ó bagdali! - falou-me em voz baixa Beremiz. Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás o resultado. Tal foi a segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu camelo. – Vou, meus amigos – disse ele, dirigindo-se aos três irmãos – fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, um total de 36. E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, falou: - Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, dezessete e meio. Receberás a metade de 36, isto é, 18. Nada tens a reclamar! E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou: - E tu, deverias receber um terço de 35, isto é, onze e pouco. Vais receber um terço de 36, portanto, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste lucrando. E disse, por fim, ao mais moço: - E tu, jovem Harim, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35, isto é, três e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. Só tens a agradecer-me pelo resultado! E concluiu: - Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos, e como ainda sobram dois camelos, um pertence, como sabem, ao bagdali, outro toca por direito a mim, por ter resolvido a contento, o complicado problema da herança! - Sois inteligente – exclamou o irmão mais velho – Aceitamos vossa partilha na certeza que foi feita com justiça e equidade. E Beremiz tomou logo posse de um dos mais belos camelos do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia: - Poderás agora continuar a viagem no teu camelo! Tenho outro, especialmente para mim! E continuamos nossa jornada para Bagdá. Solução: O total de 35 camelos, de acordo com o enunciado da história, deve ser repartido, pelos três herdeiros, do seguinte modo:  O mais velho deveria receber a metade da herança, isto é, 17 camelos e meio.  O segundo deveria receber um terço da herança, isto é, 11 camelos e dois terços.  O terceiro, mais moço, deveria receber um nono da herança, isto é, 3 camelos e oito nonos. Feita a partilha, de acordo com as determinações do testador, haveria uma sobra. 17 e 1/2 + 11 e 2/3 + 3 e 8/9 = 33 e 1/18 Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo! O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e

de camelo!

de camelo!

Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs: - Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe. Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:

. o mais velho recebe:

de 36 = 18

. o irmão do meio recebe: . o caçula recebe:

de 36 = 12

de 36 = 4

Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando. Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo? Ouçamos de novo nosso matemático: - O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança. Veja, colega, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"? Antes de prosseguir a leitura, pense um pouco, releia a história, tente decifrar o mistério. Agora, vamos à explicação. Ela é mais simples do que parece. Basta examinar a situação sob outro ponto de vista. Consideremos como unidade (ou total) o conjunto dos camelos que seriam divididos e vejamos se a soma das frações determinadas pelo pai equivale a 1:

Conclusão: a herança estava mal dividida. Vejamos quantos camelos estavam incluídos na partilha inicial.

Chegamos à conclusão de que, na partilha inicial estavam incluídos somente 33 camelos e

de camelo.

Quantos camelos sobravam? Façamos a subtração:

Portanto, sobravam quase 2 camelos, ou seja,

.

É natural, então, que fosse possível dar um pouco mais a cada irmão e ainda restasse 1 camelo para pagar o hábil Beremiz. Conclusão: feita a partilha, de acordo com o testador, ainda haveria uma sobra de 1 e 17/18. Beremiz, com o artifício empregado, distribuiu os 17/18 pelos três herdeiros (aumentando a parte de cada um) e ficou com a parte inteira da fração excedente. Os problemas com frações a seguir foram elaborados ou selecionados a partir de livros didáticos  João e seus amigos foram à pizzaria. Eram 12 pessoas. Resolveram pedir 3 pizzas para cada duas pessoas. Quantas pizzas foram pedidas?

Estes são os preços de uma padaria:

Durante o dia foram vendidos a padaria por essas vendas?

kg de presunto,

kg de queijo,

kg de salame e

kg de peito de peru. Quanto recebeu

Um copo contém exatamente

Sabemos que

a)

de litro de leite. Para encher 12 desses copos, que quantidade de leite você usará?

do tanque de um certo carro contém 75 litros. Quantos litros há em:

do tanque?

b)

do tanque?

c)

do tanque?

d) No tanque cheio? Hoje, na aula de música faltaram Pedro, Teresa, Luíza, Maria e Felipe. Se eles representam

da turma, quantos alunos

estavam na sala? Qual é o salário de Flávio? Com metade do seu salário, Flávio compraria uma bicicleta por R$ 930,26 e ainda sobrariam R$ 170, 61. Uma turma de 6° ano tem 35 alunos. Eles devem ser divididos em grupos de 7 alunos. a) Quantos grupos serão formados? b) Cada grupo corresponde a que fração da turma? c) Quantos alunos têm do total?

Mara separou

de uma quantia e comprou dois cadernos iguais. O preço de cada caderno corresponde a que fração da

quantia total? Uma indústria de refrigerantes produziu, em certo dia 2 400 litros de guaraná. Calcule quantas embalagens serão necessárias para guardar toda a produção, considerando as seguintes capacidades: a) garrafas de 2 litros b) garrafas de 2,5 l c) garrafas de d) garrafas de e) garrafas de 500 ml

Recreações Matemáticas Sua importância didática: muitos matemáticos de alto renome na história tiveram a atenção vivamente voltada para o estudo das recreações e curiosidades matemáticas. Por exemplo: - Leonard Euler (1707-1783), matemático, físico e astrônomo. Interessou-se pelos quadrados mágicos e estudou métodos para sua construção. - Pierre de Fermat (1601-1665), francês, jurista. Cultivou as curiosidades aritméticas e os problemas pitorescos. Malba Tahan afirma em seu livro Didática da Matemática, que uma "anedota histórica, uma curiosidade geométrica, uma disposição numérica imprevista – citadas em momento oportuno pelo professor de matemática – tornam o ensino gracioso e leve; atraem, para a ciência, a simpatia do estudante". EXEMPLOS

- Produtos curiosos. Finalidade Didática: despertar o interesse dos alunos para o cálculo numérico (de 5ª a 8ª séries) - Números e expressões palíndromas. Finalidade Didática: relacionar o ensino da matemática com o ensino da linguagem. Esta curiosidade é indicada para a 8ª série. - Número por extenso. Finalidade Didática: chamar a atenção dos alunos para a grafia de certos números (escritos por extenso). Despertar, nos alunos, interesse por questões da linguagem diretamente relacionadas com a matemática. Para uma turma adiantada, da 8ª série, ou para qualquer outra do ensino médio. ATIVIDADES SUGERIDAS Vamos supor que os números inteiros, desde o zero até o mil, foram escritos por extenso, a saber: Zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze, doze, treze, quatorze, e assim por diante, até mil. Façamos, em relação a esses números inteiros, escritos assim por extenso, algumas perguntas curiosas, que podem ser facilmente respondidas. Preste bem atenção: 1 – Qual é o número, entre zero e mil, que se escreve com o menor número de letras? R: O número, entre zero e mil, que se escreve com o menor número de letras, é o número um, que exige apenas duas letras. O dez, o cem e o mil são escritos com três letras. 2 – Qual é o número, entre zero e mil, que se escreve com o maior número de letras? R: O número inteiro, entre zero e mil, que exige maior número de letras, é o número quatrocentos e cinqüenta e quatro. Esse número é escrito com 29 letras. Em relação ao número de letras o quatrocentos e cinqüenta e quatro é o maior na sucessão de zero a mil. 3 – Na sucessão, de zero a mil, há vários números escritos com oito letras. Quais são esses números? R: Os números inteiros, da sucessão de zero a mil, que, escritos por extenso, exigem oito letras, são: quatorze, dezenove, vinte e um, quarenta, sessenta, setenta, cento e um, e duzentos. 4 – Qual é o número que exprime o seu próprio número de letras? R: Na sucessão dos inteiros só há um número que exprime o seu próprio número de letras: é o cinco. A palavra cinco tem cinco letras. 5 – Qual é o maior número (na sucessão de zero a mil) que se escreve com quatro letras? R: É o número doze. Esse é, aliás, o maior número que se escreve com quatro letras. 6 – Vamos supor os números inteiros, de zero a mil, escritos por extenso e em ordem alfabética. Pergunta-se: Quais são os três primeiros? Quais são os três últimos? R: Supondo que todos os números inteiros, de zero até mil, foram escritos por extenso, e em ordem alfabética, os três primeiros serão: cem, cento e cinco, e cento e cinqüenta. E os três últimos: vinte e três, vinte e um, e zero. O zero será sempre o último, em ordem alfabética.