Funções Hiperbólicas I 311i23

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas (01)

Esboçar o gráfico das seguintes funções no plano cartesiano; quais sejam: (a)

Função Seno Hiperbólico: y = senh(x) = (ex - e-x)/2;

(b)

Função Coseno Hiperbólico: y = cosh(x) = (ex + e-x)/2;

(c)

Função Tangente Hiperbólica:

y = tgh(x) = (d)

senh(x) (e x − e − x ) = ; cosh(x) (e x + e − x )

Função Cotangente Hiperbólica:

1 cosh(x) (e x + e − x ) = = y = cotgh(x) = ; senh(x) tgh(x) (e x − e − x ) (e)

Função Secante Hiperbólica: y = sech(x) =

(f)

1 2 = ; cosh(x) (e x + e − x )

Função Cossecante Hiperbólica: y = cosech(x) =

1 2 = . senh(x) (e x − e − x )

Respostas: (a)

Função Seno Hiperbólico: y = senh(x) = (ex - e-x)/2;

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas (b) Função Coseno Hiperbólico:

y = cosh(x) = (ex + e-x)/2;

(c)

Função Tangente Hiperbólica: senh(x) (e x − e − x ) y = tgh(x) = = ; cosh(x) (e x + e − x )

(d)

Função Cotangente Hiperbólica: y = cotgh(x) =

1 cosh(x) (e x + e − x ) = = ; senh(x) tgh(x) (e x − e − x )

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas (e) Função Secante Hiperbólica:

y = sech(x) =

(f)

1 2 = ; cosh(x) (e x + e − x )

Função Cossecante Hiperbólica: y = cosech(x) =

(02)

1 2 = . senh(x) (e x − e − x )

Apresentar as principais características das seguintes funções; quais sejam: (a)

Função Seno Hiperbólico: y = senh(x) = (ex - e-x)/2;

(b)

Função Coseno Hiperbólico: y = cosh(x) = (ex + e-x)/2;

(c)

Função Tangente Hiperbólica: y = tgh(x) =

(d)

senh(x) (e x − e − x ) = ; cosh(x) (e x + e − x )

Função Cotangente Hiperbólica: CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas

1 cosh(x) (e x + e − x ) y = cotgh(x) = = = ; senh(x) tgh(x) (e x − e − x ) (e)

Função Secante Hiperbólica: y = sech(x) =

(f)

1 2 = ; cosh(x) (e x + e − x )

Função Cossecante Hiperbólica: y = cosech(x) =

1 2 = . senh(x) (e x − e − x )

Respostas: (a)

Função Seno Hiperbólico: y = senh(x) = (ex - e-x)/2 é função ímpar: f(-x) = -f(x); função estritamente crescente ∀x∈ℜ; D(f) = ℜ; Im(f) = ℜ; função contínua ∀x∈ℜ; não é função periódica.

(b)

Função Coseno Hiperbólico: y = cosh(x) = (ex + e-x)/2 é função par: f(-x) = f(x); função decrescente ∀x<0; função crescente ∀x>0; D(f) = ℜ; Im(f) = { y∈ℜ / y ≥ 1 }; função contínua ∀x∈ℜ; não é função periódica.

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas (c) Função Tangente Hiperbólica:

senh(x) (e x − e − x ) y = tgh(x) = = é cosh(x) (e x + e − x ) função ímpar: f(-x) = -f(x); função estritamente crescente ∀x∈ℜ; D(f) = ℜ; Im(f) = { y∈ℜ / -1 < y < 1 }; função contínua ∀x∈ℜ; a curva de y = tgh(x) não intercepta y = 1 a curva de y = tgh(x) não intercepta y = -1 não é função periódica. (d)

Função Cotangente Hiperbólica: 1 cosh(x) (e x + e − x ) = = y = cotgh(x) = é senh(x) tgh(x) (e x − e − x ) função ímpar: f(-x) = -f(x); função estritamente decrescente ∀x∈ℜ*; D(f) = ℜ*; Im(f) = { y∈ℜ / y > 1 ∨ y < -1 }; função contínua ∀x∈ℜ - {0}; y = cotgh(x) não intercepta y = 1 y = cotgh(x) não intercepta y = -1 y = cotgh(x) não intercepta o eixo dos y

(e)

Função Secante Hiperbólica: y = sech(x) =

1 2 = é cosh(x) (e x + e − x )

função par: f(-x) = f(x); CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas função decrescente ∀x>0;

função crescente ∀x<0; D(f) = ℜ; Im(f) = { y∈ℜ / 0 < y ≤ 1 }; função contínua ∀x∈ℜ; y = sech(x) não intercepta o eixo dos x não é função periódica. (f)

Função Cossecante Hiperbólica: y = cosech(x) =

1 2 = é senh(x) (e x − e − x )

função ímpar: f(-x) = -f(x); função estritamente decrescente ∀x∈ℜ*; D(f) = ℜ*; Im(f) = ℜ*; função descontínua ∀x=0; y = cosech(x) não intercepta o eixo dos x; y = cosech(x) não intercepta o eixo dos y; não é função periódica. (03)

Esboçar o gráfico das seguintes funções no plano cartesiano; quais sejam: (a)

Função Inversa do Seno Hiperbólico: y = argsenh(x ) se, e somente se, x = senh(y) ;

(b)

Função Inversa do Coseno Hiperbólico: y = arg cosh (x) se, e somente se, x = cosh (y) ∧ y ≥ 0 ;

(c)

Função Inversa da Tangente Hiperbólica: y = arg tgh(x) se, e somente se, x = tgh(y) ;

(d)

Função Inversa da Secante Hiperbólica:

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas y = arg sec h(x) se, e somente se, x = sec h(y) ∧ y ≥ 0 ; (e)

Função Inversa da Cossecante Hiperbólica: y = arg cos ech(x) se, e somente se, x = cos ech(y) ;

(f)

Função Inversa da Cotangente Hiperbólica: y = arg cot gh(x) se, e somente se, x = cot gh(y) .

Respostas: (a)

Função Inversa do Seno Hiperbólico: y = argsenh(x ) se, e somente se, x = senh(y) ;

(b)

Função Inversa do Coseno Hiperbólico: y = arg cosh (x) se, e somente se, x = cosh (y) ∧ y ≥ 0 ;

(c)

Função Inversa da Tangente Hiperbólica: y = arg tgh(x) se, e somente se, x = tgh(y) ;

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas

(d)

Função Inversa da Secante Hiperbólica: y = arg sec h(x) se, e somente se, x = sec h(y) ∧ y ≥ 0 ;

(e)

Função Inversa da Cossecante Hiperbólica: y = arg cos ech(x) se, e somente se, x = cos ech(y) ;

(f)

Função Inversa da Cotangente Hiperbólica: y = arg cot gh(x) se, e somente se, x = cot gh(y) .

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas

(04)

Determinar a expressão logarítmica que define cada uma das seguintes funções; quais sejame: (a)

y = arg senh (x) ;

(b)

y = arg cosh (x) ;

(c)

y = arg tgh(x) ;

(d)

y = arg sec h(x) ;

(e)

y = arg cos ech(x) ;

(f)

y = arg cot gh(x) .

Respostas: 2 y = arg senh (x) = ln (x + x + 1),∀x ∈ ℜ ;

(a)

Solução: y = arg senh (x) se, e somente se, x = senh (y) .

Logo, tem-se que: y −y e −e x = senh (y) = 2 2x = e y − e − y = e y −



2 x.e y = e 2 y − 1

1 e 2y − 1 = ey ey

(e y ) 2 − 2x.(e y ) − 1 = 0.

Resolvendo o trinômio do segundo grau em e y , tem-se que:

ey =

2x ± 4x 2 + 4 2

ey = x ± x2 +1

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas

ln(e y ) = ln(x ± x 2 + 1)



y = ln(x ± x 2 + 1) .

Mas, o logaritmando não pode ser menor que zero. Logo, resulta que: y = ln(x + x 2 + 1) . Portanto, tem-se que: y = senh −1 ( x ) = arg senh( x ) = ln(x + x 2 + 1) , ∀x ∈ ℜ . (b)

y = arg cosh( x ) = ln(x + x 2 − 1) ; ∀x ≥ 1

(c)

y = arg tgh (x ) = ln

(1 + x) , para | x |< 1 ; (1 − x)

Solução: y = arg tgh(x) se, e somente se, x = tgh(y) .

Logo, tem-se que: x = tgh(y) =

y −y e −e y −y e +e

xe y − xe − y = e y − e − y



( xe y − xe − y ).e y = (e y − e − y ).e

xe 2 y − x = e 2 y − 1

e

2y

(1 + x ) = (1 − x )

xe 2 y − e 2 y = −1 − x



(1 + x ) ln(e ) = 2 y = ln (1 − x )





1 (1 + x ) y = . ln 2 (1 − x )

2y



















y = ln











(1 + x ) . (1 − x )

Mas, deve-se observar que a condição para que ∃y ∈ ℜ é que

(1 + x ) > 0. (1 − x )

Logo, resolvendo a inequação quociente, tem-se que:

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas Ou seja: − 1 < x < 1 ⇔ | x |< 1 .

Consequentemente, resulta que: y = arg tgh(x) = tgh − 1 ( x ) = ln

(05)

(1 + x ) , ∀x ∈ ℜ tal que | x | < 1 . (1 − x )

(d)

2 y = arg sec h(x) = ln ((1+ 1-x )/x), para 0<x ≤ 1;

(e)

2 y = arg cos ech(x) = ln ((1/x)+(( x + 1)/ | x | )) , para x ≠ 0 ;

(f)

y = arg cot gh(x) = ln

1+x

, para | x | >1 .

x-1

Apresentar as principais características das seguintes funções; quais sejam: (a)

Função Inversa do Seno Hiperbólico;

(b)

Função Inversa do Coseno Hiperbólico;

(c)

Função Inversa da Tangente Hiperbólica;

(d)

Função Inversa da Secante Hiperbólica;

(e)

Função Inversa da Cossecante Hiperbólica;

(f)

Função Inversa da Cotangente Hiperbólica.

Respostas: (a)

Função Inversa do Seno Hiperbólico é função ímpar: f(-x) = -f(x); função estritamente crescente ∀x∈ℜ; D(f) = ℜ; Im(f) = ℜ; função contínua ∀x∈ℜ; não é função periódica.

(b)

Função Inversa do Coseno Hiperbólico é função não se classifica em par ou ímpar; função crescente ∀x∈ℜ; CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas D(f) = { x∈ℜ / x ≥ 1 };

Im(f) = { y∈ℜ / y ≥ 0 }; função contínua ∀x∈ℜ; não é função periódica. (c)

Função Inversa da Tangente Hiperbólica é função ímpar: f(-x) = -f(x); função estritamente crescente ∀x∈ℜ; D(f) = { x∈ℜ / -1 < x < 1 }; Im(f) = ℜ; função contínua ∀x∈ℜ; não é função periódica.

(d)

Função Inversa da Secante Hiperbólica é função não se classifica em par ou ímpar; função decrescente ∀x∈ D(f); D(f) = { x∈ℜ / 0 < x ≤ 1 }; Im(f) = { y∈ℜ / y ≥ 0 }; função contínua ∀x∈ℜ; não é função periódica.

(e)

Função Inversa da Cossecante Hiperbólica é função ímpar: f(-x) = -f(x); função decrescente ∀x∈ℜ*; D(f) = ℜ*; Im(f) = ℜ*; função descontínua para x = 0; não é função periódica.

CDCI/CMCD

Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios C08cC1 - Respostas (f) Função Inversa da Cotangente Hiperbólica é

função ímpar: f(-x) = -f(x); função decrescente ∀x∈D(f); D(f) = { x∈ℜ / x < -1 ∨ x > 1 }; Im(f) = ℜ*; função contínua para x ∈ D(f); não é função periódica.

CDCI/CMCD