Informe De Laboratorio Fisica-uni 1l68e

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

FISICA I CB 302 - U Asesores: Borja Rosales R. Tafur Anzualdo G.

INFORME Medición

Presentado por: Carranza meneses Fernando Amanqui Punil Stiven Ayala Romero Jhon

Lima, 25 de Abril del 2007

LABORATORIO Nº01: MEDICIÓN

Este primer laboratorio del curso de Física I, está abocado al estudio práctico de los procesos de medición, para lo cual se debe tener en cuenta que nunca la eficiencia de los procesos es del 100%, es decir, que tanto los instrumentos, así como el personal que los manipula no rinden al 100%, por ello, será necesario tomar en cuenta los errores o incertidumbres que se irán presentando. La metodología de trabajo del laboratorio Nº 01 ha sido dividida en tres partes, siendo estas las siguientes: 

Medición y error experimental



Medición y propagación de errores



Gráfica de los resultados en una medición experimental

1.

MEDICION Y ERROR EXPERIMENTAL (INCERTIDUMBRE)

1.1

OBJETIVOS 

Determinar el promedio correspondiente al número de frijoles que caben en un puñado normal.



Calcular la incertidumbre (desviación estándar) en el proceso de medición.



Hallar la curva de distribución normal de la cantidad de frijoles obtenidos en un puñado normal.

1.2

1.3

EQUIPO Y MATERIALES 

Un tazón de frijoles.



Un tazón mediano de plástico.



Dos hojas de papel milimetrado. FUNDAMENTO TEÓRICO 1.3.1 Media Arimética La media aritmética, denominada simplemente media, es la suma de los valores observados de la variable, dividido por el número de observaciones. Así, dados los números a1,a2, ., an, la media aritmética será igual a:

1.3.2 Incertidumbre normal o desviación estándar La desviación estándar es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales

del

promedio

en

una

distribución.

De

hecho

específicamente las desviación estándar es "el promedio de lejanía de los puntajes respecto del promedio". La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más

estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.

1.4

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 

Colocar los frijoles dentro del tazón de plástico, de tal manera que se encuentren a un mismo nivel.



Coger un puñado de frijoles una y otra vez, hasta obtener un puñado normal ( un puñado no tan apretado ni tan suelto).



Coger un puñado normal y contar el número de frijoles obtenidos.



Apuntar el resultado y vuelva a colocar los frijoles dentro del tazón, de tal manera que los frijoles se encuentren a un mismo nivel.



Repetir las operaciones anteriores 100 veces.



Elaborar una tabla con los datos obtenidos.



Calcular la media aritmética de los 100 números obtenidos.



Calcular la incertidumbre normal o desviación estándar.



Dibujar en un plano la curva normal de la frecuencia versus número de frijoles.

1.5

CÁLCULOS Y RESULTADOS

1.5.1 Determine la media aritmética de los 100 números obtenidos

Esta media aritmética es el número más probable, nmp , de frijoles que caben en un puñado normal.

1 100 nmp   ( N k )  51.04 100 i 1

1.5.2 Determine la incertidumbre normal o desviación estándar,  nmp , de la medición anterior.

_______  1 100  (nmp)   ( N k  nmp) 2   100 i 1    _______



1/ 2

 1.561476

1.5.3 Grafique la posibilidad de que un puñado normal contenga tantos granos de frijoles. Sean por otra parte, r, s dos números naturales. Diremos que un puñado de frijoles es de clase [r, s) si tal puñado contiene x frijoles y se cumple r ≤ x < s. Sea N el numero de veces que se realiza el experimento consistente en extraer un puñado normal de frijoles, y sea n(r, s) el numero de veces que se obtiene un puñado de clases [r, s) a este numero n(r, s) se conoce como frecuencia de la clase [r, s). Al cociente de dichos números (cuando N es suficientemente grande) lo llamaremos PROBABILIDAD (r, s) DE QUE AL EXTRAER UN PUÑADO ESTE SEA DE CLASE [n, r); es decir: [r, s> = n[r, s> / N , N muy grande

La probabilidad así determinada quedara mejor definida cuando mas grande sea el numero N. Grafique tanto la probabilidad [r, r + 1) como la probabilidad  [r, r + 2>.

K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Nk

Nk51.04 51 -0.04 52 0.96 50 -1.04 47m -4.04 52 0.96 54 2.96 53 1.96 49 -2.04 52 0.96 53 1.96 48 -3.04 52 0.96 53 1.96 49 -2.04 51 -1.04 50 -2.04 52 -0.04 55 2.96 M 51 -1.04 50 -2.04 49 -3.96 52 0.96 51 -0.04 50 -1.04 54 2.96

(Nk-51.04)2 0.0016 0.9216 1.0816 16.3216 0.9216 8.7616 3.8416 4.1616 0.9216 3.8416 9.2416 0.9216 3.8416 4.1616 1.0816 4.1616 0.0016 15.6816 1.0816 4.1616 15.6816 0.9216 0.0016 1.0816 8.7616

47

48

49

50

51

52

53

54

55

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

48 52 49 52 51 52 50 49 51 49 50 52 51 51 50 53 49 54 51 48 50 49 49 51

-3.04 0.96 -2.04 0.96 -0.04 0.96 -1.04 -2.04 -0.04 -2.04 -1.04 0.96 -0.04 -0.04 -1.04 1.96 -2.04 2.96 -0.04 -3.04 -1.04 -2.04 -2.04 -0.04

9.2416 0.9216 4.1616 0.9216 0.0016 0.9216 1.0816 4.1616 0.0016 4.1616 1.0816 0.9216 0.0016 0.0016 1.0816 3.8416 4.1616 8.7616 0.0016 9.2416 1.0816 4.1616 4.1616 0.0016

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

50 51 51 53 50 53 52 49 51 49 52 53 52 50 54 50 52 52 51 53 50 51 52 49 53 51 51 51 50 51 50 52 51 55 49 52 52 51 50 51 51 50 52 53 51 50 51 51 52 50

-1.04 -0.04 -0.04 1.96 -1.04 1.96 0.96 -2.04 -0.04 -2.04 0.96 1.96 0.96 -1.04 2.96 -1.04 0.96 0.96 -0.04 0.96 -1.04 -0.04 0.96 -2.04 0.96 -0.04 -0.04 -0.04 -1.04 -0.04 -1.04 0.96 -0.04 3.96 -2.04 0.96 0.96 -0.04 -1.04 -0.04 -0.04 -1.04 0.96 1.96 -0.04 -1.04 -0.04 -0.04 0.96 -1.04

1.0816 0.0016 0.0016 3.8416 1.0816 3.8416 0.9216 4.1616 0.0016 4.1616 0.9216 3.8416 0.9216 1.0816 8.7616 1.0816 0.9216 0.9216 0.0016 0.9216 1.0816 0.0016 0.9216 4.1616 0.9216 0.0016 0.0016 0.0016 1.0816 0.0016 1.0816 0.9216 0.0016 15.6816 4.1616 0.9216 0.9216 0.0016 1.0816 0.0016 0.0016 1.0816 0.9216 3.8416 0.0016 1.0816 0.0016 0.0016 0.9216 1.0816

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

100 52

0.96

0.9216

X 1

3 4

13

19 26 22 32

48

10

4 14

2 2

Tabla 1. Resultados del conteo de frijoles m= puñado más pequeño M= puñado más grande

1.6

CUESTIONARIO

1. En vez de medir puñados, ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc? Sí podría medirse, ya que el vaso o la cuchara representarían el puño de la mano y los resultados no variarían. 2. Según ud. ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros? La diferencia esta en que el puñado o mejor dicho la palma de cada persona se diferencian en tamaño. 3. Después de realizar los experimentos,¿qué ventaja le ve a la representación de  [r , r  2) frente a la de  [r , r  1) ? Ya que el espacio en el ancho de clase es mayor, entonces al trazar la curva esta es más maleable ya que se necesita menos precisión.

4. ¿Qué sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes? _______

La incertidumbre normal o desviación estándar  (nmp) sería mayor. 5. En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado,¿Sería ventajoso colocar sólo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el número de frijoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente? Si el promedio es 60, entonces el número de frijoles que quedan en el recipiente sería menor que los extraídos, por lo tanto sería ventajoso pues el conteo se realizaría en menos tiempo. 6. ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara sólo, digamos, 75 frijoles en el recipiente? El experimento seria muy pobre, ya que es posible que se coja todos los frejoles con el puño y en este caso ya no habría incertidumbre. 7. La parte de este experimento que exige “ más paciencia” es el proceso

de

contar.

Para

distribuir

esta

tarea

entre

tres

personas¿ Cuál de las sugerencias propondría Ud.?¿Por qué? a) Cada participante realiza 33 ó 34 extracciones y cuenta los correspondientes frijoles. b) Uno de los participantes realiza las 100 extraciones pero cada participante cuenta 33 ó 34 puñados.

La alternativa (b) sería la mejor o la más adecuada, porque se estaría contando los puñados de frijoles de una sola persona y así el experimento se estaría llevando a cabo correctamente. 8. Mencione tres posibles hechos que observarían si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados. _______

El  (nmp) sería más exacto. Se obtendría una mayor aproximación al

_______

nmp .

Abarcaría mucho tiempo y seria tedioso. ________

9. ¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones nK nmp ? ________

________

________

________

los nK  nmp seria : (n1  nmp)  (n2  nmp)  (n3  nmp) ________

.............  (nK  nmp) ________

El promedio es :

(n1  n1  ....  nk )  k nmp k ________

________

________

(n  n  ....  nk ) El promedio es : 1 1  nmp  nmp  nmp  0 k _______

10. ¿Cuál cree Ud. es la razón para haber definido  (nmp) en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones? ________

Si tomamos el promedio de las desviaciones nK nmp esto resulta

igual

a

cero.

En

cambio

si

tomamos



_______  1 100  (nmp)   ( N  ) 2 nmp  k  100 i 1    _______

1/ 2

las

cantidades

negativas

_______

resultan positivas y asi determinar un  (nmp) positivo. 11. Después de realizar el experimento coja Ud. un puñado de frijoles. ¿Qué puede Ud. afirmar sobre el número de frijoles contenido en tal puñado (antes de contar)? Se puede afirmar que va a ser aproximadamente igual al promedio aritmético. 12. Si Ud. considera necesario, compare los valores obtenidos por Ud.

_______

para  (nmp) y para

______

sa ; compare con los resultados obtenidos

por sus compañeros. ¿Qué conclusión importante puede Ud. obtener de tal comparación?

13. Mencione Ud. alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento.

2.

PROPAGACIÓN DEL ERROR EXPERIMENTAL

2.1

OBJETIVOS 

Medir las longitudes de un paralelepípedo de metal, mediante el uso de dos instrumentos de medición(regla graduada en milímetros y un vernier).



Calcular los errores cometidos en la medición de magnitudes físicas.

 2.2

2.3

Analizar la propagación de estos errores en cálculos posteriores. EQUIPOS Y MATERIALES



Un paralelepípedo de metal



Una regla graduada en milímetros



Un vernier

FUNDAMENTO TEÓRICO

2.3.1 PROCESO DE MEDICIÓN La física es la ciencia que estudia los procesos de la naturaleza y establece las leyes que los rigen a partir de la observación de los fenómenos utilizando unos pocos principios básicos para aclararlas. La medición es por tanto una herramienta fundamental para la física en la cual intervienen tres sistemas:



El objeto o fenómeno de interés. (longitud, peso, temperatura, trayectoria, etc.)



El aparato o instrumento de medición. (regla, balanza, termómetro, cronómetro, etc.)



La

unidad

o

patrón.

(escala

graduada

y

normalizada

internacionalmente) Por ejemplo, en el proceso llamado “medición de longitud” intervienen: 1. El objeto cuya longitud se quiere medir. 2. El instrumento, por ejemplo, una regla. 3. La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, o en cierta barra patrón). Para definir unívocamente el proceso de medición es necesario dar además el procedimiento, “receta” mediante el cual deben ponerse en interacción el sistema objeto, el aparato de medición y la unidad. En particular, el procedimiento físico correspondiente realizado entre el aparato de medición y la unidad, se denomina “calibración” del aparato. Por ejemplo, la “receta” para medición de longitudes sería: tómese un cierto instrumento llamado regla, en la que están marcadas cierto número de divisiones; hágase coincidir la primera división de la regla con el extremo del objeto cuya longitud se quiere determinar; determínese la división que coincide con el otro extremo del objeto. Por otra parte, realícese el mismo procedimiento con el objeto que se definió como unidad (calibración de la regla). Medir temperatura significa: “tomar un

instrumento llamado termómetro, ponerlo en o térmico con el sistema que queremos medir, esperar que se establezca equilibrio térmico, medir la longitud de la columna de mercurio, etc.” Cada proceso de medición define lo que se llama una magnitud física. Estas últimas están unívocamente determinadas por el proceso de medición. Por ejemplo, se define como “longitud” aquello que se mide en el proceso descrito como “medición de longitudes”. Hay muchos procesos de medición que definen una misma magnitud. Por ejemplo, existen varias formas para medir una longitud y todas ellas son procesos de medición equivalentes. El resultado de un proceso de medición es un número real, que se llama valor de la magnitud en cuestión. 2.3.2 INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS Al realizar el proceso de medición, el valor obtenido y asignado a la medida diferirá probablemente del “valor verdadero” debido a causas diversas, alguna de las cuales nombraremos más adelante. El llamado “valor verdadero” es en realidad un concepto puramente teórico y absolutamente inaccesible. En el proceso de medición únicamente pretendemos estimar de forma aproximada el valor de la magnitud medida. Para ello debemos dar un número con sus unidades y una estimación del error. Dicho de otra manera el resultado de cualquier medida es siempre incierto y a lo más que podemos aspirar es a estimar su grado de incertidumbre.

2.3.3 ERRORES DE LAS MEDIDAS Llamamos error de una medida a la discrepancia entre el “valor verdadero” de la magnitud y el valor medido. Esta discrepancia puede ser debida a diversas causas. Errores sistemáticos Serían debidos a causas que podrían ser controladas o eliminadas. Por ejemplo medidas realizadas con un aparato averiado, o mal calibrado. La fuente del error podría eliminarse usando un aparato que funcionase correctamente o calibrándolo adecuadamente antes de medir. Errores aleatorios. Son fruto del azar o de causas que no podemos controlar. Como consecuencia de ello, si repetimos una medida cierto número de veces en condiciones reproducibles, no obtendremos siempre el mismo valor, sino que

obtendremos

un

conjunto

de

valores

que

se

distribuirán

probabilísticamente. Esta distribución de valores puede ser analizada por métodos estadísticos y esto nos permitirá objetivar un valor probable y una incertidumbre de la medida. 2.4

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 

Colocar el paralelepípedo sobre una superficie plana.



Medir sus tres dimensiones mediante: o La regla graduada en milímetros o Vernier.

2.5

CÁLCULOS Y RESULTADOS Porcentaje de incertidumbre Con la regla Con el Vernier

Con la regla

Con el Vernier

Largo a mm

33  0.5

33.5  0.025

1.51%

0.0746%

Ancho b mm

34  0.5

34.2  0.025

1.47%

0.0731%

Alto h mm

12  0.5

11.8  0.025

4.17%

0.2119%

A mm2

3852  79

3889.12  3.975

2.2055%

0.1022%

V mm3

13464  963

13519.26  48.614

7.1524%

0.3596%

a100 mm.

33  0.5

33.5  0.025

1.51%

0.0746%

b100 mm.

34  0.5

34.2  0.025

1.47%

0.0731%

h100 mm.

1200  50

1180  2.5

4.17%

0.2119%

A100 mm2

163044  4583.5

162063  229.9425

2.8112%

0.1419%

3

1346400  96300

1351926  4861.4

7.1524%

0.3596%

V100 mm

Tabla 2 Resultado de las mediciones 2.5.1.1 Cálculo de áreas y volúmenes Error para la regla = 0.5 mm. Error para el vernier = 0.025 mm. 

Cálculo del área total ( con la regla) AT  2(ab  ah  bh) AT  2(33 x34  33 x12  34 x12) AT  3852 mm 2

Cálculo de la incertidumbre

b  h  a b  a  h    ab    ah    bh b a b  h  a  h  0.5  0.5  0.5 0.5  0.5 0.5   A     33 x34    33 x12    34 x12 34  12  33 34  33 12   A  79 mm 2 A  

ATOTAL  3852  79 mm 2 

Cálculo del área total (con el vernier) AT  2(ab  ah  bh) AT  2(33.5 x34.2  33.5 x11.8  34.2 x11.8) AT  3889.12 mm 2 Cálculo de la incertidumbre

b  h  a b  a  h    ab    ah    bh b a b  h  a  h  0.025 0.025  0.025 0.025  0.025 0.025    A       33.5 x34.2   33.5 x11.8   34.2 x11.8 34.2  33.5 11.8 34.2 11.8  33.5     A  3.975 mm 2 A  

ATOTAL  3889.12  3.975 mm 2 

Cálculo del volumen (con la regla) VT  a.b.h VT  33x34 x12 VT  13464 mm3 Cálculo de la incertidumbre  a b h    b h  a

V  a.b.h 

 0.5 0.5 0.5     33 34 12

V  33 x34 x12  V  963 mm3

VTOTAL  13464  963 mm3



Cálculo del volumen (con el vernier)

VT  a.b.h VT  (33.5) x(34.2) x(11.8) VT  13519.26 mm3 Cálculo de la incertidumbre  a b h    b h  a

V  a.b.h 

 0.025 0.025 0.025    34.2 11.8   33.5

V  (33.5) x(34.2) x (11.8)  V  48.614 mm3

VTOTAL  13519.26  48.614 mm3

2.5.1.2 Cálculo del área y volumen de los 100 paralelepípedos a100 =a b100 =b h100 =100(h)  h100  100h 

Cálculo del área total (con regla) AT  2  (a100 )(b100 )  (a100 )(h100 )  (b100 )(h100 )  AT  2  (33)(34)  (33)(1200)  (34)(1200)  AT  163044 mm3 Cálculo de la incertidumbre  0.5 100(0.5)  0.5 100(0.5)   0.5 0.5   33x34      33 x100 x12   34 x100 x12  33 34  33 100(12)  34 100(12)  A  4583.5 mm 2 A  

ATOTAL  163044  4583.5 mm 2 

Cálculo del área total (con el vernier)

AT  2  (a100 )(b100 )  (a100 )(h100 )  (b100 )(h100 ) 

AT  2  (33.5)(34.2)  (33.5)(100 x11.8)  (34.2)(100 x11.8)  AT  162063.4 mm 2 Cálculo de la incertidumbre  0.025 100(0.025)  0.025 0.025    (33.5)(100 x11.8)   (33.5)(34.2)   34.2  100(11.8)   33.5  33.5  0.025 100(0.025)    (34.2)(100 x11.8) 100(11.8)   34.2

A  

A  229.9425 mm 2 ATOTAL  162063.4  229.9425 mm 2



Cálculo del volumen total (con la regla) VT  ( a100 )(b100 )(h100 ) VT  (33)(34)(100 x12) VT  1346400 mm3

Cálculo de la incertidumbre

 a b 100h   b 100h   a

V  a.b.100h 

 0.5 0.5 0.5     33 34 12

V  (33)(34)(100 x12)  V  96300 mm3

VTOTAL  1346400  96300 mm3



Cálculo del volumen total (con el vernier)

VT  ( a100 )(b100 )(h100 ) VT  (33.5)(34.2)(100 x11.8) VT  1351926 mm3 Cálculo de la incertidumbre

 a b 100h   b 100h   a

V  a.b.100h 

 0.025 0.025 0.025   34.2 11.8  33.5

V  (33.5)(34.2)(100 x11.8)  V  4861.4 mm3

VTOTAL  1351926  4861.4 mm3

2.5.2 Cálculo de porcentajes de error

 Incertidumbre % Error    .100% medida   Medidas con la regla  0.5  .100%  1.51%  33

a=33 mm.

I=0.5 mm.

% Error  

b=34 mm.

I=0.5 mm.

% Error  

h=12 mm.

I=0.5 mm.

% Error  

 0.5  .100%  1.47%  34  0.5  .100%  4.17%  12



79   .100%  2.2055%  3582

A=3852 mm2.

I=79 mm2.

% Error  

V=13464 mm3.

I=963 mm3.

% Error  

a100=33 mm.

I=0.5 mm.

% Error  

b100=34 mm.

I=0.5 mm.

% Error  

h100=1200 mm.

I=50 mm.

% Error  



963   .100%  7.1524%  13464

 0.5  .100%  1.51%  33  0.5  .100%  1.47%  34 

50   .100%  4.17%  1200

 4583.5  .100%  2.8112%  163044

A100=163044 mm2. I=4583.5 mm2.

% Error  

V100=1346400 mm3. I=96300 mm3.

% Error  



96300   .100%  7.1524%  1346400

Medidas con el vernier  0.025  .100%  0.0746%  33.5 

a=33.5 mm.

I=0.025 mm.

% Error  

b=34.2 mm.

I=0.025 mm.

% Error  

h=11.8 mm.

I=0.025 mm.

% Error  

A=3889.12 mm2.

I=3.975 mm2.

V=13519.26 mm3 I=48.614 mm3.

 0.025  .100%  0.0731%  34.2   0.025  .100%  0.2119%  11.8 



3.975   .100%  0.1022%  3889.12

% Error  



48.614   .100%  0.3596%  13519.26

% Error  

 0.025  .100%  0.0746%  33.5 

a100=33.5 mm.

I=0.025 mm.

% Error  

b100=34.2 mm.

I=0.025 mm.

% Error  

h100=1180 mm.

I=2.5 mm.

% Error  

 0.025  .100%  0.0731%  34.2   2.5   .100%  0.2119%  1180

 229.9425  .100%  0.1419%  162063 

A100=162063 mm2. I=229.9425 mm2 % Error  

 4861.4   .100%  0.3596%  1351926

V100=1351926 mm3. I=4861.4 mm3. % Error  

2.6

CUESTIONARIO 1. ¿ Las dimensiones de un paralelepipedo se pueden determinar con una sola medición? Si no, ¿ Cuál es el procedimiento más apropiado? No, lo mas conveniente sería realizar varias mediciones para que el error sea menor. 2. ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey? El pie de rey pues tiene más lineas divisoras que la regla, lo que conlleva a tener una mejor aproximación de las medidas que se desean calcular.

3.

MEDICIÓN Y ERROR EXPERIMENTAL (INCERTIDUMBRE)

3.1

OBJETIVOS 

Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su periodo independiente de su amplitud angular.



Determinar la relación entre el periodo y la longitud l del péndulo.



Construir una función polinómica que represente dicha relación.



Graficar la función discreta:

 (T1, l1 );(T2 , l2 );.....;(T10 , l10 ) 

Determinar los coeficientes a, b y c de la función f, de tal manera que pase por tres puntos elegidos “convenientemente”.

l  f (T )  a  bT  cT 2 

Calcular la incertidumbre f

 1 10 2 f    lk  f (Tk )    10 k 1  

Graficar la función discreta:

 (T

2 1



1/ 2

, l1 );(T2 2 , l2 );.....;(T10 2 , l10 )

Determinar los coeficientes  ,  y  de la función g, de tal manera que pase por tres puntos elegidos “convenientemente”.

g (T )     T   T 2 3.2

EQUIPOS Y MATERIALES 

Un péndulo simple de 1.5 m de longitud

3.3



Una regla graduada en mm.



Un cronómetro.



02 hojas de papel milimetrado.



Soporte universal



Un plumón FUNDAMENTO TEÓRICO

3.3.1 Péndulo simple Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico

3.4

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 

Coger el hilo y hacer pequeñas marcas con el plumón cada 10 centímetros.



Elegir la longitud l del péndulo.



Sostener el péndulo mediante el soporte universal.



Tomar el péndulo, tal que forme un ángulo 0º<  <15º con la vertical.



Soltarlo y medir el tiempo que demora en dar 10 oscilaciones completas.

3.5



Calcular el periodo



Repetir esto 5 veces, y calcular el periodo promedio.



Variar la longitud l , y volver a repetir el mismo procedimiento. CÁLCULOS Y RESULTADOS k º LK cm.

TK 1

TK 2

TK 3

TK 4

TK 5

TK

T 2K

1

10cm.

0,806

0,801

0,802

0,799

0,81

0,8036 0,6458

2

20cm.

1,03

1,017

1,034

1,031

1,032

1,0288 1,0584

3

30cm.

1,215

1,234

1,209

1,224

1,219

1,2202 1,4889

4

40cm.

1,378

1,363

1,370

1,371

1,377

1,3718 1,8818

5

50cm.

1,515

1,512

1,509

1,520

1,519

1,515

6

60cm.

1,641

1,655

1,642

1,643

1,657

1,6476 2,7146

7

70cm.

1,728

1,758

1,749

1,763

1,748

1,7492 3,0598

8

80cm.

1,842

1,834

1,837

1,846

1,834

1,8386 3,3805

2,2952

9

90cm.

1,939

1,946

1,949

1,959

1,945

1,9476 3,7931

10

100cm. 2,045

2,04

2,02

2,051

2,031

2.0374 4,1510

Tabla 3 Medición de periodos

3.5.1 DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES a,b,c X 0.8036 1.0288 1.2202 1.3718 1.515 1.6476 1.7492 1.8386 1.9476 2.0374

Y 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550

∑=15,16

X2 0.6458 1.0584 1.4889 1.8818 2.2952 2.7146 3.0598 3.3805 3.7931 4.1510 24.2562

XY 8.036 20.576 36.606 54.872 75.75 98.856 122.444 147.088 175.284 203.74 943.252

X2Y 6.458 21.168 44.667 75.272 114.76 162.876 214.186 270.44 341.379 415.100 1666.306

X3 0.5189 1.0889 1.8167 2.5815 162.876 4.4726 5.352 6.2153 7.3875 8.4572 41.3679

X4 0.417 1.1203 2.2168 3.513 5.2681 7.369 9.36158 11.4274 14.388 17.2308 72.3122

Tabla 4 Método de los mínimos cuadrados aplicado a la función f n

n

∑y = a n + a ∑x

n

i

0

1

i=1

+ a2∑xi2

i=1

n

n i i

i=1

n

∑y x

2 i i

0

i=1

n

∑y x = a ∑x

i=1

i

i

n

+ a1∑xi2 + a2∑xi3

i=1

i=1

i=1

n

n

n

= a0∑xi2 + a1∑xi3 + a2∑xi4 i=1

i=1

i=1

550  10a0  15,16a1  24.2562a2 943.252  15,16a0  24.2562a1  41.3679a2 1666.306  24.2562a0  41.3679a1  72.3122a2 a 0 =-13,8 f(T) = -13,8+13,07T +20,2T 2

a1 =13,07 a 2 = 20,2

3.5.2 DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE f

 1 10 2 f   l  f ( T )    k k  10 k 1  

f(T1) =10,25 f(T2) =21.03 f(T3) =32.22 f(T4) =42.14 f(T5) =52.36 f(T6) =62.56 f(T7) =70.86 f(T8) =78.52 f(T9) =88.28 f(T10) =96.68 10

l1 =10 l2 =20 l3 =30 l4 =40 l5 =50 l6 =60 l7 =70 l8 =80 l9 =90 l10 =100

  lk  f (Tk ) k 1

2

l1- f(T1)=-0.25 l2- f(T2)=-1.03 l3- f(T3)=-2.22 l4- f(T4)=-2.14 l5- f(T5)=-2.36 l6- f(T6)=-2.56 l7- f(T7)=-0.86 l8- f(T8)=1.48 l9- f(T9)=1.72 l10- f(T10)=3.32

= 39.6654

1/ 2

 1 10 2 f    lk  f (Tk )    10 k 1 

1/ 2

=15.7334

3.5.3 DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES  ,  y  X 0.6458 1.0584 1.4889 1.8818 2.2952 2.7146 3.0598 3.3805 3.7931 4.1510

Y

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ∑=24.2562 550

XY 6.458 21.168 44.667 75.272 114.76 162.876 214.186 270.44 341.379 415.100 1666.306

X2 0.417 1.1203 2.2168 3.513 5.2681 7.369 9.36158 11.4274 14.388 17.2308 72.3122

Tabla 5 Método de los mínimos cuadrados aplicado a la función g n

n

∑y = a n + a ∑x

n

i

0

1

i=1

+ a2∑xi2

i=1

n

n i i

0

i

i=1

i=1

n

∑y x = a ∑x i=1

i

n

+ a1∑xi2 + a2∑xi3 i=1

i=1

550  10a0  24, 2562a1 1666,306  24,2562 a0  72,3122 a1

a 0 =-47,9 a1 =24.65 3.6

f(T) = -47,9+24,65T

CUESTIONARIO 1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. lanza la “masa”? Pues la aceleración es mayor que la aceleración de la gravedad, por lo tanto el periodo es menor. 2. ¿Depende el período del tamaño que tenga la “masa”?. Explique Si es que se desprecia la resistencia del aire, entonces el periodo no depende del tamaño de la masa, sino depende de la longitud de la cuerda y también de la aceleración de la gravedad. 3. ¿Depende el periodo del material que constituye la “masa”.(p.e una pesa de metal, una bola de papel, etc)? En este caso, si consideramos la resistencia del aire, entonces el periodo si depende de la masa que oscila. 4. Supongamos que se mide el periodo con   5o y con   10o ¿ En cual de los dos casos resulta mayor el periodo?

Para ángulos que var ían 0º    15º el periodo es igual a 2

l g

Entonces el periodo para   5º y   10º es el mismo. 5. Para determinar el periodo (duracion de una oscilación completa), se ha pedido medir la duracion de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación? ¿ Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones? Si medimos 50 oscilaciones habrá más exactitud para hallar el periodo de una oscilación. 6. ¿Dependen los coeficientes a,b,c de la terna de puntos por donde pasa f? Para poder determinar una función que pase por tres puntos de la función discreta tomada en cuenta debemos hacer que los valores que estas toman se asemejen lo mejor posible a la función ello implica que las desviaciones sean las mínimas posibles. Debido a ello los coeficientes a, b, c dependen de los puntos por donde pasen. 7. Para determinar a,b,c se eligieron tres puntos ¿Por qué no dos? ¿o cuatro? Con 2 puntos, se tendría un sistema de 2 ecuaciones con 3 incognitas que no es posible de resolver, y no se eligen cuatro puntos por que sería innecesario para nuestro análisis. 8. En general, según como elija a,b,c obtendrá un cierto valor para f

¿Podría ud. elegir a,b,c de manera que f

sea mínima

(aunque f no pase por ninguno de los puntos de la función discreta)? ¿Puede elegir a,b,c de manera que f =0? Si se podria elegir f que sea mínimo pero no se podría elegir a,b,c de manera que f =0. 9. ¿Qué puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente g de la funcion g(t)? El coeficiente g de la función G (T) es nulo debido a que si se grafica la función discreta correspondiente, se observa un comportamiento lineal, entonces no es necesario considerar un término cuadrático para el cálculo de los demás coeficientes. 10. ¿Cuántos coeficientes debería tener la función g para estar seguros que g =0? 11. ¿Opina ud. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser una tuerca, puede repetir estos experimentos en casa? Si se podría repetir el experimento, siguiendo las reglas adecuadas y usando un cronómetro. Pero las mediciones tendrían mucha inexactitud ya que la tuerca tendría mucha masa y la resistencia del aire afectaría el periodo. 12. ¿Tiene ud. idea de cuantas oscilaciones puede dar el pendulo empleado, con lK =100cm, antes de detenerse?

No , pero se podría calcular sabiendo el tiempo que estuvo oscilando y dividiéndolo entre el periodo, así se obtendría el número de oscilaciones con un error mínimo. 13. Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa “rote”¿Modifica tal rotación el valor del periodo? ¿Qué propondría ud. para eliminar la citada rotación? Se debe considerar que la rotación de la masa afecta el periodo, para evitar que el cuerpo rote se debería trabajar con aquellos cuerpos que tengan superficies uniformes , como las esferas. Cuando no se trabaje con esferas lo ideal sería soltar el cuerpo con mucho cuidado.

OBSERVACIONES

 Observamos

que

el

laboratorio

es

importante

porque

experimentamos los problemas en forma real.  Observamos que existen diferencias en el campo real y en el campo teórico (T péndulo real  T péndulo teórico)  Creíamos que las mediciones eran exactas pero en el laboratorio comprobamos que no existe medición exacta por que siempre va existir margen de error.

CONCLUSIONES

 Del primer experimento, llegamos a la conclusión de que para tener una mejor probabilidad de saber cuantos frijoles hay en un puñado es necesario que sea una sola mano la que saque y que la forma como los coga sea la misma.

 A mayor número de sacadas de frijoles, mayor será la posibilidad

de saber aproximadamente cuantas hay en un

puñado normal.

 Del segundo experimento, llegamos a la conclusión de que todo tipo de instrumento de medición es imperfecta ya que todos tienen un margen de error.

 Si usamos instrumentos de medida con las menores escalas la incertidumbre de la medición será menor.

 Del tercer experimento, concluimos que el periodo de un péndulo solo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad.

 A mayor longitud del péndulo ,origina un mayor periodo.

 Experimentalmente comprobamos que la resistencia del aire influye en el periodo ya que aplicando los conceptos teóricos

 T  2 L   g  comprobamos que el periodo varía en su valor. 

BIBLIOGRAFIA o

Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992). Capítulo 15.

o

Tipler. Física. Editorial Reverté (1994).

o

http://html.rincondelvago.com/calculo-de-incertidumbres-en-lasmediciones.html

o

http://www.fis.usb.ve/Capitulo2.pdf