Montaña Rusa 4q361a

MONTAÑA RUSA Edier Yasser Perea, Alejandra Norato Rodríguez, Daniela Tiga Hoyos Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Bucaramanga, Bucaramanga, Colombia [email protected]

Abstract— This article involves the compilation, design, analysis and implementation of information for the development of a mechanical system, where a mass can move over a specific structure. The construction of the roller coaster was carried out by means of an investigative process about the operation of the mechanisms with similar characteristics. The structure was designed taking into the conditions established in the stipulations for the construction of the roller coaster. It is the system for determining the minimum values necessary for the correct functioning of the mechanism based on the principles of the law of energy conservation. Subsequently tests are performed to determine the variables and thus to move to the construction of the final prototype. Keywords: energy conservation, roller coaster, mechanical system Resumen — Este artículo involucra la recopilación, diseño, análisis e implementación de información para desarrollar un sistema mecánico, donde una masa pueda desplazarse sobre una estructura específica. La construcción de la montaña rusa se llevó a cabo mediante un proceso investigativo acerca del funcionamiento de mecanismos con características similares. La estructura se diseñó teniendo en cuenta unas condiciones previamente establecidas en las estipulaciones para la construcción de la montaña rusa. Se analiza el sistema para poder determinar los valores mínimos necesarios para el correcto funcionamiento del mecanismo basándose en los principios de la ley de la conservación de la energía. Posteriormente se realizan pruebas para determinar las variables y de esta manera pasar a la construcción del prototipo final. Palabras clave: Conservación de la energía, montaña rusa, sistema mecánico.

I.

INTRODUCCION

Este documento incluye la descripción del desarrollo del proyecto montaña rusa, basados en los principios físico-matemáticos necesarios para el

funcionamiento del mecanismo, incorporando información relacionada con el diseño e implementación, pruebas de funcionamiento del sistema y el análisis de los resultados obtenidos durante la ejecución del proyecto. II.

DISEÑO

Inicialmente se plantearon distintos diseños a desarrollar, en el transcurso del tiempo se analizaron las propuestas y finalmente, apoyados en la investigación realizada, se optó por el diseño que facilitara más la ejecución del proyecto. Teniendo en cuenta que sólo se contaban con 2 datos constantes, la altura inicial y altura final, se procedió a asignar valores a ciertas variables con el fin de tener una base para iniciar la fase de diseño y montaje del proyecto.

Figura 1. Montaña rusa Fuente: Autores

La Figura 1 señala los componentes del mecanismo: 1. 2. 3. 4. 5.

Riel Loop Soportes para el riel Base de la estructura Punto de llegada de la masa

III.

BOSQUEJO MONTAÑA RUSA

La Figura 2 muestra los siguientes datos relevantes, los cuales constituyen la estructura de la montaña rusa:    

H0 = 50 cm R1= cm R2 = cm h0= 25cm

IV.

MODELO MATEMÁTICO

1) Análisis loop 1 En el sistema se tiene un cuerpo esférico (canica), que es la encargada de realizar todo el recorrido. Por su forma geométrica este cuerpo no se desliza en los rieles, si no que rota en ellos, por lo tanto el análisis se hace teniendo en cuenta la rotación del objeto y en un punto P que es el o ente la canica y los rieles.

Figura 2. Medidas montaña rusa Fuente: Autores

La Figura 3 muestra las variables involucradas en el recorrido completo de cada loop de la montaña rusa:

Figura 4. Punto P y centro de masa Fuente: Autores

Aplicando la ley de conservación de la energía, se tiene: 𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓

Figura 3. Bosquejo del loop Fuente: Autores

Figura 5. Recorrido A hasta B Fuente: Autores Como se observa en la figura, se toma como referencia la altura del loop 1 para calcular la velocidad que tendrá la masa en el punto B y saber si cruzará o no el loop.

𝐸𝑚𝐴 = 𝐸𝑚𝐵 Teniendo en cuenta que el cuerpo está rotando, posee energía cinética rotacional (𝐸𝑐 𝑅 ) y energía potencial gravitatoria (𝐸𝑝): 𝐸𝑐 𝑅𝐴 + 𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝑐 𝑅 𝐵 + 𝐸𝑝𝐵

1 7 𝑣𝑐𝑚 2 𝑚𝑔ℎ𝐴 = ( 𝑚𝑟2 ) ( 2 ) 2 5 𝑟 + 𝑚𝑔(2𝑅1 ) Los radios de la masa 𝑟 2 se cancelan, junto a las masas que están en todos los términos

1

0 + 𝑚𝑔ℎ𝐴 = 𝐼𝑝 𝜔2 + 𝑚𝑔ℎ𝐵 2

Observando la figura se sabe que ℎ𝐵= 2𝑅1 1

2

𝑚𝑔ℎ𝐴 = 𝐼𝑝 𝜔 + 𝑚𝑔(2𝑅1 )

𝑔ℎ𝐴 =

7 𝑣 2 + 𝑔(2𝑅1 ) 10 𝑐𝑚

𝑣𝑐𝑚 2 =

10 𝑔ℎ𝐴 − 𝑔(2𝑅1 ) 7

𝑣𝑐𝑚 2 =

10 𝑔(ℎ𝐴 − 2𝑅1 ) 7

2

𝐼𝑝 es la inercia en el punto P, por el Teorema de Stainer sabemos: 𝐼𝑝 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑑 2

En donde 𝐼𝑐𝑚 es la Inercia del centro de masa del cuerpo, 𝑚 la masa y 𝑑 la distancia entre el centro de masa y el punto P.

𝑑 = 𝑟 (𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜) 1

𝑚𝑔ℎ𝐴 = (𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑟 2 )𝜔2 +

10 𝑣𝑐𝑚 𝐴 = √ 𝑔(ℎ𝐴 − 2𝑅1 ) 7

𝑣𝑐𝑚 es la velocidad que tendrá el cuerpo en el punto B al ser soltado desde una altura ℎ𝐴 . Para calcular la velocidad mínima que requiere el cuerpo para calcular el loop se hace el siguiente análisis:

2

𝑚𝑔(2𝑅1 ) La inercia del centro de masa de una esfera es:

2 𝐼𝑐𝑚 = 𝑚𝑟 2 5 1 2

𝑚𝑔ℎ𝐴 = ( 𝑚𝑟2 + 𝑚𝑟 2 )𝜔2 + 2 5

𝑚𝑔(2𝑅1 ) 𝑚𝑔ℎ𝐴 =

1 7 ( 𝑚𝑟2 ) 𝜔2 + 𝑚𝑔(2𝑅1 ) 2 5

La velocidad tangencial 𝜔 relaciona la velocidad del centro de masa del objeto con su radio : 𝜔=

𝑣𝑐𝑚 𝑟 1 7 𝑣𝑐𝑚 2 𝑚𝑔ℎ𝐴 = ( 𝑚𝑟2 ) ( ) 2 5 𝑟 + 𝑚𝑔(2𝑅1 )

Figura 6. Fuerzas en punto B Fuente: Autores La 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎 (𝐹𝑐) tiene que ser igual al peso de cuerpo:

𝐹𝑐 = 𝑚

𝑉2 𝑅1

1 2

( 𝑚𝑟 2 + 𝑚𝑟 2 )𝜔2 𝐵 + 𝑚𝑔(0,035 +

2 5

2 5

𝑉2 𝑚𝑔 = 𝑚 𝑅1 𝑔=

1 2

2(𝑅1 )) = ( 𝑚𝑟 2 + 𝑚𝑟 2 )𝜔2 𝐶 + 𝑚𝑔(2𝑅2 )

𝑉2 𝑅1

1 7

( 𝑚𝑟 2 ) 𝜔2 𝐵 + 𝑚𝑔(0,035 + 2(𝑅1 )) =

2 5 1 7

( 𝑚𝑟 2 )𝜔2 𝐶 + 𝑚𝑔(2𝑅2 )

𝑉 2 = 𝑔𝑅1

2 5

1 7

𝑣𝑐𝑚 2 𝐵 ) + 𝑚𝑔(0,035 + 𝑟2 𝑣 2 1 7 ( 𝑚𝑟 2 )( 𝑐𝑚2 𝐶 ) + 𝑚𝑔(2𝑅2 ) 2 5 𝑟

( 𝑚𝑟 2 ) (

𝑉 = √𝑔𝑅1

2 5

𝑉 = √(9.807)(0.0225)

2(𝑅1 )) =

𝑉 = 0,469 𝑚⁄𝑠 7 10 7

Entonces para que el cuerpo supere el primer loop:

10

𝑣𝑐𝑚 > 𝑉

𝑣𝑐𝑚 2 𝐵 + 𝑔(0,035 + 2(𝑅1 )) = 𝑣𝑐𝑚 2 𝐶 + 𝑔(2𝑅2 )

Despejando 𝑣𝑐𝑚 𝐶

10 7

√ 𝑔(ℎ𝐴 − 2𝑅1 ) > √𝑔𝑅1 2) Análisis loop 2

10 7 𝑣𝑐𝑚 𝐶= √ [(𝑔)(0,035 + 2(𝑅1 )) + (𝑣𝑐𝑚 2 𝐵 ) − 𝑔(2𝑅2 )] 7 10 Con esta ecuación se obtiene la velocidad con la que llegará el cuerpo al punto C, en caso de haber superado el punto B, depende de la 𝑣𝑐𝑚 2 𝐵 Para calcular la velocidad mínima que requiere para superar el loop 2 se puede hacer con la misma ecuación usada en la del loop 1:

Figura 7. Recorrido B hasta C Fuente: Autores

𝐸𝑐 𝑅 𝐵 + 𝐸𝑝𝐵 = 𝐸𝑐 𝑅 𝐶 + 𝐸𝑝𝐶 2

1

𝐼𝑝 𝜔2 𝐵 + 𝑚𝑔ℎ𝐵 = 𝐼𝑝 𝜔2 𝑐 + 𝑚𝑔ℎ𝐶

2 1 2

Así que:

𝑣𝑐𝑚 𝐶 > 𝑉

2

Se puede observar que la altura ℎ𝐵 en este sistema de referencia es 3,5𝑐𝑚 + 2(𝑅1 ) 1

𝑉 = √(9.807)(0.022) 𝑉 = 0,464 𝑚⁄𝑠

𝐸𝑚𝐵 = 𝐸𝑚𝐶

1

𝑉 = √𝑔𝑅2

(𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑟 2 )𝜔2 𝐵 + 𝑚𝑔(0,035 + 2(𝑅1 )) = (𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑟 2 )𝜔2 𝐶 + 𝑚𝑔(2𝑅2 )

El análisis consta de una función a trozos, en la que en primer lugar se debe superar el loop 1, y en caso de hacerlo se puede llegar a analizar si superará el loop 2, porque no es posible desarrollar una ecuación que abarque solo el inicio y el final ya que el recorrido no es lineal y hay que tener en cuenta los loops.

V.

ELABORACION DEL PROTOTIPO

2) Materiales implementados en la estructura

1) plan de trabajo

En esta sección se especifican los materiales que se utilizaron para la construcción de la estructura, teniendo en cuenta condiciones que permiten un mejor desempeño del mecanismo, tales como punto de fricción, fricción estática, superficies lisas y rígidas que no generen deformación.

Mediante un diagrama de flujo se da a conocer el proceso que se llevó a cabo para la construcción de la montaña rusa, cumpliendo con las condiciones para obtener un resultado más eficiente.

Tabla 1 Materiales para la montaña rusa Nombre Material

Descripción

Cant.

Dimensiones

Base de cartón

Soporte de la estructura

1

50cm50cm

Papel periódico

Columna inicial

1

Papel periódico

Columna del loop1

1

35,5cm

Papel periódico

Columna del loop2

1

32cm

Papel periódico

Columna final

1

25cm

Palos de balso

Soporte de las columnas

10

1cm1cm20cm

Malla metálica Cuadrada

Riel del sistema

1

95cm2,5cm

VI.

50cm

PRUEBAS REALIZADAS

En esta sección se corroboran los datos teóricos por medio de pruebas realizadas, con el fin de demostrar que se completa de manera exitosa la trayectoria del sistema en ejecución. Para ello se emplea la siguiente fórmula:

a. Figura 8. Proceso de construcción montaña rusa Fuente: Autores

Fórmula velocidad centro de masa:

10 𝑣𝑐𝑚 = √ 𝑔(ℎ𝐴 − 2𝑅1 ) 7

𝑣𝑐𝑚 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑔 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 ℎ𝐴= 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑅 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑙𝑜𝑜𝑝 Tabla 2. Prueba desde x = 0,145 m X (altura)

Y (velocidad)

0,145 0,105 0,065 0,045

1,189 0,924 0,542 0,118

VII.

ANALISIS DE RESULTADOS

CONCLUSIONES 1.Se genera ficción estática por que la bola y la superficie son rígidas y lisas que crea un movimiento de rotación al deslizarse.

2.Cuando hay un sistema mecánico sin fuerzas externas la altura mínima requerida para que la masa de todo el trayecto debe ser mayor al diámetro del loop.

3.La conservación de la energía se mantiene invariable durante todo el recorrido.

VII.

REFERENCIA. [1] ARONS, A.B. (1989). Developing the Energy Concepts in In-troductory Physics. The Physics Teacher, 27, pp. 506-517 [2] A. A. Logunov, 1998, Curso de Teoría de la Relatividad y de la gravitación, Universidad Estatatal de Lomonósov, Moscú, ISBN 5-88417-162-5 [3] SERWAY Raymond A, JEWETT Jhon W “FÍSICA I” Tercera Edición, México: International Thomson Editores S. A. 2004 [4] SEARS Francis W, ZEMANSKY Mark W, YOUNG Hugh D y FREEDMAN Roger A. “FÍSICA UNIVERSITARIA” Décimo Primera Edición, PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004. [5] Fernando Flores Camacho y Letica Gallegos Cázares. Editorial Santillana, serie 2000, mayo 1997, primera edición. [6] DRIVER, R. y WARRINGTON, L. (1985). Students’ use of the principle of energy conservation in problem situations. Physics Education, 20, pp. 171-176 [7]CALATAYUD M.L., HERNÁNDEZ J., SOLBES J. y VILCHES, A. (1995). Física y química 1º Bachillerato. Barcelona: Octaedro [8]GOLDRING, H. y OSBORNE, J. (1994). Students’ diffi culties with energy and related concepts. Physics Education, 29, pp. 26-31 [9]LÓPEZ GAY, R. (1987). Las representaciones de los alumnos como punto de partida. El caso de la energía. Investigación en la Escuela, 3, pp. 47-54