Limites, Conceptos Y Caracteristicas 123664

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE ISTRACIÓN DE EMPRESAS ESCUELA: INGENIERÍA EN GESTIÓN DE TRANSPORTE CARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN DE TRANSPORTE

TEMA: LÍMITES Y SUS CONCEPTOS, CARACTERÍSTICAS, PROPIEDADES Y LAS CLASES DE INDETERMINACIONES ANÁLISIS MATEMÁTICO NOMBRE: SANTIAGO ISRAEL PEÑAFIEL VILLA CÓDIGO: 563 SEMESTRE: SEGUNDO “3” NOMBRE DEL DOCENTE: ING. PATRICIO VILLAGOMEZ PERIÓDO ACADÉMICO: ABRIL – AGOSTO 2016

LIMITES Límite matemático En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Límite de una función La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a. Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), Límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza

para definir los

conceptos

fundamentales

de

convergencia,

continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio elucídelo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim (an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

lim f ( x ) =L x→ c

f ( x ) → Función L → Resultado C → Número Real lim √ x 4 −1=√ 24−1=√ 16−1=√15 x→ 2

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

 SUMA lim [ f ( x )+ g (x) ] = lim f ( x ) + lim g(x )

x →C

x →C

x→ C

L+ N

 RESTA lim [ f ( x )−g( x ) ]=lim f ( x )−lim g( x )

x →C

x→C

x→ C

L-N  MULTIPLICACIÓN

lim [ f ( x ) ∙ g(x) ]=lim f ( x ) ∙ lim g (x)

x →C

x →C

x →C

(L)(N)  DIVISIÓN lim

x →C

lim f (x) f (x) x→ C = g(x ) lim g(x ) x →C

L N

 EXPONENTE lim [ f ( x ) ]

x →C

g (x)

[

= lim f (x ) x →C

]

lim g( x) x→C

INDETERMINACIONES o ∞ ; ; ∞−∞ o ∞

C 0 C ∞ =∞ ; =0 ; =0; =∞ ; 0.C=0; C ±0=C 0 C ∞ C

LIMITES

INFINITOS

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito: Variables que

tienden al infinito

Cuando una variable tienda a infinito, supongamos x, utilizaremos el símbolo del infinito de esta manera. Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en magnitud Analíticamente diremos que, fijado cierto número real R, x lo superará en valor absoluto, cualquiera sea el R tomado.

.Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito». 1. Si es x>0, diremos que x tiende a más infinito o al infinito «positivo». Lo denotaremos así, 2. Si

significa que x tiende a menos infinito.

Resulta de especial interés el comportamiento de ciertas funciones en el infinito. Cuando estos límites existen, y son números reales, podemos construir la ecuación de las asíntotas horizontales u oblicuas de la función. Definiremos entonces el límite de una función, cuando la variable independiente tiende a infinito, para cualquier signo.

Si sólo se toma uno de los casos, basta añadir la restricción correspondiente. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de , consideraremos la definición anterior con la salvedad de que x<0 . CÁLCULO DE LÍMITES Los conceptos definidos permiten introducir herramientas para el cálculo de límites. A partir de las definiciones pueden demostrarse propiedades algebraicas, listadas en detalle a continuación. PROPIEDADES GENERALES

Si f(x) y g(x) son y k es un escalar, siguientes

funciones de variable real entonces, se cumplen las propiedades:

INDETERMINACIONES Las propiedades generales permiten, junto con la definición, calcular límites indeterminados mediante transformaciones algebraicas. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las que se muestran en la tabla siguiente. Considerar ∞ como el límite que tiende a infinito y 0; 1 al límite de una función que tiende a 0 o 1,

respectivamente.

LIMITES TRIGONOMETRICOS

EJERCICIOS lim

x→ 2

x 2−4 4−4 0 = = x−2 2−2 0

(x +2)(x−2) lim ( x +2 )=2+2=4 ( x−2) x→ 2 x→ 2

lim

2

lim

x −16 16−16 0 =lim = √ x−2 x→ 4 2−2 0

lim

x 2−16 √ x +2 (x−4)( x +4 )( √ x +2) . = x−4 √ x−2 √ x +2

x→4

x→4

¿ ( x+ 4 ) ( √ x+ 2 )=4+ 4 ( √ 4+ 2 )=8 ( 4 )=32

LIMITES QUE TIENDEN AL INFINITO ∞

x 2+ x ∞ lim = 2 ∞ x → ∞ 3 x +1 2

x x 1 1 + 2 1+ 1+ 2 x x x ∞ 1 lim = = = 2 x→∞ 3 x 1 3+ 1 3+ 1 3 + 2 2 2 2 x ∞ x x

lim

x→∞

4

x 4 −2 x2 +5 2 x 4 + x−1 2

x 2x 5 2 5 2 5 − 4 + 4 1− 2 + 4 1− + 4 x x x x x ∞ ∞ 1 = =¿ = 4 1 1 2 2x x 1 2+ 1 − 1 2+ − + 4− 4 3 4 4 ∞ ∞ x x x x x lim ¿ x→ ∞

lim

x→∞

x 3−2 x x−1

x3 2 x 2 2 − 3 1− 2 1− 3 x x x ∞ 1 lim = = = =∞ x 1 1 1 1 1 0 x→∞ − − − x 3 x3 x 2 x3 ∞ ∞

LÍMITE TRIGÓNOMETRICO lim

x→ 0

lim

x→ 0

sin x =1 x

4 sen 4 x 4x

lim 4=4 x→ 0

lim

x→ 0

1−cosx x2 2 sen 2

lim

x→ 0

lim

x→ 0

x2

x 2

x x 2 sen sen 2 2 1 =lim = 2 x→ 0 x x 2 2 2 2

()()

tgx x

senx cosx senx 1 1 lim = = = =1 x xcosx cosx cos ⁡( 0) x→ 0

lim

x→ 0

( x 3−x 2 ) ctgx ( 1−cosx ) 2

2

lim x→ 0

¿

( x2 ) x ( x−1 ) cosx = 2 ( x −1 ) cosx

x ( x−1 ) cosx = x x 2 x 2 sen senx 2 sen sen senx 2 2 2

2 sen

x 2

( 0−1 ) cos ⁡( 0) −1 = =∞ 0 0 sen 2

LIMITE ALGEBRÁICO 1

lim [ f (x) ]

lim ( 1+ x ) x =e

x→ 0

x→ 0

x→ 0

lim

x→ 0

2+ x x

lim [ f ( x ) ] g( x)

1 x =e x

( )

lim 1+

( )

x→ 0

x

x 2 x 2 x ∙ 2 lim 2 + =¿ 1+ 2 =e =e 2 x x x lim ¿

( ) ( ) x→ 0

g(x )

x→ 0