Exercícios Resolvidos: Argumento De Número Complexo 6w2r18

N´ umeros Complexos

Diego Oliveira / Vit´oria da Conquista - BA

Exerc´ıcios Resolvidos: Argumento Contato:

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Revisado em 20/08/2016

O Que ´ e o Argumento? O argumento ´e o ˆ angulo (normalmente em radianos), formado pelo vetor que representa o numero complexo no plano de Argand-Gauss e o eixo da abscisa a partir do primeiro quadrante.

Como Encontrar? Dado um numero z = 2 + 3i desenhe um plano cartesiano e coloque nele o ponto (2,3). 4 3 2 1

(2,3)

1 2 3 Desenhe um vetor ligando a origem do plano com o ponto (2,3). 4 3 2 1

(2,3)

1 2 3 Cateto oposto Cateto adjacente e sen(θ) = determine o ˆangulo Hipotenusa Hipotenusa θ formado pelo eixo OX e o vetor determinado. Usando as rela¸c˜ oes cos(θ) =

4 3 2 1

(2,3)

θ 1 2 3

1

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EXERC´ ICIOS: √ √ 1. Obtenha o argumento do complexo z = − 2 − i 2. Solu¸ c˜ ao: O gr´ afico a seguir mostra o angulo θ formado pelo vetor z. √ − 2

√

θ

√

(− 2, − 2)

√ − 2

Do triˆ angulo retˆ angulo formado pelo vetor (em vermelho) e parte positiva do eixo OX deduz se que a hipotenusa igual a 2. q √ √ |z| = (− 2)2 + (− 2)2 = 2 √ √ O cateto oposto sera igual a − 2. E cateto adjacente igual a − 2. Portanto, √ cos(θ) = −

que implica em θ =

√ 2 2 e sen(θ) = − 2 2

5π rad. ou 225◦ . 4

2. Calcule os m´ odulo e o argumento do n´ umeros 2 + 3i. Solu¸ c˜ ao: (2,3)

3

θ 2 A hipotenusa do angulo formado pelo vetor (em vermelho) e a parte negativa do √ triangulo retˆ eixo OX ´e igual a 13 p √ |z| = 22 + 32 = 13 Sendo assim, 3 2 sen(θ) = √ e cos(θ) = √ 13 13 2

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Que implica em θ ≈ 56, 31◦ √ 3. Escreva na forma polar o complexo z = −2 + 2i 3. Solu¸ c˜ ao: Note que a representa¸c˜ ao geom´etrica de z forma um triˆangulo retˆangulo com a parte negativa do eixo OX.

2

θ -2 Representa¸ c~ ao geom´ etrica.

√ Cuja norma ´e igual a 2 2: |z| =

p

√ (−2)2 + (2)2 = 2 2

Pelo triˆ angulo formado sabe-se que: √ 2 2 (1) cos(θ) = − √ = − 2 2 2 e tamb´em √ 2 2 sen(θ) = √ = (2) 2 2 2 o que de (1) e (2) implica em θ = 135◦ ou

3 π. 4

Logo a forma polar ser´ a: z = |z|(cosθ + i · senθ) √ 3 3 z = 2 2 cos π + i · sen π 4 4

3

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√ 4. Escreva na forma polar o conjugado do complexo z = 1 − i 3. Solu¸ c˜ ao: Note que a representa¸c˜ ao geom´etrica de z forma um triˆangulo retˆangulo com a parte positiva do eixo OX

1

θ

√ - 3 Representa¸ c~ ao geom´ etrica.

cuja hipotenusa ´e igual a 2.

|z| =

q

√ 12 + ( 3)2 = 2

Com base no triˆ angulo formado sabe-se que: 1 (1) 2 √ 3 sen(θ) = − (2) 2

sen(θ) =

Onde de (1) e (2) deduz-se que θ = 300◦ ou

5 π rad. 3

5π 5π Logo, z = 2 cos + isen e seu conjugado ser´a: 3 3 5π 5π z = 2 cos − + isen − 3 3

5. Escreva na forma alg´ebrica o complexo z =

√ π π 2 cos + isen . 4 4

Solu¸ c˜ ao: Nesse caso ´e dado um z na forma polar e nos ´e solicitado a sua forma z = a + bi. π √2 π √2 Como cos = e sen = , ent˜ao: 4 2 4 2

4

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z=

√

√ 2

√ ! 2 2 +i =1+i 2 2

Se alguma agem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para [email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos e: www.number.890m.com 5