Ejercicios De Desigualdades 6t1y2

Cuestionario Respuestas

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1) Una inecuación o desigualdad con una variable (incógnita) es un enunciado en que se presentan dos expresiones, al menos una con la variable y entre ellas uno de los símbolos de desigualdad. Si en una ecuación sustituímos el signo de igualdad por el de desigualdad se tiene una inecuación. Nota: Desigualdad en la variable es lo mismo que inecuación. Es frecuente omitir la expresión “en la variable” quedando claro que se tiene una desigualdad en la variable.

2) Una solución de una inecuación es un valor de la variable que hace que la desigualdad sea un enunciado verdadero. De manera equivalente: Si al sustituir la variable por un número a se obtiene una enunciado verdadera entonces a es solución de la desigualdad. El conjunto solución es el conjunto de todas las soluciones de una desigualdad. Resolver una inecuación es encontrar el conjunto solución. Es el proceso en que se encuentra todas las soluciones de la inecuación.

3) Para verificar que un número es solución se sustituye la variable por el número, el número es solución si y sólo si el enunciado resultante es es verdadero Ejemplo

x2  2x  5

2 es solución pues al sustituir x por 2 se obtiene un enunciado verdadero

4 no es solución pues al sustituir x por 4 se obtiene un enunciado falso

22  2  2  5

42  2  4  5

49 4)

verdadero

16  13

falso

En general, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. Los conjuntos solución más frecuentes son intervalos o uniones de intervalos. Por ejemplo x>0 tiene infinitas soluciones, entre las que están los números naturales. Sin embargo, hay otros tipos de conjunto solución.

x  12  0

x  1

2

0

No tiene solución. Decimos que el conjunto solución es vacio y lo denomtamos por Una cantidad al cuadrado es positiva o igual a cero, nunca negativa



Tiene una única solución: 1. Observe que el lado izquierdo es una cantidad positiva salvo en 1 que es cero.

5) Las desigualdades dobles del tipo a<x
Desigualdad

Gráfica

 ,   b,  

 x

b,  

xb

 , a 

xa

a

 , a 

xa

]

xb

b

a

a xb

Intervalo abierto

a, b



b

a

a xb

[

a

b

[

]

a, b  Intervalo semiabierto

Intervalo cerrado

a

a xb

Intervalo semiabierto

a, b

[

b

Intervalos finitos

a, b 



a xb

a

]

b

b

7) Dos desigualdades son equivalentes si tienen las mismas soluciones 8) Ir haciendo transformaciones a la inecuación que produzcan inecuaciones equivalente hasta obtener una con solución evidente o que sepamos resolver. 9) Leyes que conservar el sentido de la desigualdad Ley aditiva o de la suma

Si a  b  a  c  b  c y a  c  b  c Si se suma o se resta una misma cantidad a ambos de una desigualdad el sentido de la desigualdad resultante es el mismo. Ley de la multiplicación por un factor positivo

a b Si a  b y c  0  ac  bc y  c c

El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por una misma cantidad positiva 10) Leyes que invierten el sentido de la desigualdad Ley de la multiplicación por un factor negativo

a b Si a  b y c  0  ac  bc y  c c Ejemplo 3 5  3  5   3   2  5   2 y  Propiedades similares se tienen para los  2  2 otros símbolos de desigualdad

11)Como la variable representa un número podemos aplicar las propiedades de las desigualdades. Siempre podremos en una desigualdad sumar o restar una expresión en la variable. Sin embargo, cuando se aplique la propiedad de la multiplicación con una factor que contenga la variable se debe garantizar que la expresión es siempre positiva o siempre negativa. Por ejemplo, la expresión x2+1 es siempre positiva, podemos multiplicar ambos de una desigualdad por esta expresión y se obtendrá una desigualdad equivalente con el mismo sentido. 12) Podemos abreviar el paso de sumar una misma expresión a ambos lados de una desigualdad

3x  2 x  3

2x está sumando en el lado derecho

3x-2x < 2x-3-2x 3x-2x < -3

En el miembro derecho reducimos términos semejantes

2x quedó restando en el otro miembro

Podemos ir de la primera a la última desigualdad, diciendo que si un término está sumando pasa restando. También podemos verificar que si está restando pasa sumando al otro miembro

12) Continuación. Sin embargo, cuando se tiene una cantidad que está multiplicando hay que considerar el signo. Si la cantidad es positiva podemos ir de la primera a la tercera linea

2x  4 2x < 4

2

2

4 x 2

2 está multiplicando en el lado izquierdo Dividimos ambos por 2 y el sentido de la desigualdad no cambia 2 quedó dividiendo en el otro miembro

Podemos hacer un análisis similar si la cantidad está dividiendo. Vemos entonces que si la cantidad es positiva podemos ir de la primera a la tercera linea diciendo que si una cantidad positiva está multiplicando (dividiendo) pasa al otro lado dividiendo (multiplicando) y el sentido de la desigualdad no cambia. Si la cantidad es negativa y está multiplicando (dividiendo) podemos verificar que podemos pasarla al otro miembro dividiendo (multiplicando) y el sentido de la desigualdad se invierte.

13) No podemos, a menos que la expresión tenga un solo signo. Si la expresión contiene la variable, muchas veces la expresión toma valores negativos para algunos valores de x y para otros valores de x toma valores positivos. Ejemplo

x 4 x 1

No podemos pasar x+1 multiplicando Pues algunos valores de la variable la expresión es negativa y para otros es positivo

5 x 2 x 1

Podemos pasar x2+1 multiplicando pues ella siempre es positiva