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3.2 Continuidad de funciones María Concepción González Enríquez

Intuitivamente una función es continua en un punto a si su gráfica no tiene rupturas sobre el punto a . Definición. Sea f : R → R y a ∈ Dom ( f ) , Se dice que f ( x ) es continua en a si lim f ( x ) = f (a ) . x →a

Es decir, si para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − a < δ entonces f ( x ) − f (a ) < ε . En palabras se deben cumplir tres condiciones: a debe estar en el dominio de f ( x ) , debe existir lim f ( x ) y se debe satisfacer la igualdad x →a

lim f ( x ) = f (a ) x →a

Ejemplos. 1. f ( x) = [x ] en a = 2 Está definida en a = 2 , pero no existe Por lo que f ( x) no es continua en a = 2 y

3

2

1 x 1

2

3

4

−1

x−2 en a = 2 x + 3 x − 10 No está definida en a = 2 , pero existe lim f ( x)

2. f ( x) =

2

x→ 2

x−2 x−2 1 1 lim f ( x) = lim 2 = lim = lim = x→ 2 x →2 x + 3 x − 10 x →2 ( x − 2)( x + 5) x→2 ( x + 5) 7 Por lo que f ( x) no es continua en a = 2

1

y

1

x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

−1

3.

f ( x) =

1 en x−2

a=2

No está definida en a = 2 , y no existe lim f ( x) x→ 2

Por lo que f ( x) no es continua en a = 2 y 2

1 x −2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

4.

1 en a = 2 x+2 Si está definida en a = 2 , y si existe 1 1 lim f ( x) = lim = = f ( 2) x→2 x→2 x + 2 4 Por lo que f ( x) si es continua en a = 2 f ( x) =

2

5

6

4

y 2

1 x −2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

5. Encuentre valores de a, b para que f ( x) sea continua si x ≤ −2 si − 2 < x < 1 si x ≥ 1

6   f ( x ) = ax + b  −3 

Para que sea continua los límites laterales deben existir y ser iguales En x = −2 y x = 1 que es donde la función cambia Pero lim f ( x ) = 6 , entonces lim f ( x ) = lim ax + b = 6 x →−2 −

x → −2 +

x → −2 +

→ a ( −2) + b = 6

Luego lim f ( x ) = −3 , entonces lim f ( x ) = lim ax + b = −3 x →1+

x →1−

x →1−

→ a (1) + b = −3

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales a ( −2) + b = 6 ⇒ a (1) + b = −3

3a = −9 a = −3, b = 0

Por lo tanto la función  6  f ( x ) = − 3 x  −3 

si x ≤ −2 si − 2 < x < 1 si x ≥ 1

Es continua. y 6 5 4 3 2 1 −4

−3

−2

−1

x 1

−1 −2 −3 −4

3

2

3

4

5

Definición. Sea f : R → R se dice que f ( x ) es discontinua en a , si f ( x ) no es continua en a . Existen dos tipos de discontinuidad: Discontinuidad removible. f ( x ) tiene una discontinuidad removible en a , si existe lim f ( x ) x →a

y f ( x ) no está definida en a o lim f ( x ) ≠ f (a ) . x →a

Discontinuidad escencial. f ( x ) tiene una discontinuidad escencial en a , si no existe lim f ( x ) . x →a

Ejemplos. x−2 en a = 2 x + 3 x − 10 No está definida en a = 2 , pero existe x−2 x−2 1 1 = lim = lim = lim f ( x ) = lim 2 x →2 x→2 x + 3 x − 10 x→2 ( x − 2)( x + 5) x →2 ( x + 5) 7 Por lo que f ( x ) no es continua en a = 2

i) f ( x ) =

2

Y se tiene discontinuidad removible. y

1

x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

1 ii) f ( x ) = en a = 0 x f ( x ) no está definida en cero y tampoco existe lim f ( x ) por lo x→0

tanto se tiene una discontinuidad esencial en a = 0 iii)

[ x ] en a = 4 f ( 4) = [ 4 ] = [2] = 2 está definida, pero

f ( x) =

lim f ( x ) = 2

x →4 +

Por lo tanto no existe lim f ( x ) x→4

4

lim f ( x ) = 1 y

x → 4−

Tenemos una discontinuidad esencial en a = 4 y 4 3 2 1 x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1 −2

Una discontinuidad removible permite construir otra función a partir de la inicial de tal manera que resulte continua. Ejemplo. f ( x ) = f (1) =

x −1 en a = 1 x +3 −2

0 es decir la función no está definida en a = 1 , luego trabajamos 0

algebraicamente el límite correspondiente lim f ( x ) = lim x →1

x →1

x −1 x −1 = lim x → 1 x+3 −2 x+3 −2

x+3 +2 x+3 +2

( x − 1)( x + 3 + 2) x +3−4 ( x − 1)( x + 3 + 2) = lim x →1 x −1 = lim x + 3 + 2 = 4

= lim x →1

x →1

Como si existe el límite, tenemos una discontinuidad removible en a = 1 , Lo cual nos permite definir la nueva función  x −1  si x ≠ 1 g( x) =  x + 3 − 2  4 si x =1

La cual resulta continua en a = 1 . Teorema. Sean f ( x ) y g ( x ) funciones continuas en a , entonces i) ( f + g )( x ) es continuas en a , ii) ( fg )( x ) es continua en a iii) ( f / g )( x ) es continua en a , si g (a ) ≠ 0 . Demostración. i) Como f ( x ) y g ( x ) son continuas en a ,

5

lim f ( x ) = f (a ) y lim g ( x ) = g (a ) y por el teorema de límites x →a

x →a

lim( f + g )( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) = f (a ) + g (a ) x →a

x →a

x →a

Por lo tanto ( f + g )( x ) es continua en a . En forma similar se justifican las demás afirmaciones. Ejemplo. f ( x ) = x 3 − x y g ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 4 x son continuas en a = −2 entonces i) ( f + g )( x ) = x 4 + x 3 + 2 x 2 + 3 x es continuas en a = −2 , ii) ( fg )( x ) = x 7 + x 5 + 4 x 4 − 2 x 3 − 4 x 2 es continua en a = −2 x3 − x es continua en a = −2 porque x4 + 2x2 + 4x g (−2) = ( −2) 4 + 2( −2) 2 + 4( −2) = 16 + 8 − 8 = 16 ≠ 0 ( f / g )( x ) =

iii)

Teorema. Si lim f ( x ) = f (a ) y

g

x →a

es continua en f (a ) , entonces

( g o f )( x ) es continua en a .

Demostración. Como g es continua en f (a ) , podemos escribir lim g (t ) = g ( f (a ))

t→ f (a )

También lim f ( x ) = f (a ) , tomando f (a ) = L x →a

Y aplicando el teorema de límites: Si lim f ( x ) = L y lim g (t ) = g ( L) entonces existe lim( g o f )( x ) y x →a

t →L

x →a

lim( g o f )( x ) = g ( L) = g ( f (a )) = g (lim f ( x )) . x →a

x →a

Ejemplo. f ( x ) = 3 x + 5 es continua en a = 5 y g ( x ) = x es continua en f (5) = 20 entonces ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = 3 x + 5 es continua en a = 5 . También existen los términos de continuidad por la izquierda o continuidad por la derecha en un punto: Una función f definida en a es continua por la izquierda en el punto a si existe lim f ( x ) y lim f ( x ) = f (a ) x →a −

x →a −

Una función f definida en a es continua por la derecha en el punto a si existe lim f ( x ) y lim f ( x ) = f (a ) x →a +

x →a +

x− x

Ejemplo. f ( x ) =  x 

si x ≠ 0

2 si x = 0

6

x− x x−x 0 = = =0 x x x x − x x − (− x ) 2 x Para x < 0 tenemos = = =2 x x x

Para x > 0 tenemos

La función es continua por la izquierda en cero y no es continua por la derecha en cero. Su gráfica es la siguiente: y 3 2 1 x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3 −4

Definición. Sea f : R → R se dice que f ( x ) es continua en un conjunto A ⊆ R si f ( x ) es continua en a para cada a ∈ A . Ejemplo. Determine el conjunto donde es continua cada una de las funciones i) f ( x ) = 2 x − [2 x ] son continuas en a, Notamos que si está definida en k ≤ 2 x < k + 1 , entonces k k +1 ≤x< 2 2 y [2 x ] = k , la gráfica de la función es la siguiente y 2

1 x −2

−1

1

2

3

−1

−2

Es continua en R −  : k ∈ Z  k 2

i)

f ( x) =



x + 4 x − 5 es continua en 2

7

(− ∞,−5] U [1, ∞ )

f ( x) =

ii)

1

es continua en el intervalo abierto (− 1,1)

1− x2 4x + 8 4x + 8 f ( x) = = 6 − 2x 6 − 2x 4 x + 8 ≥ 0 → 4 x ≥ −8 → x ≥ −2

iii)

6 − 2x > 0 → 6 > 2x → 3 > x

Por lo tanto es continua en [− 2,3) Funciones continuas. i) lim C = C x →a

ii)

lim x = a

iii)

lim(b0 + b1 x + K + bn x n ) = b0 + b1a + K + bn a n

x →a

x →a

Implican que las funciones f ( x ) = C , son continuas en todos los reales y f ( x) =

a0 + a1 x + K + an x n b0 + b1 x + K + bm x m

I ( x ) = x,

f ( x ) = b0 + b1 x + K + bn x n

es continua en x ∈ R donde

b0 + b1 x + K + bm x m ≠ 0

Teorema. Si f es continua en a y c < f (a ) < d entonces existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − a < δ entonces c < f ( x ) < d . Demostración. Como 0 < f (a ) − c y 0 < d − f (a ) , tomamos ε = min{ f (a ) − c, d − f (a )} Entonces

ε < d − f (a ) → f (a ) + ε < d ε < f (a ) − c → c < f ( a ) − ε

para ε > 0 , existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf f ( x ) − f (a ) < ε o

y

x − a < δ entonces

− ε < f ( x ) − f (a ) < ε − ε + f ( a ) < f ( x ) < ε + f (a ) c < −ε + f (a ) < f ( x ) < ε + f (a ) ≤ d

Por lo tanto c < f ( x) < d .

8

Se pueden expresar algunas versiones particulares de este resultado, como las siguientes. i) ii) iii) iv)

Si f es continua en a y f (a ) < d entonces existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − a < δ entonces f ( x ) < d . Si f es continua en a y c < f (a ) entonces existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − a < δ entonces c < f ( x ) . Si f es continua en a y 0 < f (a ) entonces existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − a < δ entonces 0 < f ( x ) . Si f es continua en a y f (a ) < 0 entonces existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − a < δ entonces f ( x ) < 0 .

Existen propiedades importantes para funciones continuas definidas en un intervalo cerrado Definición. Se dice que una función f definida sobre [a, b] , es continua sobre [a, b] , si f es continua en el intervalo abierto (a, b ) , existen los límites lim f ( x ) , lim f ( x ) y lim f ( x ) = f (a ) y lim f ( x ) = f (b) x →a +

x →b −

x →b −

x →a +

Teorema del valor intermedio. Sea f continua sobre [a, b] y f (a ) < f (b) , si t es un número tal que f (a ) < t < f (b) entonces existe c ∈ (a , b) tal que f (c ) = t . Demostración. Consideramos el conjunto S = {x ∈ [a, b] : f ( x ) < t }, Como a ∈ S , S ≠ φ y S está acotado superiormente por b , por el axioma del supremo, S tiene supremo, sea sup S = c c ∈ [a, b] implica que f (c ) < t o f (c ) = t o f (c ) > t Por contradicción. Si f (c ) < t , c ≠ b porque t < f (b) , entonces f es continua en c y por i) de las afirmaciones anteriores, existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − c < δ entonces f ( x ) < t . Para las x tales que c < x < c + δ Se tiene f ( x ) < t , lo que contradice que c = sup S = sup{x ∈ [a, b] : f ( x ) < t }, por lo que no puede ser que f (c ) < t . Si f (c ) > t , entonces c ≠ a y f es continua en c y por ii) de las afirmaciones anteriores, existe δ > 0 tal que si x ∈ Domf y x − c < δ entonces f ( x ) > t . 9

Como δ > 0 y sup S = c , existe x ∈ S tal que c − δ < x Pero si x ∈ S , f ( x ) < t lo cual contradice f ( x ) > t . Así que f (c ) = t y c ≠ a , c ≠ b , es decir c ∈ (a, b) . Ejemplo. La función f ( x ) = x 2 − 2 x en el intervalo [1,5] con t = 8 . f (1) = −1 , f (5) = 15 y − 1 < 8 < 15 f (c ) = 8 → c 2 − 2c = 8 → c 2 − 2c − 8 = 0 = (c − 4)(c + 2) → c = 4 o c = −2 Pero c = 4 ∈ [1,5] y satisface f (4) = 16 − 8 = 8 x2 + x 5 en el intervalo  ,4 con t = 6 . x −1 2  20 35 40  5  35 , f ( 4) = y <6< f = 3 6 6 2 6 2 c +c f (c ) = 6 → = 6 → c 2 + c = 6c − 6 c −1 → c 2 − 5c + 6 = 0 = (c − 3)(c − 2)

Ejemplo. La función f ( x ) =

→ c=2 o c=3 5 12 Pero c = 3 ∈  ,4 y satisface f (3) = = 6 2 2 

x −5 x −5 = en el intervalo [4,6] x − 3 x − 10 ( x − 5)( x + 2) 1 1 1 1 1 no es continua, f (4) = , f (6) = y < < , pero no existe c ∈ ( 4,6) tal 6 8 8 7 6 1 que f (c) = 7

Ejemplo. La función f ( x ) =

2

Corolario. Sea f continua sobre [a, b] , si f (a ) y f (b) tienen signos opuestos entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c ) = 0 . Este último resultado es de gran utilidad para dar aproximaciones de las raíces de polinomios que no son exactas. Ejemplo. Demuestre que el polinomio x 6 − 3 x − 1 tiene un cero o raíz en [− 1,0] y otra en [1,2]. Tomamos f ( x ) = x 6 − 3 x − 1 f ( −1) = 1 + 3 − 1 = 3 > 0 , f (0) = −1 < 0 y − 1 < 0 < 3 entonces existe c ∈ (−1,0) tal que f (c ) = 0

10

luego: f (1) = 1 − 3 − 1 = −3 < 0 , f ( 2) = 64 − 6 − 1 = 57 > 0 y − 3 < 0 < 57

entonces existe c ∈ (1,2) tal que f (c ) = 0 . Ejemplo. Demuestre que el polinomio 3 x 2 + 10 x − 8 tiene un cero o raíz en [0,1] y de una aproximación de la raíz. Tomamos f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 8 f (0) = −8 < 0 , f (1) = 3 + 10 − 8 = 5 > 0 y − 8 < 0 < 5 entonces existe c ∈ (0,1) tal que f (c ) = 0 la primera aproximación para la raíz en c ∈ (0,1) es el punto medio del intervalo c1 =

0 +1 1 1− 0 = con un error e < = 0.5 2 2 2

9 1 3 1  f   = + 5 − 8 = − < 0, f (1) > 0 , entonces existe c ∈  ,1 tal que f (c ) = 0 4 2 4 2  1 la segunda aproximación para la raíz en c ∈  ,1 2  (1 / 2) + 1 3 es el punto medio del intervalo c2 = = = 0.75 con un error 2 4 1 − (1 / 2) e< = 0.25 2 19  3  27 30 1 1 3 f = + −8 = > 0, f   < 0 , entonces existe c ∈  ,  tal que 16  4  16 4 2 2 4 f (c ) = 0 1 3 la tercera aproximación para la raíz en c ∈  ,  2 4 (1 / 2) + (3 / 4) 5 es el punto medio del intervalo c3 = = = 0.625 con un error 2 8 e < 0.125 37  5  75 50 3 5 3 f = + −8 = − < 0, f   > 0 , entonces existe c ∈  ,  tal que 64  8  64 8 4 8 4 f (c ) = 0 5 3 la cuarta aproximación para la raíz en c ∈  ,  8 4 (5 / 8) + (3 / 4) 11 es el punto medio del intervalo c4 = = = 0.6875 con un error 2 16 e < 0.0625 , es decir el valor de la raíz está en el intervalo (0.6875 − 0.0625,0.6875 + 0.0625) = (0.625,0.75) y se puede verificar que la raíz 2 2 12 20 4 20 exacta es c = = 0.666 puesto que f   = + − 8 = + − 8 = 8 − 8 = 0 3 3 3 3 3 9

11

Definición. Una función f definida en un conjunto A se dice que está acotada superiormente sobre A si existe un número real M tal que f ( x ) ≤ M para todo x ∈ A . f se dice acotada inferiormente sobre A si existe un número real N tal que N ≤ f ( x ) para todo x ∈ A . Si f está acotada superior e inferiormente sobre A se dice que f es acotada sobre A . Teorema fuerte de continuidad 1. Si f es continua sobre [a, b] , entonces i) f está acotada superiormente en [a, b] . ii) f está acotada inferiormente en [a, b] . Demostración. i) Consideramos el conjunto

A = {x ∈ [a, b] : f está acotada superiormente en [a, x ]}

Como a ∈ A , A ≠ φ y A está acotado superiormente por b , por el axioma del supremo, A tiene supremo. Como b es cota superior de A , sup A ≤ b Si sup A < b ( f está acotada superiormente en [a, x ] para x ≤ sup A ) y como f es continua en sup A , por i) de las afirmaciones, existe δ > 0 tal que si x ∈ [a, b] y x − supA < δ entonces f está acotada superiormente en (sup A − δ , sup A + δ ) tomamos x0 ∈ (sup A − δ , sup A) y x1 ∈ (sup A, sup A + δ ) f está acotada en [a , x0 ] , y f está acotada en [ x0 , x1 ] por lo que f está acotada en [a , x1 ] de aquí que x1 ∈ A y sup A < x1 , lo que es una contradicción Por lo tanto sup A = b Puede suceder que sup A no sea elemento de A Pero f es continua por la izquierda en b , existe δ > 0 tal que f está acotada en (b − δ , b] , para algún x0 tal que b − δ < x0 < b f está acotada en [a , x0 ] y está acotada en [ x0 , b] , por lo tanto esta acotada en [a, b] . ii) Si f es continua sobre [a, b] , entonces también − f es continua sobre [a, b] , y − f es acotada superiormente, es decir existe N ∈ R tal que − f ( x ) ≤ N para todo x ∈ [a, b ]

12

Por lo tanto f ( x ) ≥ − N , para todo x ∈ [a, b] , es decir f está acotada inferiormente. Ejemplo. La función f ( x ) =

1 x

en el intervalo [2,4] es continua y está 1 1 respectivamente. y 2 4

acotada superiormente e inferiormente por y

1

x 1

2

3

4

5

6

−1

Ejemplo. La función f ( x ) =

1 ( x − 1) 2

en el intervalo [0,2] no es continua y

no está acotada superiormente y si inferiormente por cero. y 8 7 6 5 4 3 2 1 −1

Ejemplo. La función f ( x ) =

−1

x 1

2

3

4

3x − 1 en el intervalo x − x−6 2

no está acotada superiormente ni inferiormente.

13

(− 2,3) es continua y

y 4 3 2 1 −4

−3

−2

−1

x 1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4 −5

Definición. Sea f definida sobre [a, b] y c ∈ [a, b] . Se dice que c es un punto máximo de f sobre [a, b] , si f (c) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [a, b] . A f (c) se le llama valor máximo de f sobre [a, b] . Definición. Sea f definida sobre [a, b] y c ∈ [a, b] . Se dice que c es un punto mínimo de f sobre [a, b] , si f (c) ≤ f ( x ) para todo x ∈ [a, b] . A f (c) se le llama valor mínimo de f sobre [a, b] . Teorema fuerte de continuidad 2. Si f es continua sobre [a, b] , entonces i) Existe c ∈ [a, b] tal que f (c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [a, b] . ii) Existe c ∈ [a, b] tal que f (c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ [a, b] . En otras palabras, si f es continua sobre [a, b] , f alcanza su máximo y alcanza su mínimo en [a, b] . Demostración. i) Como f es continua sobre [a, b] , por el primer teorema fuerte, f está acotada superiormente en [a, b] y Im( f ) = { f ( x ) : x ∈ [a , b]} ≠ φ

Por el axioma del supremo, Im( f ) tiene supremo, digamos α = sup(Im( f ) ) . P.D. α = f (c ) para algún c ∈ [a, b] Si α ≠ f ( x ) para todo x ∈ [a, b] , podemos definir la función 1 con x ∈ [a, b] , la cual es continua en el intervalo [a, b] y por α − f ( x) lo tanto acotada en [a, b] . Pero como α = sup(Im( f ) ) , para ε > 0 , existe x ∈ [a, b] tal que α − ε < f ( x) o α − f ( x) < ε Y 0 < α − f ( x ) porque α = sup(Im( f ) ) g( x) =

14

Entonces

1

ε

<

1 1 , es decir que g ( x ) = no es acotada, lo cual α − f ( x) α − f ( x)

es una contradicción. Por lo tanto α = f (c ) para algún c ∈ [a, b] . Ejemplo. La función f ( x ) = − x 2 − 2 x + 1 en el intervalo [− 2,0] es continua y alcanza su máximo en c1 = −1 ∈ [− 2,0] , el máximo es f (−1) = 2 . Su mínimo lo alcanza en c2 = −2 ∈ [− 2,0] y en c3 = 0 ∈ [− 2,0] y el mínimo es f ( −2) = 1 y

2

1

x −2

−1

1

−1

Ejemplo. Encuentre el máximo y el mínimo de f ( x ) =

[5,10] .

12 en x − 5x + 6 2

f es continua sobre el intervalo y tenemos 2 ≤ x − 3 ≤ 7  5 ≤ x ≤ 10 →   → 6 ≤ ( x − 3)( x − 2) ≤ 56 3 ≤ x − 2 ≤ 8  1 1 1 ≤ ≤ 56 ( x − 3)( x − 2) 6

12 12 12 ≤ 2 ≤ 56 x − 5 x + 6 6

Su máximo es 2 y lo alcanza en x = 5 , su mínimo es en x = 10.

15

12 3 = y lo alcanza 56 14

y 2

1

x 1

Ejemplo. La función g ( x ) =

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

− x 3 − 3 x 2 − x + 1 (− x 2 − 2 x + 1)( x + 1) = en el x +1 x +1

intervalo [− 2,0] , no es continua y no alcanza su máximo pero si su mínimo. y 2

1

x −2

−1

Ejemplo. La función f ( x ) = − x +

1

5 en el intervalo (−1,2) es continua, 2

pero no alcanza su máximo ni su mínimo. y 4

3

2

1 x −1

1

2

3

−1

BIBLIOGRAFIA 1. Haaser, LaSalle, Sullivan. Análisis Matemático. Vol. 1 Ed. Trillas 2. Spivak Michael. Cálculus. Ed. Reverte. 3. Kosmala A. J. Witold. Advanced Calculus. Prentice Hall. 16