Analisis De Los De Fluidos 1x6943

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ANALISIS DE LOS DE FLUIDOS

INTRODUCCION A la hora de analizar el flujo de un fluido es posible formular las leyes fundamentales que rigen el movimiento del fluido (conservación de la masa, 2ª ley de Newton y la 1ª ley de la termodinámica). Esta formulación puede hacerse bien para el sistema finito de fluido que está ocupando en un instante el volumen de control. O bien para una partícula de fluido que está ocupando en un instante una posición determinada dentro del volumen de control. La primera conduce al Análisis Integral del flujo y la segunda al Análisis Diferencial.

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OBJETIVO Definir flujo volumétrico, flujo en peso y flujo másico, así como sus respectivas unidades. 2. Definir flujo estable y el principio de continuidad. 3. Escribir la ecuación de continuidad, y usarla para relacionar el flujo volumétrico, área y velocidad de flujo entre dos puntos de un sistema de flujo de fluido. 4. Describir los cinco tipos de ductos y tubos disponibles comercialmente: tuberías de acero, de hierro dúctil, tubos de acero, de cobre y ductos y tubos de plástico. 5. Especificar el tamaño deseado de las tuberías o tubos para transportar una tasa de flujo de un fluido, a una velocidad especifica. 6. Enunciar las velocidades recomendadas del flujo y los flujos volumétricos comunes para varios sistemas. 7. Definir energía potencial, energía cinética y flujo de energía, en relación con los sistemas de flujo. 8. Aplicar el principio de conservación de la energía para desarrollar la ecuación de Bemoulli, y establecer las restricciones para usarla. 9. Definir los términos carga de presión, carga de elevación, carga de velocidad y carga total. 10. Aplicar la ecuación de Bemoulli a sistemas de flujo de fluido. 11. Definir el teorema de Torricelli y aplicarlo para calcular la tasa de flujo de un fluido que salga de un tanque, así como el tiempo que se requiere para vaciar este. 1.

CONCEPTO PRELIMINARES  DEFINICION DE UN FLUIDO Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas sólo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad definitoria es que los fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restituidas tendentes a recuperar la forma "original“.

 PROPIEDADES DE FLUIDOS Las propiedades de un fluido son las que definen el comportamiento y características del mismo tanto en reposo como en movimiento. Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI  PROPIEDADES PRIMARIAS Propiedades primarias o termodinámicas: 

Presión



Densidad



Temperatura



Energía interna



Entalpía



Entropía



Calores específicos



Viscosidad



Peso y volumen específicos

 PROPIEDADES SECUNDARIA Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos. 

Viscosidad



Conductividad térmica



Tensión superficial

 DEFINICION DE UN FLUJO Así entonces, un flujo es el estudio del movimiento de un fluido, involucrando las leyes del movimiento de la física, las propiedades del fluido y características del medio ambiente y conducto por el cual fluyen.

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 CLASIFICACIÓN DEL FLUJO El movimiento de los fluidos puede clasificarse de muchas maneras, según diferentes criterios y según sus diferentes características, este puede ser:

 FLUJO TURBULENTO: Este tipo de flujo es el que más se presenta en la práctica de ingeniería. En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden establecido, ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor. En este tipo de flujo, las partículas del fluido pueden tener tamaños que van desde muy pequeñas, del orden de unos cuantos millares de moléculas, hasta las muy grandes, del orden de millares de pies cúbicos en un gran remolino dentro de un río o en una ráfaga de viento. Cuando se compara un flujo turbulento con uno que no lo es, en igualdad de condiciones, se puede encontrar que en la turbulencia se desarrollan mayores esfuerzos cortantes en los fluidos, al igual que las pérdidas de energía mecánica, que a su vez varían con la primera potencia de la velocidad. La ecuación para el flujo turbulento se puede escribir de una forma análoga a la ley de Newton de la viscosidad:

Donde: h: viscosidad aparente, es factor que depende del movimiento del fluido y de su densidad.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI En situaciones reales, tanto la contribuyen al esfuerzo cortante:

viscosidad

como

la

turbulencia

En donde se necesita recurrir a la experimentación para determinar este tipo de escurrimiento.

FLUJO TURBULENTO Factores que hacen que un flujo se torne turbulento: 

La alta rugosidad superficial de la superficie de o con el flujo, sobre todo cerca del borde de ataque y a altas velocidades, irrumpe en la zona laminar de flujo y lo vuelve turbulento.



Alta turbulencia en el flujo de entrada. En particular para pruebas en túneles de viento, hace que los resultados nunca sean iguales entre dos túneles diferentes.



Gradientes de presión adversos como los que se generan en cuerpos gruesos, penetran por atrás el flujo y a medida que se desplazan hacia delante lo "arrancan".

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Calentamiento de la superficie por el fluido, asociado y derivado del concepto de entropía, si la superficie de o está muy caliente, transmitirá esa energía al fluido y si esta transferencia es lo suficientemente grande se pasará a flujo turbulento.

 FLUJO LAMINAR: Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de láminas o capas más o menos paralelas entre sí, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar:

Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación angular. La acción de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar. En situaciones que involucren combinaciones de baja viscosidad, alta velocidad o grandes caudales, el flujo laminar no es estable, lo que hace que se transforme en flujo turbulento.

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FLUJO LAMINAR

 FLUJO INCOMPRESIBLE: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables, mientras se examinan puntos dentro del campo de flujo, es decir:

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Lo anterior no exige que la densidad sea constante en todos los puntos. Si la densidad es constante, obviamente el flujo es incompresible, pero sería una condición más restrictiva.

 FLUJO COMPRESIBLE: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro no son despreciables.

 FLUJO PERMANENTE: Llamado también flujo estacionario. Este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto a los valores medios. Así mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura con el tiempo, es decir:

Dado al movimiento errático de las partículas de un fluido, siempre existen pequeñas fluctuaciones en las propiedades de un fluido en un punto, cuando se tiene flujo turbulento. Para tener en cuenta estas fluctuaciones se debe generalizar la definición de flujo permanente según el parámetro de interés, así:

Donde:

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI Nt: es el parámetro velocidad, densidad, temperatura, etc. El flujo permanente es más simple de analizar que el no permanente, por la complejidad que le adiciona el tiempo como variable independiente.

 FLUJO NO PERMANENTE: Llamado también flujo no estacionario. En este tipo de flujo en general las propiedades de un fluido y las características mecánicas del mismo serán diferentes de un punto a otro dentro de su campo, además si las características en un punto determinado varían de un instante a otro se dice que es un flujo no permanente, es decir:

Donde: N: parámetro a analizar. El flujo puede ser permanente o no, de acuerdo con el observador.

 FLUJO UNIFORME: Este tipo de flujos son poco comunes y ocurren cuando el vector velocidad en todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en dirección para un instante dado o expresado matemáticamente:

Donde el tiempo se mantiene constante y s es un desplazamiento en cualquier dirección.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI Flujo no uniforme: Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo se encuentra cerca de fronteras sólidas por efecto de la viscosidad Flujo unidimensional: Es un flujo en el que el vector de velocidad sólo depende de una variable espacial, es decir que se desprecian los cambios de velocidad transversales a la dirección principal del escurrimiento. Dichos flujos se dan en tuberías largas y rectas o entre placas paralelas.

 FLUJO BIDIMENSIONAL: Es un flujo en el que el vector velocidad sólo depende de dos variables espaciales. En este tipo de flujo se supone que todas las partículas fluyen sobre planos paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idénticas si se comparan los planos entre sí, no existiendo, por tanto, cambio alguno en dirección perpendicular a los planos.

 FLUJO TRIDIMENSIONAL: El vector velocidad depende de tres coordenadas espaciales, es el caso más general en que las componentes de la velocidad en tres direcciones mutuamente perpendiculares son función de las coordenadas espaciales x, y, z, y del tiempo t. Este es uno de los flujos más complicados de manejar desde el punto de vista matemático y sólo se pueden expresar fácilmente aquellos escurrimientos con fronteras de geometría sencilla.

 FLUJO ROTACIONAL: Es aquel en el cual el campo rot v adquiere en algunos de sus puntos valores distintos de cero, para cualquier instante.

 FLUJO IRROTACIONAL: Al contrario que el flujo rotacional, este tipo de flujo se caracteriza porque dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI En el flujo irrotacional se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, las cuales son causadas por los efectos de viscosidad del fluido en movimiento.

 FLUJO IDEAL: Es aquel flujo incompresible y carente de fricción. La hipótesis de un flujo ideal es de gran utilidad al analizar problemas que tengan grandes gastos de fluido, como en el movimiento de un aeroplano o de un submarino. Un fluido que no presente fricción resulta no viscoso y los procesos en que se tenga en cuenta su escurrimiento son reversibles

METODOS DIFERENCIALES PARA EL ANALISIS DE FLUJO  LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA La ley de conservación de la masa establece que la masa (δm) de una partícula de fluido debe permanecer constante en el tiempo. Matemáticamente:

La masa de la partícula viene dada por el producto de la densidad por el volumen (δV) de la misma:

Que puesta en función de la Velocidad de Deformación Volumétrica de la partícula (V):

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La conservación de la masa de un flujo incompresible exige que la Velocidad de Deformación Volumétrica de las partículas sea nula.

 PRINCIPIO DE LA CONTINUIDAD El método de cálculo de la velocidad de flujo en un sistema de ductos cerrados depende Del principio de continuidad. Un fluido circula con un flujo volumétrico constante de la sección 1 a la sección 2. Es decir, la cantidad de fluido que circula a través de cualquier sección en cierta cantidad de tiempo es constante. Esto se conoce como flujo estable. Por ello, si entre las secciones 1 y 2 no se agrega fluido ni se almacena o retira, entonces la masa de fluido que circula por la sección 2 en cierta cantidad de tiempo debe ser similar a la que circula por la sección 1. Esto se expresa en términos del flujo másico así:

Es el enunciado matemático del principio de continuidad y se le denomina ecuación de continuidad. Se utiliza para relacionar la densidad de fluido

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El área de flujo y la velocidad de este en dos secciones del sistema donde existe flujo estable. Es válido para todos los fluidos, ya sean gases o líquidos. Si el fluido en el tubo es un líquido incompresible, entonces los términos p 1 y p 2 son iguales. Así, la ecuación se convierte en:

La ecuación es de continuidad tal como se aplica a los líquidos; enuncia que para un flujo estable el flujo volumétrico es el mismo en cualquier sección. También se emplea para gases a velocidad baja, es decir a menos de 100 m/s, con mínimo margen de error.

 ECUACION DIFERENCIAL DE LA CONTINUIDAD Ecuación de la Continuidad La magnitud cinemática principal en el enfoque euleriano es el campo de Velocidades v(x,t). Se ha demostrado que el campo de Velocidad de Deformación Volumétrica de un flujo puede calcularse a partir de su campo de velocidades mediante:

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Donde D es la matriz de velocidad de deformación del flujo. Por lo tanto la Ley de Conservación de la Masa quedará como:

 ECUACION DIFERENCIAL MOVIMIENTO

DE

LA

CANTIDAD

DE

El primer miembro de la ecuación de la cantidad de movimiento quedará transformado empleando la expresión de la derivada material que proporciona el campo de aceleraciones a(x,t) a partir del de velocidades v(x,t):

El término ∂v ∂r es el gradiente de velocidades y se trata de una matriz (tensor) cuyos elementos son función de las componentes del campo de velocidades y de las derivadas de éstas respecto a las coordenadas espaciales. En el enfoque euleriano las fuerzas de Volumen y las de superficie se cuantifican respectivamente mediante el vector, fuerzas de volumen por unidad de volumen, fv(x, t) y el tensor de tensiones, T(x, t). La resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre una partícula viene dada por:

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI En el caso de que las únicas fuerzas de volumen consideradas sean las gravitatorias:

Siendo γ=ρ·g el peso específico del fluido y eg un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que la aceleración de la gravedad. La resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula viene dado por:

De esta manera la ecuación de la 2ª Ley de Newton o de la Cantidad de Movimiento queda como:

Y la ecuación de la energía cinética quedará como:

 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S2 se ha desplazado v2 Dt y la cara anterior S1 del elemento de fluido se ha desplazado v1Dt hacia la derecha.

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El elemento de masa m se puede expresar como

m= S2v2t= S1v1t=  V Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y1 a la altura y2 La variación de energía potencial es

Ep=m·gy2-m·gy1= V· (y2-y1) g El elemento Dm cambia su velocidad de v1 a v2, La variación de energía cinética es:

Ek = El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F1=p1S1 y F2=p2S2.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI La fuerza F1 se desplaza Dx1=v1Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo La fuerza F2 se desplaza Dx2=v2 Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios. El trabajo de las fuerzas exteriores es:

Wext=F1 x1- F2 x2= (p1-p2) V El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

Wext=Ef-Ei= (Ek+Ep)f-(Ek+Ep)i=Ek+Ep Simplificando el término DV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

o PROCEDIMIENTO PARA APLICAR LA ECUACION DE BERNOULLI 1. Decidir cuáles son los términos conocidos y cuales deben calcularse. 2. Determinar cuáles son las dos secciones del sistema que se usaran para escribir la ecuación de Bernoulli. Una de ellas se elige porque se concentran varios datos conocidos. En la otra, por lo general, algo habrá que calcularse. 3. Escribir la ecuación de Bernoulli para las dos secciones elegidas en el sistema. Es importante que la ecuación se escriba en la dirección del flujo. Es decir, el flujo debe proceder de la sección que este en el lado izquierdo de la ecuación y dirigirse hacia la sección derecha. 4. Es necesario ser explícito en la denominación de los subíndices de los términos de la carga de presión, carga de elevación y carga de velocidad en la ecuación de Bernoulli.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI En un dibujo del sistema hay que señalar la posición de los puntos de referencia. 5. Simplificar la ecuación, si es posible, con la cancelación de los términos que valgan cero o de los que aparezcan como iguales en ambos lados de la ecuación. 6. Despejar de la ecuación, en forma algebraica, el término que se busca. 7. Sustituir cantidades conocidas y calcular el resultado, con unidades consistentes todos los cálculos.

 EFECTO VENTURI

Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería. La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2 Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S1>S2, se concluye que v1
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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor. Si v1 p2 El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho Podemos obtener las velocidades v1 y v2 en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p1-p2 en el manómetro.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. En la pared lateral de un depósito de agua para riego hay una compuerta circular de radio r= 20cm, situada a un metro del fondo. Calcular la fuerza de empuje sobre la compuerta y la coordenada del centro de empuje, a) cuando el agua alcanza una altura de 8 m, b) cuando el agua alcanza una altura de 6 m,

2. Un depósito de agua para riego tiene una anchura de 3m, una longitud de 8m y una profundidad de 1m. Cuando el agua alcanza una altura de 80cm, determinar la fuerza que ejerce el agua sobre el fondo del depósito y sobre las paredes laterales, así como las

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI distancias de los respectivos centros de empuje a la superficie libre del agua.

SOLUCION:

3. Por la tubería horizontal representada en la figura circula agua. El diámetro de las secciones 1 y 3 es Ø = 20 cm, reduciéndose en la sección 2 a la mitad. Considere g = 10m/s2 .

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a) Ordenar presiones y velocidades en los puntos 1,2,3 de mayor a menor b) Calcular el caudal, expresado en litros por segundo, si la diferencia de presiones entre ambas secciones es 0,3 kp/cm2 c) Representar la línea de altura total y la línea de altura piezométrica cuando la presión en la sección ancha es 1kp/cm2

Parte C

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4. Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.

La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua esv0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

Aplicando la ecuación de continuidad

Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

5. En una sección de un sistema de distribución de aire acondicionado, el aire a 14.7 psi a 100°F y |tiene una velocidad promedio de 1200 pies/min, y el ducto tiene 12 pulg cuadradas. En una sección, el ducto es redondo y tiene un diámetro de 18 pulg, y el aire tiene una velocidad Peso900 pies/min. Calcule (a) la densidad del aire en la sección redonda, y (b) el flujo en peso del aire en libras por hora. A 14.7 psi a y 100 °F, la densidad del aire es de 2.20 X l0-3 y su peso específico 7.09 x 10~2 lb/pie3.

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6. Los diámetros interiores del conducto en las secciones 1 y 2 son de 50 mm y 100 mm, respectivamente como se muestra en la figura. En la sección 1 fluye agua a 70 °C con velocidad promedio de 8 m/s. Calcule lo siguiente: (a) (b) (c) (d)

Velocidad en la sección 2. Flujo volumétrico. Flujo en peso. Flujo másico

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SOLUCION

7. En la figura las pérdidas hasta la sección A son 5 v^2 1/2g y las pérdidas de la boquilla son 0,05v^2 2/2g. Determínese la descarga y la presión en A. H = 8,00 m.

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SOLUCION:

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI 8. Una tubería lleva aceite, densidad relativa 0,86, a V = 2 m/s por un tubo de 200 mm de diámetro interior. En otra sección el diámetro es de 70 mm. Encuéntrese la velocidad en esta sección y el flujo de masa en kilogramos por segundo. SOLUCION:

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BIBLIOGRAFIA  Curso de Mecánica de Fluidos. Transparencias de Clase. TECNUN. Alejandro Rivas. Temas 2 y 3  Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill. Frank M. White. Capítulo 4.  http://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id228.htm  http://virtual.uaeh.edu.mx/repositoriooa/paginas/ecuacion_fundam ental_de_la_hidrodinamica/tipos_de_fluidos_y_sus_propiedades.ht ml  http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-laingenieria/contenidos/tema-2/mfluidosproblemas-solucion.pdf  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli/berno uilli.htm  Mecánica de fluidos de Robert Mott 6ta edicion

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