Legile Lui Kirchhoff W 2a3h31

LEGILE LUI KIRCHHOFF PROIECT REALIZAT DE: JIDVIAN RALUCA ILE DAVID

PROFESOR COORDONATOR: ANCA NICU

1

GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF

Gustav Robert Kirchhoff (n. 12 martie 1824 , Konisberg, azi Kaliningrad — d. 17 octombrie 1887,Berlin) a fost un fizician german multilateral. Gustav Robert Kirchhoff a descoperit legile care îi poartă numele în domeniul circuitelor electrice legate de curentul , tensiune electrică și rezistența electrică . A descoperit (împreună cu Robert Wilhelm Bunsen ) elementele chimice cesiu (1860) și rubidiu (1861). A activat și ca electrotehnician și astronom . A analizat fenomenele de radiație termică și a formulat legi fizice importante din acest domeniu.

Teoremele lui Kirchhoff Se vor prezenta teoremele lui Kirchhoff utilizate în calculul circuitelor de curent continuu.. Prima teorema a lui Kirchhoff. Este o consecintã a legii de conservare a sarcinii electrice în regim stationar si cvazistationar. De exemplu, pentru nodul din figura 2.27, teorema se scrie, pãstrând aceeasi regulã pentru semne (cu + se scriu curentii care intrã în nod si cu - cei care ies);

În general, pentru un nod oarecare suma algebricã a curentilor dintr-un nod este egalã cu zero: .

(2.74)

A doua teoremã a lui Kirchhoff. Se exprimã tensiunea electromotoare în lungul conturului închis format din laturile unei bucle oarecare:

în care s-a notat cu suma tensiunii electromotoare din lungul buclei. Conform legii lui Ohm, aceeasi tensiune electromotoare se poate exprima sub forma: , 2

în care s-a notat cu strãbate.

suma algebricã a produselor prin intensitatea curentului care le

Egalând cele douã expresii, rezult 18118t1920s ã: ,

(2.75)

adicã: de-a lungul oricãrui ochi (bucle) suma algebricã a tensiunii electromotoare este egalã cu suma algebricã a cãderilor de tensiune, algând un sens de referintã în ochi. Un exemplu de aplicare a teoremei este dat în figura 2.28, în care sensul de referintã în lungul buclei este comun: . Prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff se pot obtine (N-1) ecuatii independente, pentru (N-1) noduri.

Fig. 2.27

Fig. 2.28

Din a doua teoremã a lui Kirchhoff, se pot obtine B ecuatii independente, corespunzãtoare buclelor care nu se suprapun. Se obtine un sistem de L ecuatii independente conform (2.73). Acest sistem de ecuatii permite, de exemplu, calculul curentilor celor L laturi în functie de tensiunea electromotoare si rezistentele circuitului. Calculul acestor curenti se face astfel: -

se alege un sens arbitrar pentru curenti;

3

-

se aleg cele (N-1) noduri si cele B bucle care nu se suprapun;

-

se aleg sensuri arbitrare de referintã (de parcurgere) a buclelor;

-

se scrie si se rezolvã sistemul de ecuatii obþinut din teoremele lui Kirchhoff;

-

dacã intensitãtile curentilor obtinute din rezolvarea ecuatiilor au semnul pozitiv, sensul real al curentilor respectivi coincide cu sensul de referintã; curentii cu intensitatea negativã au un sens real invers sensului de referintã.

Aplicatie Sã se afle curentii din laturile circuitului reprezentat în fig. 2.29, în care:

Circuitul are 5 noduri, (N=5), 4 bucle independente (care nu se suprapun) (B=4) si 8 laturi (L=8). Se verificã L=B+N-1. Se scriu teoremele lui Kirchhoff: Nod A: I1 + I7 - I4 = 0 Nod B: I7 - I8 + I5 -I6 = 0 Nod C: I1 + I2 + I8 = 0 Nod D: I2 + I3 + I5 = 0 Bucla I: Bucla II: Bucla III: Bucla IV:

4

Fig. 2.29 Ecuatia datã de teorema întâi a lui Kirchhoff pentru nodul E, precum si alte ecuatii date de teorema a doua pentru alte bucle (care se suprapun) nu sunt independente; ele reprezintã consecinte ale celor L ecuatii scrise mai sus. Se rezolvã sistemul si se obtin solutiile:

Sensurile reale ale curenþilor I5 si I8 sunt inverse, iar sursa de tensiune U5 lucreazã în regim de receptor. 2.4.3. Bilantul puterilor într-un circuit de curent continuu Conform teoremei (legii) de conservare a energiei, într-un circuit de curent continuu energia, respectiv puterea datã de surse receptoare

, este egalã cu puterea primitã de

: .

(2.76)

Teorema conservãrii puterilor (2.76) se utilizeazã ca o verificare a rezolvãrii corecte a circuitelor. 5

Aplicatie Sã se verifice bilantul puterilor pentru circuitul din fig. 2.29.

Deci, bilantul puterilor este verificat

2.4.4. Legarea rezistoarelor în serie si în paralel Dacã mai multe rezistoare sunt legate în serie, ele pot fi înlocuite cu un rezistor echivalent a cãrei rezistentã are o valoare egalã cu suma rezistentelor partiale (fig. 2.30). rezistoarele fiind parcurse de acelasi curent, rezultã: sau . În general: (2.77) unde R este rezistenta echivalentã a grupului de rezistoare legate în serie. La legarea în paralel a mai multor rezistoare (fig. 2.31) curentii din laturi sunt

6

Fig. 2.30 Fig. 2.31 Aplicând teorema I a lui Kirchhoff în nodul A, se obtine

. Rezultã

sau, în general

(2.78) unde R este rezistenþa echivalentã a grupului de rezistoare legate în paralel. Pentru douã rezistoare legate în paralel

(2.79) iar dacã existã n rezistoare identice ( echivalentã este.

), atunci rezistenþa

. 2.4.5. Transfigurarea rezistoarelor din triunghi în stea si din stea în triunghi

7

Dacã este necesar sã se înlocuiascã un grup de trei rezistoare legate în triunghi (fig. 2.32) cu un alt grup de trei rezistoare legate în stea (fig. 2.33), atunci, se impune conditia ca potenialele punctelor 1,2,3 sã rãmânã aceleasi (ca valoare) si dupã transfigurare. De asemenea, curentii I1, I2, I3 trebuie sã-si mentinã valorile neschimbate dupã transfigurare. Fig. 2.32

Fig. 2.33

Implicit, rezistentele echivalente dintre douã borne trebuie sã fie egale atât în cazul legãrii în triunghi, cât si în cazul legãrii în stea. Rezultã:

8

(2.80) Pentru transfigurarea din triunghi în stea, se rezolvã sistemul de ecuatii (2.80) în raport cu R10, R20, R30:

(2.81) Pentru transfigurarea din stea în triunghi, se rezolvã sistemul de ecuatii (2.80) în raport cu R12, R23, R31:

(2.82) 2.4.6. Transportul energiei electrice în curent continuu. Transferul maxim de putere Pentru transportul energiei electrice în curent continuu se foloseste o retea cu douã conductoare (unul de ducere al curentului si altul de întoarcere). Lungimea liniei electrice este l, sectiunea conductorului este S, iar rezistivitatea acestuia este . Sursa de tensiune (generatorul) are tensiunea electromotoare constantã ºi egalã cu U, rezistenþa interioarã este r0, iar consumatorul (receptorul) are rezistenþa R (fig. 2.34).

9

Fig. 2.34 Rezistenþa ambelor conductoare este

.

(2.83)

Curentul din receptor (curentul din linie) este

. Practic

(2.84)

. Se utilizeazã notaþia .

Alte mãrimi electrice ale reþelei sunt -

tensiunea la bornele receptorului

, -

(2.85)

cãderea de tensiune pe conductoare

; -

(2.86)

puterea consumatã de receptor

; -

(2.87)

puterea debitatã de generator 10

; -

(2.88)

randamentul liniei

(2.89) sau, þinând seama de pierderea de putere

,

.

(2.90)

Transferul maxim de putere. Dacã relaþia (2.87) se considerã o funcþie de R, atunci funcþia P(R) are un maxim pentru derivata

,

(2.91)

de unde rezultã condiþia de maxim .

(2.92)

În cazul transferului maxim de putere, mãrimile electrice ale reþelei sunt:

11

Fig. 2.35 În figura 2.35 sunt prezentate curbele de variaþie ale unor mãrimi electrice specifice reþelei de curent continuu, în funcþie de R. Transferul maxim de putere este utilizat în electrocomunicaþii, unde se urmãreºte transferul unei puteri maxime la receptor, chiar la randament scãzut. 2.4.7. Legarea surselor de curent continuu Legarea în serie. Când se cere o tensiune electromotoare totalã relativ mare, elementele se monteazã în serie (fig. 2.36) :

.

Fig. 2.36

12

Dacã R este rezistenþa circuitului exterior, r - suma rezistenþelor interioare ( ), valoarea curentului este:

iar tensiunea receptorului: . Elementele legate în serie au în mod obiºnuit aceeaºi tensiune electromotoare U0, aceeaºi rezistenþã interioarã r ºi acelaºi curent nominal de descãrcare. În cazul legãrii în serie a n elemente, tensiunea electromotoare totalã este nU0, iar rezistenþa interioarã nr. Curentul debitat pe rezistenþa exterioarã R devine

, iar diferenþa de potenþiale la bornele receptorului

.

(2.93)

Legarea în paralel. Când se cere un curent i în receptor, mai mare decât curentul I0 din sursele de tensiune, atunci elementele se monteazã în paralel (fig. 2.37). Legarea în paralel se poate face numai cu elemente având aceleaºi tensiuni electromotoare ºi aceleaºi rezistenþe interioare; altfel, între diferitele elemente se produc curenþi locali de circulaþie (curenþi de egalizare), care produc pierderi inutile de energie, chiar atunci când circuitul exterior al grupului este întrerupt. Dacã elementele sunt identice, tensiunea electromotoare a grupului este egalã cu tensiunea electromotoare a fiecãrui element, iar rezistenþa interioarã a grupului este egalã cu r/n, r fiind rezistenþa interioarã a unui element ºi n - numãrul elementelor în paralel. Când grupul debiteazã pe o rezistenþã exterioarã R, curentul total este ;

.

(2.94) 13

Diferenþa de potenþial la bornele receptorului este

.

(2.95)

Legarea în serie - paralel. Când se cere o tensiune electromotoare totalã ridicatã, cât ºi un curent total mai mare decât al unei singure surse, se utilizeazã montajul mixt sau serie - paralel (fig. 2.38). Dacã m este numãrul de elemente legate în serie ºi p numãrul seriilor de elemente legate în paralel, curentul total este:

, (2.96)

14

Fig. 2.37

Fig. 2.38

iar tensiunea la bornele receptorului este:

.

(2.97)

2.5. Metode de rezolvare a circuitelor de curent continuu Aceste metode se bazeazã pe teoremele lui Kirchhoff (care le pot înlocui) ºi realizeazã doar artificii ºi sistematizãri care simplificã calculul, prin introducerea unor necunoscute auxiliare sau prin realizarea unui calcul din aproape în aproape, care nu necesitã gruparea ecuaþiilor în sisteme cu un numãr mare de necunoscute (aºa cum se întâmplã la ecuaþiile lui Kirchhoff ). Pe lângã aceste metode, se pot enunþa o serie de teoreme, care rezolvã probleme particulare. A rezolva un circuit electric de curent continuu înseamnã a determina curenþii din laturi ºi a efectua (ºi a verifica) bilanþul puterilor. 2.5.1. Metoda curentilor de contur (Metoda curenþilor ciclici) Se folosesc B necunoscute auxiliare, curenþi fictivi, numiþi "de contur", asociaþi câte unul pentru fiecare buclã. Curenþii de contur, se închid în buclele care nu se suprapun, fiecare parcurgând toate laturile buclei respective, îndeplinind condiþia ca suma lor algebricã în fiecare laturã, sã fie egalã cu curentul laturii respective. Se observã cã prin exprimarea curenþilor din laturi în funcþie de curenþii de contur se satisface prima teoremã a lui Kirchhoff . În ecuaþiile date de teorema a doua a lui Kirchhoff, se înlocuiesc curenþii din laturi cu curenþii de contur (curentul dintr-o laturã reprezintã suma algebricã a curenþilor de contur respectivi) ºi se obþine un sistem cu B ecuaþii de forma:

(2.98) Metoda curenþilor de contur constã în scrierea ecuaþiilor curenþilor de contur, în rezolvarea acestui sistem de ecuaþii ºi în calculul curenþilor din laturi în funcþie de curenþii de contur, astfel: 15

-

se aleg curenþii de contur ºi sensurile lor de referinþã (care coincid cu sensurile de parcurgere ale buclelor respective): Ic1, Ic2,.IcB;

-

se formeazã sistemul de ecuaþii în care: Rkk este rezistenþa proprie a buclei k (suma rezistenþelor buclei): Rkv este rezistenþa comunã între bucla k ºi v; dacã sensurile pozitive ale curenþilor ciclici Ick ºi Icv coincid în ramura comunã, Rkv are semnul plus, în caz contrar are semnul minus. Uck este suma tensiunilor electromotoare din bucla k exprimatã faþã de sensul de referinþã al curentului de contur (Ick) al buclei respective;

-

se rezolvã sistemul de ecuaþii (2.98) pentru curentul Ick;

-

se suprapun în fiecare laturã curenþii de contur pentru a obþine curentul laturii respective.

Aplicatie. Sã se rezolve prin metoda curenþilor ciclici reþeaua din figura 2.39, în care

Fig. 2.39 Se formeazã sistemul 16

care are soluþiile:

Curenþii din laturi au valorile

Dacã unul sau mai mulþi curenþi din laturi ar fi avut valori negative, sensul real din laturi ar fi fost invers pentru aceºti curenþi. Se verificã bilanþul puterilor

2.5.2. Metoda superpoziþiei Curentul dintr-o laturã oarecare a unui circuit liniar este egal cu suma algebricã a curenþilor ce i-ar stabili în aceastã laturã fiecare tensiune electromotoare, dacã celelalte tensiuni electromotoare ar fi nule (teorema superpoziþiei). Teorema este o consecinþã a liniaritãþii ecuaþiilor circuitelor cu rezistenþe constante, independente de curenþi sau tensiune. Curentul

din latura j se calculeazã cu relaþia: ,

(2.99)

17

în care este conductanþa de transfer între latura k ºi latura j, iar este curentul din latura j produs de tensiunea electromotoare UK, celelalte tensiuni electromotoare fiind nule. Practic, se calculeazã pe rând curenþii stabiliþi în laturi, sub acþiunea câte unei singure tensiuni electromotoare (se considerã anulate celelalte tensiuni electromotoare, dar se menþin nemodificate rezistenþele interne ale surselor), ºi apoi se suprapun curenþii pentru a gãsi în fiecare laturã curentul rezultant.

Aplicatie Sã se rezolve prin metoda superpoziþiei circuitului din fig. 2.40, în care: U1=60 V, U2=40 V, R1=10 , R2=5 , R3=15 , R4=2 , R5=4 , R6=8 . 1. Se mentine în circuit numai efectul sursei U1 care debiteazã curentul

Fig. 2.40 Se calculeazã tensiunea între punctele A, D (datã de sursa de tensiune U1) :

18

Rezultã curentii

Din (2.99) se pot calcula conductanþele de transfer:

ºi

.

Se determinã tensiunea între B, C:

. Rezultã curenþii

ºi

.

Se pot calcula conductanþele de transfer între latura 1 ºi latura 2:

si respectiv, între latura 1 si latura 5:

. Prin înlocuiri din aproape în aproape, se obtin conductantele de transfer:

19

20