Ecuaciones Diferenciales; Caracteristicas Y Deficiniciones 6354l

JOSE FÉLIX FRAGOSO SÁNCHEZ 4TO SEMESTRE INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES SISTEMAS DE ECUACIONES 02 DE JULIO DE 2016

CONTENIDO Sistemas de ecuaciones 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS....................................................4 Introducción....................................................................................................... 4 Importancia..................................................................................................... 5 Clasificación de las ecuaciones diferenciales..........................................................7 Origen de las ecuaciones diferenciales, modelos fisicos.........................................12 Definición y conceptos generales........................................................................16 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden..............................................18 Interpretación geométrica de las soluciones de la ecuación diferencial y′= F (x, y) Ecuaciones diferenciales ordinarias a variables separables. Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas

.....21

....................................21

..................................................25

2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

........................27

.................................................28

.............29 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas a coeficientes constantes ........................................................................33 Ecuaciones diferenciales exactas ...........................................35 Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden ..............................................37 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ...........................39 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea a coeficientes constantes

.....39

Ecuación diferencial de una familia de curvas.......................................................43 Ecuaciones lineales y reducibles a lineales: ecuaciones de bernoulli...........................44 Ecuación de bernouilli........................................................................................ 47 Raíces reales distintas....................................................................................... 49 Raíces reales repetidas..................................................................................... 49 Raíces reales complejas.................................................................................... 50 3.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN N..............................52 Método de coeficientes indeterminados................................................................53 Método de variación de parámetros.....................................................................56

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Ecuaciones lineales euler-cauchy........................................................................57 4.- SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.................................59 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales......................................60 5.- TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES............................62 Funciones especiales........................................................................................ 62 Función gama................................................................................................... 62 Función de beta................................................................................................ 63 Transformada de lapace, definición......................................................................66 Teoría sobre las propiedades.............................................................................. 67 Función unitaria (heaviside)................................................................................ 68 Teorema de traslación........................................................................................ 71 Transformada inversa de Laplace........................................................................75 Uso de tablas................................................................................................... 78 Teoremas sobre las propiedades.........................................................................79 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................... 83

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1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

Introducción Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas.

Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas iten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta, clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numeroso casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

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La matemática pura centra el foco formal en la solución, su existencia y si es o no única. La aplicada controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta.

La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.

En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton:

Importancia Isaac Newton se daba cuenta de la importancia que tenían las ecuaciones diferenciales para el análisis de los fenómenos de la naturaleza. En sus renombrados "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana, empiezan con la ecuación diferencial del movimiento. Esta ecuación se considera como axioma, mientras que los planteamientos posteriores Página 5 de 90

de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como de la ley de gravitación universal que se desgaja de los hechos experimentales (leyes de Kepler) y del mencionado axioma: md2s/dt2 = F.2

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantearse, siendo F una relación o función, como

... para representar la EDO en que la función incógnita (también conocida como variable dependiente), lo es de una única variable independiente.

En general, una ecuación diferencial lineal de orden n puede formularse, siendo cada ai una función dependiente de t, como:

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Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO): Ejemplo:

Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplo:

En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.

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Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación: Por ejemplo:

a) , esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que está definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

b) y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3

c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma

en la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias es el hecho de que no aparecen derivadas parciales. Por ejemplo, Página 8 de 90

son todas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

En general, el orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. En este capítulo nos concentraremos únicamente en ecuaciones diferenciales de primer orden, y dejaremos para después el estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior.

Aunque es forzoso que una ecuación diferencial incluya una derivada de primer orden, es posible que, por su parte, la variable independiente y la variable dependiente están ausentes en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación diferencial

no aparece ni y ni x de manera explícita, mientras que en la ecuación

no aparece explícitamente x.

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Una función que satisface una ecuación diferencial dada dentro de algún intervalo I se dice solución de esa ecuación diferencial en I. Por ejemplo, la función y dada por

es una solución de la ecuación diferencial

hecho que puede comprobarse sustituyendo y(x) en la ecuación diferencial. Notemos que la solución y(x)=e^ está definida para todo número real

x. Por

supuesto, hay casos en los que una solución de una ecuación diferencial dada puede estar definida sólo dentro de un intervalo específico. Por ejemplo, Y(X)= ln x es una solución de la ecuación diferencial y'x=1 que sólo está definida para valores de x en el intervalo (0,&)

Otra cosa que podemos notar de inmediato es que la solución de una ecuación diferencial no es, en la mayoría de los casos, única. Por ejemplo, cualquier función que venga dada por una ecuación de la forma:

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Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que: La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y (n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,..., an dependen solo de la variable x.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tienen las siguientes: a) y''+xy'-3y=e2x , b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:

b) (1-y) y'' - 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' también depende de y.

c) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y

d) y'' + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal. Página 11 de 90

e) (y''')3 + xy'' - 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y''' es 3 y para ser lineal debe ser 1

Origen de las ecuaciones diferenciales, modelos fisicos

Modelos Físicos, Modelos Matemáticos Cualquier tentativa de diseño de diseño de un sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente.

Tal predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción se le llama modelo matemático. Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales.

Conjunto Fundamental De Soluciones Todo conjunto y1, y2,...,yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Dependencia O Independencia Lineal

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Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Ecuación Auxiliar Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay + by + cy = 0 (2) Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y y = m2emx de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx(am2 + bm + c) = 0

Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática am2 + bm + c = 0

Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica. Página 13 de 90

Sistema de ecuaciones. Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

  

Hay exactamente una solución. Un número infinito de soluciones. No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Consideremos los siguientes problemas

Problema 1

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¿Cuáles serán las curvas que verifican que la pendiente en cada uno de sus puntos es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto? Planteo: y dy  2 (x y) dx

P(x,y)

yx

y = y(x) ?

y'  2 (x y)

x

x

función incógnita derivada de la función y variable independiente

Una ecuación de este tipo se llama ecuación diferencial ordinaria.

Problema 2

¿Cuál será el camino recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 segundos el cuerpo recorre 100 metros y en 15 segundos 200 metros? Planteo: v (t )  k x (t )



x ' (t )  k x (t )



x'  k x

derivada de la función incógnita x

función incógnita

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En esta ecuación k es la constante de proporcionalidad y la variable independiente es t (tiempo). Además debe verificarse que

x (10)  100

,

x (15 )  200

Este problema también se modeliza mediante una ecuación diferencial ordinaria y ciertas restricciones. Para dar respuesta a estos problemas tendremos que “aprender” a resolver este tipo de ecuaciones.

Definición y conceptos generales Definición: una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que relaciona una variable independiente derivadas

y ' , y " , ......, y ( n )

x

, una función incógnita

Ejemplos:

y sus

, es decir, una ecuación de la forma:

G ( x, y , y ' , y " , ......, y ( n ) )  0

ó

y  y (x)

y ( n )  F ( x, y, y ' , y " , ......, y ( n 1) )

(forma implícita)

(1)

(forma explícita)

y '3 x y 0

x y " '  4 y ' x 3 y  cos x

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dy  x2 y  x  0 dx

La ecuación diferencial se llama ordinaria porque la función incógnita depende de una sola variable independiente. Si la función incógnita depende de dos o más variables independientes, la ecuación diferencial contendría derivadas parciales por lo que a estas ecuaciones se las llama ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación.

Ejemplos:

y " 2 y '  x

EDO de segundo orden

4 x y " ' 3 y  sen x

EDO de tercer orden

Una solución de la ecuación diferencial (1) en un intervalo

 (x)

I R

es una función

que ite derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive en I, tal que al

sustituir y por

 ( x)

en la ecuación diferencial la convierte en una identidad, es

decir

 ( x)

es solución de la ecuación (1) Página 17 de 90

 G ( x ,  ( x ) ,  ' ( x ), .......,  ( n ) ( x ) )  0

Ejemplo: la función y = e x (1+ x)

 xI

es una solución de la ecuación diferencial

y " 2 y '  y  0

En efecto, si derivamos dos veces la función dada tenemos: y '  e x (1  x )  e x  e x ( 2  x )

y " e x ( 2  x )  e x  e x ( 3  x )

sustituyendo y, y ′ e y″ en la ecuación diferencial dada resulta la identidad e x ( 3  x )  2 e x ( 2  x )  e x (1  x )  e x ( 3  x  4  2 x  1  x )  0

Resolver o integrar una ecuación diferencial ordinaria es hallar todas sus soluciones.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Son de la forma: G ( x, y , y ' )  0

ó

y '  F ( x, y )

(forma implícita)

(forma explícita) Página 18 de 90

donde

y  y (x)

es la función incógnita.

Un ejemplo sencillo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden es

Si la función

f

es continua en algún intervalo y



I R

y '  f ( x)

, se tiene que

f ( x) dx  C

C: constante real arbitraria

De donde resulta que la ecuación diferencial dada tiene una familia infinita de soluciones. La solución contiene una constante arbitraria que puede determinarse,

si se conoce que

La condición

y (x 0 )  y 0

y (x 0 )  y 0

.

se llama condición inicial.

El problema de resolver la ecuación diferencial

inicial

y (x 0 )  y 0

y '  F ( x, y )

en algún intervalo I que contenga a

x0 ,

sujeta a la condición

se llama problema con

valor inicial o problema de Cauchy. Este tipo de problema puede ser expresado de la siguiente manera:  y '  F ( x, y )  y(x0 )  y0

( PVI ) 

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Las infinitas soluciones de la ecuación diferencial y′ = F (x, y) constituyen la solución general de la ecuación, la cual contiene una constante arbitraria.

Se llama solución particular de la ecuación diferencial y′ = F(x, y) a la que se obtiene de la solución general para un valor determinado de la constante arbitraria.

Entonces dada la ecuación diferencial y′ = F (x, y), la solución general puede expresarse como g ( x, y , C )  0

ó

y   ( x, C )

(forma implícita)

(forma explícita)

Teorema de Existencia y unicidad local de solución. Teorema de Picard. Sea el problema de valor inicial  y '  F ( x, y )  y(x0 )  y0

( PVI ) 

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siendo

(x 0 , y 0 )

R   a ,b    c,d

Si las funciones

un punto interior de la región rectangular del plano x y ,



F

y

Fy

son continuas en el rectángulo R entonces existe un

intervalo abierto I con centro en

x0

, contenido en el intervalo

 a ,b 

, y una única

función φ: I → R que satisface el PVI.

Observación

Es claro que la función φ es derivable en el intervalo I (es solución del PVI). Además φ’ es continua en I, ya que

 ' ( x )  F ( x,  ( x ) )

(

F

es continua por

hipótesis) entonces la gráfica de la solución φ del PVI es una curva suave.

Comentarios

Las condiciones del Teorema de Picard son suficientes pero no necesarias. Esto

significa que

cuando

F

y

Fy

son continuas en una región rectangular R,

podremos asegurar que el PVI tiene una única solución, siempre que

( x 0 , y0 )

sea

un punto interior de R. Sin embargo si las condiciones establecidas en las hipótesis del teorema no son válidas podría suceder que, el PVI tenga única solución o que tenga varias soluciones o que no tenga solución.

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Interpretación geométrica de las soluciones de la ecuación diferencial y′= F (x, y)

y '  F ( x, y )

Sabemos que la ecuación diferencial

tiene una familia infinita de

soluciones que constituye la solución general. Esta solución general, que podía ser expresada como: g ( x, y , C )  0

(forma implícita)

ó

y   ( x, C )

(forma explícita)

representa geométricamente a una familia de curvas planas, llamadas curvas soluciones o curvas integrales (una curva para cada valor de la constante C).

Una solución particular que satisface la condición inicial

y (x 0 )  y 0

,

geométricamente será la curva (o las curvas) de la familia que contiene al punto (x 0 , y 0 )

.

Ecuaciones diferenciales ordinarias a variables separables.

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de la forma: y '  g ( x )  h ( y)

(1) Página 22 de 90

F ( x, y )  g ( x ) . h ( y )

es decir,

es el producto de una función que depende

únicamente de x por otra función que depende únicamente de y. Para resolverla tenemos en cuenta que y′= dy/dx entonces la ecuación (1) puede escribirse dy  g ( x) . h ( y ) dx

De donde para todo

y

tal que

h ( y)  0

se tiene que

1 d y  g ( x) d x h (y)

Si

g (x)

y

1 / h ( y)

son continuas, integramos ambos , entonces 1

 h ( y ) d y   g ( x) d x Si

H ( y)

es una antiderivada de

1 / h ( y)

y

G (x)

es una antiderivada de

g (x )

,

resulta H ( y )  G ( x)  C , C  R

que es la solución general de la ecuación. En general, esta última igualdad, define implícitamente a y como función de x; si es posible, obtendremos a y en términos de x, es decir y = φ (x, C). Página 23 de 90

Ejemplo 1: Resolver el siguiente problema con valor inicial

 (1  e x ) y y '  e x   y(0)  1 Solución:

(1  e x ) y y '  e x  ( 1  e x ) y

dy ex  e x  y dy  dx  dx 1 e x

1 2 y  ln (1  e x )  C , C  R  y 2  2 ln (1  e x )  C , C  R 2

y

2 ln (1  e x )  C



y dy 



ex dx 1 e x

, de donde

: solución general en forma explícita.

Aplicamos ahora la condición inicial y (0)  1 

y  0  1  

2 ln ( 1  e 0 )  C

 1  2 ln 2  C  C  1  2 ln 2

y  2 ln Luego la solución particular del PVI dado es

1 (1  e x )  1 2

Nota: El PVI dado tiene única, observar que se cumplen las hipótesis del teorema de Picard.

Ejemplo 2: ¿el siguiente PVI tiene solución?

 x y ' 4 y 0  y (0)  0

( PVI ) 

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Solución: x y ' 4 y 0  x

de donde

dy dx dy y  0 dy  4y     4  4 dx y x y

y C x 4



con

C 0



dx  ln y  4 ln x  C , C  R x

.

Es fácil verificar que y = 0 también es solución de la ecuación diferencial dada, entonces la solución general será

y  Cx4

con

Aplicando la condición inicial tenemos que

C R

.

0  C .0

, esta igualdad se verifica

independientemente del valor de C, es decir para todo C, por lo que el PVI dado tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 3: De los dos problemas introductorios, en el problema 2 la ecuación diferencial es a variables separables. Resolveremos dicho problema.

x'  k x

Vimos que la ecuación diferencial que modeliza dicho problema es: entonces dx  kx  dt

x0





dx  k dt  x



dx  k d t  ln x  k t  C  x  C e k t , C  0 x



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Es fácil ver que la función x = 0 también es solución de la ecuación diferencial dada, luego la solución general será

x  C e kt

con

C R

.

Apliquemos ahora las condiciones que se deben satisfacer en este problema. x (10)  100  100  C e 10 k x (15 )  200  200  C e 15 k

Dividiendo miembro a miembro las igualdades anteriores resulta k

donde

1 ln 2 5

, de

, reemplazando este valor de k en cualquiera de las dos

igualdades anteriores y trabajando algebraicamente se obtiene que el camino recorrido por un cuerpo durante el tiempo t

x (t )  25 e

2  e 5k

C  25

. Luego

viene descrito por

 1  ln 2  t   5 

.

Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea si y solo si

F ( x, y )  g ( y / x )

y '  F ( x, y )

es

, es decir si es de la forma:

 y   x

y ' g 

(1)

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z  y/x

Se resuelven efectuando la sustitución entonces

z  z (x)

y  y (x)

(notar que como

), y la ecuación (1) se reduce a una ecuación diferencial a

variables separables. En efecto: z

y x

entonces

y  x. z

, de donde

y ' z  x z '

reemplazando en la ecuación (1) se tiene z  x z '  g ( z )   x   0  z ' 

g(z) z 1  z'   g ( z)  z x x



que es una ecuación a variables separables, con función incógnita z = z (x). x2y2 y ' xy Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

y '

x2y2 x 2 y2  y '  xy xy xy

 y '

.

x y  y x

 y '

1 y  y   g  y x  x x

lo que

demuestra que la ecuación diferencial dada es homogénea. z Efectuamos la sustitución

y x

entonces

y  x. z

, de donde

z  x z '

reempazando obtenemos la ecuación diferencial

y ' z  x z '

1 1  z  x z ' z z

,

:

ecuación a variables separables. Resolvemos esta ecuación

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x z '

1 dx  z dz   z x



z dz 



dx 1 2  z  ln x  C  z   ln x 2  C x 2

donde la solución general de la ecuación diferencial dada es

, de

y   x ln x 2  C

.

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2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que pueden expresarse en la forma: y '  p ( x ) y  q ( x)

donde

Si

p

q (x )

q

y

(1)

son funciones continuas en un intervalo I.

no es idénticamente nula en I,

la ecuación (1) se llama lineal no

homogénea. q (x )  0

Si

en I se dice que la ecuación (1) es lineal homogénea y resulta una

ecuación a variables separables. Una de las formas de resolver la ecuación (1) es mediante la sustitución y (x )  u ( x ).v ( x )

Para ello calculamos y′ = u′. v + u. v′, reemplazamos y e y′ en (1) y obtenemos u ' v  u  v '  p  u  v  q (u '  p . u ) v  u . v '  q

hallamos una función u tal que u’ + p .u = 0 (esta es una ecuación diferencial a variables separables con función incógnita u = u (x)). Luego calculamos la función

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v

resolviendo la ecuación u. v’ = q, ecuación diferencial a variables separables

con función incógnita v = v (x). Finalmente y (x) = u (x).v (x) es la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial y' 

Esta ecuación puede escribirse como

Realizamos la sustitución

y  u .v

1 y  x2 x

de donde

x y'  y  x 3

con

x 0

y '  u '. v  u . v '

y reemplazando en la

ecuación diferencial dada tenemos: u '.v  u . v' 

1 1   u .v  x 2   u '  u  v  u v '  x 2 x x  

u '

Hallamos una función u tal que

1 u0 x

. Esta es una ecuación diferencial a

variables separables, resolviéndola obtenemos función u elegimos C = 1, entonces que

x v' x 2

ux

u C x, C  R

, como interesa una

, con esta función hallamos v de manera

, se trata también de una ecuación diferencial a variables separables,

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cuya solución general es

1 v  x 2 C 2

con

CR

 1 2  x C  2 

y  u . v  x .

ecuación diferencial dada es

. Luego la solución general de la 1  y  x 3 C x 2

con

CR

.

Ejercicio: la ecuación diferencial que modeliza el problema 1 de la introducción es una ecuación diferencial lineal de primer orden , resolver dicho problema.

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas Teorema: Caracterización de la solución general de la ecuación diferencial

L2 [ y ]  q ( x )

L2 [ y ]  q ( x ) Sea la ecuación diferencial

intervalo I, si

yp

(1) con

q

función continua en un

es una solución particular de esta ecuación en I, entonces

solución general de la ecuación (1) en I si y solo si

y  yh  y p

solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada

donde

yh

L2 [ y ]  0

y

es

es la

.

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas a coeficientes constantes Sea la ecuación diferencial Página 31 de 90

L 2 [ y ]  y ' '  p 1 y '  p 2 y  q ( x)

p1 con

y

p2

constantes y

q

una función continua en un intervalo I.

Por teorema anterior para hallar la solución general de esta ecuación diferencial debemos encontrar yp

yh

, solución general de la ecuación homogénea asociada, e

solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.

Ya vimos como hallar

yh

. Para hallar la solución particular

yp

podemos utilizar

dos métodos: el método de variación de los parámetros (de Lagrange) o el método de los coeficientes indeterminados.

I) Método de variación de los parámetros o método de Lagrange Sea la ecuación diferencial lineal no homogénea a coeficientes constantes L 2 [ y ]  y ' '  p 1 y '  p 2 y  q ( x) L 2 [ y ]  y ''  p1 y '  p 2 y  0

La ecuación diferencial homogénea asociada es

su solución general es

yh  C 1 y 1  C 2 y 2

.

El método consiste en reemplazar las constantes C 2 ( x)

y

C1

y

C2

por funciones

C1 (x)

y

y buscar una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea

de la forma Página 32 de 90

y p  C 1 ( x ) . y 1 ( x )  C 2 ( x) . y 2 ( x )

Para ello calculamos

y p'  C1' y 1  C 1 y1´'  C 2' y 2  C 2 y 2'

Imponemos la condición de que

C1' y 1  C 2' y 2  0

Calculamos

y p''

teniendo en cuenta la condición impuesta

y p''  C1' y1'  C 1 y1''  C 2' y 2'  C 2 y 2''

Reemplazando

y , y ' e y"

en la ecuación diferencial no homogénea, resulta

C1' y1'  C 1 y1''  C 2' y 2'  C 2 y 2''  p 1 C 1 y1'  p1 C 2 y 2'  p 2 C1 y1  p 2 C 2 y 2  q ( x) C1' y1'  C 1 [ y1''  p 1 y1'  p 2 y1 ]  C 2' y 2'  C 2 [ y 2''  p1 y 2'  p 2 y 2 ]  q ( x)                 o sea

de donde

0

0

C1' y1'  C 2' y 2'  q ( x )

Consideramos el siguiente sistema:  



C 1' y1  C ´'2 y 2 

0

C y  C y  q ( x) ' 1

' 1

' 2

' 2

Página 33 de 90

Resolviéndolo obtenemos



C1' ( x) , C 2' ( x )



, luego

C1 ( x)  C1' ( x) dx , C 2 ( x)  C 2' ( x ) dx

, y con ellas podemos escribir la solución

particular. y ''  2 y ' y 

ex 2x

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial La ecuación lineal homogénea asociada a la no homogénea dada es y ''  2 y ' y  0

Ecuación característica:

Proponemos

r 2  2 r  1 0

→

r1  r 2  1

→

y h  C1 e x  C 2 x e x

y p  C 1 ( x ) e x  C 2 ( x) x e x

Planteamos el sistema 

C 1' e x  C ´'2 x e x  0 

ex ' x ' x x C e  C ( e  x e )  1 2  2x  

Resolviéndolo obtenemos C1 ( x ) 

C 2' ( x )  21x

,

1

1

 

 2  dx   2 x  K 1   2 x 



1 1 dx  2 ln x  K 2  ln 2x

De donde

C 2 ( x) 

1

C1' ( x)   12

0

x

0

Página 34 de 90

Las constantes

K1

y

K2

se consideran nulas porque buscamos una solución

particular. Luego una solución particular de la ecuación lineal no homogénea es: 1

y p   2 x e x  ( ln

x ) x ex

y la solución general de la ecuación dada es: 1

y  y h  y p  C1 e x  C 2 x e x  2 x e x  ( ln

x ) x ex

II) Método de los coeficientes indeterminados Se propone una posible solución particular con coeficientes a determinar. El tipo de solución que proponemos depende de la expresión de aplicar este método

q (x)

q (x )

. Para poder

debe ser de la forma:



ek x



un polinomio



sen kx ó cos k x



suma o producto de las funciones anteriores

Página 35 de 90

En la siguiente tabla se muestra la solución particular la expresión de

yp

que se propone, según

q (x)

yp

q (x)

ek x Pn(x) (polinomio de gr n)

A ek x Qn(x) (polinomio de gr n completo)

senkx ó coskx

Lo anterior es válido si la solución particular

A senkx + B coskx yp

propuesta no es solución de la

ecuación diferencial homogénea asociada. Caso contrario, se debe multiplicar la

solución propuesta por

xt

donde t es el menor entero positivo tal que

x t yp

no

sea solución de la ecuación homogénea asociada (en nuestro caso tendremos que multiplicar por

x

ó por

x2

).

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1)

3)

y ''  2 y '  5e 3x

y ''  2 y '  y  3e x

2)

4)

y '' 4 y ' 5 y  2 x  x 2

y ' '  y '  4 x 2  1  sen 2 x

Página 36 de 90

Ecuaciones diferenciales exactas Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma P ( x, y )  Q ( x, y ) y '  0

P ( x, y )

donde Q ( x, y )

y

Q ( x, y )

(1)

P ( x, y ) d x  Q ( x , y ) d y  0

ó

son funciones continuas en una región plana D y

no es idénticamente nula en D, es una ecuación diferencial exacta en D, f ( x, y )

si existe una función f y ( x , y )  Q ( x, y )

diferenciable en D tal que

f x ( x , y )  P ( x, y )

y

en D.

Veremos ahora como se puede obtener la solución general de una ecuación diferencial exacta.

Sea existe

P ( x , y )  Q ( x, y ) y '  0

una

función

f y ( x , y )  Q ( x, y )

f

(1) una ecuación diferencial exacta en D entonces

diferenciable

en

D

tal

que

f x ( x , y )  P ( x, y )

y

en D.

Sea φ una solución de la ecuación (1) en un intervalo P ( x,  ( x ) )  Q ( x ,  ( x ) )  ' ( x )  0

 x I

f x ( x,  ( x) )  f y ( x,  ( x) )  ' ( x)  0  x I

,

por

ser

exacta

, de donde resulta que

I R

se

, entonces

verifica

que

d f ( x,  ( x ) )  0 dx

Página 37 de 90

 x I

, y por lo tanto

f ( x, y )  C

f ( x,  ( x) )  C  x I

, lo que significa que la ecuación

define implícitamente a la solución φ en I.

Recíprocamente, supongamos que la ecuación a una función φ en un intervalo I, entonces

f ( x, y )  C

f ( x,  ( x) )  C  x I

medio de la regla de la cadena tenemos qué  x I

,

pero

por

ser

la

ecuación

P( x,  ( x) )  Q ( x,  ( x) )  ' ( x)  0  x I

define implícitamente , derivando por

f x ( x,  ( x ) )  f y ( x,  ( x ) )  ' ( x )  0

(1)

exacta

podemos

escribir

, lo que significa que la función φ es

solución de la ecuación (1) en I.

Luego queda probado que “toda solución de una ecuación diferencial exacta está f ( x, y )  C

definida implícitamente por la ecuación

”

El siguiente teorema nos proporciona un método para determinar si una ecuación diferencial de la forma (1) es o no exacta.

Página 38 de 90

Teorema: Si región

del

P ( x, y )

plano

P ( x, y )  Q ( x, y ) y '  0

y

Q ( x, y )

tienen derivadas parciales continuas en una

D  ( a , b )  ( c, d )

entonces

es exacta si y solo si

la

ecuación

Py ( x, y )  Q x ( x, y )

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial

diferencial

en D.

2 x y  ( x 2 1) y '  0

P ( x, y )  2 x y , Py ( x, y )  2 x

Q ( x, y )  x 2  1 , Q x ( x, y )  2 x

de donde

Py  Q

continuas en D  R2

R2

x

, además la funciones P y Q tienen derivadas parciales

entonces por teorema anterior la ecuación dada es exacta en

y por definición existe una función

f x ( x, y )  2 x y

y

f ( x, y )

diferenciable tal que

f y ( x, y )  x 2  1

Veamos ahora como hallar la función f, para ello partimos de f x ( x, y )  2 x y  f ( x , y ) 

 2x y d x

 f ( x, y)  x 2 y C ( y)

al integrar con respecto a x, la y se mantiene constante, por lo que la constante de integración se puede considerar como una función de y. Página 39 de 90



f y ( x, y )  x 2  C ' ( y )  x 2  1  C ' ( y )   1  C ( y )   dy  C ( y )   y  K

tomando K = 0 pues interesa una función f , obtenemos

f ( x, y )  x 2 y  y

Luego la solución general está definida implícitamente por la ecuación x 2 y  y = C.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Son de la forma G ( x , y , y ' , y" )  0

ó

(forma implícita)

y "  F ( x, y , y ' )

(forma explícita)

Un problema con valores iniciales o problema de Cauchy es de la forma

 y ' '  F ( x, y , y ' )  y ( x 0 )  y 0 , y' ( x 0 )  y 1

PVI : 

La solución general de una ecuación diferencial de segundo orden es una función que depende de dos constantes arbitrarias y que satisface la ecuación para cualquier valor de dichas constantes, es decir, la solución general será

g ( x, y, C1 , C 2 )  0

(forma implícita)

ó

y   ( x, C1 , C 2 )

(forma explícita) Página 40 de 90

La solución particular es la que se obtiene de la solución general par valores

C1

determinados a las constantes arbitrarias

Ejercicio: verificar que la función ecuación diferencial condiciones iniciales

y" 2 y  0

y

C2

.

y  C1  C 2 e 2 x

es la solución general de la

y hallar la solución particular que satisface las

y ( 0 )  1, y ' ( 0 )  2

.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Son ecuaciones diferenciales de la forma a 0 ( x ) y "  a 1 ( x) y '  a 2 ( x ) y  f ( x)

(1)

Página 41 de 90

a 0 ( x ) , a 1 ( x) , a 2 ( x )

donde a 0 ( x)

Si

f (x)

y

son funciones continuas en un intervalo I y

no es idénticamente nula en I.

f ( x)  0

en I, la ecuación (1) se llama lineal homogénea. Si

f (x)

no es

idénticamente nula en I, se dice que la ecuación (1) es lineal no homogénea.

a 0 ( x ) , a 1 ( x) , a 2 ( x )

Si las funciones

son constantes la ecuación diferencial lineal

es a coeficientes constantes, si son variables se tiene una ecuación diferencial a coeficientes variables.

Supongamos que

a 0 ( x)  0  x  J  I  R

ecuación (1) por la función

I J

ó

, entonces dividimos la

a 0 ( x)

y '' 

a 1 ( x) a 0 ( x)

y' 

a 2 ( x) a 0 ( x)

y

f ( x) a 0 ( x)

llamando

p 1 ( x) 

a 1 ( x) a 0 ( x)

,

p 2 ( x) 

a 2 ( x) a 0 ( x)

, q ( x) 

f ( x) a 0 ( x)

se tiene Página 42 de 90

y ' '  p 1 ( x) y '  p 2 ( x) y  q ( x )

 xJ

(2)

p1 p 2 q donde , y son funciones continuas en el intervalo J. La ecuación (2) se llama ecuación lineal normalizada y al intervalo J, intervalo de normalidad.

Dada la ecuación (2), se llama ecuación lineal homogénea asociada a (2) a la y ' '  p 1 ( x) y '  p 2 ( x) y  0

 xJ

ecuación Definición: Llamaremos operador diferencial lineal a: L 2 [ y ]  y ' '  p 1 ( x) y '  p 2 ( x ) y

Este operador posee las siguientes propiedades (propiedades de linealidad)

i) L 2 [ k y]  k L 2 [ y]

k : constante

ii ) L 2 [ y 1  y 2 ]  L 2 [ y 1 ]  L 2 [ y 2 ] ,

y1 , y 2 : funciones de x

Como consecuencia de estas propiedades resulta L 2 [ k 1 y 1  k 2 y 2 ]  k 1 L 2 [ y 1 ]  k 2 L 2 [ y 2 ] , y1 , y 2 : funciones de x , k1 , k 2 : constantes

Página 43 de 90

Utilizando el operador diferencial lineal homogénea puede escribirse homogénea como

L2 [ y ]  0

L2

L2 [ y ]  q ( x )

la ecuación diferencial lineal no y la ecuación diferencial lineal

.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden Teorema I:

Si las funciones homogénea

y1

L2 [ y ]  0

y2

e y

son soluciones de la ecuación diferencial lineal

C1 , C 2

son constantes arbitrarias entonces

C1 . y1  C 2 . y 2

también es solución de dicha ecuación diferencial. Demost: ejercicio

Teorema II: Caracterización de la solución general de la ecuación diferencial

L2 [ y ]  0

Si

y1

e

L2 [ y ]  0

y2

son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación

en I entonces la solución general de dicha ecuación diferencial es

y  C1 y1  C 2 y 2

con

C1 , C 2

constantes arbitrarias.

Página 44 de 90

Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea a coeficientes constantes Sea la ecuación diferencial L 2 [ y ]  y ''  p1 y '  p 2 y  0

p 1 , p 2 : constantes

Para hallar la solución general de esta ecuación, debemos encontrar, según el teorema anterior, dos soluciones linealmente independientes. Dichas soluciones y e rx

pueden ser halladas en la forma

donde r es una constante real o

compleja. En efecto: ye rx ,

y '  r e rx , y ' '  r 2 e rx

L 2 [ e rx ]  r 2 e rx  p 1 r e rx  p 2 e rx  e rx ( r 2  p 1 r  p 2 )  0  r 2  p 1 r  p 2  0 0

r 2  p1 r  p 2  0

A la ecuación

se la llama ecuación característica, es una

ecuación de segundo grado que determina los valores de r para los cuales la función

y e r x

es solución de la ecuación diferencial

tiene dos raíces

1) Las raíces

r1

r1

y

y r2

r2

L2 [ y ]  0

. Esta ecuación

.

son reales y distintas

Página 45 de 90

y1  e r1 x

Entonces

y 2  e r2 x

e

son dos soluciones de la ecuación

L2 [ y ]  0

,

puede probarse que son linealmente independientes, luego la solución general será: y  C1 e

r1 x

 C2 e

r2x

con

C 1 ,C 2

constantes

arbitrarias.

Ejemplo: resolver la ecuación diferencial

La ecuación característica es entonces

y1  e 2 x

e

y2  e x

la solución general será

2) Las raíces

Entonces

r1

y

y1  e r x

Veremos que

r2

y "  3 y '2 y  0

r2 3 r2  0

y sus raíces son

son dos soluciones linealmente independientes, luego

y  C1 e 2 x  C 2 e x

con

son reales e iguales:

C 1 ,C 2

constantes arbitrarias.

r1  r 2  r

es solución de la ecuación diferencial

y2  x e r x

r1  2 r 2  1 , ,

L2 [ y ]  0

.

es otra solución de dicha ecuación diferencial

y'2  e r x  x r e r x

,

y '2'  2 r e r x  x r 2 e r x

L 2 [ x e r x ]  2 r e r x  x r 2 e r x  p1 e r x  p1 x r e r x  p 2 x e r x   erx

2r



 x r 2  p1  p1 x r  p 2 x 

Página 46 de 90

 e r x [ x ( r 2  p1 r  p 2 )  ( 2r  p1 ) ]  0            0 pues r es raiz

 0 pues r es raiz doble

Se puede probar que el conjunto { e r x , x e r x } es linealmente independiente, luego la solución general es:

y  C1 e r x  C 2 x e r x

con

C 1 ,C 2

constantes

arbitrarias.

Ejemplo: resolver la ecuación diferencial

La ecuación característica es r1  r2  3

y "  6 y ' 9 y  0

r 2  6 r 9  0

, entonces las funciones

y1  e 3 x

que tiene dos raíces reales e iguales y2  x e3 x

e

linealmente independientes, luego la solución general será

C 1 ,C 2

son dos soluciones

y  C1 e 3 x  C 2 x e x

con

constantes arbitrarias.

3) Las raíces

r1

y

r2

son complejas

Puesto que los coeficientes de la ecuación característica se presuponen reales,

las raíces r2  a  b i

r1

y

r2

son números complejos conjugados, es decir , si

, entonces las funciones

y1  e ( a  b i ) x

e

y2  e (a  b i ) x

r1  a  b i

,

son dos soluciones Página 47 de 90

complejas de la ecuación diferencial

L2 [ y ]  0

. Estas dos soluciones complejas

pueden ser sustituidas por dos soluciones reales. Veamos esto: y 1  e ( a  b i ) x  e a x . e b x i  e a x ( cos b x  i sen b x ) Euler

y 2  e ( a  b i ) x  e a x . e  b x i  e a x ( cos ( b x)  i sen (b x ) )  e a x ( cos b x  i sen b x ) Euler

y1 Como es

e

y2

son soluciones, por teorema I,

solución

de

la

ecuación

1 1 ~ y1  y1  y 2  e a x cosb x 2 2

L2 [ y ]  0

diferencial

.

también

También

1 1 ~ y2  y1  y 2  e a x sen b x 2i 2i

es solución de la misma ecuación diferencial.

De esta manera, al par de raíces complejas conjugadas dos soluciones reales conjunto

 ~y1 , ~y 2 

~ y1  e a x cosb x

,

~ y 2  e a x sen b x

.

a bi

le corresponden

Se puede probar que el

es linealmente independiente, luego la solución general es:

y  C 1 e a x cosb x  C 2 e a x sen b x

Ejemplo: resolver la ecuación diferencial

, con

C 1 ,C 2

constantes arbitrarias.

y "  4 y ' 5 y  0

Página 48 de 90

La ecuación característica es r1   2  i

r 2 4 r 5  0

, cuyas raíces son

r1   2  i

,

, entonces por lo visto anteriormente la solución general es:

y  C 1 e 2 x cos x  C 2 e 2 x sen x

, con

C 1 ,C 2

constantes arbitrarias

Ecuación diferencial de una familia de curvas Nos planteamos el problema recíproco al hasta ahora estudiado, es decir, dada la ecuación de una familia de curvas buscar una ecuación diferencial que la ita como solución general. Si la familia de curvas contiene una constante arbitraria, podemos encontrar una ecuación diferencial de primer orden que la tenga como solución general. Si la familia de curvas contiene dos constantes arbitrarias, la ecuación diferencial de la cual es solución general será de segundo orden.

Ejemplos:

1) Sea la familia de curvas

y C x2

,

C: constante arbitraria. Para hallar la

ecuación diferencial que la ite como solución general, derivamos con respecto a x entonces

y ' 2 C x

, eliminando la constante C entre ambas igualdades

obtenemos: Página 49 de 90

2y

y ' x

, x0

esta es una

ecuación diferencial de primer orden cuya

solución general es la familia de curvas dada.

2) Sea la familia de curvas

y  C1 x 2  C 2 x

,

C1 C 2 , : constantes arbitrarias.

Como esta familia contiene dos constantes arbitrarias será solución de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces derivamos dos veces con respecto a x y consideramos el siguiente sistema

 y  C1 x 2  C 2 x   y '  2 C1 x  C 2  y ' '  2 C1 C1 C 2 eliminando las constantes , entre estas tres igualdades obtenemos: x 2 y '' 2 x y ' 2 y  0

que es la ecuación diferencial que ite como solución

general es la familia de curvas dada.

Ecuaciones lineales y reducibles a lineales: ecuaciones de bernoulli

Una ecuación lineal es aquella que tiene la forma

Si g(x)=0 se dice que la ecuación lineal es homogénea. Si, por el contrario, g(x)≠0 la ecuación se dice que es homogénea.

Página 50 de 90

Como anteriormente, vamos a explicar el método para resolver las ecuaciones lineales con un ejemplo:

Ejemplo 1

Después de haber identificado que la ecuación es una ecuación lineal, vamos a proceder a realizar un cambio de variable. El cambio será y=u·v con lo que resulta

Operando un poco obtenemos lo siguiente

Fijaos que hemos ordenado la ecuación de una manera muy concreta. En primer lugar, hemos puesto un término multiplicado por u’ más otro termino multiplicado por u, todo esto igual a un valor.

Ahora tenemos que coger el término que acompaña a la u e igualarlo a cero.

Página 51 de 90

Con esto obtenemos una ecuación de variables separadas muy sencilla de la cual tenemos que sacar la solución

Ahora ya tenemos el valor de v. Seguidamente sustituimos en la ecuación de antes, teniendo en cuanta que el término que acompaña a la u lo hemos igualado a cero

Solos nos queda calcular el valor de la u

En este punto, ya sabemos el valor de u y de v. Solo queda deshacer el cambio de variable.

La solución de la ecuación ya estaría, pero como nos han dado una condición, debemos calcular el valor de la constante C para que se cumpla tal condición.

Página 52 de 90

Siguiendo estos pasos podemos solucionar cualquier ecuación lineal.

Existen otras ecuaciones que por sí mismas no son lineales, pero como podemos transformarlas. Estas ecuaciones pueden ser de dos tipos: Ecuación de Bernouilli y Ecuación de Ricati.

Ecuación de bernouilli Una ecuación de Bernouilli es aquella que es de la forma

Siendo n un número real. Si n es cero o uno dicha ecuación se reduce a una ecuación lineal. La manera de resolver esta ecuación es reducirla a lineal mediante un cambio de variable especial.

Ejemplo 2

Ponemos la ecuación en la forma

Página 53 de 90

Como veis, debemos dejar siempre un término que no dependa de y. Esto

se

consigue

multiplicando

siempre

por y^-n como

podéis

comprobar. Así g(x) siempre quedará solo. A continuación realizamos el cambio de variable y^-1=u , con lo que resulta

Que como podéis observa es una ecuación lineal. Lo único que habría que hacer ahora es obtener el resultado de esta ecuación lineal y después deshacer el cambio de variables

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n con coeficientes constantes

La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma:

Página 54 de 90

Donde los términos

ai

representan constantes

En el caso homogéneo

cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíz del polinomio característico de la ecuación:

En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:

En el caso de que existan varias raíces repetidas, siendo m la multiplicidad de la raíz décima, la solución es de la forma:

Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:

Raíces reales distintas

bajo la suposición de que la ecuación tienes dos raíces desiguales definen dos soluciones linealmente independientes en

y

y

, se

. se ve que estas funciones son y por consiguiente forman un conjunto

fundamental. Se deduce que la solución general de la ED en este intervalo es:

Página 55 de 90

Raíces reales repetidas Cuando

, necesariamente se obtiene sólo una solución

exponencial,

.

De la fórmula cuadrática se encuentra que que se tiene es tener

puesto que la única forma en .

Una segunda solución de la ecuación es:

Raíces reales complejas Si y donde

son compleja entonces se puede escribir son reales.

y

De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por con siguiente:

Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Para este fin se usa la fórmula de Euler:

Página 56 de 90

donde

es cualquier número real. Se deduce de esta fórmula que

donde se utilizó

Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en se obtiene, respectivamente:

Como las constantes

es una solución para alguna elección de y

, las elecciones

y

dan, a su

vez, dos soluciones:

Pero

Y

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Por consiguiente, la solución general es:

3.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN N Una ecuación diferencial de orden superior tiene la forma:

En donde si f (x) es diferente de

0, la ecuación diferencial se denomina no

homogénea.

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La solución general es una combinación lineal de dos tipos de solucione, una solución complementaria yc y una solución particular yp Y= yc + yp La solución complementaria yc satisface la ecuación homogénea

Esta ecuación puede ser resuelta empleando los procesos para la ecuación homogénea de coeficientes constantes. La solución particular yp satisface la ecuación no homogénea.

Esta ecuación se le puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados para determinar yp.

Método de coeficientes indeterminados Solución general 1.-

y´´3 y´ 8e 3 x  4senx

Paso 1- La ecuación auxiliar de

y´´3 y´ 0

y obtener

yc

m 2  3m  0 m(m  3)  0 m1  0 m2  3

y c  C1  C 2 e 3 x

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Paso 2- Aplicar el operador anulador y obtener El operador de

8e 3 x  4senx

yp

( D  3)( D 2  1)  0

es m3  3

Por lo tanto

,

m 4  m5  i

y p  C3 xe3 x  C 4 cos x  C5 senx

Paso 3- Se obtiene

y´´

y´´3 y´ 8e 3 x  4senx

y´

y se sustituye en la ecuación y   3C 3 xe3 x  C3 e 3 x  C 4 senx  C 5 cos x

y   9C 3 xe3 x  6C 3 e 3 x  C 4 cos x  C 5 senx

3C 3 xe3 x  C 4 cos x  C 5 senx  3C 4 senx  3C 5 cos x  8e 3 x  4 senx

8 3 6 C4  5 C3 

3C3  8  C 4  3C5  0

Se igualan coeficientes

 C5  3C 4  4

C5   Se obtiene

2 5

Paso 4- La solución general

8 6 2 y  C1  C 2 e 3 x  xe3 x  cos x  senx 3 5 5

2.-

y´´ y  x cos x  cos x

Paso 1- La ecuación auxiliar de

y´´ y  0

y obtener

yc

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m2  1  0 m 2  1 m   1 m1  m2  i

yc  C1 cos x  C2 senx

se obtiene

Paso 2- Aplicar el operador anulador y obtener El operador de

x cos x  cos x

Por lo tanto

es

yp

( D 2  1) 2 ( D 2  1)  0

,

m3  m4  m5  m6  i

y p  C3 x cos x  C4 xsenx  C5 x 2 cos x  C6 x 2 senx

y´´ y´ y´´ y  x cos x  cos x Paso 3- Se obtiene y se sustituye en la ecuación y  C3 xsenx  C3 cos x  C4 x cos x  C4 senx  C5 x 2 senx  2C5 x cos x  C6 x 2 cos x  2C6 xsenx y  C3 x cos x  2C3 senx  C4 xsen x  2 C4 cos x  C5 x 2 cos x  4C5 xsenx  2C5 cos x  C6 x 2 senx  4C6 x cos x  2C6 senx  2C3 senx  2 C4 cos x  4C5 xsenx  2C5 cos x  4C6 x cos x  2C6 senx  x cos x  cos x C3 

 2C3  2C6  0

C4  

2C4  2C5  1

C5  0

 4C5  0 Se igualan coeficientes Paso 4- La solución general

1 4

4C6  1

y  C1 cos x  C2 senx 

C6 

Se obtiene

1 2

1 4

1 1 1 x cos x  xsenx  x 2 senx 4 2 4

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3.-

y´´4 y  4 cos x  3senx  8

Paso 1- La ecuación auxiliar de

y´´4 y  0

y obtener

yc

m2  4  0 m 2  4 m 4 m1  m2  2i

yc  C1 cos 2 x  C2 sen 2 x

se obtiene

Paso 2- Aplicar el operador anulador y obtener El operador de

4 cos x  3senx  8

es

yp

( D 2  1)( D 2  1) D  0

,

m3  0 Por lo tanto

m4  m5  m6  m7  i

y p  C3  C4 cos x  C5 senx  C6 x cos x  C7 xsenx

Paso 3- Se obtiene

y´´

y

y´

se sustituye en la ecuación

y´´4 y  4 cos x  3senx  8

y  C4 senx  C5 cos x  C6 xsenx  C6 cos x  C7 x cos x  C7 senx y  C4 cos x  C5 senx  C6 x cos x  2C6 senx  C7 xsen x  2 C7 cos x 3C4 cos x  3C5 senx  3C6 x cos x  2C6 senx  3 C7 xsen x  2 C7 cos x  4 C3  4 cos x  3senx  8

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C3  2

4C3  8 3C5  2C6  3

4 3 C5  1

3C6  0

C6  0

C4 

3C4  2C7  4

Se igualan coeficientes

3C7  0

Se obtiene

C7  0

Paso 4- La solución general 4 y  C1 cos 2 x  C2 sen 2 x  2  cos x  senx 3

Método de variación de parámetros

El método de variación de parámetros es aplicado en la solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden superior

de las cuales sabemos que la solución de la ecuación homogénea son un conjunto de funciones linealmente independientes

siendo la solución homogénea de la forma

El método consiste en cambiar las constantes Ci por funciones ui (x) de tal manera que la solución particular de la ecuación diferencial es de la forma: Página 63 de 90

Donde las funciones ui (x) se deben determinar.

Ecuaciones lineales euler-cauchy la misma facilidad relativa con la que fue posible encontrar soluciones explicitas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes o en general no se consigue con las ecuaciones lineales con coeficientes variables. cuando una ED tiene coeficientes variables, lo mejor es que se puede esperar normalmente es encontrar una solución en la forma de una serie infinita, pero en este caso no se hará esto ya que la ED que resolveremos, tiene coeficientes variables cuya solución puede expresarse en términos de potencia de x seno coseno y funciones logarítmicas. además, su método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes. en una ecuación de lineal de la forma:

donde los coeficientes

son constantes se le conoce como una

ecuación de cauchy - euler la caracterice de este tipo de ecuación es que el grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes

coincide con el orden ñ de diferenciación

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Solución la solución de ecuaciones de orden superior se deduce de una manera análoga asimismo la ecuación no homogénea

se resuelve

mediante una variación de parámetros, una vez que se determina la función complementaria

.

se prueba una solución de la forma

donde m es un valor que se debe

determinar. análogo a lo que sucede cuando se sustituye lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye

en una ecuación , cada término de una

ecuación CE se convierte en un polímero en m multiplicado por si sustituimos

ya que:

es una solución de la ED siempre que m sea una solución

de la ecuación auxiliar por lo que hay 3 casos distintos por considerar en función de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas reales e iguales o complejas. en el último caso las raíces aparecen como un par conjugado.

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4.- SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnitas, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente.

Cuando se estudia matemáticamente una situación de la realidad, el modelo que se obtiene suele tener un carácter no lineal, siendo esto lo que le confiere, en la mayoría de los casos, una gran dificultad. Uno de los procedimientos más utilizados dentro de la Matemática, y de la Ciencia en general, cuando se aborda un problema difícil, es considerar un problema más sencillo que sea, en algún sentido, una buena aproximación del anterior. Al estudiar este segundo problema se intenta obtener, de las conclusiones, algún tipo de resultado para el problema primitivo. Una de las formas más usuales de simplificar el problema es lineal izarlo. Si se quiere estudiar un problema no lineal, el primer paso obligado es estudiar el problema lineal asociado de la manera más completa posible para poder analizar así que ocurrirá en el caso no lineal. El estudio de los sistemas lineales no es difícil y en numerosas ocasiones se pueden obtener resultados concluyentes pues la estructura algebraica de las soluciones es sencilla y a veces se puede dar una descripción de la misma en términos de funciones elementales.

Un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior se transforma en un sistema de primer orden añadiendo más variables.

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Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producen consecutivamente en un reactor:

Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cuál es la cantidad de sustancia en el reactor en cada instante de tiempo? Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X ] y [Y ] representan las concentraciones molares de las sustancias

presentes

en las reacciones,

las ecuaciones

diferenciales que modelan la evolución en el tiempo de las concentraciones son:

Esto es un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funciones incógnitas: [A], [S], [X ] y [Y ]. Así pues, resolver el sistema sería encontrar expresiones para las cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente). Como además se dan unas condiciones iniciales: [A]0 = 1 mol, [S]0 = 2 moles [X ]0 = [Y ]0 = 0 moles, estamos en presencia de un problema de condiciones iniciales.

Se trata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones que los componen no lo son. Salvo para sistemas muy concretos sólo disponemos de métodos Página 67 de 90

analíticos generales para resolver sistemas lineales especiales. Por ello no es esperable que podamos obtener, tal y como se nos pide, expresiones analíticas para la evolución de las concentraciones de las sustancias presentes en el reactor a lo largo del tiempo. Esto no significa que no podamos decir nada a este respecto: disponemos de buenos métodos cualitativos y numéricos que nos permiten conseguir mucha información acerca de las soluciones de gran cantidad de sistemas no lineales. En ´esta y las dos próximas lecciones estudiaremos métodos analíticos para ex- presar las soluciones de los sistemas lineales y en particular de los de coeficientes constantes.

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5.- TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja

, y

reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja

. Si esa ecuación algebraica se resuelve en

para la variable

dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver las sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.

Funciones especiales Función gama En matemáticas, la función gamma (denotada como r(z) donde r es la escritura en mayúscula de la letra gamma del alfabeto griego) es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue propuesta por Página 69 de 90

Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positiva, entonces la integral

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si n es un entero positivo, entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de z. La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

Función de beta En matemáticas, la función beta es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

Se define función beta por:

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Haciendo el cambio

en la ecuación anterior, se tiene que:

De donde:

Si en

se hace

, se tiene que

Y al simplificar queda:

Y al sustituir esta expresión en la anterior, se tiene que:

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Si en la integral respecto a u se usa de nuevo

, se

tiene que

De donde se obtiene la importante relación

De la que resulta evidente que:

Transformada de lapace, definición Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos:

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f (t ) 

una función de tiempo

s

t

tal que

f (t )  0

para

t0

una variable compleja

F ( s) 

transformada de Laplace de

L

f (t )

un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede

debe

transformarse por la integral de Laplace. 

e

 st

dt

0

Entonces la transformada de Laplace de 



0

0

f (t )

está dada por

l  f (t )   F ( s)   e  st dt  f (t )    f (t )e  st dt

El proceso inverso de hallar en tiempo F (s)

f (t )

, a partir de la transformada de Laplace

, se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de la

transformada inversa de Laplace es l 1 así

l 1  F ( s )   f (t )

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Teoría sobre las propiedades

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Función unitaria (heaviside) La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo.

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Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.

La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el argumento positivo y 0 en el resto del intervalo.

Definimos

sólo en el eje

no negativo puesto que es todo lo que nos

interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En el sentido más amplio, definida para

se multiplica por

cuando

. Cuando una función

, la función escalón unitario

"desactiva" una porción de la gráfica de esa función.

Propiedades: Página 76 de 90



Cambio de signo del argumento.

 La derivada en el sentido de las distribuciones es la Función Delta de Dirac.



Transformada de Laplace.





Límites.

Es la integral de la Función Delta de Dirac.

función escalón considerando H(0) = 1/2. El valor de H(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como H(0) = 0, otros H(0) = 1. H(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que Página 77 de 90

maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma: Plantilla:EcuaciónUna forma de representar

esta

función

es

a

través

de

la

integral

Teorema de traslación No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que como una traslación, de

, podemos calcular la transformada de a

, como lo enuncia el siguiente

teorema.

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Si

es un número real y

donde

existe, entonces

.

Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración La prueba es inmediata apartir de la definción

Observación: si consideramos a de la gráfica de

es la misma de se desplaza

la gráfica se traslada

como una variable real, entonces la gráfica trasladada

unidades sobre el eje . Si

unidades a la derecha, miéntras que, si

, ,

unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se

acostumbra escribir

donde

significa que se sustituye

por

en

.

Ejemplo Página 79 de 90

Calcule

Solución Usando el primer teorema de traslación

Ejemplo Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular

Solución

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Ejemplo Calcule

Solución Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador.

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Transformada inversa de Laplace

Definición: Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se explicará el Método de las Fracciones Parciales. Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

Ejercicio: Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)} Página 82 de 90

Como se ve, es de la forma L -1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s 2 - 2s 3; se puede observar también que el grado de Q(s) > P(s). El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces:

3s + 7

3s + 7

A

B

(1)

s2 - 2s - 3

(s - 3)(s + 1)

s-3

s+1

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene: 3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B

(2)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación resultante (2), hallo los valores de los coeficientes A y B: A+B=3 A - 3B = 7

Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) :

3s + 7

A

B

(s - 3)(s + 1)

s-3

4

s+1

1

s-3

(3)

s+1

Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los términos:

L -1

3s + 7 (s - 3)(s + 1)

L -1

4 s-3

L -1

1 s+1

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4 L -1

1 s-3

L -1

1 s+1

f (t) = 4 e 3t - e - t

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Uso de tablas

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Teoremas sobre las propiedades

Propiedades de la Transformada En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications 

Linealidad

Idea La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican. Página 86 de 90

Versión para la inversa



Primer Teorema de Traslación

Donde

Idea La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s. Versión para la inversa:



Teorema de la transformada de la derivada

Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.



Teorema de la transformada de la integral

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

Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista



Teorema de la derivada de la transformada



Transformada de la función escalón

Si

representa la función escalón unitario, entonces



Segundo teorema de Traslación

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

Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con periodo t



Teorema de la Convolución

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

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BIBLIOGRAFÍA 

Murray R. Spiegel 1991 Transformadas de Laplace (Libro de Murray R. Spiegel) MC Gran Hill



Otto Plaat 1995 Ecuaciones diferenciales ordinarias editorial reverte s.a.



Celso Martínez Carracedo – 1991 introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias editorial reverte s.a.



Alfredo Caicedo, Liliana Patricia Ospina – 2010 Métodos Para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ediciones elizcom.



Manuel Calvo Pinilla, Jesús Miguel Carnicer Álvarez – 2010 CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. 2.a edición prensas universitarias, universidad de Zaragoza.



http://aulatareaspuls.com



http://www.mty.itesm.mx

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