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VICERRECTORÍA ACADÉMICA INSTITUTO DE MATEMÁTICA, FÍSICA Y ESTADÍSTICA ÁREA MATEMÁTICA

Taller 4 -MAT-171 2018-10

Problema 1.- (15 puntos) La Utilidad marginal diaria, en dólares,de una empresa está dada por la función U

,

x   2 

x x 2  900

, donde x es el número diario de

unidades vendidas. Se sabe que la empresa pierde US$130 por día cuando vende 40 unidades diarias. a) Determinar la expresión que representa la función utilidad de la empresa b) Calcular la Utilidad de la empresa al vender 60 unidades diarias. Desarrollo:

Problema 2.- (15 puntos) Una compañía produce dos tipos de tuercas, una que vende a US $3 y otra que vende a US $2 . Los ingresos totales, en miles de dólares, de la venta de x miles de tuercas que vende a US $3 cada una e y miles de tuercas que vende a US $2 , están dados por R  x, y   3x  2 y . La compañía determina que el Costo total, en miles de dólares, de producir x miles de pelotas a US $3 e y miles a US $2 , están dados por la función C  x, y   2x2  2xy  y 2  9x  6 y  7 a) Determine el número de tuercas de cada tipo necesarias para que la compañía obtenga la Utilidad máxima. b) Calcular esta máxima Utilidad que obtiene la compañía. Recordar: Utilidad  Ingresos  Costos Desarrollo:

Problema 3.- (15 puntos) Considere la región R  IR encerrada entre las gráficas 2

de ecuaciones y  x  2 e y  4  x 2 , medido en decámetros (1 decámetro equivale a 10 metros). Calcular, a través de integrales, el Área de R . Y calcule el precio si se sabe que el mt 2 de terreno tiene un valor de $30.000 , calcular el precio que pagará la

empresa

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Problema 4.- (15 puntos) La población de una ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial de 5.000 aumenta en un 30% en 5 años. a) Exprese la ecuación diferencial que permite determinar el número de personas en el tiempo b) ¿Cuál será la población dentro de 15 años? c) Determine el tiempo necesario para que la población inicial se cuadriplique.

Problema Extra.- Un estanque contiene 500 galones de agua, en la que se han disuelto 100 libras de sal. Se bombea agua pura hacia el deposito a razón de 5 gal/min, y cuando la solución esta homogénea, se bombea hacia afuera con la misma rapidez. a) Determine una ecuación diferencial para la cantidad de sal A(t ) en el estanque en el tiempo t b) ¿Cuál es la cantidad de sal en el tiempo t  5 ?

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